2019高考全国3卷理科数学试题及答案

1、(x,y) yx ，则 AI B 中元素的个数为（）A3答案】 B解析】 A 表示圆 x2B22y2 1 上所有点的集合，C1D0B 表示直线 y x 上所有点集合，故 AI B 表示两直线与圆的交点， 故选B.由图可知交点个数为2，即 AI B 元素的个数为 2，2019年普通高等学校招生全国统一考试（全国）理科数学（试题及答案解析）、选择题：（本题共 12小题，每小题 5分，共 60分）221已知集合 A (x,y) x2 y2 1 ， B2设复数 z满足 （1 i）z2i ，则 z （）A1B 2C 2D222【答案】C【解析】由题， z 2i1i2i 1 i 2i 2i 1 ，则 z1

2、2 122，故选 C1 i 1 i 23某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2014 年 1 月至2016年 12 月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制了下面的折线图根据该折线图，下列结论错误的是A月接待游客量逐月增加B年接待游客量逐年增加C各年的月接待游客量高峰期大致在7,8 月份D各年 1 月至 6 月的月接待游客量相对 7 月至 12 月，波动性更小，变化比较平稳 答案】 A解析】由题图可知， 2014年8月到 9月的月接待游客量在减少，则 A选项错误，故选 A.4 (xA 【答案】 【解析】5 3 3y)(2x y)5 的展开式中 x3y3 的系数为B

3、)C40D80C 由二项式定理可得，原式展开中含 y C35 2xx3y3的项为x C5222x y40x3y3，则 x3 y3的系数为 40，故选 C.5已知双曲线2C：ax22 y1 b2 10)的一条渐近线方程为x，且与椭圆12A2 y 32x1有公共焦点则C 的方程为2y2 110B2y2 152C x52y2 142x D42y2 13答案】解析】双曲线的一条渐近线方程为 y 5 x，则 b2a522 又 椭圆 x122y3 1与双曲线有公共焦点，易知3，则22b2 c29由 解得 a2,b 5 ，则双曲线 C 的方程为5 1，故选 B.6设函数 f(x) cos(x3 ) ，则下列

4、结论错误是3Af (x) 的一个周期为 2By f(x) 图像关于直线 x8对称3Cf(x ) 的一个零点为Df (x) 在( ,) 单调递减2答案】解析】函数 f xcos x3的图象可由cosx 向左平移 个单位得到，3故选D.54327执行右图程序框图，为使输出 S 的值小于 91，则输入的正整数 最小值为()ABCN的D答案】 D解析】程序运行过程如下表所示：SMt初始状态0 1001第1次循环结束100 102第2次循环结束90 13此时 S 90 91 首次满足条件，程序需在t 3时跳出循环，即 N 2 为满足条件的最小值，故选 D.8已知圆柱的高为 1，它的两个底面的圆周在直径为

5、 2的同一个球的球面上，则该圆柱的体 积为（）3 A B C D4 4答案】 B解析】由题可知球心在圆柱体中心，圆柱体上下底面圆半径 r 12 1 3 ， 22则圆柱体体积 V r 2h 3，故选 B.49等差数列 为（） A【答案】【解析】24Aan an 则 a32 又 a1 又 d的首项为 1，公差不为 0若 a2， a3， a6成等比数列，则B 3C3为等差数列，且 a2,a3,a6 成等比数列，设公差为 d. a2 a6 ，即 a1 2d1，代入上式可得0，2a1d 2 2da15dan 前 6项的和D8 S6 6a1则d6 5d265224 ，故选 A.210已知椭圆 C: x2a

6、2by2 1b 0 ）的左、右顶点分别为 A1 ， A2 ，且以线段 A1 A2为直径的圆与直线 bx ay 2ab 0 相切，则 C6 B 3 33 A 以 A1A2为直径为圆与直线 bx ay 2ab 0 相切，圆心到直线距离 d等于半径， 2ab a2 b2 aA答案】解析】d的离心率为（）C 21D3又 a 0,b 0 ，则上式可化简为 a2 3b22 2 2 2 2 2 c 2 b2 a2 c2 ，可得 a2 3 a2 c2 ，即 2a3 e c 6，故选 Aa311已知函数 f(x)2x 2xx a(e1 e x 1) 有唯一零点，则a ()111ABC32【答案】C【解析】由条件

