2017年普通高等学校招生全国统一考试数学(含答案)

1、2017年普通高等学校招生全国统一考试（课标全国卷I）文数本卷满分150分,考试时间120分钟.第I卷（选择题，共60分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的1. 已知集合 A=x|x<2,B=x|3-2x>0, 则（）3A. An B=?|?< 2 B.A n B：?3C.AU B=?|?< 2 D.AU B=R2. 为评估一种农作物的种植效果，选了 n块地作试验田.这n块地的亩产量（单位:kg）分别为X1,X2,xn,下面给出的指标中可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度的是（）A.X1,X 2,x n

2、的平均数B.X 1,x 2,x n的标准差C.X1,X 2,x n的最大值D.X 1,X 2,x n的中位数3. 下列各式的运算结果为纯虚数的是（）2 2A.i（1+i）B.i （1-i）C.（1+i） 2 D.i（1+i）4. 如图，正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图.正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称.在正方形内随机取一点 ，则此点取自黑色部分的概率是（ ）-1n1nA.B.C.D.48242 ?5. 已知F是双曲线C:x - =1的右焦点,P是C上一点，且PF与x轴垂直，点A的坐标是(1,3),3则厶APF的面积为()A 1f 123A.B.C.D.32

3、326. 如图，在下列四个正方体中，A,B为正方体的两个顶点，M,N,Q为所在棱的中点，则在这四个正方体中,直线AB与平面MNQ平行的是(U?+ 3?w 3,7. 设x,y满足约束条件?> 1, 则z=x+y的最大值为()?> 0,A.0B.1C.2D.38.函数y=1彩?的部分图象大致为(9. 已知函数 f(x)=ln x+ln(2-x), 则()A. f(x) 在(0,2)单调递增B. f(x) 在(0,2)单调递减C.y=f(x)的图象关于直线x=1对称 D.y=f(x)的图象关于点(1,0)对称10. 下面程序框图是为了求出满足3n-2 n>1 000的最小偶数n,那

4、么在一和一.两个空白框中可以分别填入()A.A>1 000 和 n=n+1C.AW 1 000 和 n=n+1B. A>1 000 和 n=n+2D.AW 1 000 和 n=n+211. ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.则C=()A.右b. nc. nnD. 3已知 sin B+sin A(sin C-cos C)=0,a=2,c=v2,? ?12. 设A,B是椭圆C:?+?=1长轴的两个端点.若C上存在点M满足/ AMB=120 ,则 m的取值3?范围是()A.(0,1 U9,+ s)B.(0, V3 U9,+ s)C. (0,1 U 4,+ s)D.(0, v3

5、 U 4,+ s)第口卷(非选择题，共90分)二、填空题：本题共4小题,每小题5分,共20分.13. 已知向量a=(-1,2),b=(m,1). 若向量a+b与a垂直，则m 14. 曲线y=x2+在点(1,2)处的切线方程为?nn15. 已知 a (0,R ,tan a =2,贝匕os (?2 -) =.16. 已知三棱锥 S-ABC的所有顶点都在球 O的球面上,SC是球O的直径.若平面SCAL平面SCB,SA=AC,SB=BC三棱锥S-ABC的体积为9,则球O的表面积为 .三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答第22、23题为

6、选考题,考生根据要求作答（一）必考题：共60分.17. （12分）记S为等比数列an的前n项和.已知S=2,S3=-6.（1）求an的通项公式；求Sn,并判断S+1,Sn,Sn+2是否成等差数列18. （12 分）如图，在四棱锥 P-ABCD中,AB / CD,且/ BAP=/ CDP=90 .（1）证明：平面PAB丄平面 PAD;_ 8若PA=PD=AB=DC, APD=90 ,且四棱锥 P-ABCD的体积为-，求该四棱锥的侧面积319. （12分）为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每隔30 min从该生产线上随机抽取一个零件，并测量其尺寸（单位:cm）.下面是检验员在一天内依次

