(浙大第四版)概率论与数理统计知识点总结

1、第 1 章 随机事件及其概率（1）排列 组合公式Pmnm!从 m个人中挑出 n 个人进行排列的可能数（m n）!Cmnm!从 m个人中挑出 n 个人进行组合的可能数n!（m n）!（2）加法 和乘法原 理加法原理（两种方法均能完成此事） ：m+n 某件事由两种方法来完成，第一种方法可由 m 种方法完成，第二种 方法可由 n 种方法来完成，则这件事可由 m+n 种方法来完成。 乘法原理（两个步骤分别不能完成这件事） ：m n 某件事由两个步骤来完成，第一个步骤可由 m 种方法完成，第二个 步骤可由 n 种方法来完成，则这件事可由 mn 种方法来完成。（3）一些 常见排列重复排列和非重复排列（有序

2、） 对立事件（至少有一个） 顺序问题（4）随机 试验和随 机事件如果一个试验在相同条件下可以重复进行，而每次试验的可能结果 不止一个，但在进行一次试验之前却不能断言它出现哪个结果，则 称这种试验为随机试验。试验的可能结果称为随机事件。（5）基本 事件、样 本空间和 事件在一个试验下，不管事件有多少个，总可以从其中找出这样一组事 件，它具有如下性质：每进行一次试验，必须发生且只能发生这一组中的一个事件； 任何事件，都是由这一组中的部分事件组成的。这样一组事件中的每一个事件称为基本事件，用 来表示。 基本事件的全体，称为试验的样本空间，用 表示。一个事件就是由 中的部分点（基本事件 ）组成的集合。

3、通常用 大写字母 A， B， C，表示事件，它们是 的子集。为必然事件，? 为不可能事件。不可能事件（ ?）的概率为零，而概率为零的事件不一定是不可能事 件；同理，必然事件（ ）的概率为 1，而概率为 1 的事件也不一定 是必然事件。（6）事件 的关系与 运算关系：如果事件 A 的组成部分也是事件 B 的组成部分，（ A发生必有事件 B 发生）： A B如果同时有 A B，B A，则称事件 A 与事件 B 等价，或称 A 等于 B：A=B。A、 B中至少有一个发生的事件： A B，或者 A+B。属于 A而不属于 B的部分所构成的事件，称为 A与 B的差，记为 A-B，也可表示为 A-AB或者

4、AB ，它表示 A发生而 B不发生的事件。A、B同时发生： A B，或者 AB。A B=?，则表示 A与 B不可能同 时发生，称事件 A 与事件 B互不相容或者互斥。基本事件是互不 相容的。-A 称为事件 A的逆事件，或称 A的对立事件，记为 A。它表示 A不发生的事件。互斥未必对立。运算：结合率： A(BC)=(AB)C A(BC)=(AB)C分配率： (AB)C=(AC)(BC) (A B)C=(AC)(BC)AiAi德摩根率： i 1 i 1 A B A B， A B A B(7)概率 的公理化 定义设 为样本空间， A 为事件，对每一个事件 A 都有一个实数 P(A) ，若满足下列三个

5、条件：1 0 P(A) 1，2 P( ) =13 对于两两互不相容的事件 A1， A2 ，有P AiP(Ai)i1 i 1 常称为可列(完全)可加性。则称 P(A)为事件 A 的概率。(8)古典 概型11, 2 n ，12 P( 1) P( 2 ) P( n)。n 设任一事件 A ，它是由 1, 2 m组成的，则有 P(A)= ( 1)(2 )(m)= P(1)P(2)P(m)m A所包含的基本事件数 n 基本事件总数(9)几何 概型若随机试验的结果为无限不可数并且每个结果出现的可能性均匀， 同时样本空间中的每一个基本事件可以使用一个有界区域来描述， 则称此随机试验为几何概型。对任一事件 A，