7、， f(x) x22xx 1 x 1 a(ex 1 e x 1) ，得：f (2 x) (2x)22(22 x 1 (2 x) 1 x) a(e e )x2 4x441 x x12x a(e e )2x1x1x2xa(ee x 1) f(2 x)f (x) ，即x1为 f (x) 的对称轴，由题意， f (x) 有唯一零点，D1 f(x) 的零点只能为 x 1 ，即 f(1) 12 2 1 a(e1 1 e 1 1) 0 ，1解得 a 1 212在矩形 ABCD中， AB 1， AD 2，动点 P在以点 C 为圆心且与 BD相切圆上若 uuur uuuruuurAP ABAD ，则的最大值为(

8、)A3B 2 2C 5D 2【答案】 A 【解析】由题意，画出右图 设BD与eC切于点 E，连接 CE 以 A 为原点， AD 为 x 轴正半轴， AB为 y轴正半轴建立直角坐标系， 则 C 点坐标为 (2,1) |CD| 1，|BC | 2 BD 12 225 BD 切 eC 于点 E CE BD CE 是 RtBCD 中斜边 BD上的高 |EC|2S BCD|BD|12 2 |BC | |CD | 2 |BD | 52552 即e C的半径为5 5 P在eC上2 2 4(x 2)2 (y 1)2 P 点的轨迹方程为5 设 P点坐标 (x0, y0 ) ，可以设出 P 点坐标满足参数方程如下

9、：x0 2y0 1uuur而 APuuur AP2 5cos52 5sin5uuur (x0,y0)， AB uuur AB(0,1) ，uuurAD (2,0) uuurAD(0,1)1x02两式相加得：5cos5(2,0) (2 , )1 2 5sin5y0)525)5当且仅当2kk Z 时，取得最大值3二、填空题：（本题共 4小题，每小题 5分，共 20分）y 0,y 20,则 z y 0,13若 x， y满足约束条件 x3x4y 的最小值为答案】 1解析】由题，画出可行域如图：目标函数为z 3x 4y ，则直线 yz 纵截距越大，4z 值越小由图可知：14设等比数列 an【答案】 8【

10、解析】 Q41a1q13，an 为等比数列，设公比为1 3，a2a1a3a1显然得1得1，a13，a10，a1q2a1q2，代入 式可得 a1 1 ，15设函数f (x)x1,x 0,f (x)f(x1x则满足)1的 x的取值范围是 _2x,x 0,2【答案】1,4x1,x011【解析】 Qfx， f xfx1，即 f x 1 f x2x,x 0223238由图象变换可画出 y3a4 a1q 11x 12 与 y 1 f x 的图象如下：由图可知，满足x12)ABC 的直角边 AC 所在直线与16 a ， b 为空间中两条互相垂直的直线，等腰直角三角形a ， b 都垂直，斜边 AB 以直线 A

11、C 为旋转轴旋转，有下列结论： 当直线 AB与a成60角时， AB与b成30 角； 当直线 AB与a成60角时， AB与b成60 角； 直线 AB与 a所成角的最小值为 45 ； 直线 AB 与 a 所成角的最大值为 60 其中正确的是 (填写所有正确结论的编号)【答案】 【解析】由题意知， a、 b、AC 三条直线两两相互垂直，画出图 形如图 不妨设图中所示正方体边长为 1， 故|AC| 1， AB 2 ， 斜边 AB以直线 AC 为旋转轴旋转，则 A点保持不变，B 点的运动轨迹是以 C 为圆心， 1 为半径的圆 uuur uuur以 C 为坐标原点，以 CD 为 x 轴正方向， CB 为

