小升初数学《走进名校》奥数素养——逻辑推理问题(含答案)

1、小升初数学走进名校奥数素养逻辑推理问题【充足理由律思路】充足理由律的形式是：“所以有甲，是因为有乙”。它的意思是说，任何正确的思想，一定有它 的充足理由；任何思想，只有当它具有充足的理由时，这种思想才能被认为是正确的。在数学中，如 果由条正确的， A就是 B的正确性的充分理由。因此 B的正确性要以 A的正确性为基础，而要使 A的正 确性得到确认，又得为它提出充足的理由，照此类推。这样，当我们要论证某一思想是正确的时候， 常常要引证一系列的理由。 以此连锁引证下去， 直到最后的理由它的正确性已经确定， 并且得到 普遍承认的。具体说来有下列三种： （1）明显的事实， 它可以为人们所直接感知的； （

2、2）公理；（3） 科学的规律。当然在实际进行论证时，并不是总要引证到最后的理由，数学中已经证明过的定理、定 律、公式、法则等，都可以作为论证所根据的理由。充足理由律是进行推理的基础。 运用充足理由律来思考数学问题， 我们把它叫做充足理由律思路。例 1 200 米赛跑，张强比李军快 0.2 秒，王明的成绩是 39.4 秒，赵刚的成绩比王明慢 0.9 秒， 但比张强快 0.1 秒，林林比张强慢 3 秒，请你给这五人排出名次来。分析（运用充足理由律思路思索）： 题中有两种概念。一是成绩好坏，需要进行量的计算；二是快慢关系推理，先用计算量进行比较 推理。抓住“各人跑 200 米需要的时间”为比较量。并

3、设字母 A、B、C、D、E 来分别表示张强、李军、 王明、赵刚、林林的时间。王明的成绩是 39.4 秒，赵刚的成绩比王明慢 0.9 秒（即 C=39.4 秒， D=C0.9 ）D=39.4+0.9=40.3 （秒）又 赵刚比张强快 0.1 秒（即 D0.1 A）A=40.3 0.1=40.4 （秒）（传递性）又张强比李军快 0.2 秒（即 A=B-0. 2 ）B=A 0.2=40.4 0.2=40.6 （秒）又林林比张强慢 3 秒（即 A=E-0.3 ）E=A 3=40.4 3=43.4 （秒）由 43.4 > 40.6 > 40.4 >40.3 >39.4即 E &g

4、t;B> A>D>C谁是第一、谁是第二、第三、第四、第五名，不就一目了然了吗？本题还可以单纯用快慢关系来进行判断。 A <B，D>C， D<A， E >A， 可得 B、E 均> A> D> C， 一、二、三名分别应是 C、 D、 A。 但第四、五名仍需计算。由 E=A3 秒， B=A0.2 秒，可知 E>B，故 B 是第四， E是第五名。例 2 填数使下列竖式成立：分析(运用充足理由律思路来探讨这两个式题)：第( 1)题。抓住乘、除法法则和乘除的互逆关系去思考。( )( ) ×5=33( )只要求得 33( ) 

5、47;5=( )( ) ，就可以得出竖式被乘数了，现可知 33( ) ÷5 商的十位得 6，故 被乘数的十位应是 6，个位是几呢？再往下看：乘数 35 的十位数字是 3，3与被乘数个位相乘的积的末尾数字要是 8，显然只有 3与 6 相乘末尾数字才能是 8，所以被乘数是 66。找到了被乘数是 66 以后，其他数字自然就容易找到了第（ 2）题仍抓住除法算式特征和乘除的互逆关系去找理由。由除法竖式特征第二次余数为 0，只好把被除数十位数和个位数同时移下，故可得 y=0。x>8。又 1 x 9， x=9，则商数为 9807。ab12。故 ab=12。此题确定了商和除数，其他数字自然就容

6、易找了。【不矛盾律思路】不矛盾律的形式是“甲不是非甲”。它的基本内容是：同一对象，在同一时间内和同一关系下， 不能具有两种互相矛盾的性质， 它是逻辑推理的又一重要规律， 运用不矛盾律来推理、 思考某些问题 的解答，这种思路我们把它叫做不矛盾律思路。例 1 有三个和尚，一个讲真话，一个讲假话，另外一个有时讲真话，有时讲假话。一天，一位 智者遇到这三个和尚，他先问左边的那个和尚：“你旁边的是哪一位？”和尚回答说“讲真话的。” 他又问中间的和尚：“你是哪一位？”和尚答：“我是半真半假的。”他最后问右边的和尚：“你旁 边是哪一位？”答：“讲假话的。”根据他们的回答，智者马上分清了他们，你能分清吗？分析