6、P(A) L(A) 。其中 L 为几何度量(长度、面积、体积) 。L( )( 10)加 法公式P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)当 P(AB)0 时， P(A+B)=P(A)+P(B)( 11)减P(A-B)=P(A)-P(AB)法公式当 B A 时， P(A-B)=P(A)-P(B) 当 A=时， P( B)=1- P(B)( 12 )条 件概率定义 设 A、B是两个事件，且 P(A)0，则称 P(AB) 为事件 A发生条 P(A) 件下，事件 B发生的条件概率，记为 P(B/ A) P(AB)。P(A) 条件概率是概率的一种，所有概率的性质都适合于条件概率。 例如 P(/B)=1

7、 P(B /A)=1-P(B/A)( 13 )乘 法公式乘法公式： P(AB) P(A)P(B/ A) 更一般地，对事件 A1，A2， An，若 P(A1A2An-1)0，则有P(A1A2 An) P( A1) P( A2 | A1) P( A3 | A1A2) P(An|A1A2 An 1) 。( 14 )独 立性两个事件的独立性设事件 A 、B 满足 P(AB) P(A)P(B)，则称事件 A 、B 是相互独 立的。若事件 A、B 相互独立，且 P(A) 0，则有P(B| A) P(AB) P(A)P(B) P(B)P(A) P(A)若事件 A 、 B相互独立，则可得到 A与B、A与B、A

8、与 B也都 相互独立。必然事件 和不可能事件 ? 与任何事件都相互独立。? 与任何事件都互斥。 多个事件的独立性 设 ABC是三个事件，如果满足两两独立的条件， P(AB)=P(A)P(B) ；P(BC)=P(B)P(C) ；P(CA)=P(C)P(A) 并且同时满足 P(ABC)=P(A)P(B)P(C) 那么 A、B、C 相互独立。对于 n 个事件类似。( 15 )全 概公式设事件 B1,B2, ,Bn满足1B1,B2, , Bn两两互不相容， P(Bi) 0(i 1,2, ,n)， nABi2i 1 ， (分类讨论的则有P(A) P(B1)P(A| B1) P(B2)P(A| B2)P(

9、Bn)P(A|Bn)。( 16 )贝 叶斯公式设事件 B1，B2， Bn及A满足1 B1，B2， Bn两两互不相容， P(Bi ) 0， i 1，2， n，nABi2i 1 ， P(A) 0 ，(已经知道结果 求原因则P(Bi)P(A/ Bi)P(Bi / A) n i i ，i=1，2，n。P(Bj)P(A/Bj)j1此公式即为贝叶斯公式。P(Bi)，(i 1，2， n )，通常叫先验概率。 P(Bi / A)，(i 1， 2 ， n )，通常称为后验概率。贝叶斯公式反映了“因果”的概 率规律，并作出了“由果朔因”的推断。( 17 )伯 努利概型我们作了 n 次试验，且满足 每次试验只有两种

10、可能结果， A 发生或 A 不发生； n次试验是重复进行的，即 A 发生的概率每次均一样； 每次试验是独立的， 即每次试验 A 发生与否与其他次试验 A 发生与否是互不影响的。这种试验称为伯努利概型，或称为 n重伯努利试验。用 p 表示每次试验 A发生的概率，则 A发生的概率为 1 p q ，用Pn(k) 表示 n重伯努利试验中 A出现 k(0 k n)次的概率，k k n kPn(k) Cn p q ， k 0,1,2, ,n。第二章 随机变量及其分布(1)离设离散型随机变量 X 的可能取值为 Xk(k=1,2, ) 且取各个值的散型随概率，即事件 (X=Xk) 的概率为机变量P(X=xk)

11、=p k，k=1,2, ，的分布则称上式为离散型随机变量 X 的概率分布或分布律。 有时也用分律布列的形式给出：X | x1,x2, ,xk,P(X xk) p1,p2, , pk, 。显然分布律应满足下列条件：pk 1(1) pk 0 ， k 1,2, ， (2) k 1 。(2)连设 F ( x)是随机变量 X 的分布函数，若存在非负函数 f(x) ，对任意实续型随数 x ，有机变量x的分布F(x)f(x)dx ，密度则称 X 为连续型随机变量。 f(x)称为X 的概率密度函数或密度函数，简称概率密度。密度函数具有下面 4 个性质：1 f (x) 0。2 f (x)dx 1。( 3)离 散

