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文档简介
1、实用标准基本不等式专题辅导一、知识点总结1、基本不等式原始形式(1)若 a,b w R ,则 a2 +b2 之2ab2(2)若 a,b w R,则 ab <a b22、基本不等式一般形式(均值不等式)若 a,bwR*,则 a+b >2Vab3、基本不等式的两个重要变形(1)若 a,b w R ,则 a +b ><ab 2(2)若 a,b w R*,则 ab <|a!b ) ,2总结:当两个正数的积为定植时,它们的和有最小值;当两个正数的和为定植时,它们的积有最小值;特别说明:以上不等式中,当且仅当a = b时取“二”二、题型分析题型一:利用基本不等式证明不等式21
2、、设a,b均为正数,证明不等式:JOB x11+-a b2、已知a,b,c为两两不相等的实数,求证:2.22a b c ab bc ca2 一 2213、已知 a + b+c = 1,求证:a +b +c >- 34、已知 a,b,cWR+,且 a + b + c = 1,求证:(1-a)(1 -b)(1 -c) _8a b c5、已知 a,b,cWR*,且 a + b + c = 1,求证:6、(2013年新课标n卷数学(理)选修45:不等式选.讲2. 22a b c ,n)1.b c a4、求最值的条件:“一正,二定,三相等”5、常用结论1(1)右x A0,则x+ 之2 (当且仅当x
3、=1时取 =) x1(2)若x<0,则x+二 2 (当且仅当x = 1时取“=”) x(3)若ab:>0,则_a+b之2 (当且仅当a=b时取"=”) b a22(4)若 a,b w R,则 ab <(-ab)2 <a 22(5)若 a,bWR*,则,诲s"W21 12.2 I a b特别说明:以上不等式中,当且仅当a = b时取 一6、柯西不等式1-1 I a b . c设a,b,c均为正数,且a+b + c = 1,证明:,.1(I) ab + bc+ca <-;( 37、(2013年江苏卷(数学) 选修4 5:不等式选 讲已知 a >
4、;b>0 ,求证:2a3 -b3 22ab2 - a2b(1)若 a,b,c,d w R,则(a2 叱2(c2 可2)4ac 出)2(2)若 a1,a2,a3,b1,b2,b3 亡 R ,则有:(a; a22 a32)(1b12 b22 b32) (aA - a2b2 a3b3)2(3)设a,a2,1an与6,b2,1bn是两组实数,则有(a; a22an2)(b12 b22 ,bn2) (am a2b2 + -aMn)2题型二:利用不等式求函数值域1、求下列函数的值域21(1) y = 3x +-2(2)y = x(4 x)2x文档大全实用标准“、1 , c、1(3)y=x+(x0)(
5、4) y=x + (x<0)xx52、已知x < -,求函数y=4x_2+的取大值;44x - 5题型三:利用不等式求最值(一)(凑项)41、已知x >2 ,求函数y=2x4+的最小值;2x-4题型四:利用不等式求最值(二)(凑系数)1、当。力<4时,求y = x(82x)的最大值;变式1:当口 <木<4时,求y = 4x(8 2x)的最大值;4变式1 :已知x >2 ,求函数y=2x+的最小值;2x -44变式2:已知x<2,求函数y=2x+的最大值;2x -43变式2:设0<x< 一,求函数y = 4x(3 2x)的最大值。2一一
6、 一, 52、若 0<x<2,求 y = Jx(6 3x)的最大值;练习:1、已知x >,求函数y=4x-2 +1的取小值;44x -5文档大全实用标准变式:若0<x<4,求y = Jx(8 2x)的最大值;3、求函数y = 必 1 +<5 -2x(- <x<-)的最大值;-22(提示:平方,利用基本不等式)11变式1:已知a,b>0,a+2b = 2,求t= 十 的最小值;a b2 8.一一变式2:已知x, y>0,一十一=1,求xy的最小值;x y变式:求函数y =74x -3 +,11 -4x(3 <x /U)的最大值;4
7、411变式3:已知x, y>0,且一+ = 9,求x + y的最小值。x y题型五:巧用“ 1”的代换求最值问题一 .- 一,111、已知a,b >0, a +2b =1 ,求t = 十的最小值;a b法一:19变式4:已知x, y > 0 ,且一+ = 4 ,求x+ y的最小值;x y文档大全实用标准变式5:x 8变式:求函数y=8(x>1)的值域;x -111(1)若x, y A0且2x + y =1 ,求+的最小值;x y(2)若a,b, x, y w r+且a +P =1,求 x + y 的最小值;x y2、求函数y=±x12的最大值 (提示:换元法)
