2017年全国高中数学联赛A卷和B卷试题和答案

1、2017 年全国高中数学联赛 A卷一试一、填空题1.设 f(x)是定义在 R上的函数，对任意实数 x有 f(x 3) f(x 4)1.又当 0 x 7时，f(x) log2(9 x)，则 f ( 100)的值为.22.若实数 x,y满足 x2 2cosy 1，则 x cosy 的取值范围是 .x2 y23. 在平面直角坐标系 xOy中，椭圆 C的方程为 :1，F 为C的上焦点， A为C的右顶点， P是9 10C 上位于第一象限内的动点，则四边形 OAPF 的面积的最大值为 .4. 若一个三位数中任意两个相邻数码的差不超过1，则称其为“平稳数” .平稳数的个数是。5. 正三棱锥 P-ABC 中，

2、 AB=1 ， AP=2 ，过 AB 的平面将其体积平分，则棱 PC 与平面所成角的余弦值 为.6.在平面直角坐标系 xOy 中，点集 K (x,y)x,y 1,0,1 .在 K 中随机取出三个点，则这三点中存在两点之间距离为 5 的概率为 .7.在 ABC中，M 是边BC的中点， N是线段 BM的中点.若 A ， ABC的面积为 3，则AM AN3 的最小值为 .8.设两个严格递增的正整数数列an , bn 满足： a10 b10 2017 ，对任意正整数 n，有an 2 an1 an，bn 1 2bn ，则 a1 b1 的所有可能值为 .二、解答题9.设 k, m为实数，不等式 x2 kx

3、 m 1对所有 x a,b 成立.证明： b a 2 2 .x2 x310.设 x1 , x2 , x3是非负实数，满足 x1x2 x3 1，求 (x1 3x2 5x3)(x1 x32 x53 )的最小值和最大值2211.设复数 z1,z2满足Re(z1) 0 ，Re(z2 ) 0 ，且Re(z12 ) Re( z22 ) 2(其中 Re( z)表示复数 z的实部)2017 年全国高中数学联赛 A卷二试一.如图，在 ABC中， AB AC，I为 ABC的内心，以 A为圆心， AB为半径作圆 1，以I 为圆心， IB为半径作圆 2，过点 B,I 的圆 3与 1, 2分别交于点 P,Q (不同于点

4、 B).设IP 与BQ交于点 R.证 明： BR CR二.设数列 an 定义为 a1 1 ，an 1 数.an n,an n,an n,an n,n 1,2, .求满足 arr 32017 的正整数 r 的个.若相邻连个小方格三.将 33 33方格纸中每个小方格染三种颜色之一，使得每种颜色的小方格的个数相等 的颜色不同，则称它们的公共边为“分隔边”.试求分隔边条数的最小值 .四.设m, n均是大于 1的整数，m n，a1,a2, ,an是 n个不超过 m的互不相同的正整数， 且 a1,a2, ,an互素 .证明：对任意实数 x ，均存在一个 i(1 i n)，使得 ai xm(m 1)x ，这

5、里 y 表示实数 y 到与它最近的整数的距离2017 年全国高中数学联赛 A卷一试答案1.2.3.4.8.10.11.2017 年全国高中数学联赛 A卷二试答案四.并且 OM-, Sr； c, Cl c at m .因为c/ Cl H. c/ m .所以 S,(rlc.r)O.故 5.(c.c.CJ) s2(cl.c2,.c).如果 5, 0.那么 7在 cf 0.令 c =ctalt Ctl ct a, c/ = c4( 1 A n . A*iJ),那么成立.)fll-m c ci Ci CJ 0.与上面类 似地OIfe 5(cc2 ,.c; ) S1(cl,Cj,.r). fL52(c1

6、tr2.c )S2(ci.c2,.,).因为S2均是非负总数故通过右限次匕述的调竹可得列 你GG心 使WA.若b 不妨t()则 + bw-丄.丄从而2 2I a+b II=Ia+ b + b=ll Ikl 6IL若hO即InJ号.当tf 1+ M7+Hfrkl lll ML当 + Zr时，注意总有U + bll故llM 丄 (m + 1)蝎在吟他.,/中存在两个相邻IE朋数不妨设小他相邻則IX II = Il OJX-lj llll a2x ll+ll alx IL-2 Zn(Wl+ 1)故Isr猪XJHIMrfJXIL 2Jfl综匕所述总存(in满足IIqXSO分2017 年全国高中数学联合

7、竞赛一试( B 卷)一、填空题：本大题共 8个小题,每小题 8分,共64分.1.在等比数列 an中， a22，a3 33，则 a1 a2011 的值为.a7 a20172.设复数 z满足 z 9 10z 22i，则 |z|的值为.3.设 f (x)是定义在 R上的函数，若 f (x) x2是奇函数， f(x) 2x是偶函数，则 f (1)的值为 .4.在 ABC中，若 sin A 2sin C ，且三条边 a, b,c成等比数列，则 cos A的值为.5.在正四面体 ABCD中， E, F分别在棱 AB, AC上，满足 BE 3，EF 4，且 EF与平面 BCD平行， 则 DEF 的面积为 .

