2020届黑龙江省哈尔滨九中高三第四次模拟数学(理科)试卷(有答案)

1、哈尔滨市第九中学下学期高三学年第四次模拟考试数学学科试卷（理科）（考试时间：120分钟满分：150分共2页）第I卷（选择题共60分）、选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）11.复数丄（i是虚数单位）的虚部是1 iA. 1 B. i C. 1D.2 i22.设集合Ax| lg 102xA.3,1B.1,350 ，集合Bx1x| 22，则ABC.3,1D.1,3平均数也相同，则图中的A. - B. 1 C. 1 D.93xy19.已知实数x, y满足xy400,若目标函数zyy的最大值与最小值的差为m2,则实数m勺值为A. 4B.2 C.3 D

2、.23. x 2 的展开式中，x的系数为xA.40B.-40C.80D.-804.命题“若2 x4，则x2且x2”的否命题为A.若 x24 ,则x2且x2B.若 x4，贝U x2且xC.若 x24 ,则x2或x2D.若 x24，贝U x2或x5.抛物线y4a x2a0的焦点坐标是A.0, aB.a,01C.( 0,)1D.(, 0)16a16a6.执行如图所示的程序框图，输出的 k值为（）A. 7B. 9C. 3D. 11 7.已知甲，乙两组数据如茎叶图所示，若它们的中位数相同8.设a, b是互不垂直的两条异面直线，则下列命题成立的是A.存在唯一平面 ，使得a，且b / B.在唯一直线I，使得

3、I / a，且I b10. 一个空间几何体的三视图如右图所示，则该几何体的外接 球的表面积为C.存在唯一直线 I ,使得I a ,且I b D.A. 24C. 4B. 6D. 211.为得到函数 y右平移n个单位长度sin x 的图象，可将函数3y sin x的图象向左平移n|的最小值为m个单位长度，或向A.B. 2 C.334 D. 53312.已知函数 fxax log a x,要使f x恒有两个零点，则a的取值范围是1A.(1,ee) B. 1, eC.1, e2D.1(ee,e2)第n卷（非选择题共90分）m , n均为正数），则| m二、填空题（本大题共4小题，每小题5分）13.已知

4、向量是两个不共线的向量，若u = 2斫-珀与b之+正 共线，则14. 由曲线y=x2,y= JX围成的封闭图形的面积为 .15. 在小语种提前招生考试中，某学校获得5个推荐名额，其中俄语 2个，日语2个，西班牙语1m个，日语和俄语都要求有男生参加学校通过选拔定下3男2女共5名推荐对象，则不同的推比值乙甲n荐方法共有“£1 （ ）" 1 ） COS " “ 4- 1（/? ='）16. 已知数列a n的通项公式为 ”1，其前n项和为 S,贝U S60三、解答题（共70分）17. （本题满分12分）在ABC中，角 ABC的对边分别为 a, b, c ,点（a,

5、 b）在直线2x cos B y cos C c cos B上.求证：（1） 求cos B的值；2J3uuu uur若a,b 2,求角A的大小及向量BC在BA方向上的投影.218.（本题满分12分）在某地区举行的一次数学竞赛中，随机抽取了100名考生的成绩（单位：分），并把所得数据列成了如下表所示的频数分布表：40, SO)50, «0)伽70)70, 80)»0, 90)90, 1005132S31176（1）求抽取的样本平均数 x和样本方差S2 （同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（2）已知这次考试共有2000名考生参加，如果近似地认为这次成绩 z服从正态分布

6、N （ , 2）（其中 近似为样本平均数x ,2近似为样本方差 S2）,且规定827 .分是复试线，那么在这 2000名考生中，能进入复试的有多少人？（附：16112.7.若zN（ , 2），贝y<z< u + cr 1 = 0.6826 P(li - 2(72 tr) = 0,9544 ,结果取整数部分)(3)已知样本中成绩在90,100中的6名考生中，有4名男生，2名女生，现从中选 3人进行回访, 记选出的男生人数为 ，求的分布列与期望E()19.(本题满分12分)如图，四棱锥 P ABC D中，底面 ABC 是直角梯形，AD 侧面PAB，PAB是等边三角形,DA AB丄AD

7、E是线段AB中点。2(1) 求证：PE CD ；(2) 求三棱锥 P-CDE的表面积。20.(本题满分12分)已知平面上的动点R x, y)及两定点A 2,0),D AB2， BCB(2,0),直900 , AD / BC ,线PA PB斜率分别为k1 ,k2且k1k2-，设动点P的轨迹为曲线C.4(1) 求曲线C的方程；(2) 过点T (4,0)的直线与曲线C交于M , N两点，过点M乍M Q x轴，交曲线C于点Q .求证：直线NQi定点，并求出定点坐标。21.(本题满分12分)a的取值范围；(1)求函数y =f(x)的零点个数;1(2)若函数y =g(x)在(0,)内有极值，求实数e(3)

