双曲线讲义教师版

1、学习必备欢迎下载一、双曲线知识点总结：1.双曲线的定义(1)第一定义：当|PFJ_|PF2|=2a<|FiF2|时，P的轨迹为双曲线当IIPFil IPF2 |=2a HF1F2 |时，P的轨迹不存在当| PF1 PF2 |=2a = F1F2时，P的轨迹为aF.F2为端点的两条射线土0)(2)双曲线的第二义标准方程2222 =1(a, b > 0)a b22-yr -3 =1(a,b >0) a b性质焦点(C,0),(Y,0)，(0,c),(0Y)焦距2c范围|x H y w R| y 户 a,xw R顶点(a,0), (a,0)(0,旬,(0,a)对称性关于x轴、y轴和

2、原点对称离心率e =£ w (1,也) a准线2 .a x = ±c2 .a y = 土一 c渐近线by 二 土一 x aa y = ± x b_平面内到定点 F与定直线l (定点F不在定直线l上)的距离之比是常数e(e>1)的点的轨迹为双曲线2.双曲线的标准方程与几何性质22与双曲线x2-4=1共渐近线的双曲线系方程为: a b222222与双曲线x2冬=1共轲的双曲线为4-4=1 a bb a等轴双曲线x2-y2 = ±a2的渐近线方程为 y=±x ,离心率为e=V2.;1 .注意定义中“陷阱问题1:已知F1(-5,0), F2(5,

3、0), 一曲线上的动点 P到F1，F2距离之差为6,则双曲线的方程为2 .注意焦点的位置3问题2:双曲线的渐近线为 y =±±x ,则离心率为 2二、双曲线经典题型：1.定义题:学习必备欢迎下载1 .某中心接到其正东、正西、正北方向三个观测点的报告：正西、正北两个观测点同时听到 了一声巨响，正东观测点听到的时间比其他两观测点晚4s.已知各观测点到该中心的距离都是1020m.试确定该巨响发生的位置.（假定当时声音传播的速度为340m/ s :相关各点均在同一平面上）【解题思路】时间差即为距离差，到两定点距离之差为定值的点的轨迹是双曲线型的.解析如图，以接报中心为原点 O,正东

4、、正北方向为 x轴、y轴正向，建立直角坐标系.设A、B、C 分别是西、东、北观测点，则 A ( 1020, 0), B (1020, 0), C (0, 1020)设P （x,y）为巨响为生点，由 A、C同时听到巨响声，得|PA|二|PC|,故P在AC的垂直平分 线PO上，PO的方程为y=-x,因B点比A点晚4s听到爆炸声，故|PB| |PA|=340X4=1360 由双曲线定义知P点在以A、B为焦点的双曲线2 X-2 a2-=1 上, b 2依题意得 a=680, c=1020,2222.b =c -a =102022-680 =5 3402故双曲线方程为J6802_ 12 一 15 340

5、B. 16 C. 18D. 27图2用丫=一x 代入上式，得 x = ±680Q'5 ,|PB|>|PA|,: x = -680V5, y =680逐，即P(-680高,68075)，故PO = 680710答：巨响发生在接报中心的西偏北450距中心680jT0m处.22 .设P为双曲线x2=1上的一点Fi、F2是该双曲线的两个焦点，若|PFi|: |PF2|=3: 2,12则PF1F2的面积为（）A. 6V3B. 12C. 1273D. 24解析：a =1,b =正储=713，由 | PFi |:| PF2 | = 3: 2 又|PFi |T PF2 |=2a=2,由

6、、解得 | PFi |= 6,| PF2 |= 4. . | PFi |2 + | PF2 |2 = 52,| F1F2 |2 = 52,二 PFiF2为11直角二角形 二 S加/2 =-| PFi | '| PF2 |=&乂6乂4 = 12.故选 Bo223 .如图2所示，F为双曲线C :、一=1的左916焦点，双曲线C上的点Pi与P7,（i =1,2,3庆于y轴对称,则 PF + P2F + P3F - P4F - P5F P6F 的值是（）学习必备欢迎下载解析PF -P6F =|2F -P5F = P3F P4F =6,选 C224. P是双曲线 与y =1（a >

7、0,b >0）左支上的一点，Fi、F2分别是左、右焦点，且焦距 a b为2c,则APF1F2的内切圆的圆心的横坐标为（）(A) -a (B) -b(C) -c(D) a + b-c解析设APFiF2的内切圆的圆心的横坐标为 x0,由圆的切线性质知，PF2-PFi=|c-xo|-|xo-(-c)|=2a=x0=-a2222x y x y5.若椭圆 +匚=1(m > n > 0)与双曲线 '=1 (a Ab0)有相同的焦点 F, F2, m na bP是两条曲线的一个交点，则|PF1| |PF2|的值是()A. m - a b. 1 (m - a) C. m2 -a2 d