12、与连 续型随 机变量 的关系P(X x) P(x X x dx) f (x)dx积分元 f (x)dx 在连续型随机变量理论中所起的作用与 P(X xk) pk 在离散型随机变量理论中所起的作用相类似。( 4)分 布函数设X 为随机变量， x是任意实数，则函数F(x) P(X x) 称为随机变量 X 的分布函数，本质上是一个累积函数。P(a X b) F(b) F(a) 可以得到 X 落入区间 (a,b的概率。 分布函数 F ( x)表示随机变量落入区间( ，x 内的概率。分布函数具有如下性质：1 0 F(x) 1, x ；2 F(x)是单调不减的函数，即 x1 x2时，有 F(x1) F(x

13、2)； 3 F( ) lim F(x) 0， F( ) lim F(x) 1； xx4 F(x 0) F(x)，即 F ( x)是右连续的；5 P(X x) F(x) F(x 0) 。 对于离散型随机变量， F(x)pk ；xk x x 对于连续型随机变量， F(x) f (x)dx 。( 5)八 大分布0-1 分布P(X=1)=p, P(X=0)=q二项分布在 n 重贝努里试验中， 设事件 A 发生的概率为 p 。事件 A发生的次数是随机变量，设为X ，则 X 可能取值为0,1,2, ,n 。P(X k) Pn(k) Cnkpkqn k ，其中q 1 p,0 p 1,k 0,1,2, ,n

14、，则称随机变量 X 服从参数为 n ，p 的二项分布。记为X B(n, p) 。当n 1时， P(X k) pkq1 k，k 0.1，这就是（ 0-1 ）分布，所以（ 0-1 ）分布是二项分布的特例。泊松分布设随机变量 X 的分布律为kP(X k) e ，0， kk!0,1,2 ，则称随机变量 X 服从参数为的泊松分布，记为X ( ) 或者 P( ) 。泊松分布为二项分布的极限分布（np=，n）。超几何分 布P(X k) CM CnN M ,k 0,1,2 ,lCNnl min( M , n)随机变量 X 服从参数为 n,N,M H（n,N,M） 。的超几何分布，记为几何分布P(X k) qk

15、 1 p,k 1,2,3, ，其中 p0，q=1-p。随机变量 X服从参数为 p的几何分布，记为 G（p） 。均匀分布设随机变量 X 的值只落在 a ，b内，其密度函数 f （x）在a，b 上为常数 1 ，即ba1 f (x) b a0,axb其他，则称随机变量 X 在a ，b上服从均匀分布，记为 XU（a， b）。分布函数为0，xb。当 ax1x2b 时， X落在区间（ x0x0其中 0 ，则称随机变量 X 服从参数为 的指数分 布。X的分布函数为 1 e ,F(x) 0,记住积分公式：xne xdx n!01, x2 ）内的概率为x2 x1指数分布x0x0。P(x1 X x2 ) 2 1

16、ba正态分布设随机变量 X 的密度函数为1( x )212f (x) e 2 2 ， x ，2其中 、 0 为常数，则称随机变量 X 服从参数为、 的正态 分布或高斯( Gauss)分布， 记为2X N( , 2) 。f(x) 具有如下性质：1 f (x) 的图形是关于 x 对称的；2 当 x 若 X N(1,F(x) 12时， f ( ) 1 为最大值；2 的分布函数为 t。参数 0 、1时的正态分布称为标准正态分布，记为X N(01,1) ，其x2密度函数记为(x) 1 e 22 ， x ，分布函数为1 (x) 2(x) 是不可求积函数，其函数值，已编制成表可供查用。1 (-x) 1- (

