2018年全国高校自主招生数学模拟试卷12

1、精品 试卷2018 年全国高校自主招生数学模拟试卷十二、选择题 (36 分)1已知数列 xn满足 xn+1=xnxn1(n 2)，x1=a， x2=b， 记 Sn=x1+x2+ +xn，则下列结论 正确的是(A)x100 a， S100=2b a(B)x100 b， S100 2b a(C)x100 b， S100=b a(D)x100 a， S100 b aCD上，使得AEEB=FCDF= (0<<+D则m的2如图，正四面体 ABCD中，E在棱 AB 上，F在棱 )，记 f ()=+其中 表示 EF与 AC所成的角， 表示 EF与 BD 所成的角， 则(A) f()在(0，+)单

2、调增加(B) f()在(0，+)单调减少(C) f() 在(0，1)单调增加，而在 (1，+单调减少(D) f()在(0，+)为常数 3设等差数列的首项及公差均为非负整数，项数不少于3，且各项的和为972，则这样的数列共有(A) 2 个 (B)3 个 (C)4 个 (D)5 个4在平面直角坐标系中， 若方程 m(x2+y2+2y+1)=(x 2y+3)2 表示的曲线为椭圆， 取值范围为(A) (0， 1)(B)(1，+)(C)(0，5)(D)(5，+ )5设 f(x)=x2 x，(A)f()>f()>f( )>f()(B) f()> f( )>f()>f()

3、(C) f( )>f()>f()>f()6如果空间三条直线a，b，c 都相交的直线有(D) f( )>f()>f()>f() a，b，c 两两成异面直线，那么与(A) 0条 (B) 1 条(C)多于 1 的有限条(D) 无穷多条二填空题 (每小题 9 分，共 54分)1设 x，y为实数，且满足 (xy 5 1 5arcsin3， =arctan4，=arcos(3)， =arccot(4)，则1)33+11999977(xy11)=11，则 x+y.y22过双曲线 x22=1的右焦点作直线 l交双曲线于 A、B两点，若实数 使得 |AB| 的直线 l 恰有

4、3 条，则 = .13已知复数 z 满足 2z+z =1，则 z 的幅角主值范围是4已知三棱锥 S ABC的底面是以 AB 为斜边的等腰直角三角形， SA=SB=SC2=，AB=2， 设 S、A、B、C四点均在以 O 为球心的某个球面上， 则点 O 到平面 ABC的距离为 5设 ABCDEF为正六边形，一只青蛙开始在顶点A 处，它每次可随意地跳到相邻两顶点之一若在 5 次之内跳到 D 点，则停止跳动；若 5 次之内不能到达 D 点，则跳完 5 次也 停止跳动，那么这只青蛙从开始到停止，可能出现的不同跳法共 种6设 a logz+logx(yz) 1+1 ， b logx 1+log(xyz+1

5、)，c logy+log( xyz) 1+1 ，记 a，b，c 中 最大数为 M ，则 M 的最小值为 三、( 20 分)设 xyz12，且 x+y+z 2，求乘积 cosx siny cosz的最大值和最小值四、(20 分)设双曲线 xy 1 的两支为 C1， C2(如图 )，正三角形 PQR的三顶点位于此双曲线上(1)求证： P、Q、R 不能都在双曲线的同一支上；(2)设 P( 1， 1)在 C2 上， Q、R在 C1上，求顶点 Q、R的坐标五、(20 分 )设非零复数 a1，a2，a3，a4，a5 满足a2 a3 a4 a5a1 a2 a3 a411111 a1+a2+a3+a4+a5=

6、4( + + + + )=Sa1 a2 a3 a4 a5 其中 S为实数且 |S| 2求证：复数 a1，a2，a3，a4，a5 在复平面上所对应的点位于同一圆周上2018 年全国高校自主招生数学模拟试卷 十二参考答案一、选择题 (每小题 6 分，共 36分)1已知数列 xn满足 xn+1=xnxn1(n 2)，x1=a， x2=b， 记 Sn=x1+x2+ +xn，则下列结论 正确的是(A)x100 a， S100=2b a(B)x100 b， S100 2b a(C)x100 b， S100=b a(D)x100 a， S100 b a解： x1=a， x2=b， x3=b a，x4=a，