8、6.在平面直角坐标系 xOy中，点集 K (x,y)|x,y 1,0,1 ，在 K中随机取出三个点，则这三个点两 两之间距离均不超过 2 的概率为 .7.设a为非零实数，在平面直角坐标系 xOy中，二次曲线 x2 ay2 a2 0的焦距为 4，则 a的值 为.8. 若正整数 a,b,c满足 2017 10a 100b 1000c ，则数组 (a,b,c) 的个数为.二、解答题 (本大题共 3小题，共 56 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 . ) 9.设不等式 |2x a| |5 2x |对所有 x 1,2成立，求实数 a的取值范围 .210.设数列 an是等差数列，数列 bn满足

9、bn an 1an 2 an2，n 1,2,L .(1)证明：数列 bn 也是等差数列；(2)设数列 an 、 bn的公差均是 d 0 ，并且存在正整数 s,t ，使得 as bt是整数，求 |a1|的最小值 .11. 在平面直角坐标系 xOy 中，曲线 C1: y2224x，曲线 C2:(x 4)2 y2 8，经过 C1上一点 P作一条倾斜角为 45o的直线 l ，与C2交于两个不同的点 Q,R，求|PQ| | PR |的取值范围2017 年全国高中数学联合竞赛加试（ B 卷）一、（本题满分 40 分）设实数 a,b,c满足 a b c 0，令 d maxa,b,c ，证明： （1 a）（1

10、 b）（1 c） 1 d2二、（本题满分 40 分）给定正整数 m ，证明：存在正整数 k ，使得可将正整数集 N 分拆为 k个互不相交的子集 A1,A2,L ,Ak， 每个子集 Ai 中均不存在 4 个数 a,b,c,d （可以相同） ，满足 ab cd m.三、（本题满分 50 分）如图，点 D是锐角 ABC的外接圆 上弧 BC的中点，直线 DA与圆 过点 B,C的切线分别相交于点P,Q ，BQ与AC的交点为 X ，CP与AB的交点为Y ，BQ与CP的交点为T ，求证： AT平分线段 XY.四、（本题满分50分）设 a1,a2,L ,a201,2,L ,5 ， b1,b2,L ,b20 1

11、,2,L ,10 ，集合X (i, j)1 ij 20,（ ai aj ）（bi bj） 0，求 X 的元素个数的最大值 .一试试卷答案1. 答案：2. 答案：解：数列 an 的公比为 qa3a22 ，故a1a7a2011a2017a10a ( 10b 22)i ，比较两边实虚部a 9 10a 可得 ，解得：a 1,b2 ，故 z 12i ，进而 |z|5.b 10b 223. 答案： 7 。解：由条件知，4f (1)1 (f (1)2( 1)2)f (11) 1， f (1) 2 f( 1)2两式相加消去 f ( 1) ，可知：2f (1)13 2 ，即7 f (1) .44. 解：由正弦定

12、理知， a sinA2，又 b2ac，于是 a:b:c2: 2 :1 ，从而由余弦定理得：5 。解：设 z a bi,a,bR ，由条件得 (a 9) bic sinC( 2)2 12 222 2 16. 解：注意 K 中共有 9 个点，故在K 中随机取出三个点的方式数为3C93 84 种，当取出的三点两两之间距离不超过2 时，有如下三种情况：222 bca cosA2bc5. 解：由条件知，EF 平行于 BC ，因为正四面体 ABCD的各个面是全等的正三角形，故AE AF EF 4， AD AB AE BE 7.由余弦定理得， DEAD2 AE2 2AD?AE?cos60o49 16 28