17、x) 且 (0) 。2 X 2 如果 X N( , 2) ，则N(0,1)。x t 2 e 2 dt 。( 6)分 位数x22x1P(x1 X x2 )( 7)函 数分布下分位表： P(X) ；上分位表： P(X) 。离散型Xx1,x2, ,xn,P(X xi)p1,p2, ,pn,已知 X 的分布列为g(x1), g(x2), g(xn),，Y g(X )的分布列( yi g(xi )互不相等)如下：YP(Y yi ) p1, p2, pn,若有某些 g(xpi),相等p，,则应将, 对p应,的 pi 相加作为 g(xi)的 概率。连续型先利用 X的概率密度 fX(x) 写出 Y的分布函数

18、FY(y) P(g(X) y) ，再利用变上下限积分的求导公式求出f Y(y) 。第三章 二维随机变量及其分布( 1 )联合 离散型 分布如果二维随机向量(X， Y)的所有可能取值为至多可列个有序对( x,y )，则称 为离散型随机量。设 =(X，Y)的所有可能取值为 (xi,yj)(i, j 1,2, )， 且事件 =(xi, yj ) 的概率为 pij, ,称P(X,Y) (xi,yj) pij(i, j 1,2, )为 =(X，Y)的分布律或称为 X 和 Y 的联合分布律。联合分1)pij 0( i,j=1,2, )；2)pij 1.ij连续型对于二 维随机 向量 （X,Y） ，如 果存

19、在非负函数f （x, y）（ x , y ） ，使对任意一个其邻边分别平行于坐标轴的矩形区域D，即 D=（X,Y）|axb,cyx1 时，有F(x2,y )F(x 1,y); 当 y2y1时，有 F(x,y 2) F(x,y 1);（3）F（ x,y ）分别对 x 和 y 是右连续的，即F(x, y) F(x 0, y),F(x,y) F(x,y 0);(4) F( ,) F( ,y) F(x, ) 0,F( , ) 1.（ 5）对于 x1x2，y1 y2，F(x2，y2)F(x2，y1) F(x1，y2 ) F(x1，y1) 0.（ 4 ）离散 型与连续 型的关系P(X x，Yy) P(x

20、X x dx，y Y y dy) f ( x， y) dxdy( 5 )边缘 分布离散型X 的边缘分布为Pi P(X xi)pij (i, j 1,2, )；jY 的边缘分布为Pj P(Y yj)pij (i,j 1,2, )。i连续型X 的边缘分布密度为 fX(x)f (x, y)dy；Y 的边缘分布密度为 fY(y)f (x, y)dx.( 6 )条件 分布离散型在已知 X=xi 的条件下， Y 取值的条件分布为 pijP(Y yj |X xi )ij ；pi在已知 Y=yj 的条件下， X 取值的条件分布为 pijP(X xi |Y yj ) ij ,pj连续型在已知 Y=y的条件下，

21、X 的条件分布密度为 f(x, y) ；f (x | y) ；fY(y)在已知 X=x的条件下， Y 的条件分布密度为 f (y|x) ff(x(,xy) fX (x)( 7 )独立 性一般型F(X,Y)=F X(x)F Y(y)离散型pij pi p j有零不独立连续型f(x,y)=f X(x)f Y(y) 直接判断，充要条件： 可分离变量 正概率密度区间为矩形二维正态分 布1 x 12 2 (x 1)(y 2) y 22 f(x,y) 1 e 2(1 2)1 12 2 ,2 1 2 1 20随机变量的 函数若 X1,X 2, Xm,X m+1, Xn相互独立， h,g 为连续函数，则： h

22、( X1， X2, Xm)和 g(Xm+1, Xn)相互独立。特例：若 X与 Y 独立，则： h(X)和 g(Y)独立。 例如：若 X与 Y 独立，则： 3X+1和 5Y-2 独立。( 9 )二维 正态分布设随机向量( X， Y)的分布密度函数为1 x 1 2 2 (x 1)(y 2) y 2 21 2(1 2) 1 1 2 2 f(x, y) e ,22 1 2 1 2其中 1, 2, 1 0, 2 0,| | 1是 5 个参数，则称( X，Y)服从二维正态分布，记为( X，Y) N( 1, 2, 12, 22, ).由边缘密度的计算公式，可以推出二维正态分布的两个边缘分布仍为正态分布，即

