2014年高教杯全国大学生数学建模竞赛A题嫦娥三号软着陆轨道设计与控制策略

1、2 0 1 4 高 教 社 杯 全 国 大 学 生 数 学 建 模 竞 赛承诺书我们仔细阅读了 全国大学生数学建模竞赛章程 和全国大学生数学建模竞赛参赛规则 （以 下简称为“竞赛章程和参赛规则”，可从全国大学生数学建模竞赛网站下载）。我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等） 与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛章程和参赛规则的，如果引用别人的成果或其他公开的 资料（包括网上查到的资料） ，必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明 确列出。我们郑重承诺，严格遵守竞赛章程和参赛规则，

2、以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛章 程和参赛规则的行为，我们将受到严肃处理。我们授权全国大学生数学建模竞赛组委会，可将我们的论文以任何形式进行公开展示（包括进 行网上公示，在书籍、期刊和其他媒体进行正式或非正式发表等）。我们参赛选择的题号是（从 A/B/C/D 中选择一项填写）： A我 们的报名参赛队号为（ 8 位数字组成的编号）： 所属学校（请填写完整的全名）：许昌学院 参赛队员 （打印并签名 ）：1. 张彦平2. 李晓伟3. 吴海峰指导教师或指导教师组负责人 （打印并签名 ）：（论文纸质版与电子版中的以上信息必须一致， 只是电子版中无需签名。 以上内容请仔细核对， 提交后将不再允许做

3、任何修改。如填写错误，论文可能被取消评奖资格。） 日期： 2014年 9月15日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：2014 高教社杯全国大学生数学建模竞赛编号专用页赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：赛区评阅记录（可供赛区评阅时使用）：评阅人评分备注全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：A题嫦娥三号软着陆轨道设计与控制策略摘要对于问题一：由于嫦娥三号从近月点下落到着陆点的经度偏移很小，以月球庞大的 体积来说几乎可以忽略不计， 而且资料中也没有给出嫦娥三号下落过程中的经度偏移数 据，所以我们可以假设嫦娥三号的近月点在月球上的投影

4、坐标与着陆点在同一条经线 上。根据嫦娥三号的质量和月球的引力等我们可以使用开普勒第二定律和能量守恒定律 计算出嫦娥三号近月点远月点的速度分别为： V1=*103 (m/s) V2 =* 103 (m/s) 方向分别为： 近月点的方向相对于。 然后可以根据距离与纬度的换算公式计算出嫦娥三号近月点和远 月点的位置为：近月点： , 海拔 15000m,远月点：，海拔 100000m。然后我们根据附 件中给出的嫦娥三号的具体参数使用万有引力定律。 对于问题二：因为从高空一点向地面某一区域抛投物体有很多条轨迹，所以我们先计算 出着陆轨道的六个阶段的最优控制策略， 然后通过最优控制策略计算出一条最优着陆轨

5、 道。由于问题要求尽量减少软着陆过程的燃料消耗，所以我们建立基于燃料节省的最优 控制策略。首先，建立动态优化模型，然后利用 lingo 对模型进行规划，通过 lingo 计 算出六个阶段的最佳用时。然后根据计算所得的数据利用指数函数进行拟合，使用 MATLAB画出着陆轨道各个方面的平面轨迹， 这些平面轨迹就是着陆轨道的各方面的分解 参数，综合起来就是着陆轨道的轨迹。对于问题三：由于引起误差的原因是多方面的，所以在进行误差分析时要全面考虑 问题。我们通过敏感性分析得出这些误差对制导过程的影响，其中主要的误差影响因素 是可变推动力，悬停时间，和避障阶段的水平运动。比冲、着陆所用总时间等不可测因 素

6、，在飞行过程中参数会由于一些因素的影响而产生一定的偏差，我们采用单因素敏感 分析法，通过变动某个不可测因素得到新的着陆轨迹，与原轨迹进行比较。从仿真曲线 图可以看出，优化轨道变化平缓，这些系统偏差对显式制导律的着陆效果并没有实质上 的影响，都满足终端约束条件。关键字： 软着陆轨道动态优化模型误差分析敏感性分析一问题重述问题背景描述：嫦娥三号于 2013年12月2日1时30分成功发射， 12月6日抵达月球轨道。嫦娥 三号在着陆准备轨道上的运行质量为， 其安装在下部的主减速发动机能够产生 1500N到 7500N的可调节推力，其比冲（即单位质量的推进剂产生的推力）为2940m/s，可以满足调整速度