7、抽取的16个零件的尺寸：抽取次序12345678零件尺寸9.9510.129.96 9.9610.019.92 9.9810.04抽取次序910111213141516零件尺寸10.269.9110.1310.029.2210.04 10.059.951 16162 1 16经计算得？=贡刀 Xi=9.97,s= V_ 刀(? =V_(刀？?昇6?)0.212,16 ?=1 16 ?=1 16 ?=1 16 2 16VE (?8.5)2沁18.439,刀(Xi-?(i-8.5)=-2.78, 其中Xi为抽取的第i个零件的尺 ?=1 ?=1寸,i=1,2，,16.(1) 求(Xi,i)(i=1,

8、2, ,16)的相关系数 r,并回答是否可以认为这一天生产的零件尺寸不随 生产过程的进行而系统地变大或变小(若|r|<0.25,则可以认为零件的尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小)；一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在(？?3s, ?3s)之外的零件，就认为这条生产线在这 一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查(i) 从这一天抽检的结果看，是否需对当天的生产过程进行检查？(ii) 在(?3s, ?+3s)之外的数据称为离群值，试剔除离群值，估计这条生产线当天生产的零件尺寸的均值与标准差.(精确到0.01)?刀(？?只？)?？附：样本(x i ,y i)(i=1,

9、2,n)的相关系数r= ?=1?.VE (?)2 VE ( ?2?=1 . ?=1v0. 008 0.09.20. (12分)设A,B为曲线C:y=-上两点,A与B的横坐标之和为 4.(1)求直线AB的斜率； 设M为曲线C上一点,C在M处的切线与直线 AB平行，且AMLBM求直线 AB的方程.21. (12 分) 已知函数 f(x)=e x(e x-a)-a 2x.(1) 讨论 f(x) 的单调性 ;若f(x) > 0,求a的取值范围.(二)选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计 分.22. 选修4 4:坐标系与参数方程(10分)在直角坐标系

10、xoy中,曲线C的参数万程为?= 3需(e为参数)，直线l的参数万程为?= ?+ 4?= 1-? (t 为参数).(1)若a=-1,求C与I的交点坐标；若C上的点到I距离的最大值为v17,求a.23. 选修4 5:不等式选讲(10分) 已知函数 f(x)=-x 2+ax+4,g(x)=|x+1|+|x-1|.(1)当a=1时，求不等式f(x) > g(x)的解集；若不等式f(x) >g(x)的解集包含-1,1,求a的取值范围2017年普通高等学校招生全国统一考试(课标全国卷I)一、选择题1. A 本题考查集合的运算333由 3-2x>0 得 x<2,则 B=?<

11、-,所以 AA B=?|?< 2,故选 A.2. B 本题考查样本的数字特征.统计问题中,体现数据的稳定程度的指标为数据的方差或标准差故选B.方法总结样本的平均数体现的是样本数据的平均水平,样本的方差和标准差体现的是样本数据的稳定性3. C 本题考查复数的运算和纯虚数的定义A. i(1+i)2=i x 2i= -2;2B. i (1-i)=-(1-i)=-1+i;2C. (1+i)=2i;D. i(1+i)=-1+i,故选 C.4. B 本题考查几何概型设正方形的边长为2,则正方形的内切圆的半径为1,其中黑色部分和白色部分关于正方形的中心对称，则黑色部分的面积为宁，所以在正方形内随机取一

12、点，此点取自黑色部分的概率nnPf=7,故选 B.5. D 本题考查双曲线的几何性质易知F(2,0),不妨取P点在x轴上方，如图/ PF丄x轴, P(2,3),|PF|=3,又 A(1,3),|AP|=1,AP 丄 PF, S apf=- x 3 x 仁 3.故选 D.2 26. A 本题考查线面平行的判定B选项中,AB / MQ且AB?平面 MNQ,MQ平面 MNQ则AB/平面 MNQ;(选项中,AB / MQ且AB?平 面MNQ,MQ平面 MNQ则AB/平面 MNQ;E选项中,AB / NQ且AB?平面 MNQ,NQ平面 MNQ则AB /平面MNQ故选A.方法总结线面平行的判定方法线面平行

13、的判定定理；(2)面面平行的性质定理7. D本题考查简单的线性规划问题.作出约束条件表示的可行域如图：平移直线x+y=O,可得目标函数z=x+y在A(3,0)处取得最大值,z max =3,故选D.3 1一题多解由约束条件求出三个交点的坐标(3,0),(1,0),(2,-),分别代入目标函数z=x+y,得到 Zmax =3.8. C本题考查函数图象的识辨易知y= sin2?为奇函数，图象关于原点对称，故排除B选项;sin2 sin 120°=辽cos 1 cos1- cos?260°=1,则f(1)= F=v3,故排除A选项；f( n )= 严上=0,故排除D选项，故选C.