23、XN( 1, 12),Y N( 2, 22).但是若 XN( 1, 12),Y N( 2, 22)，(X，Y)未必是二维正态分布。( 10)函数 分布Z=X+Y根据定义计算： FZ (z) P(Z z) P(X Y z)对于连续型， f Z(z) f(x,z x)dx 两个独立的正态分布的和仍为正态分布( 1 2 , 1222 )。n 个相互独立的正态分布的线性组合，仍服从正态分布。Ci i ， 2Ci2 i2iiZ=max,min( X 1,X 2, Xn)若 X1,X2 Xn 相 互 独 立 ， 其 分 布 函 数 分 别 为 Fx1 (x)，Fx2 (x) Fxn (x) ，则 Z=ma

24、x,min(X 1,X 2, X n)的分布 函数为：Fmax ( x) Fx1 (x) Fx2(x) Fxn (x)Fmin (x) 1 1 Fx1(x) 1 Fx2 ( x) 1 Fxn (x)2 分布设 n个随机变量 X1,X2, ,Xn 相互独立，且服从标准正态分布，可以证明它们的平方和n2WX i2i1t 分布的分布密度为1f(u) 22 n2 0,u 0,u 0.我们称随机变量 W服从自由度为 n的 2分布，记为 W 2(n)，其中所谓自由度是指独立正态随机变量的个数，它是随机变量 分布中的一个重要参数。2 分布满足可加性：设Yi2(ni ),则kZYi 2 (n1 n2nk ).

25、i1设 X，Y 是两个相互独立的随机变量，且X N (0,1),Y 2(n),可以证明函数XY/n的概率密度为t2n1n1f(t) 2 n 1 nn 2我们称随机变量 T服从自由度为 n的 t 分布，记为 Tt(n)t1 (n) t (n)F 分布设 X 2(n1),Y 2(n2)，且 X 与 Y 独立，可 以证明X /n1F 1 的概率密度函数为Y / n2f (y)n1 n22n1 n2 n2221 n1 y n2n1 n22,y 00, y 0我们称随机变量 的 F 分布，记为F 服从第一个自由度为 n1，第二个自由度为 n2 F f(n 1, n 2).F1 (n1 ,n2 )1 1

26、2 F (n2 ,n1)第四章 随机变量的数字特征(1)离散型连续型一维期望设 X 是离散型随机变量， 其分布设 X 是连续型随机变量， 其概率密随机期望就是平均值度为 f(x) ，变量律 为 P( X xk ) pk ，的数k=1,2, ,n ，E(X)xf ( x)dx字特n征E(X)xk pk(要求绝对收敛)k1(要求绝对收敛)函数的期望Y=g(X)Y=g(X)nE(Y)g(xk)pkE(Y) g(x) f(x)dxk1方差2D(X)=EX-E(X) 2，D(X)xk E(X)2 pkD(X) x E(X)2 f (x)dx标准差k(X) D(X) ，矩对于正整数 k ，称随机变量 X对

27、于正整数 k，称随机变量 X 的的k 次幂的数学期望为 X 的 kk 次幂的数学期望为 X的 k 阶原点阶原点矩，记为 vk, 即矩，记为 vk, 即k=E(Xk)=xik pi ,ikkk=E(X )= xk f ( x) dx,k=1,2, .k=1,2, .对于正整数 k ，称随机变量 X对于正整数 k，称随机变量 X 与与E（ X）差的 k 次幂的数学期E（X）差的 k 次幂的数学期望为 X望为 X 的 k 阶中心矩，记为 k ，的k 阶中心矩，记为 k ，即即E(X E(X) kkk E(X E(X) kk=(xi E(X)k pi，ik= (x E(X)k f (x)dx,k=1,