13、37 ，同理有 DF 37 .1作等腰 DEF 底边 EF上的高 DH ，则 EH 1 EF 2，故 DH DE2 EH233，2于是 S DEF 1 EFgDH 2 33.21)三点在一横线或一纵线上，有6 种情况，2)三点是边长为 1,1, 2 的等腰直角三角形的顶点，有 4 4 16 种情况，3)三点是边长为 2, 2, 2的等腰直角三角形的顶点，其中，直角顶点位于(0,0) 的有 4 个，直角顶点位于 ( 1,0) ， (0, 1)的各有一个，共有 8种情况 .综上可知，选出三点两两之间距离不超过2 的情况数为30 516 8 30 ，进而所求概率为 30 584 147. 解：二次曲

14、线方程可写成2x2a1，显然必须0 ，故二次曲线为双曲线，其标准方程为2( a)2 ( a)2 1，则 c( a)222( a)2a2a，注意到焦距 2c 4 ，可知a 4，又 a 0，所以 a 1 17220178. 解：由条件知 c 201710002 ，当 c1时，有10b 20 ，对于每个这样的正整数b，由 10b a 201知，相应的 a 的个数为 20210b ，从而这样的正整数组的个数为20(202 10b)b 10(102 2) 112572，2017当c 2时，由 20 b 2100107，知， b 20，进而 200 2017 201，10故 a 200,201 ，此时共有

15、 2组 (a,b,c).综上所述，满足条件的正整数组的个数为5722 574.9. 解：设 t 2x ，则 t 2,4 ，于是 |ta| |5t | 对所有 t2,4 成立，由于|t a| |5 t | (t a)2 (5 t)2，(2t a 5)(5 a)0，对给定实数 a，设 f (t) (2t a 5)(5a) ，则 f (t) 是关于t 的一次函数或常值函数，注意 t 2,4 ，因此 f (t) 0 等价于 f (2) ( 1 a)(5 a) 0 ，解得 3 a 5 f (4) (3 a)(5 a) 0所以实数 a 的取值范围是 3 a 5.2210. 解：(1)设等差数列 an 的公

16、差为 d ，则 bn 1 bn (an 2an 3 an2 1) (an 1an 2 an2 )an2(an 3an1)(an1an )(an1an )an 2g2d (an 1 an)gd(2an 2 an 1 an)gd 3d 2所以数列 bn 也是等差数列( 2)由已知条件及( 1)的结果知： 3d2d ，因为 d10 ，故 d，这样3bnan 1an 2 an(and)(an2d) an23dan2d222 an 9若正整数 s,t 满足 asbtZ ，则as btas bt2a1 (s 1)d a1 (t 1)d 2st22Z.2a139s t 2 2记 l 2a1，则 l Z ，且

17、 18a1 3(3l s t 1) 1是一个非零的整数，故 |18a1 | 1，从而39|a1 | 118.181 1 17又当 a1时，有 a1 b31 Z ，1 18 1 3 18 181 综上所述， |a1 |的最小值为.1811.解：设P(t2 ,2t) ，则直线l的方程为 y x 2t t2 ，代入曲线 C2的方程得， ( x 4)2 (x 2t t2)2 8， 化简可得： 2x2 2(t2 2t 4)x (t2 2t)2 8 0 ，由于 l 与C2交于两个不同的点，故关于 x 的方程的判别式 为正，计算得，(t2 2t 4)2 2(t 2 2t)2 8) (t 2 2t)2 8(t

18、2 2t) 16 2(t2 2t)2 1642 2 2 2 2 (t22t)28(t22t) (t22t)(t22t 8) t(t 2)(t 2)(t 4) ，因此有 t ( 2,0) U (2,4) ，1 设 Q,R 的横坐标分别为 x1,x2 ，由知， x1 x2 t 2 2t 4， x1x2(t2 2t)2 8) ，2因此，结合 l 的倾斜角为 45o可知，|PQ|g|PR| 2(x1 t2)g 2(x2 t2) 2x1x2 2t2(x1 x2) 2t42 2 2 2 4 4 3 2 4 3 2 4 (t22t)28 2t2(t 22t 4) 2t4 t44t34t28 2t44t3 8

19、t22t4t4 4t2 8 (t2 2)2 4 ，由可知， t2 2 ( 2,2) U (2,14) ，故(t2 2)2 0, 4) U (4,196) ，从而由得：|PQ |g| PR | (t2 2)2 4 4,8) U (8, 200)2 注 1：利用 C2的圆心到 l的距离小于 C 2的半径，列出不等式 | 4 2t t | 2 2，同样可以求得中 t的范围 .注2：更简便的计算 |PQ |g| PR |的方式是利用圆幂定理， 事实上， C2的圆心为 M (4,0) ，半径为 r 2 2， 故| PQ|g|PR| | PM |2 r2 (t2 4)2 (2t)2 (2 2)2 t4 4