7、（运用不矛盾律思路探讨）：两件相互矛盾对立的事情， 如果一件是不正确的， 另一件就是正确的， 这就是不矛盾律的基本思 路。我们先假设左边和尚讲的是真的，那么中间的和尚是讲真话的，但这与他的回答： “我是半真半 假的”矛盾，所以左边和尚讲真话这一假设不对。从而左边和尚讲的是假话，他一定不是讲真话的和 尚。中间那个和尚也一定不是讲真话的，所以右边的和尚是讲真话的和尚。根据他的话，中间是讲假 话的和尚，剩下左边的和尚自然就是半真半假的。例 2 一次学校举行田径运动会， A、B、C、D、E五个班取得了团体前五名，发奖后有人问他们的 名次，回答是：A班代表说：“ B是第三名， C是第五名。”B班代表说：

8、“ D是第二名， E 是第四名。”C班代表说：“ A是第一名， E是第四名。”D班代表说：“ C是第一名， B 是第二名。”E班代表说：“ D是第二名， A 是第三名。”最后，他们都补充说：“我的话是半真半假的。”请你判断一下，他们各个班的名次。分析（用不矛盾律思路分析）：先简化一下记法，比如B班是第三名，则写成 B-3，其它类似，这样五个班代表的讲话可简记为：（1）B-3，C-5。（2）D-2，E-4。（3）A-1，E-4。（4）B-2，C-1。（5）A-3，D-2。假设（1）的前半句是真的，即 B-3，那么由（4）有C-1，由（3）知A-1不对，有 E-4；再由（2）知D-2不对，从（ 5

9、）知A-3，这与假设矛盾，所以（ 1）中正确的应是 C-5，于是由（ 4）知C-1不对， 应该是B-2，进而知（2）D-2不对，有 E-4，并知（ 5）D-2不对，有 A-3，最后只剩下 D及第一名， 所以知道 D 应为第一名。最后排出名次自然就非常简单了。上述叙述虽然简化了记号，但文字表述仍然觉得累赘，所以还可以借助图表表达上述推理过程。如图 2.21 ，假设 B-3，在 B上画一个圆圈（左图），表示推理的起点，找到另一个 B，则应是不 对的，画一个“×”，再找与这个 B同行的“ C”，它应是对的，画一个“”，找与 C同列的“ A”， 它不对，画一个“×”，等等。最后 A

10、-3 被画了一个“”，这与 B-3 相矛盾，故 B-3 是错的。在这 个“B”上画一个“×”，重新开始推理（右图）。从（1）的C开始，因 B-3是错的，则 C-5记“”，则（ 4）中C-1画“×”， B-2记“”， 由此推出（ 5）D-2记“×”，（ 2）D-2 记“×”，从表中可以看出， B-2，A-3、E-4、C-5，那 么谁是第一，表中虽然未表达，但明眼人一看就知道了排中律思路】排中律的形式是“或者是甲，或者是非甲”。它的基本内容是：同一对象在同一时间内和同一关 系下，或者是具有某种性质。或者是不具有某种性质，二者必居其一，不能有第三种情况。它是处

11、理 肯定判断与否定判断之间的关系的一个规律。运用这一规律来推理的思路，我们把它叫排中律思路。排中律和不矛盾律的基本作用是相同的， 即都是排除思想中的矛盾。 但也有区别： 一是适用范围 不同，不矛盾律的适用范围宽，既适用于互相反对的判断，也适用于互相矛盾的判断，排中律的作用 范围窄些，只适用于互相矛盾的判断，不适用互相反对的判断；二是要求不同，不矛盾律要求对互相 反对的和互相矛盾的判断， 不能同时断定其中每一个都是真的， 因为其中至少有一个是假的。 排中律 则要求：对于互相矛盾的判断，必须肯定其中一个是真，因为其中必有一真，不能都假。如果我们确 定了某一个是正确的，根据不矛盾律，就可以得出另一个