28、2, .k=1,2, .切比雪夫不等式设随机变量 X 具有数学期望 E（ X）=，方差 D（ X）= 2，则对于任意正数 ，有下列切比雪夫不等式P(2X ) 22切比雪夫不等式给出了在未知 X 的分布的情况下，对概率P( X)的一种估计，它在理论上有重要意义。（2）（1）E(C)=C期望（2）E(CX)=CE(X)的性nn质（3）E(X+Y)=E(X)+E(Y) ，E( Ci Xi)CiE(Xi )i 1 i1（4）E(XY)=E(X) E(Y) ，充分条件： X和 Y 独立； 充要条件： X和 Y 不相关。（3）（1）D(C)=0；E(C)=C方差（2）2D(aX)=a 2D(X) ； E(

29、aX)=aE(X)的性（3）2D(aX+b)= a 2D(X) ；E(aX+b)=aE(X)+b质（4）22D(X)=E(X 2)-E 2(X)（5）D（XY）=D（X）+D（Y） ，充分条件： X 和 Y 独立；充要条件： X 和 Y不相关。D(X Y)=D(X)+D(Y) 2E(X-E(X)(Y-E(Y)，无条件成立。而 E(X+Y)=E(X)+E(Y)，无条件成立。（4）期望方差常 分见 布0-1分布 B(1, p)pp(1 p)的期 望和 方差二项分布 B(n, p)npnp(1 p)泊松分布 P( )几何分布 G(p)1 p1p2 p2超几何分布 H(n,M ,N)nM NnM 1

30、M N nN 1 N N 1均匀分布 U (a,b)ab2(b a)212指数分布 e( )112正态分布 N( , 2)22分布n2nt 分布0n(n2) n2(5) 二维 随机 变量 的数 字特 征期望nE(X)xi pii1nE(Y)yjp jj1E(X)xfX (x)dxE(Y)yfY (y)dy函数的期望EG(X,Y)G(xi , yj )pij ijEG(X,Y)G(x,y)f (x, y)dxdy 方差D(X)xi E(X)2 piiD(Y)xj E(Y)2p jjD(X) x E(X)2 fX (x)dxD(Y) y E(Y)2 fY(y)dy协方差对于随机变量 X与Y，称它们

31、的二阶混合中心矩11为 X与Y的协方差或相关矩，记为XY或 cov( X , Y) ，即XY 11 E(X E(X)(Y E(Y).与记号 XY 相对应， X与 Y 的方差 D(X)与 D( Y)也可分别记为 XX 与 YY 。相关系数对于随机变量 X与 Y，如果 D(X)0, D(Y)0 ，则称XY D(X) D(Y)为 X 与 Y 的相关系数，记作 XY (有时可简记为 )。| |1，当| |=1 时，称 X与 Y完全相关： P(X aY b) 1 完全相关 正相关，当1时(a 0)，负相关，当1时(a 0)，而当 0 时，称 X 与 Y不相关。以下五个命题是等价的： XY 0 ；cov(

32、X,Y)=0;E(XY)=E(X)E(Y);D(X+Y)=D(X)+D(Y);D(X-Y)=D(X)+D(Y).协方差矩阵XXXYYXYY混合矩对于随机变量 X与 Y，如果有 E( X kYl )存在，则称之为 X与 Y的 k+l 阶混合原点矩，记为kl ； k+l 阶混合中心矩记为：klukl E(X E(X)k (Y E(Y)l .(6) 协方 差的 性质(i)cov (X, Y)=cov (Y, X);(ii)cov(aX,bY)=ab cov(X,Y);(iii)cov(X 1+X2, Y)=cov(X 1,Y)+cov(X 2,Y);(iv) cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E

33、(Y).（7） 独立 和不 相关i)ii )若随机变量 X 与 Y相互独立，则XY 0；反之不真。若（ X， Y） N（ 1, 2, 12, 22, ）， 则 X与 Y 相互独立的充要条件是 X 和 Y不相关。第五章 大数定律和中心极限定理1）大数定律X切比雪 夫大数 定律设随机变量 X1， X2，相互独立，均具有有限方差，且被同一 常数 C 所界： D（Xi ）C（i=1,2, ）, 则对于任意的正数 ，有lim P 1 Xi 1 E(Xi ) n ni 1 ni1特殊情形：若 X1，X2，具有相同的数学期望 E（XI ）=， 则上式成为lim Pn1Xini1伯努利 大数定 律设是 n次独