20、t2 8.、 证明：当1时，不等式显然成立加试试卷答案以下设 0 d不妨设a, b不异号，即ab 0 ，那么有(1 a)(1 b)abab 1 a bd0因此 (1 a)(1b)(1 c)(1 c)(1 c)1 c2、证明：取令 Ai xi (mod m1),xN ， i 1,2,L , m 1设 a,b,c, d Ai ，则 ab cd i ? i i ?i0(mod m 1) ，故 m 1 ab cd ，而m 1 m，所以在 Ai中不存在 4个数a, b, c, d ，满足 abcd m1AC ?AQsin CAQ21AB? APsin BAP2，AX AY 证明：首先证明 YX / BC

21、 ，即证XC YB连接BD , CD ，因为 SACQ ? ACPABC SACQ，S ABC S ABP S ABP11AC?CQsin ACQ AC ?BC sin ACB 所以 2 ? 211AB ? BC sin ABC AB? BPsin ABP22由题设， BP,CQ 是圆 的切线，所以ACQ ABC ， ACB ABP ，CAQ DBC DCBBAP注意 D 是弧 BC的中点），于是由知AB ? AQ CQAC ? AP BP因为CAQBAP ，所以BAQCAP ，S ABQS ACP而 S BCQ 而 S BCP1AB?AQsin21AC? APsin CAP21BC ?CQs

22、in BCQ21BC ?BPsin CBP2BAQAB?AQAC? APCQBP由，S CBQS BCP ，S得 S ABQ即 S ABQS CBQS ACPS BCPS ABQS CBQAX ，XC ，S ACPS BCPAYYB从而 X 的元素个数不超过C220 30 190 30 160另一方面，取 a4k 3 a4k 2 a4k 1 a4k k ( k 1,2, L ,5 )，6 ai ( i则对任意 i, j (1 i j20)，有 (ai aj)(bi bj) (ai aj )(6 ai) (62等号成立当且仅当 ai aj ，这恰好发生 5C42 30次，此时 X的元素个数达到1

23、,2,L ,20 )，2aj)(ai aj )2 02C220 30 160故 AX AYXC YBAX CM BY设边 BC 的中点为 M ，因为? ?1 ，XC MB YA所以由塞瓦定理知，AM , BX ,CY三线共点，交点即为 T ，故由YX / BC可得 AT平分线段 XY四、解：考虑一组满足条件的正整数 (a1,a2,L , a20,b1,b2,L , b20)对k 1,2,L ,5，设 a1,L , a20中取值为 k的数有 tk个，根据 X的定义，当 ai aj 时，(i,j) X ，因此55至少有Ct2个(i,j)不在 X中，注意到tk 20 ，则柯西不等式，我们有k 1 k

24、 11 ?20?( 20 1) 3025Ct2k 12?( tk2tk ) 21?(51( tk)2tk)k 1 2 k1 k 1 2 5 k 1 k 1综上所述， X 的元素个数的最大值为 160.2017年全国高中数学联合竞赛一试(B卷)参考答案及评分标准说明：1. 评阅试卷时，诸依据本评分标准.填空题只设8分和O分两档：其他外題的 评阅，请严恪按腮本评分标准的评分档次给分，不得増加其他中间档次.2. 如杲考生的解符方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可 参考本评分标准适当划分档次评分，解答题中第9小题4分为个档次，第10、 11小題5分为一个档次，不得增加其他中间档次.-V

25、填空题：本大题共8小题，每小题8分，共64分.I在等比数列他中，u2=2, u,=3,则鱼如L的值为aI d2OI7答案：9解;：数列他的公比为= 故L= fl-! =Jr = O2 2 a + 2op q (i 2011) q 92.设复数2满足z + 9 = l7+22i,则IZl的值为答案；5解;：设2 = 4+bi,.由条件得( + 9)+bi = 10(-1022)i 4比较两边实虚部可得十9 = IoaIft = -IO22,解得 = L 6 = 2,故z = l2i,进而z = 5 3设/是定义在K上的函数，若/U)+ xj是奇函数，“0十2、是偶函数, 则/的值为.答案；占4解