7、的控制要求。在四周安装有姿态调整发动机，在给定主减速发动机的推力方 向后，能够自动通过多个发动机的脉冲组合实现各种姿态的调整控制。嫦娥三号的预定 着陆点为，海拔为 -2641m。嫦娥三号在高速飞行的情况下，要保证准确地在月球预定区域内实现软着陆，关键 问题是着陆轨道与控制策略的设计。其着陆轨道设计的基本要求：着陆准备轨道为近月 点 15km，远月点 100km的椭圆形轨道； 着陆轨道为从近月点至着陆点， 其软着陆过程共 分为 6 个阶段，需要满足每个阶段在关键点所处的状态；并且尽量减少软着陆过程的燃 料消耗。嫦娥三号着陆地点选在较为平坦的虹湾区。但由于月球地形的不确定性，最终“落 月”地点的选

8、择仍存在一定难度。据悉，嫦娥三号将在近月点 15 公里处以抛物线下降， 相对速度从每秒公里逐渐降为零。时整个过程大概需要十几分钟的间。探测器系统副总 指挥谭梅将其称为“黑色 750 秒”。问题研究：（1）确定着陆准备轨道近月点和远月点的位置（以三维坐标表示），以及嫦娥三号相 应速度的大小与方向。（2）确定嫦娥三号的着陆轨道和在 6 个阶段的最优控制策略。（3）对我们设计的着陆轨道和控制策略做相应的误差分析和敏感性分析。二问题分析对于问题（ 1）： 要分两步来解决，第一步计算出近月点和远月点的位置，第二步计算出近月点和远 月点相应的速度和方向。通过分析，我们知道要求近月点和远月点的位置需要先求出

9、近月点的速度，因此我 们要先算出近月点和远月点相应的速度和方向。对此，需要考虑很多因素，比如太阳的 引力摄动，地球的引力摄动，月球的引力摄动等，不过这些因素对方向和速度的影响很 小几乎可以忽略不计，所以可以使用开普勒定律和能量守恒定律建立模型求解速度。通 过速度求位移进而求出速度的方向。第一步要求我们在月球赤道经线黄道经线，卫星轨 道的升交点和星下线未知的情况下求解， 通过查资料我们发现嫦娥三号在下落过程中经 度的偏移很小，近月点与着陆点几乎处在同一条经线上，所以我们假设近月点和着陆点 处在同一条经线上。 然后就可以通过嫦娥三号在着月点坐标推算出嫦娥三号在着陆准备 轨道的近月点和远月点位置。由

10、于位置可以用三维坐标（即经纬坐标加海拔）来表示， 所以我们可以通过计算近月点在月球上的投影坐标和资料中给出的着陆轨迹来推算近 月点的位置，近月点的位置计算出来以后远月点的位置也就相应的可以得出。对于问题（ 2）： 同样分为两步来计算，第一步确定嫦娥三号的着陆轨道，第二步确定嫦娥三号的着 陆轨道六个阶段的最优控制策略。嫦娥三号的着陆轨道有很大的不确定性， 在下落过程中也不是一条严格意义上的抛 物线，所以想要确定这样的一条线路有很大难度，对于现在的我们来说几乎是不可能完 成的工作。所以我们先计算资料中叙述比较详细的六个阶段的最优控制策略然后根据策 略计算出着陆轨道。由于软着陆分为六个阶段，每个阶段

11、主推动器的推力不是固定的， 所以在计算过程中要考虑燃料的消耗和主推动器的推力。 在下落过程中嫦娥三号在不停 的调整姿势，所以它的受力方向也是在不断改变的，这些不确定因素加大了我们计算最 优策略的难度。为了简化计算过程我们需要通过假设消除一些不稳定因素。得到相对理 想的状态后，我们就根据动力学原理建立飞行动力学模型，然后通过 lingo 可以计算出 最优控制策略的方案。因为快速调整阶段之后的三个阶段处于垂直下降状态，所以它们 的轨迹可以假定为一条直线，着陆点的坐标已给出这三个阶段的高度也已经给出，所以 这三个阶段的轨迹无需计算。 而着陆准备轨道阶段的轨迹可以由近月点和远月点的位置 确定，这个问题

12、在第一问时已经解决，所以着陆轨道的轨迹只需要考虑主减速阶段和快 速调整阶段的轨迹。可以考虑用着陆轨道的水平夹角，水平位移、垂直位移与时间的关 系等来确定着陆轨道的轨迹。对于问题（ 3）： 由于资料中涉及到的数据极少，而且没有真值作为参考，所以相对误差和绝对误差 的误差计算方法在本题并不适用。所以，我们试图通过对一些不确定因素和计算过程中 忽略和假设的因素进行综合比较分析出误差的形成原因及后果。 通过单因素敏感分析建 立敏感性分析模型，然后计算出误差对制导过程的影响程度。三模型的假设假设 1：假设主减速和快速调整阶段均以抛物线状态下降假设 2：假设快速调整后水平速度为 0m/s，垂直速度为 57