34、立试验中事件 A发生的次数， p 是事件 A在 每次试验中发生的概率，则对于任意的正数 ，有lnim P n p 1.伯努利大数定律说明，当试验次数 n 很大时，事件 A发生的频率与概率有较大判别的可能性很小，即lim Pp0nn这就以严格的数学形式描述了频率的稳定性。辛钦大数定律设 X1，X2， Xn，是相互独立同分布的随机变量序列，且E（ Xn） =，则对于任意的正数 有1 Xilim Pnni11.( 2)中心极限定理2X N( , )n列维 林德伯 格定理设随机变量 X1， X 相同的数 E(Xk),D(Xk )的分布函数 Fn(x) 对任意lim Fn(x) lim P nn此定理也

35、称为 独立同分2，相互独立，服从同一分布，且具有 学期望和方差： 2 0(k 1,2, ) ，则随机变量nX k nY k 1Ynn的实数 x，有 nX k n t2k 1 x 1 xe 2 dt.x e dt. n2布 的中心极限定理。棣莫弗 拉普 拉斯定 理设随机变量 Xn 为具有参数 n, p(0p1) 的二项分布，则对于 任意实数 x, 有t2X n np 1 x 2 lim P n x e 2 dt. n np(1 p) 2(3)二项定理若当 N时, Mp(n,k不变 ) ，则Nk n kCMCnN MCnkpk(1 p)n k (N ).CNnn超几何分布的极限分布为二项分布。(

36、4)泊松定理若当 n时,np0 ，则kk k n kCnk pk(1 p)n k e (n ). n k!其中 k=0， 1， 2， n，。二项分布的极限分布为泊松分布。第六章 样本及抽样分布( 1 )数 理 统计的基 本概念总体在数理统计中，常把被考察对象的某一个(或多个)指标的全 体称为总体 (或母体)。我们总是把总体看成一个具有分布的随 机变量(或随机向量) 。个体总体中的每一个单元称为样品(或个体) 。样本我们把从总体中抽取的部分样品 x1,x2, ,xn 称为样本。样本 中所含的样品数称为样本容量， 一般用 n 表示。在一般情况下， 总是把样本看成是 n 个相互独立的且与总体有相同分

37、布的随机 变量，这样的样本称为简单随机样本。在泛指任一次抽取的结 果时， x1,x2, ,xn表示 n 个随机变量 (样本)；在具体的一次 抽取之后， x1,x2, ,xn表示 n 个具体的数值 (样本值)。我们 称之为样本的两重性。样本函数和 统计量设 x1,x2, , xn为总体的一个样本，称( x1,x2, ,xn) 为样本函数，其中 为一个连续函数。如果 中不包含任何未 知参数，则称 ( x1,x2, , xn )为一个统计量。常见统计量及其性质1n样本均值 x 1 xi .ni1样本方差1nS2 1(xix) 2.n 1 i 11 n 2 样本标准差 S 1(xi x)2 .n 1

38、i 1 i样本 k 阶原点矩1 n kM kxik,k 1,2, .ni1样本 k 阶中心矩n 1k M k(xi x)k ,k 2,3, .ni12E(X) ， D(X) ，nE(S2)2， E(S*2) n 1 2,n2 1 n 2其中 S*2(Xi X)2 ，为二阶中心矩。ni1( 2 )正 态 总体下的 四大分布正态分布设 x1,x2, , xn为来自正态总体本函数N( , 2 )的一个样本，则样def xu x N(0,1)./nt 分布设 x1,x2 , ,xn 为来自正态总体N( , 2 )的一个样本，则样本函数def xs/ n t(n 1),其中 t(n-1) 表示自由度为