8、 对任意的7-_,求证:请考生在第22,23,24 题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分，做答时请在答题卡上 填涂题号对应标记。22. (本题满分10分)选修4 1:几何证明选讲如图，已知圆 O是 ABC的外接圆， AB BC , AD是BC边上的高, AE是圆O的直径过点 C作圆O的切线交 BA的延长线于点F .(1)求证：AC BC AD AE ;若AF 2, CF 2 . 2，求AE的长.C的极坐标方程为23. （本题满分10分）选修4 4:极坐标系与参数方程在平面直角坐标系中xOy中，直线I的参数方 （t为参数），若以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线(

9、1 cos 2) 8cos（1）求曲线C的直角坐标方程;（2）若直线I与曲线C相切，求直线I与坐标轴围成的三角形的面积24.（本题满分10分）选修4 5:不等式选讲已知a10, b1 10, ab1,求证(1) 18;ab ab(2)(11 1）（1 匚）9ab九中四模数学答案（理科）一.1-12 CCADCD1二.13-16DABBBA124 120317.(1) a,b2sinAcosB sin BcosC sinCcosB,在直线2xcosB ycosC ccosB上,所以2acosB bcosC ccosB ,由正弦定理得1所以 2sin AcosB sin BcosC sinCcos

10、B sin A 因为 sin A 0所以 cosB6 分2Q i1 Q彳B 60 ,因为a ,b 2,由正弦定理得si nA -, A 3032.bc在Ba方向上的投影为 bccosB 312分18.£解答】解：（1）由所得数据列成的频数分布表，得：样本平均嫌* 0. OE+65 XO. 18+6E 0. 29+7EX 0. 26+SE X0. 17+95 x C, 0370, 牌本方塞护二(-25) 2X0. 05+ t-15) :X0. 18+ (-5)ixo. 2&+5:xo.17-25:xo. 00=161,(2)( 1) QiN ( TOP 1G1),IP (z&g

11、t;82-7) =1°'?S = 0. 15E?,19.(又在这2DDD名考主H3，能啡入复试的有主2000 X 0. lB87317zk.裂由已知谒勺的可能职信为h乙“6123F153515.' I的分布列为:1 ） 证明：因为 AD丄侧面 PAB , PE? 平面 PAB , 所以 AD丄 PE .因为 PAB是等边三角形，E是线段 AB的中点，所以 PE丄AB.4分E 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系PE? 平面因为ADA AB=A 所以 PE丄平面 ABCD而CD?平面 ABCD所以PE丄CD （2） 解：以?则£(04卫人匚(一 -1,0)*0

12、(2,】&)円0®* 厲)7S=(2,i ,o),7?=(o»o./3),7? = 0.-1, -V5)1设ff = (为平面PDE的法向量，由，即1F 2x + V = 0 辰4，可得«(L-2r0)?设PC与平面PDE所成的角为B,sntf 土 la»(£r Jt) I =揮1irciMi所以,PC与平面PDE所成的角的正弦值为*。12分20.y(1)由题知，x 2,且k1, k2-,则 k1 k2yy3x 2x 2x 2x 24整理得曲线.4分02C方程为x24证明：设NQ与x轴交于D(t,O),则直线NQ的方程为记 N(xi,

13、yi) , Q(x2, y2),由对称性知 M (x?, y?),由3m2 4 y2 6mty 3t2 12 0所以48 3m2 4yiyi所以所以x my t m3x2 4y2x my t t2012消y23m23t2126mt4环由M , N, S三点共线知kNS kMS ,即y2 q 23my1 my2 t2m 3t21223m24y1x14y2X24y2 my1 t 40 整理得 2my1y2 t 46mt 40 即 24m t 1y1 y200,t1所以直线NQ过定点D 1,0.12 分2L 解，(I ) 0/(0)数F =的-个笨点，/(x) = jc(x2-1-可以假设風巧=*1

14、一，所以卅(刃对fqo恒咸立eTiI 1 / -Jr二iD 出£三庄g/(x)<0,g(x)那渓用迪/ g/(x)>0片讣 g(x) 丁 ； * ：一 I" 0 ' - ：.'!厂 g(x2)即 g(t) g(s) e 2e22. (1)AB- AC= AD- AEAC- BC= AD- AEO的切线，所以 FC = FA- FB又 AF= 2, CF= 2 ：2,所以 BF= 4, AB= BF- AF= 2. 因为/ ACF=Z FBC 又/ CFB=Z AFC 所以 AFC CFBAF AC 作 AF- BC ,/'2BC 得 AC= 2 , cos / ACD=计./ AC*4 = sin / AEB4所以FC所以sin所以AL AB 40A曰 sin Z AEE=7.10分23.2(1)由(1 cos2 ) 8cos 得 sin 4 cos 得直角坐标方程为 y2 4xt J3m (t为参数)3t 2m2i1)t 4m 4 3m3(2)y3t24(、3m2代入y 4x得则直线与x轴交点为1一 ,0与y轴交点 03，连接BE由题 意知 ABE为直角三角形.因为/ ABE=Z ADC= 90 °，/ AEB=