8、2x 5变式6:已知正项等比数列an 满足:a7 =a6 +2a5,若14 .一一存在两项am,an,使得,:aman =4a1,求一十一的最小值; m nx 1变式: 求函数y =的最大值;4x 9题型六:分离换元法求最值(了解)1、求函数y =x2 7x 10x 1(x#1)的值域;题型七:基本不等式的综合应用1、已知log 2 a + log 2 b之1 ,求3a + 9b的最小值文档大全实用标准2、(2009天津)已知a,b >0,求工+1 +2 vOb的最小值;a b变式1:已知a,b >0 ,满足ab = a + b + 3,求ab范围;变式1: (2010四川)如果a
9、 >b >0 ,求关于a,b的表达,、211 一 一式a +的最小值;ab a(a -b)11变式2: (2010山东)已知x, y > 0 , +2 x 2 y求xy最大值;(提示:通分或三角换元)变式2: (2012湖北武汉诊断)已知,当 aQa¥1时,函数y =loga(x -1) +1的图像恒过定点 A ,若点A在直线mx -y +n =0上,求4m +2n的最小值;变式3: (2011浙江)求xy最大值;已知 x, y >0 , x2 + y2 + xy = 1 ,3、已知 x, y >0 , x+2y+2xy=8,求 x+2y 最小值;文档大
10、全4、( 2013年山东(理)设正实数x, y,z满足x2 - 3xy + 4y2 z = 0,则当&取得最大值 z-,212时,一* 一 一的最大值为()x y z实用标准A. 0 B. 1D. 3(提示:代入换元,利用基本不等式以及函数求最值)11 n2、已知 x> y>z>0H+之恒成立,x - y y - z x - z如果nW N 求n的最大值;(参考:4)(提示:分离参数,换元法)2变式:设x, y,z是正数,满足x2y+3z = 0,求的 xz最小值;1 4变式:已知a,b >0满则-+- = 2 ,右a + b之c恒成立,a b求c的取值范围;题
11、型八:利用基本不等式求参数范围1 a, 一1、(2012 沈阳检测)已知 x, y >0,且(x+y)(+a)之 9x y恒成立,求正实数 a的最小值;文档大全题型九:利用柯西不等式求最值1、二维柯西不等式a b(a,b, c, d二R,当且仅当一=一;即ad =bc时等w成立)c d若 a,b,c,d w R,则(a2+b2)(c2 +d2)之(ac+bd)2实用标准2、二维形式的柯西不等式的变式(1)a2 +b2 -Cc2 +d2 >|ac + bd(a,b, c, d R R,当且仅当a =;即ad =bc时等号成立)c d(2) . a2 b2 , c2 d2 - ac|
12、-|bda b(a,b, c, d w R,当且仅当一=一;即ad =bc时等w成立)c d(a b)(c d) _ (., ac iJbd )2a b(a,b, c, d >0,当且仅当一=一;即ad =bc时等w成立)c d析:(x -2y 2z)2 < (x2 y2 z2)12 (_2)2 22=4 9 = 36,x2y+2z最小值为-6此日寸;W=i2(A 22-2x 二34-4,y=一, z=一33-22222、设 x,y,z= R, 2x y 2z = 6 ,求 x +y +z 的最小值m ,并求此时x, y,z之值。.,、,424、Ans: m =4;(x,y,z)
13、=(-, , )3333、二维形式的柯西不等式的向量形式a < a P(当且仅当百=0,或存在实数卜,使?=卜7时,等号成立)4、三维柯西不等式若 a1,a2,a3, bi,b2,b3 R,则有:(a; a22 232)(心2 b22 b32) 一(aQ a2b2 , a3b3)2(ai,bjWR,当且仅当曳=0=包时等号成立) b1 b2 ba5、一般n维柯西不等式设阚©2, ;工与bi,b2, 'bn是两组实数,则有:3、设 x,y,zw R , 2x3y + z = 3,求 x2+(y1)2 + z2之最小值为,此时y=(析:2x3y+z = 3u 2x 3( y 1) + z = 0 )一 222-2222(a1 a2 一一an)(t>1 , b2bn ) _(&b a2b2:心and)(ai,bi wr,当且仅当包=生=an时等号成立) b1b2bn题型分析题型一:利用柯西不等式一般形式求最值1、设 x, y, zWR,若 x2 +y2 +z2 = 4,则 x2y+2z的最小值为 时,(x, y, z) = 4、(2013 年湖南卷(理)已知 a, b,cw,a+2b +3c= 6,222则a +4b +9c的最小值是 ( Ans:12)文档大
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