39、n-1的 t 分布。2分布设 x1,x2, , xn为来自正态总体N( , 2 )的一个样本，则样本函数def (n 1)S22w22 (n 1),其中 2(n 1)表示自由度为 n-1 的 2分布。F 分布设 x1,x2, ,xn 为来自正态总体N( , 12 ) 的一个样本，而y1,y2, ,yn 为来自正态总体2N( , 22 )的一个样本，则样本函数22def S12 / 12F 1 1 S22 / 22F(n1 1,n2 1),其中1 n1S121(xi x)2 ,1 n2S221(yi y)2 ;n1 1 i 1n2 1 i 1F(n1 1,n2 1) 表示第一自由度为 n1 1

40、，第二自由度为n2 1 的 F分布。( 3 )正 态总体下分X 与 S2 独立。布的性质第七章 参数估计( 1)点 矩估计 估计设总体 X的分布中包含有未知数1, 2 , , m ，则其分布函数可以表成F(x; 1, 2, , m).它的 k 阶原点矩 vk E(X k)(k 1,2, ,m)中也 包含了未知参数 1, 2, , m，即 vk vk( 1, 2, , m) 。又设x1,x2, ,xn为总体 X的 n 个样本值，其样本的 k 阶原点矩为1n1 xik (k 1,2, ,m). n i 1这样，我们按照“当参数等于其估计量时，总体矩等于相应的样本矩” 的原则建立方程，即有1nv1(

41、 1, 2, , m)xi ,ni1 1nv2( 1, 2 , , m )xi2,ni11nvm( 1, 2, , m ) 1 xim.ni1由上面的 m个方程中，解出的 m个未知参数 ( 1, 2, , m) 即为参数1, 2, , m )的矩估计量。若 为 的矩估计， g(x)为连续函数，则 g( ?)为g( )的矩估计。极大似然估计当总体 X 为连 续型随机变量时，设 其分布密度为 f (x; 1 , 2 , , m) ， 其 中 1 , 2 , , m 为 未 知 参 数 。 又 设 x1 ,x2 , , xn为总体的一个样本，称nL( 1, 2, , m) f (xi; 1, 2,

42、, m)i1为样本的似然函数，简记为 Ln.当 总体 X 为 离型 随 机变 量时，设其分布 律 为 PX x p(x; 1 , 2, , m)，则称nL(x1,x2, ,xn; 1, 2, , m)p(xi; 1 , 2, , m)i1为样本的似然函数。若似然函数L(x1,x2 ,xn; 1,2 ,m) 在 1, 2 , , m 处取到最大值，则称1 , 2 , ,m 分别为1,2 , m 的最大似然估计值，相应的统计量称为最大似然估计量。ln Lnn 0,i 1,2, ,mi i i若 为 的极大似然估计， g(x)为单调函数，则 g(?)为 g( )的极大 似然估计。(2)估 计量的 评

43、选标 准无偏性设(x1,x2, , xn )为未知参数 的估计量。若 E ( )= ，则称为 的无偏估计量。E( X )=E(X)， E (S2)=D(X)有效性设 1 1(x1,x,2, ,xn)和 22(x1,x,2 , ,xn) 是未知参数的两个无偏估计量。若 D( 1) D( 2 )，则称 1比 2有效。一致性设 n 是 的一串估计量，如果对于任意的正数 ，都有lim P(| n | ) 0,n则称 n 为 的一致估计量(或相合估计量) 。若 为 的无偏估计，且 D( ?) 0(n ), 则 为 的一致估计。 只要总体的 E(X)和 D(X) 存在，一切样本矩和样本矩的连续函数都是相 应总体的一致估计量。(3)区 间估计置信区 间和置 信度设总体 X含有一个待估的未知参数 。如果我们从样本 x1,x,2 , ,xn出 发 ， 找 出 两 个 统 计 量 1 1(x1,x,2, ,xn) 与2 2(x1,x,2 , ,xn) ( 1 2) ， 使 得 区 间 1, 2 以 1 (0 1) 的概率包含这个待估参数 ，即P 12 1 ,那么称区间 1, 2 为 的置信区间， 1 为该区间的置信度(或置 信水平)。单正态 总体的 期望和 方差的 区间估 计设x1,x,2, , xn为总体 X N( , 2 )的一个样本，在置信度为 1 下，我们来确定 和 2 的置