7、x5 = b ， x6=a b， x7=a， x8=b，易知此数列循环， xn+6=xn，于是 x100=x4= a，又 x1+x2+x3+x4+x5+x6=0，故 S100=2b a选 A2如图，正四面体 ABCD中，E在棱 AB 上，F在棱 CD上，使得AEEB=FCDF= (0<<+)，记 f ()=+其中 表示 EF与 AC所成的角， 表示 EF与 BD 所成的角， 则(A) f()在(0，+)单调增加(B) f()在(0，+)单调减少(C) f() 在(0，1)单调增加，而在 (1，+单调减少(D) f()在(0，+)为常数故 GF BD故 GEF=，AE CG CF 解

8、：作 EGAC交 BC于 G，连 GF，则 EB=GB=FD，GFE=，但 ACBD，故 EGF=90 °故 f()为常数选 D 3设等差数列的首项及公差均为非负整数，项数不少于3，且各项的和为 972，则这样的数列共有(A)2 个 (B)3 个 (C)4 个(D)5 个1解：设首项为 a，公差为 d，项数为 n，则 na+2n(n1)d=972，n2a+(n 1)d=2×972， 即 n 为 2×972的大于 3 的约数 n=972，2a+(9721)d=2，d=0，a=1；d1时a<0有一解； n=97，2a+96d=194，d=0，a=97；d=1，a

9、=a=49； d=2， a=1.有三解； n=2×97，n=2×972，无解 n=1，2时 n<3.选 C4在平面直角坐标系中， 若方程 m(x2+y2+2y+1)=(x 2y+3)2表示的曲线为椭圆， 则m 的 取值范围为(A)(0， 1)(B)(1，+)(C)(0，5)(D)(5，+)解：看成是轨迹上点到x2+(y+1)2= 5<1|x 2y+3| = m<112+(2)2(0， 1)的距离与到直线m>5，选 Dx2y+3=0 的距离的比：5设 f(x)=x2x，arcsin13， =arctan54，=arcos(31)， =arccot(45

10、)，则(A)f()>f()>f( )>f()(B) f()> f( )>f()>f()(C) f(i)>f()>f()>f()(D) f( )>f()>f()>f()二填空题 (每小题 9 分，共 54分) (x1)3+1997(x1)= 1， 1设 x，y 为实数，且满足 (y 1)3+1997(y 1)=1 解：原方程组即 (x11y)3+11999977(1x1y)+11=00，(1 y)3+1997(1y)+1=0f(t)=t3+1997t+1， f (t)=3t2+1987>0则 x+y故 f(t) 单调增

11、，现x1=1 y， x+y=22的直线过双曲线 x22=1 的右焦点作直线 l 恰有 3 条，则 = l 交双曲线于 A、B 两点，若实数 使得 |AB| 2b2 解：右支内最短的焦点弦 =2b =4又 a 这样的弦由对称性有两条故 =4 时2a=2，故与左、右两支相交的焦点弦长2a=2，设 AB 的倾斜角为 ，则右支内的焦点弦3已知复数与左支相交时，2ab242 2 2 = 2 4， a2 c2 cos2 13cos2= 2ab2 4=a2 c2cos2 = 1 3cos2 =4=当 =90°时，=4故 =4 z 满足 2z+z =1 ，则 z 的幅角主值范围是解： 2z+1z=1

12、 4r4+(4cos2 1)r2+1=0 ，这个等式成立等价于关于x 的二次方程解： f(x)的对称轴为 x=2，易得， 2 3 5 0<<6<4<<3<2<< 3 < 4 <<66如果空间三条直线 a，b， c 两两成异面直线，那么与 a，b，c 都相交的 直线有(A) 0条(B) 1条(C)多于 1 的有限条 (D) 无穷多条解：在 a、b、c 上取三条线段 AB、CC、A D ，作一个平行六面体 ABCD ABCD，在 c上取线段 AD上一点 P，过 a、P作 一个平面，与 DD交于 Q、与 CC交于 R，则QRa，于是

13、PR不与 a平行，但PR与 a共面故PR与 a相交由 于可以取无穷多个点 P故选 D14x2+(4cos21)x+1=0 有正根 =(4cos2 1)2 160，由 x1x2=4>0，故必须 x1+x2= 4cos2 14>0 333 cos2 (2k+1) arccos 2(2k+1)+arccos 444(k=0，1) 1 3 1 3 k+22arccos4 k+2 +2arccos4，4已知三棱锥 S ABC的底面是以 AB 为斜边的等腰直角三角形， SA=SB=SC2=，AB=2， 设 S、A、 B、C 四点均在以 O 为球心的某个球面上，则点 O 到平面 ABC 的距离