14、21 - cos11 - cos 冗方法总结已知函数解析式判断函数图象的方法:(1) 根据函数的定义域判断图象的左右位置，根据函数的值域判断图象的上下位置；(2) 根据函数的单调性判断图象的变化趋势；(3) 根据函数的奇偶性判断图象的对称性；(4) 根据函数的周期性判断图象的循环往复9. C本题考查函数的图象与性质函数 f(x)=ln x+ln(2-x)=lnx(2-x),其中 0<x<2,则函数 f(x)由 f(t)=ln t,t(x)=x(2-x)复合而成，由复合函数的单调性可知,x (0,1)时，f(x)单调递增,x (1,2)时，f(x)单调递 减，则A、B选项错误;t(x

15、)的图象关于直线x=1对称，即 t(x)=t(2-x), 则f(x)=f(2-x), 即f(x) 的图象关于直线 x=1对称,故C选项正确，D选项错误.故选C.10. D 本题考查程序框图问题.本题求解的是满足 3n-2 n>1 000的最小偶数n,判断循环结构为当型循环结构 ，即满足条件要 执行循环体，不满足条件应输出结果，所以判断语句应为 AW 1 000,另外，所求为满足不等式 的偶数解，因此.:中语句应为n=n+2,故选D.11. B本题考查正弦定理和两角和的正弦公式.在厶 ABC中,sin B=sin(A+C),贝V sin B+sin A(sin C-cos C)=si n(

16、A+C)+sin A(sin C-cos C)=0,即 sin Acos C+cos Asi n C+si n As in C-si n Acos C=0,3/ cos Asin C+sin Asin C=0,/ sin C 丰 0,二 cos A+sin A=0,即 tan A=-1,即 A= n.4由尙=si?得宇扬 sin C= 2，2又 0<c<n C=n，故选 b.4 6方法总结解三角形问题首先要熟悉正弦定理、余弦定理；其次还要注意应用三角形内角和定理,以达到求解三角函数值时消元的目的,例如本题中sin B=sin(A+C)的应用.12. A本题考查圆锥曲线的几何性质.当

17、 0<m<3时,椭圆 C的长轴在 x 轴上,如图(1),A(- v3,0),B( v3,0),M(0,1).同时要注意角的范图(1)V?),M( “,0)当点M运动到短轴的端点时，/ AMB取最大值,此时/ AM120° ,则|MO|W 1,即 0<mC 1； 当m>3时,椭圆C的长轴在当点M运动到短轴的端点时，/ AMB取最大值，此时/ AM4120° ,则|OA| >3,即 V?>3,即m> 9.综上,m (0,1 U 9,+ g),故选 A.易错警示在求解本题时，要注意椭圆的长轴所在的坐标轴,题目中只说A、B为椭圆长轴的 两个

18、端点，并未说明椭圆长轴所在的坐标轴 ，因此，要根据m与3的大小关系，讨论椭圆长轴所 在的坐标轴.二、填空题13. 答案7I解析 本题考查向量数量积的坐标运算./ a=( - 1,2),b=(m,1), / a+b=(m -1,3),又(a+b)丄a, '(a+b) a= -(m-1)+6=0,解得 m=7.14盒答案x-y+1=0l解析 本题考查导数的几何意义2 1 1/ y=x+? y'=2x -?, y'| x=1=2-1= 1, 所求切线方程为y-2=x-1,即 x-y+1=0.15盒答案3 yiK10nsin?解析 因为 a (0 ,-),且 tan a 2,所