13、m/s假设 3：假设嫦娥三号下落点与近月点处于同一经度假设 4：假设在软着陆过程的各个阶段嫦娥三号所受推力 fthrust 大小分别保持不变假设 5：假设在准备着陆时探测器本身加上推进剂全部质量为 3780kg，且在主减速阶段 f thrust 7500 N (资料显示)假设 6：假设嫦娥三号着陆的过程中不会经过陨石带四符号说明V1 ：近月点速度的大小V2 ：远月点的速度大小V3 ：近月点水平方向初速度V4：快速调整阶段的末速度X1 ：着陆轨道主减速和快速调整两个阶段水平方向的位移X2 ：着陆轨道主减速和快速调整两个阶段垂直方向的位移r1 ：近月点与月心的距离r2 ：远月点与月心的距离M ：月

14、球的质量G ：万有引力常量m ：嫦娥三号的质量 a1：着陆轨道主减速和快速调整两阶段水平方向加速度 a2 ：着陆轨道垂直方向加速度t ：着陆轨道主减速和快速调整两个阶段的用时 ：偏离近月点与月心连线的垂线的方向的度数 ve：以米/ 秒为单位的比冲；Q ：单位时间燃料消耗的公斤数。fi ：第 i 个阶段所受的推力( i=1,2,3,4,5 )mi ：第 i 个阶段末探测器本身加上推进剂质量和( i=1,2,3,4,5 )vi ：第 i 个阶段末嫦娥三号竖直方向的速度( i=1,2,3,4,5 ) hi ：第 i 个阶段竖直方向的距离( i=1,2,3,4,5 ) ti ：第 i 个阶段所经历的时

15、间( i=1,2,3,4,5 ) fthrust ：发动机的推力，单位是牛顿；五模型的建立和求解问题一：名词释义：开普勒第二定律：开普勒行星运动第二定律，也称面积定律，指的是太阳系中太阳和运动中的行星的连线(矢径)在相等的时间内扫过相等的面积。机械能守恒：在只有 重力或系统内弹力做功 的物体系统内 （或者不受其他 外力的作 用下），物体系统的 动能和势能（包括重力势能 和弹性势能）发生相互转化，但 机械能 的总量保持不变。这个规律叫做 机械能守恒 定律。机械能指的是宏观物质所表现出的 势 能（也称为位能）与 动能 的总和，也称为力学能。模型建立和求解： 由开普勒第二定律知嫦娥三号在某个点的速率

16、大小与该点到月心的距离的乘积是个定 值即： V1r1 V2r2由机械能守恒定理得，如果以无穷远处为势能零点，那么近月点嫦娥三号的势能为MmG ，远月点嫦娥三号的势能为 MmG 。r1r2mV122近月点嫦娥三号的动能为 mV1 ，远月点嫦娥三号的动能为 mV2 所以：22用 MATLAB程( 序见附件一 )计算得： V1=* 103 (m/s) V2 =* 103 (m/s)由物理基础知识可计算出主减速和快速调整阶段水平方向位移， 进而求得近月点速 度的方向，计算过程如下：V2 a2t a22t2 X2 t=442sV3 a1tX1 a12t2 X1=我们根据资料给出的情况以月心为坐标以近月点

17、为正方向建立月心坐标系， 如图所 示：图：月心坐标系嫦娥三号在近月点的速度方向为偏离近月点切线方向度 。由于资料中给出卫星在主减速阶段之后的位置在着陆点的上方， 我们可以通过主减 速和快速调整阶段的水平方向的位移根据假设 3 计算出近月点与着陆点纬度偏差。 通过 查找资料我们确定纬度与距离的关系为同一经线上纬度一度的偏差大约为111km。综上所述，再根据预定着陆点的三维坐标坐标可以计算出近月点的三维坐标为： , 海拔 15000m,远月点三维坐标为：，海拔 100000m。近月点运行速度 V1 =* 103 （m/s） 方向，远月点运行速度 V2 =* 103 （m/s） 方向 问题二： 模型

18、的建立和求解：建立模型时在满足每个阶段在关键点所处的状态下，要尽量减少软着陆过程的燃料消耗，由公式 fthrust vem&（ve=2940）可知，要使 m tm&最小，即使 fthrust 的和最小 （建立动态优化模型，利用 lingo 进行规划）：运用 lingo 进行运算（程序见附件二），结果为： min fthrust 20323.21Ni1235F713828（N）50050073T（s）得出最优控制策略为：主减速阶段：时间：推力 7500N；快速调整阶段：时间：， 推力： 1500N；粗避障阶段：时间：，推力：；精避障阶段：时间：，推力：；缓降阶 段：时间，推力：。