12、y 轴正方向， CuuAur 为 z 轴正方向建立空间直角坐标系 则 D(1,0,0) ， A(0,0,1) ，直线 a的方向单位向量 ra (0,1,0) ，|ra| 1B 点起始坐标为 (0,1,0) 直线 b 的方向单位向量设 B 点在运动过程中的坐标 B (cos ,sin ,0) ， 其中 为 BC与CD 的夹角，0,2)uuur uuur那么 AB '在运动过程中的向量 AB ( cos , sin ,1) ， | AB | 2 设 uAuBur 与 ar 所成夹角为0, ，则 cos( cos , sinruuuraAB,1) (0,1,0) 22 |sin | 0, 2

13、2 故 4,2 ，所以 正确， 错误 设 uAuBur 与 br 所成夹角为0, 2uuur r AB bcosr uuurb ABcos ,sin ,1) (1,0,0) r uuur b AB2 |cos |2sin2cos2cos 2 12322221， cossin|cos| 2 221 cos|cos|当 uAuBur 与 a 夹角为 60 时，即322 0, 2 uuur r = ，此时 AB 与 b 夹角为 60 3正确， 错误 三、解答题：（共 70分第 17-20题为必考题，每个试题考生都须作答第22， 23题为选考题，考生据要求作答）（一）必考题：共 60分17（ 12分）

14、ABC的内角 A，B，C的对边分别为 a，b，c，已知 sin A 3cosA 0，a 2 7，b 2 （1）求 c；（2）设 D为 BC 边上一点，且ADAC，求 ABD 的面积解析】(1) 由 sin A3cosA0 得 2sin A0，3即 A kk Z ，又A0,，32.A3，得 A3.由余弦定理22a2 b22c 2bccosA .又a 2 7,b 2,cos A 1 代入并整理2得 c 1 2 25 ，故 c 4.2) AC 2,BC 2 7, AB 4，2 2 2 由余弦定理 cosC a b c 2 7 .2ab 7 AC AD ，即 ACD 为直角三角形， 则 AC CD c

15、osC ，得 CD 7. 由勾股定理 AD CD AC 3.又A22 ，则 DAB ，33 2 6SABD12 AD AB sin 6 3.18（ 12分）某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理， 以每瓶 2元的价格当天全部处理完 根据往年销售经验， 每天需求量与当天最高气温（单位：）有关如最高气温不低于25，需求量为 500瓶；如果最高气温位于区间 20 ，25 ，需求量为 300 瓶；如最高气温低于 20，需求量为 200 瓶， 为了确定六月份的订购计划， 统计了前三年六月份各天的最高气温数据， 得下面的频数 分布表：解析】 易知需

16、求量 x 可取 200,300,500PX2002 16130 35PX30036230 35PX50025 74230 35.则分布列为：X200300500122P555最高气温10，1515，2020，2525，3030 ，3535，40天数216362574以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率（ 1）求六月份这种酸奶一天的需求量 X （单位：瓶）的分布列；（2）设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y （单位：元）当六月份这种酸奶一天的进货量 n （单位：瓶）为多少时， Y 的数学期望达到最大值？当 n 200时： Yn642n ，此时 Ymax400 ，当n 200 时取

17、到当 200 n 300时：Y42n1200 2 n2002558800 2n 6n8005n55此时 Ymax 520 ，当n300 时取到 .当300 n500 时，1Y 200 2 n2002 2 300 2n 3002 2 n 25553200 2n5 此时 Y 520.当n 500时，易知 Y一定小于 的情况 . 综上所述：当 n 300时， Y 取到最大值为 520.19（12分）如图，四面体 ABCD 中，ABC 形 ? ABD ?CBD ， AB= BD（ 1）证明：平面 ACD 平面 ABC ；（2）过 AC 的平面交 BD 于点 E，若平面 AEC 把四面体 ABCD 分成

18、体积相等的两部分求二 面角 D- AE - C 的余弦值 BOAC ABBCABBCBDBD ABDCBD .ABD DBC ADCD ,即 ACD 为等腰直角三角形为直角又 O为底边 AC 中点 DOAC令 ABa ，则 AB ACBC BD易得：OD 2a ， OB3aa22 OD2 2 22 OB 2BD 2由勾股定理的逆定理可得DOB2即 ODOBODACODOBAC IOB O OD 平面ABCAC平面 ABCOB平面 ABCa解析】 取AC中点为 O，连接 BO，DO ； Q ABC 为等边三角形B是正 三角形 ， ACD 是直 角三 角又 OD 平面 ADC 由面面垂直的判定定理