8、4rm-0彳2'【解析】椭圆的长半轴为 而,二PF1 + PF2 =2而 双曲线的实半轴为PF1 PF2| = ±2ja（2）2211(1 ) -(2 ):4 PF1 PF2 =4(map | PF1 , PF2 =ma ,故选 A.2.求双曲线的标准方程x21已知双曲线C与双曲线16=1有公共焦点，且过点（3 J2 ,42）.求双曲线C的方程.【解题思路】运用方程思想，列关于a,b,c的方程组2一一八，. x解析解法一：设双曲线方程为 a2 y b2=1.由题意易求c=2、1'5.又双曲线过点（372,2）,.(32)24 =1 J.又a2+b2= (2 J5 )2

9、, a2=12, b2=8.故所求双曲线的方程为解法二：设双曲线方程为22J J.1282x16 -k 4 k=1,k=4,所以双曲线方程为2 x122=1.82.已知双曲线的渐近线方程是y=±| ,焦点在坐标轴上且焦距是10,则此双曲线的方程学习必备欢迎下载解析设双曲线方程为x2 4y2 =九，22当儿：>0时，化为土 匕=1 ,九 A4221 5当九<0时，化为上_或=1，,2：吆=10，儿=20,_4 -九44一 42222综上，双曲线方程为二上=1或上人=12055203 .以抛物线y2=8j3x的焦点F为右焦点，且两条渐近线是x±v3y = 0的双曲线

10、方程为解析抛物线y2 =8J3x的焦点F为(2/3,0),设双曲线方程为x2 3y2 二九，4，22，二=(2a/3)2 ,九=9 ,双曲线方程为 y = 13934 .已知点M (-3,0) , N(3,0) , B(1,0),动圆C与直线MN切于点B ,过M、N与圆C相切的两直线相交于点 P,则P点的轨迹方程为22A. x2-L=1(x<-1)b, x2 - - = 1(x> 1)8822-2 y ， ，_、_2 yC. x + =1 (x > 0)D. x - =1(x >1)810解析PM PN=BM -BN =2, P点的轨迹是以M、N为焦点，实轴长为2的双曲

11、 线的右支，选B3.与渐近线有关的问题 221若双曲线x2 一 I = 1(a > 0, b > 0)的焦点到渐近线的距离等于实轴长，则双曲线的离心 a2 b2率为()A. 2B. . 3C. . 5D. 2【解题思路】通过渐近线、离心率等几何元素，沟通 a,b,c的关系2卜2解析焦点到渐近线的距离等于实轴长，故b = 2a, e2 =3=1+=5 ,所以e = J5aa【名师指引】双曲线的渐近线与离心率存在对应关系，通过a, b, c的比例关系可以求离心率，也可以求渐近线方程222.双曲线工=1的渐近线方程是()49学习必备欢迎下载A. y2=-x3B.C. y-： 3x2D.T

12、x解析选C3.焦点为（0,6）,且与双曲线2Ay2=1有相同的渐近线的双曲线方程是1224B.1224-1C.2412D.2412解析从焦点位置和具有相同的渐近线的双曲线系两方面考虑，选八，14.过点（1, 3）且渐近线为y = ±-x的双曲线方程是22【解析】设所求双曲线为 -y2 =k 41 一 35点（1, 3）代入:1）：k = 一 9 = 一 一.代入（4435 4y2352x一 =1即为所求.35在双曲线2-2ab=1中,2-2ab=0即为其渐近线.根据这一点，可以简洁地设待求双曲线为2.2ab=k ,而无须考虑其实、虚轴的位置4.几何21.设P为双曲线x| PFi |：

13、|PF2| = 3: 2,则 PF1F2的面积为（B. 12【解析】双曲线的实、虚半轴和半焦距分别是:2y =1上的一点，F1,12PF1 =3r, PF2| =2r.7,PF11 - PF2 =2a=26r=2.于是 PF1 =6, PF2|=4.'.' PF12+|PF2 2 =52 =|F1F22,故知 PF1F2是直角三角形，/ F1P F2=90° .八11 ” “, Sff2=-PF1 PF2 =一父6父4=12.选 B.225.求弦221.双曲线x -y =1的一弦中点为（2, 1）,则此弦所在的直线方程为（）学习必备欢迎下载A. y =2x -1 B.

14、y=2x_2 C. y = 2x _ 3 D. y = 2x 3解析设弦的两端分别为 A（x1,y1 ）, B（x2, y2 ）.则有:- 22xi - yi = 12 222 .yi - y2 x1 x222= xi - x2 - yi - y2 - 0-.乂2-丫2=1xi -x2 yi 2弦中点为（2,i）,+x2 4.故直线的斜率 k = yi - y2= xi * x2= 2 .yi V2=2xi -x2 yi y2则所求直线方程为：yi=2（x2p y = 2x-3,故选C.“设而不求”具体含义是：在解题中我们希望得到某种结果而必须经过某个步骤，只要有可能，可以用虚设代替而不必真地去求它但是，“设而不求”的手段应当慎用.不问条件是否成熟就滥用，也会出漏子.请看：22.在双曲线x2 -匕=i上，是否存在被点 M （i, i）平分的弦？如果存在，求弦所在的直 2线方程；如不存在，请说明理由 .如果不