19、因为快速调整阶段之后的三个阶段处于垂直下降状态 （在避障过程中可能要进行左 右移动，但移动距离相对较小。），所以它们的轨迹可以假定为一条直线，着陆点的坐 标已给出这三个阶段的高度也已经给出，所以这三个阶段的轨迹无需计算。而着陆准备 轨道阶段的轨迹可以由近月点和远月点的位置确定，这个问题在问题一已经解决，所以 着陆轨道的轨迹只需要考虑主减速阶段和快速调整阶段的轨迹。在最优控制策略下，得到第一阶段末、第二阶段末的水平方向的位移、速度，竖直 方向上的位移与速度，以及运动方向与水平方向的夹角，从而得到各个变量与时间的关 系。首先分析夹角 p 与时间 t 的关系而 p 随时间 t 的变化连续而光滑的，在

20、开始阶段 p 随时间 t 的变化量较小，而后又 急剧增加，因此考虑用指数函数来拟合。模型建立（指数函数模型）p At B （A,B均为未知常量），将三组数据带入便可求得 A=，B=1，即 p随时间t 变化的函数为： p 1.0017t 1 ，利用 matlab 做出函数曲线如下图（代码见附件三）通过 p 1.0017t 1 我们使用 MATLAB计算出着陆轨道运动方向与水平方向的夹角 p 与时间的关系如图所示：图通过 vy 1.0065t 1图通过 h 0.0399x2 15000 我们使用 MATLAB计算出着陆轨道图通过 x 1.0629x2 1166.4x图通过 vx 0.0051x2

21、5.7782 x 1700 图以上五幅图可以综合的描绘出着陆轨道相对于最优策略的轨迹。问题三：名词释义：误差分析：误差分析是指对误差在完成系统功能时，对所要求的目标的偏离产生的 原因、后果及发生在系统的哪一个阶段进行分析，以消除或把误差减少到最低限度。敏感性分析：敏感性分析是指从定量分析的角度研究有关因素发生某种变化对某一 个或一组关键指标影响程度的一种不确定分析技术。 其实质是通过逐一改变相关变量数 值的方法来解释关键指标受这些因素变动影响大小的规律。模型的建立和求解 : 误差来源主要分为测量误差和系统误差，嫦娥三号着陆的实际过程中初始位置，速度等 的误差，系统参数偏差和某些不定因素的影响都

22、会对我们设计的着陆轨道和控制策略造 成一定的影响，误差是不可能绝对避免的，下面主要对一下几点误差进行分析。1、我们在设计着陆轨道和控制策略的过程中忽略了月球自转，非球形摄动等因素的影 响，简化了问题，但对于嫦娥三号飞行速度的计算造成了误差；2、确定嫦娥三号在 6 个阶段的最优控制策略的过程中，忽略了最后的悬停时间，并将 这段时间分摊到其他的几个阶段，使得整个过程的时间计算不准确；3、在粗避障和精避障阶段未进行精确分析，未考虑嫦娥三号避障过程中水平移动及避 障时间，这会产生较大的误差；4、软着陆的避障段的自主导航以惯性导航为基础，我们在设计的过程中未考虑惯 性，将会产生惯性导航误差；5、推动力产

23、生的推力应是变推力，我们在实际的计算过程中六个着月阶段之间是 变推力，但是各个阶段之内未能运用变推力，并且在整个解题过程中，我们使用了一些 方便做题的假设，使得问题大大简化，同时也使得结果不精确；测量误差和系统参数偏差是影响软着陆制导精度的主要原因， 在存在测量误差和参 数误差的情况下实现软着陆，满足终端条件是对软着陆控制系统的一个基本要求。而比 冲以及着陆总时间都是不可测的，它们是在发射以前在地面标定给出的，但在飞行过程 中参数会由于一定的影响而产生一定的偏差， 考察这些偏差对制导过程的影响就显得十 分重要。我们通过 MATLA（B 代码见附件四）进行单因素敏感分析。图注：实线是比冲 ve为

24、 2940m/s情况下各变量的变化情况， 虚线为比冲 ve是 3000m/s 情况下各变量的变化情况图注：实线是总时间 t 为 750s情况下各变量的变化情况， 虚线为总时间 t 是 700s情况下各变量的变化情况显式制导律只和当前的状态信息，终端约束有关。从仿真曲线图可以看出，这些系 统偏差对显式制导律的着陆效果并没有实质上的影响，都满足终端约束条件。从图 1和图 2可以看出：优化轨道变化平缓，能很好地收敛到终端约束值，且精度 较高，说明探月器可以精确稳定地到达月球表面。仿真初始参数选取相对自由，因此， 结果也说明了显示制导律对于初始状态量和控制量的取值不敏感，具有很好的鲁棒性。 说明该方法具有一定的实时性。六模型的优化和评价 优化： 1. 计算结果表明：推力方向可变时比不可变时节省能量；若令推力大小也可 变，则制动期间发动机一直以最大推力工作最省能量；推力大小是否可变不涉及能量问 题，但若推力大小可变，则相当于采用了多级制动，对安全定点