14、为解： SA=SB=SC2=， S在面 ABC上的射影为 AB 中点 H， SH平面 ABC SH上任意一点到 A、B、C 的距离相等 SH= 3 ，CH=1 ，在面 SHC内作 SC的垂直平分线 的外接球球心 SM=1， SO=2 3 3， OH= 33，即为 33OA1H2MMO 与 SH交于 O，则 O 为 SABCO 与平面 ABC 的距离5设 ABCDEF为正六边形，一只青蛙开始在顶点A 处，它每次可随意地跳到相邻两顶点之一若在 5 次之内跳到 D 点，则停止跳动；若 5 次之内不能到达 D 点，则跳完 5 次也 停止跳动，那么这只青蛙从开始到停止，可能出现的不同跳法共 种解：青蛙跳

15、 5 次，只可能跳到 B、D、 F三点 (染色可证 )青蛙顺时针跳 1次算+1，逆时针跳 1次算 1，写 5个“ 1”，在中填 “+”号或“” 号：1 11112 个中继续填规则可解释为：前三个中如果同号，则停止填写；若不同号，则后 写符号前三同号的方法有 2 种；前三个不同号的方法有 23 2=6 种，后两个中填号的方 法有 22 种 共有 2+6×4=26 种方法6设 a logz+logx(yz) 1+1 ， b logx 1+log(xyz+1)，c logy+log( xyz) 1+1 ，记 a，b，c 中 最大数为 M ，则 M 的最小值为设 x y z 12，且 x+y

16、+z=2，求乘积cosx siny cosz 的最大值和最小值x 1 1 解： a=log（y+z），b=log（yz+x）， c=log（yz+y） a+c=log(yz+x+yz+x)2log2于是 a、c 中必有一个 log2即 M log2，于是 M 的最 小值 log2但取 x=y=z=1，得 a=b=c=log2即此时 M= log2于是 M 的最小值 log2 所求值 =log2 三、(本题满分 20 分)解：由于 xyz12，故 6x2 12×2=3cosx siny cosz=cosx×112sin（y+z）+sin（yz）=22 1 1 2 cos2x+

17、2cosxsin（yz） 2cos23即最小值cosx siny cosz= 8（由于 6 x3 ，yz，故 cosxsin（yz）0），当 y=z=12 ， x=3 时，1 1 2 1cosx siny cosz=cosz× 2sin（x+y） sin（x y）=2cos2z2coszsin（xy）1 2 1 2 1 2+由于 sin(x y) 0， cosz>0，故 cosx siny cosz2cos P（1， 1），设 Q（x2，x ），点 P在直线 y=x上以 P为圆心， | PQ|为半径作圆，此 圆与双曲线第一象限内的另一交点R满足| PQ| =| PR| ，由圆与

18、双曲线都是 y=x对称，知 Q 与1z=2cos212 =2(1+cos6)= 8 5当 x= y=12 ， z=12 时取得最大值 最大值 2+ R关于 y=x 对称且在第一象限内此二曲线没有其他交点（二次曲线的交点个数 ）于是 R（x2，最小值 1 88四、（ 本题满分 20 分 ）设双曲线 xy 1 的两支为 C1， C2（如图 ），正三角形 PQR的三顶点位于此双曲线上 （1）求证： P、Q、R 不能都在双曲线的同一支上；（2）设 P（ 1， 1）在 C2 上， Q、R在 C1上，求顶点 Q、R的坐标 11解：设某个正三角形的三个顶点都在同一支上此三点的坐标为P（x1，x1），Q（x2

19、，x1），x1x21R（x3， x ）不妨设0<x1<x2<x3，则 x1 >x1 >x1 >0x1 x2 x3形y2 y11kPQ=x2 x1x1x21kQR=；x2x3tan PQR=x1x211+x2x3<0 ，从而 PQR为钝角即 PQR不可能是正三角x1x3x22PQ与 y=x的夹角 =30°， PQ所在直线的倾斜角=75°tan75 °=1+33133=2+ 3PQ 所在直线方程为 y+1=（2+ 3）（x+1），代入 xy=1，解得 Q（2 3，2+ 3），于是 R（2+ 3， 2 3）五、（本题满分 20 分）设非零复数 a1，a2，a3，a4，a5 满足a2 a3 a4 a5a1 a2 a3 a411111a1+a2+a3+a4+a5=4(a1+a2+a3+a4+a5)=S其中 S为实数且 |S| 2 求证：复数 a1，a2，a3，a4，a5 在复平面上所对应的点位于同一圆周上a2 a3 a4 a54证明：设 a1=a2=a3=a4=q，则由下式得 a1(1+q+q 1 5 此时，由 |( q+q+2)2