2017-2018学年高中数学第三章空间向量与立体几何3.2.1直线的方向向量与平面的法向量3.2.2空间线面关系的判

1、3.2.1 直线的方向向量与平面的法向量3.2.2 空间线面关系的判定 （ 一）学习目标 1. 掌握空间点、线、面的向量表示 .2. 理解直线的方向向量与平面的法向量的意 义；会用待定系数法求平面的法向量 .3. 能用向量法证明直线与直线、 直线与平面、 平面与平 面的平行问题 .知识点一 直线的方向向量与平面的法向量 思考 怎样用向量来表示点、直线、平面在空间中的位置？梳理 （1） 用向量表示直线的位置条件直线 l 上一点 A表示直线 l 方向的向量 a（ 即直线的 ）形式在直线 l 上取 ABa，那么对于直线 l 上任意一点 P，一定存在实数 t， 使得 AP作用定位置点 A和向量 a 可

2、以确定直线的 定点可以具体表示出 l 上的任意 （2）用向量表示平面的位置 通过平面 上的一个定点 O和两个向量 a和 b 来确定：条件平面 内两条相交直线的方向向量 a，b 和交点 O形式对于平面 上任意一点 P，存在有序实数对 （x，y） 使得OP xa yb 通过平面 上的一个定点 A和法向量来确定：平面的法向量直线 l ，直线 l 的 叫做平面 的法向量确定平面位置过点 A，以向量 a 为法向量的平面是完全确定的(3) 直线的方向向量和平面的法向量直线的方向向量能平移到直线上的 _ 的一个方向向量 向量 a，叫做直线 l平面的法向量直线 l ，取直线 的法向量l 的 ，n 叫做平面(4

3、) 空间中平行关系的向量表示设直线 l ，m的方向向量分别为 a， b，平面 ， 的法向量分别为 ，v，则线线平行l m? ? a kb( k R)线面平行l ? a ? 面面平行 ? v? 知识点二 利用空间向量处理平行问题思考 (1) 设 v1(a1，b1，c1) ，v2 (a2，b2，c2) 分别是直线 l 1，l 2的方向向量 . 若直线 l 1l 2， 则向量 v1，v2 应满足什么关系 .(2) 若已知平面外一直线的方向向量和平面的法向量， 则这两向量满足哪些条件可说明直线与 平面平行？(3) 用向量法处理空间中两平面平行的关键是什么？梳理 利用空间向量解决平行问题时，第一，建立立

4、体图形与空间向量的联系，用空间向量 表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题；第二，通过向量的运 算，研究平行问题；第三，把向量问题再转化成相应的立体几何问题，从而得出结论例 1 如图，四棱锥 PABCD中，底面 ABCD为矩形， PA平面 ABCD，E为 PD的中点 . ABAP 1， AD 3，试建立恰当的空间直角坐标系，求平面ACE的一个法向量 .引申探究 若本例条件不变，试求直线 PC的一个方向向量和平面 PCD的一个法向量反思与感悟 利用待定系数法求平面法向量的步骤(1) 设向量：设平面的法向量为 n(x，y，z).(2) 选向量：在平面内选取两个不共线向量 AB

5、， AC.列出方程组n·AB0，(3) 列方程组：由 n·AC0n·AB0，(4) 解方程组： n· AC0.(5) 赋非零值：取其中一个为非零值 ( 常取± 1).(6) 得结论：得到平面的一个法向量 .跟踪训练 1 如图，在四棱锥 PABCD中，底面 ABCD是矩形 .平面 PAB平面 ABCD， PAB是边长为 1的正三角形， ABCD是菱形. ABC60°， E是PC的中点， F是 AB的中点，试建立恰当的空间直角坐标系，求平面DEF的一个法向量类型二 利用空间向量证明平行问题例 2 已知正方体 ABCD-A1B1C1D1 的

6、棱长为 2，E、F分别是 BB1、DD1 的中点，求证：（1）FC1平面 ADE；（2）平面 ADE平面 B1C1F.反思与感悟 利用向量证明平行问题，可以先建立空间直角坐标系，求出直线的方向向量和平面的法向量，然后根据向量之间的关系证明平行问题 .跟踪训练 2 如图，在四棱锥 PABCD中，PA平面 ABCD，PB与底面所成的角为 45°， 底面1ABCD为直角梯形， ABC BAD90°， PABC2AD1，问在棱 PD上是否存在一点 E，使CE平面 PAB？若存在，求出 E 点的位置；若不存在，请说明理由 .1. 若点 A（ 1,0,1） ，B（1,4,7） 在直线

7、l 上，则直线 l 的一个方向向量的坐标可以是 .2. 已知向量 n（2 ， 3,1） 是平面 的一个法向量，则下列向量中能作为平面 的法向量 的是 .（ 填序号 ）n1（0，3,1） ； n2（ 2,0,4） ； n3（ 2， 3,1） ； n4（ 2,3 ， 1）.3. 已知向量 n（ 1,3,1） 为平面 的法向量，点 M（0,1,1） 为平面内一定点 . P（x，y，z）为 平面内任一点，则 x， y， z 满足的关系式是 .14. 若直线 l，且 l 的方向向量为 （2 ，m,1） ，平面 的法向量为 1，2，2 ，则 m为.5. 在正方体 ABCD1AB1C1D1 中，平面 ACD