19、以 sin a =2cos a ,又 sin a +cos a =1,所以2'cos?sin2 v5a=w ,cosa=,贝V COs(?- -)=cos54a cos n+sin a sin4n v5、/ v2 2 v5、_3 v10=X +X =4525210易错警示在求三角函数值时2 2,常用至U sin a +cos a =1 禾口 tansin?cos?，围，以确定三角函数值的正负16. 答案36 nt解析由题意作出图形，如图.方法总结等差、等比数列的常用公式：(1)等差数列：递推关系式:a n+1-an=d,常用于等差数列的证明通项公式:a n=a1+(n-1)d.设球 0

20、的半径为 R,由题意知 S吐BC,SMAC又 SB=BC,SA=AC则SB=BC=SA=AC=2R.连接 OA,OB,则OAL SC,OBL SC,因为平面 SCAL平面 SCB，平面SCA?平面 SCB=SC所以0从平面 SCB，所 以 OAL0B贝U AB=v2R,所以 ABC是边长为V2R的等边三角形，设厶ABC的中心为O,连接OO,COi.2则 OO丄平面 ABC,CO=-X 工 X v2r=/6R,则 OO=r?字-(-R) =R,32333则 VS-abc=2Vo-ab=2X 3X 孑(/2R)2X-33r=!r3=9,所以R=3.2所以球0的表面积S=4冗R =36 n.三、解答

21、题17盒解析本题考查等差、等比数列 (1)设an的公比为q,由题设可得?(1 + q) = 2, ?(1 + q + ?) = -6.解得 q=-2,a 1=-2.故a n的通项公式为nan=(-2).由可得$=空挣=-3+(-1)2?+134由于 $+2+$+1=-3+(-1)2?+3_ 2?+2=2-?(-1)"2?+1r=2Sn，故S+1,Sn,Sn+2成等差数列.前 n 项和公式:Sn=(?；?n=naJ?；?% 等比数列： 递推关系式：？?尹q(q工0),常用于等比数列的证明 通项公式:a n=a1 -qn-1?q = 1),1- ?前n项和公式：Sn=?(5(q丰1).在

22、证明a,b,c成等差、等比数列时，还可以利用等差中项：？2+?=b或等比中项:a - c=b 方法总结1.面面垂直的证明证明两个平面互相垂直，可以在一个平面内找一条直线I,证明直线I垂直于另一个平面2. 线面垂直的证明 证明直线I垂直于平面内的两条相交直线. 若已知两个平面垂直，则在一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面来证18. 盒解析本题考查立体几何中面面垂直的证明和几何体侧面积的计算(1)证明：由已知/ BAP=/ CDP=90 , 得 AB丄 AP,CDL PD.由于 AB/ CD,故 AB丄 PD,从而AB丄平面PAD.又AB?平面PAB,所以平面pabl平面pad.(2)在平面

23、PAD内作PEI AD,垂足为E.由(1)知,AB丄平面 PAD,故AB丄PE,可得 PE丄平面 ABCD.设AB=x,则由已知可得 AD=v2x,PE= fx.11 3故四棱锥 P-ABCD的体积 Wabcd=-AB AD- PE=-x .33138 由题设得=3,故x=2.从而 PA=PD=2,AD=BC=22,PB=PC=22.可得四棱锥 P-ABCD的侧面积为PDPA AB+PD- DCBCsin 60 ° =6+2 v3.22223. 几何体的体积柱体的体积V=S底 h.锥体的体积v=3s底山4. 几何体的表面积直棱柱的侧面积 S «=C底 I,其他几何体一般要对

24、各个侧面、底面逐个分析求解面积，最后求19. 盒解析本题考查统计问题中的相关系数及样本数据的均值与方差.16腾(?( i-8.5)(1)由样本数据得(Xi,i)(i=1,2,16)的相关系数为r= 上=-2. 7816 2 16 2 VE (? VE ( 2B 5) ?=1 ？=10. 212 xyf6X 18.439 -0.18.由于|r|<0.25,因此可以认为这一天生产的零件尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变 小.(i)由于？=9.97,s沁0.212,由样本数据可以看出抽取的第13个零件的尺寸在(?3s, ?+3s)以外，因此需对当天的生产过程进行检查.(ii)剔除离群值，即