12、是错误的。反过来。如果我们确定了某一个 是错误的，根据排中律，就可以得出另一个是正确的。从这方面来看，如果说不矛盾律提供我们逻辑 否定的基础， 那么排中律则主要提供我们逻辑肯定的基础； 三是逻辑错误性质不同， 不矛盾律要求的 逻辑错误是“自相矛盾”，排中律要求的逻辑错误是“模棱两不可”。例1 老师有一黑两白三顶帽子，给两个学生看后，让他们闭上眼睛，从中取出两顶给他们戴上， 然后让他们睁开眼睛， 互相看清对方戴的帽子， 并立即说出自己头上戴的帽子是什么颜色， 两位同学 都不能立即说出，请问你知道这两位学生戴的各是什么颜色的帽子吗？分析（运用排中律思路思索）：假设你是这两个学生中的一个， 因为你知

13、道只有一顶黑帽子， 当你看到对方戴的是黑帽子时， 你 能判断自己戴的帽子颜色吗？可以的，根据排中律： “非此即彼”，你一定会推断出自己戴的是白帽 子。现在两个学生都不能利用排中律很快地说出自己戴的是白帽子，说明他们两人都没有看见黑帽 子，由此断定，老师给两位学生戴的是两顶白帽子。例2 曾实、张晓、毛梓青在一起，一位是工程师、一位是医师、一位是教师。现在只知道：（1）毛梓青比教师年龄大；（2）曾实和医师不同岁；（3）医师比张晓年龄小。你能确定谁是工程师？谁是医师？谁是教师吗？分析（沿着排中律思路探索）：根据排中律的要求，如果我们能确定某个是错误的，就可以得出另一个是正确的。现在已知（1）曾实和医

14、师不同岁，（ 2）医师比张晓年龄小，就可以判定曾实和张晓都不是医师，因此只有毛梓青 是医师；若张晓是教师，则根据（ 1）毛梓青比教师年龄大，即毛梓青比张晓年龄大，与（ 3）医师比张晓 年龄小，即毛梓青比张晓年龄小，这两个结论是互相矛盾的，因此张晓不可能是教师。张晓既不是医 师（因为毛梓青是医师），又不是教师，所以张晓应该是工程师了。因为三个人、三个职业，已经确 定了毛梓青是医师，张晓是工程师，剩下的曾实只能是教师了。该题的思路还可以用下表表示：【同一律思路】同一律的形式是：“甲是甲”，或“如果甲，那么甲”。它的基本内容是，在同一思维过程中， 同一个概念或同一个思想对象， 必须保持前后一致性，

15、亦即保持确定性。 这是逻辑推理的一条重要思 维规律。运用这一规律来解题，我们把它叫同一律思路。例1 某公安人员需查清甲、乙、丙三人谁先进办公室，三人口供如下：甲：丙第二个进去，乙第三个进去。乙：甲第三个进去，丙第一个进去。丙：甲第一个进去，乙第三个进去。三人口供每人仅对一半，究竟谁第一个进办公室？分析（用同一律思路推理）；这一类问题具有非此即彼的特点。 比如甲是否是第一个进办公室只有两种可能： 是或非。我们用 1 表示“是”， 0 表示“非”，则可把口供列表处理。（1）若甲第一，则依据丙的口供见左表，这个表与甲的口供仅对一半相矛盾；（2）若甲非第一，则依据丙的口供，乙第三个进去，进行列表处理如

16、右表，与“三人口供仅对 一半”相符。从而可以判定，丙最先进入办公室。这个问题也可以不列表而用同一律推理。甲的话第一句对，第二句错，则丙第二，乙不是第三，又不是第二，自然乙第一，甲第二，这个 结论与丙说的话“半对半错”不符。因此，有甲的第一句错，第二句对。即乙第三个进去，丙不是第 二个，自然是第一个。这个结论与乙的话“半对半错”相符：甲不是第三，丙是第一。并且这个结论 与丙的话“半对半错”也相符：甲不是第一，乙是第三。在整个思维过程中，我们对三人的话“半对半错”进行了一一验证，直到都符合题目给定的条件 为止。例2 从前一个国家里住着两种居民，一个叫宝宝族，他们永远说真话；另一个叫毛毛族，他们永远说假话。一个外地人来到这个国家， 碰见三位居民， 他问第一个人：“请问你是哪个民族的人？” “匹兹乌图。”那个人回答。外地人听不懂，就问其他两个人：“他说的是什么意思？” 第二个人回答：“他说他是宝宝族的。”第三个人回答：“他说他是毛毛族的。” 请问，第一个人说的话是什么意思？第二个人和第三个人各属于哪个民族？ 分析（用同一律思路思考）：如果第一个人是宝宝族的， 他说真话， 那么他说的是“我