8、1的一个法向量为 .1. 应用向量法证明线面平行问题的方法（1）证明直线的方向向量与平面的法向量垂直 .（2）证明直线的方向向量与平面内的某一直线的方向向量共线 .（3）证明直线的方向向量可用平面内的任意两个不共线的向量表示 . 即用平面向量基本定理证 明线面平行 .2. 证明面面平行的方法设平面 的法向量为 n1（a1，b1，c1），平面 的法向量为 n2（ a2，b2，c2） ，则 ? n1n2 ? （ a1，b1，c1）k（ a2， b2， c2）（ kR）.答案精析问题导学知识点一思考 (1) 点：在空间中， 我们取一定点 O作为基点， 那么空间中任意一点 P 的位置就可以用 向量OP

9、来表示 . 我们把向量 OP称为点 P的位置向量 .(2) 直线：直线的方向向量：和这条直线平行或共线的非零向量 .对于直线 l 上的任一点 P，在直线上取 ABa，则存在实数 t，使得 APtAB.(3) 平面：空间中平面 的位置可以由 内两条相交直线来确定 . 对于平面 上的任一点 P， a，b是平面 内两个不共线向量，则存在有序实数对( x，y) ，使得 OPxayb.空间中平面 的位置还可以用垂直于平面的直线的方向向量表示 .梳理 (1) 方向向量 tAB 位置 一点(2) 方向向量 (3) 非零 方向向量 n(4) ab a· 0 kv(k R)知识点二思考 (1) 由直线

10、方向向量的定义知若直线l 1 l 2，则直线 l 1，l 2的方向向量共线，即 l 1l2? v1v2? v1v2( R).(2) 可探究直线的方向向量与平面的法向量是否垂直，进而确定线面是否平行 .(3) 关键是找到两个平面的法向量，利用法向量平行来说明两平面平行 .题型探究例 1 解 因为 PA平面 ABCD，底面 ABCD为矩形， 所以 AB， AD， AP两两垂直 .如图，以 A为坐标原点， AB的方向为 x 轴的正方向，建立空间直角坐标系，则D(0 ， 3，0) ，31E(0， 2 ， 2) ， B(1,0,0) ，C(1， 3，0)， 于是AE (0 ， 23， 12) ，AC (

11、1 ， 3，0).设 n(x，y，z) 为平面 ACE的法向量，n· AC 0， 则n· AE 0，x 3y 0，23y12z0，所以x 3y， z 3y ，令 y 1，则 x z 3.所以平面 ACE的一个法向量为 n（ 3， 1， 3）. 引申探究解 如图所示，建立空间直角坐标系，则P（0,0,1） ，C（1 ， 3，0） ，所以PC （1 ， 3， 1）， 即为直线 PC的一个方向向量设平面 PCD的法向量为 n （x，y，z）.因为 D（0， 3， 0） ，所以 PD （0 ， 3 ， 1）.n 由·PC0，即x 3y z0，n·PD0，3yz

12、0，x0，所以令y1，则 z 3z 3y，所以平面 PCD的一个法向量为 n （0,1 ， 3）.跟踪训练 1 解 连结 PF， CF， AC.因为 PAPB，F 为 AB的中点，所以 PFAB，又因为平面 PAB平面 ABCD，平面 PAB平面 ABCDAB， PF? 平面 PAB. 所以 PF平面 ABCD，因为 ABBC， ABC60°， 所以 ABC是等边三角形，所以 CF AB.以 F 为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图所示所以FE (0 ， 43， 43) ，FD( 1， 23，0).设平面DEF的法向量为m (x，y，z).m· 则m·FE0，43

13、y 43z0，FD0， x 23y 0.z y， 所以 3令 y2，x 2 y，则 x 3， z 2.所以平面 DEF的一个法向量为 m( 3，2， 2).， 0,0) ，例 2 证明 (1) 建立如图所示的空间直角坐标系D xyz ，则有 D(0,0,0) ，C(0,2,0) ，C1(0,2,2) ，E(2 ，2,1) ，F(0,0,1) ，B1(2,2,2) ，所以 FC1(0,2,1) ，DA(2,0,0) ，AE(0,2,1). 设 n1(x1，y1，z1) 是平面 ADE的法向量， 则 n1DA， n1 AE，n1·DA 2x1 0，即n1·AE 2y1 z10，

14、x10， z1 2y1，令 z12，则 y1 1， 所以 n1(0 ， 1,2). 因为FC1·n1 220，所以 FC1n1. 又因为 FC1?平面 ADE， 所以 FC1平面 ADE.（2） 因为C1B1 （2,0,0） ，设 n2（x2，y2，z2）是平面 B1C1F的一个法向量 .由 n2 FC1，n2 C1B1 ，n2·FC12y2 z20，n2C1B1 2x20，x2 0， 得2z2 2y2.令 z2 2，得 y2 1， 所以 n2（0 ， 1,2） ， 因为 n1 n2，所以平面 ADE平面 B1C1F.跟踪训练 2 解 分别以 AB，AD，AP为 x轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，如图所示 P(0,0,1) ， C(1,1,0) ，D(0,2,0) 设存在满足题意的点 E（0， y，z） ， 则PE（0 ，