25、第13个数据，剩下数据的平均数为 丄X (16 X 9.97 -9.22)=10.02,15这条生产线当天生产的零件尺寸的均值的估计值为10.02.16刀?=16X 0.212 2+16X 9.97 2 1 591.134,?=1 剔除第13个数据，剩下数据的样本方差为1 2 2石X (1 591.134 -9.22 - 15X 10.02 )0.008,v0. 008 0.09.这条生产线当天生产的零件尺寸的标准差的估计值为 方法总结样本的数字特征.(1)样本数据的相关系数r,?刀(?(?r=?冷"農(?2/ (?勿？?2反映样本数据的相关程度,|r|越大，则相关性越强.(2)样本

26、数据的均值反映样本数据的平均水平；样本数据的方差反映样本数据的稳定性，方差越小，数据越稳定；样本数据的标准差为方差的算术平方根.20. 盒解析本题考查直线与抛物线的位置关系.(1)设 A(x1,y 1),B(x 2,y 2),则 X1 X2,y 1=?,y 2=?,x 1+X2=4,于是直线 AB的斜率k=?空二?.?-?4? ?(2)由 r 得 y'= 2, 设M(X3,y 3),由题设知号=1,解得X3=2,于是M(2,1).设直线AB的方程为y=x+m,故线段 AB的中点为 N(2,2+m),|MN|=|m+1|.? 2将 y=x+m 代入 y=得 x -4x-4m=0.当 =1

27、6(m+1)>0,即 m>-1 时,xi,2=2±2 v?+.从而 |AB|= V2|x i-X2|=4 v2(?+ 1).由题设知|AB|=2|MN|,即 4化(？+ 1)=2(m+1),解得 m=7.所以直线AB的方程为y=x+7.方法总结(1)直线与抛物线的位置关系点差法：在已知“x !+X2”或“y i+y2”的值，求直线I的斜率时，利用点差法计算，在很大程度 上减少运算过程中的计算量.(2)直线与圆锥曲线的位置关系已知直线与圆锥曲线相交 ，求参数时，一般联立直线与圆锥曲线的方程，消元后利用韦达定理，结合已知列方程求解参数.求弦长时，可通过弦长公式 2|AB|=2

28、1+? |x 1-x 2|=21+?“ ？+?) -4? 或|AB|= 21+ 召y1-y 2|= 21+ 右 2(?+ ?)2-4?(k 工 0)求解.21. 盒解析本题考查了利用导数研究函数的单调性、最值.(1)函数 f(x)的定义域为(-g，+ g), f '(x)=2e2x-aex-a 2=(2e x+a)(e x-a). 若a=0,则f(x)=e 2x,在(-g，+ g)单调递增. 若 a>0,则由 f '(x)=0 得 x=ln a.当 x (- g,ln a)时,f '(x)<0;当 x (ln a,+ g)时，f '(x)>0.

29、故f(x)在(-g,ln a)单调递减，在(ln a,+ g)单调递增.? 若 a<0,则由 f '(x)=0 得 x=ln (-).当 x (- g, ln (-j)时,f '(x)<0;当 x (in (- 2), + g)时，f '(x)>0.故f(x)在(-g, I n(-?)单调递减，在(ln (-?),+ g)单调递增. 若 a=0,则 f(x)=e 2x,所以 f(x) > 0.若a>0,则由(1)得，当x=ln a时，f(x) 取得最小值，最小值为f(ln a)=-a2ln a,从而当且2仅当-a In a >0,即 awl 时,f(x) >0.?23?若a<0,则由(1)得，当x=ln (-)时，f(x)取得最小值，最小值为f(ln (-?) =a4-l n (-?).3?从而当且仅当a 4-In (- ?) > 0,3即 a>-2 e?时,f(x) >0.3综上,a的取值范围是-2 e4,1.22盒解析本题考查极坐标与参数方程的应用(1)曲线C的普通方程为?+y2=1.当a=-1时，直线l的普通方程为x+4y-3=0.?+ 4? 3 = 0, 由?' 一+ ? =