26、；由条件知，/+ 1 = -(/(一1)+(-1)2) = /(一1)一1,/(1) + 2 = /(1)+扌,两式相加消去/(-1),可知2(l)+3 = -g,即/(1) =-7-2 4则COS A的4. 在仙C中.若sin = 2sinC,且三条边a. IK C成等比数列值为答案:4解:由正弦定瑾知，巴二沁 =2,又blac.于是abtc2.y2.,从 C SinC而由余弦定理得，cos/1 = ZC=(血) -2 = 一返.2bc2 x2 X145. 在正四而体ABCD中f 分别在棱/BMC上，满足BEjEF = 4,且EF与面BCD平行,则AQEF的面积为解；由条件知，EF平行于BC

27、因为正四面体ABCD 的各个而是全等的正三角形，故HE=彳F=EF = 4、AD = AIi = AE-V IiE = 7 ,由余弦定理得，DE = JaD2+ AE22ADAEcosbQa = 49162X =37 ,同理有DF = Q作零腰EF底边EF上的高DH,则EH-EF = 2,故DH = JDE2 -EH，= 33，于足S旳=*EFDH = 233 .6. 在平而直角坐标系.Qy中，点集K = (, v) , V =-1,0,1.在K中随机 取出三个点.则这三个点两两Z间距离均不超过2的槪率为解;注意K中共有9个点，故在K中随机取出三个点的方式数为C： = 84种. 当讹出的三点两

28、两之间距离不超过2时，有如卜三种情况；(1) 三点在一横线或一纵线上，有6种情况.(2) 三点是边长为1,1,血的等腰直角三角形的顶点，有4x4 = 16种情况.(3) 三点是边长为2,2的等腰恵和三角形的顶点，英中，恵角顶点位 于(00)的有4个，直角顶点位于(1,0),(ai)的各冇一个，共有8种情况,综上可知.选出三点两两之间距离不超过2的悄况数为6-16 + 8 30,进而所求概率为啟=色.&4147. 设”为非零实数,在平面直角坐标系工6中，二次曲线H十十宀0的 焦距为4,则a的值为答案；上害.2解；二次曲线方程町写成-4-=1.显然必须-心0,故二次Ittl线为双曲Cr ZJ线，其

29、标准方程为 YLT-一=1.则c2 = ()2+-tf)2 = ai-.注意到焦距(-d)*(-灯)2c = 4, rlJ知/a = 4, 乂PV0,所以a=.2&若正整数5 5 c满足2017 IOa 1OO IOOOci则数组(af C)的个数为.答案 574.解，由条件知由 10a201 知,当c=时， 1020.对于每个这样的正整数方,相应的0的个数为202-10/,.从而这样的正整数组的个数为 丈(202 - 1 Ob) = (W2 + 2)x1 =572.-IO2017100故 = 200, 201此时共有2组(久人c).综上所述满足条件的正整数组的个数为572 + 2 574.当

30、c = 2时由20知X20进而200o201710= 201 t二、解答题；本大题共3小题，满分56分.解答应写出文字说明、证明过 程或演算步骤9. (本题满分16分)设不等式2t-fl5-2对所有YCI.2成立，求实 数Q的取值范围.解；/ = 2S则2,4,于是|/-彳5-/|对所有m成立.由于 f-t5-(r-tj)2 (5-r)2o (2/ 。一5)(5 )0 .8 分对给定实数口,设/(”-5X5-),则/的是关于f的一次函数或常 值函数.注2, 4,因此f(t)0等价于/2) = (-l-)(5-)V,12 7r(4) = (3-)(5-)O,解得3a5.所以实数口的取值范ffi3

31、fl 设数列他是等差数列，数列血满足 bll =耳.|你，2一0：尺=】，2,1)证明；数列%也是等差数列；2)设数列讣0的公差均是“0,并且存在正整数s,使得a9+b,是整数求Iql的最小值.解：1)设等差数列M”的公差是，则k - =(”+2址+3 一 二)一( + M.+ 2-)=%+(a小 一 Y+J-(*i 十“)(a”+b 一匕)=(J+加一仗小十a)d =(2(1”2-1-心加=W所以数列陰也是等差数列5分的结果知因为(U 故J-I这样3 = (U2 一”: =( 十 d)g + 2d) ,；2=dalX + Id: = tI) H t 10 分nZq若正整数$, /满足“ -h则q(2 2 q+功=t + z + = 3 +(.?- I)J + ai +(F_l)d+_r$+/22F=2 H+ Z .3 915分记/ = 2 b 从而k11. (本题满分20分)在平面直角坐标系玖屮，曲线Cl=4.r, Illl线 C(x-4)2=8.经过G上一点P作一条倾斜角为45。的直线/,与G交于两 个不同的点Q、R求