19、可得 平面 ADC 由题意可知VD ACE VB ACE 即B,D 到平面 ACE的距离相等 即E为 BD中点 以O为原点， uOuAur 为x轴正方向， 向， OuuDur 为 z 轴正方向，设 ACuuurOBa，为 y 轴正方 建立空间直平面ABC角坐标系，22 2 4 4uuur a 3 a uuura a uuur a易得： AE , a, ， ADa,0, a ， OA a,0,02 4 42 2 2uruur设平面 AED的法向量为 n1 ，平面AEC的法向量为 n2 ，9aa3auuur urAEn10ur则 uuuruur，解得 n1ADn10uuur uurAE n20uu

20、ruuur uur，解得 n2OA n20若二面角DAE C 为3,1, 30,1, 3，易知 为锐角，77220（ 12分）已知抛物线 C:y2= 2x ，过点（ 2，0）的直线 l交C于A，B两点，圆 M是以 线段 AB 为直径的圆（ 1）证明：坐标原点 O 在圆 M 上； （2）设圆 M过点P （4， - 2 ），求直线 l与圆 M的方程解析】 显然，当直线斜率为 0 时，直线与抛物线交于一点，不符合题意联立：y2 2 x得yx my 22my4 0 ，4m216恒大于 0 ，y1 y22m ， y1y2uur uuurOA OBx1x2 y1 y2(my1 2)( my22)(m2 1

21、)y1 y22m(y1y2 ) 424( m2 1)2m(2m)40uuruuur OAOB ，即 O 在圆M 上设l:x my 2， A( x1, y1) ， B( x2 , y2 ) ，若圆 M 过点 P ，则 AP BP 04(x1 4)(x2 4) (y1 2)( y2 2) 0(my1 2)( my2 2)(m2 1)y1 y2(y1 2)( y22)(2m2)(y1y2)化简得 2m2m10解得81或12当y01 m 时， l : 2x yy1 y220圆心为 Q(x0,y0) ，半径|OQ|则圆11， x0y02229，4，92:(x 9)2 ( y412)28516当 m 1时

22、， l :x y 2 0圆心为 Q(x0,y0) ， y0 y1 y2 1 ， x0 y0 2 3 ，半径 r |OQ | 32 1222则圆 M : (x 3)2 (y 1)2 1021( 12分)已知函数 f (x) x 1 alnx 1)若 f (x) 0，求 a的值；2)设 m为整数，且对于任意正整数n， (11 1 12)(1+ 22 )鬃?(1 2n)< m，求m的最小值 解析】 f(x) x 1 alnx， x 0x a ，且 f (1) 0x0，f则f (x) 1 a x 当 a 0 时， f 不满足题意； 当 a 0 时， 当0 x a 时，x在 0，上单调增， 所以

23、01 时， f x 0 ，当 x a 时，f ( x) 0 ，则 f (x) 在 (a,) 上单调递增若 a1，f (x) 在 (a,1) 上单调递增 当x(a,1)时 f (x)f (1)0 矛盾 若 a1，f (x) 在 (1,a) 上单调递减 当x(1,a)时 f (x)f (1)0 矛盾 若 a1，f ( x) 在 (0,1) 上单调递减，在 (1,) 上单调递增 f (x) f (1) 0 满则 f (x)在 (0,a) 上单调递减；(x) 0 ，足题意 综上所述 a 当 a 1时 f (x) 则有 ln(x 1)x 当且仅当 x1 ln(1 2k )1x 1 lnx0即lnxx 10 时等号成立方面： ln(1即 (1 12)(112k ，112)122).(1kN1)(12112)(112)(1另一方面：(1当 n 3 时， (1m N ， (11ln(1 2 )212n ) e12 ).(122122 ).(112 ).(122. ln(11n)2n121n)12n)(1m 的最小值为 322 选修 4-4：坐标系与参数方程(10分)在