基本不等式非常全面96099

1、实用标准基本不等式专题辅导一、知识点总结1、基本不等式原始形式(1)若 a,b w R ,则 a2 +b2 之2ab2(2)若 a,b w R,则 ab <a b22、基本不等式一般形式(均值不等式)若 a,bwR*,则 a+b >2Vab3、基本不等式的两个重要变形(1)若 a,b w R ,则 a +b ><ab 2(2)若 a,b w R*,则 ab <|a!b ) ,2总结：当两个正数的积为定植时，它们的和有最小值；当两个正数的和为定植时，它们的积有最小值；特别说明：以上不等式中，当且仅当a = b时取“二”二、题型分析题型一：利用基本不等式证明不等式21

2、、设a,b均为正数，证明不等式：JOB x11+-a b2、已知a,b,c为两两不相等的实数，求证：2.22a b c ab bc ca2 一 2213、已知 a + b+c = 1,求证：a +b +c >- 34、已知 a,b,cWR+,且 a + b + c = 1,求证：(1-a)(1 -b)(1 -c) _8a b c5、已知 a,b,cWR*,且 a + b + c = 1,求证：6、(2013年新课标n卷数学(理)选修45:不等式选.讲2. 22a b c ,n)1.b c a4、求最值的条件：“一正，二定，三相等”5、常用结论1(1)右x A0,则x+ 之2 (当且仅当x

3、=1时取 =) x1(2)若x<0,则x+二 2 (当且仅当x = 1时取“=”) x(3)若ab:>0,则_a+b之2 (当且仅当a=b时取"=”) b a22(4)若 a,b w R,则 ab <(-ab)2 <a 22(5)若 a,bWR*,则，诲s"W21 12.2 I a b特别说明：以上不等式中，当且仅当a = b时取 一6、柯西不等式1-1 I a b . c设a,b,c均为正数，且a+b + c = 1,证明:,.1(I) ab + bc+ca <-；( 37、(2013年江苏卷(数学) 选修4 5:不等式选 讲已知 a >

4、;b>0 ,求证：2a3 -b3 22ab2 - a2b(1)若 a,b,c,d w R,则(a2 叱2(c2 可2)4ac 出)2(2)若 a1，a2,a3,b1,b2,b3 亡 R ,则有：(a； a22 a32)(1b12 b22 b32) (aA - a2b2 a3b3)2(3)设a，a2,1an与6，b2,1bn是两组实数，则有(a； a22an2)(b12 b22 ,bn2) (am a2b2 + -aMn)2题型二：利用不等式求函数值域1、求下列函数的值域21(1) y = 3x +-2(2)y = x(4 x)2x文档大全实用标准“、1 , c、1(3)y=x+(x0)(

5、4) y=x + (x<0)xx52、已知x < -,求函数y=4x_2+的取大值;44x - 5题型三：利用不等式求最值（一）（凑项）41、已知x >2 ,求函数y=2x4+的最小值;2x-4题型四：利用不等式求最值（二）（凑系数）1、当。力<4时，求y = x（82x）的最大值；变式1：当口 <木<4时，求y = 4x（8 2x）的最大值;4变式1 ：已知x >2 ,求函数y=2x+的最小值;2x -44变式2：已知x<2,求函数y=2x+的最大值;2x -43变式2：设0<x< 一,求函数y = 4x（3 2x）的最大值。2一一

6、 一， 52、若 0<x<2,求 y = Jx(6 3x)的最大值;练习：1、已知x >,求函数y=4x-2 +1的取小值;44x -5文档大全实用标准变式：若0<x<4,求y = Jx(8 2x)的最大值;3、求函数y = 必 1 +<5 -2x(- <x<-)的最大值;-22(提示：平方，利用基本不等式)11变式1:已知a,b>0,a+2b = 2,求t= 十 的最小值;a b2 8.一一变式2：已知x, y>0,一十一=1,求xy的最小值;x y变式：求函数y =74x -3 +，11 -4x(3 <x /U)的最大值;4

7、411变式3：已知x, y>0,且一+ = 9,求x + y的最小值。x y题型五：巧用“ 1”的代换求最值问题一 .- 一,111、已知a,b >0, a +2b =1 ,求t = 十的最小值;a b法一：19变式4：已知x, y > 0 ,且一+ = 4 ,求x+ y的最小值;x y文档大全实用标准变式5:x 8变式：求函数y=8(x>1)的值域;x -111(1)若x, y A0且2x + y =1 ,求+的最小值；x y(2)若a,b, x, y w r+且a +P =1,求 x + y 的最小值;x y2、求函数y=±x12的最大值 (提示：换元法)

8、2x 5变式6：已知正项等比数列an 满足：a7 =a6 +2a5,若14 .一一存在两项am，an,使得,：aman =4a1，求一十一的最小值； m nx 1变式： 求函数y =的最大值;4x 9题型六：分离换元法求最值(了解)1、求函数y =x2 7x 10x 1(x#1)的值域;题型七：基本不等式的综合应用1、已知log 2 a + log 2 b之1 ,求3a + 9b的最小值文档大全实用标准2、（2009天津）已知a,b >0,求工+1 +2 vOb的最小值;a b变式1：已知a,b >0 ,满足ab = a + b + 3,求ab范围；变式1： （2010四川）如果a

9、 >b >0 ,求关于a,b的表达,、211 一 一式a +的最小值；ab a（a -b）11变式2： （2010山东）已知x, y > 0 , +2 x 2 y求xy最大值；（提示：通分或三角换元）变式2： （2012湖北武汉诊断）已知，当 aQa¥1时，函数y =loga（x -1） +1的图像恒过定点 A ,若点A在直线mx -y +n =0上，求4m +2n的最小值；变式3： （2011浙江）求xy最大值;已知 x, y >0 , x2 + y2 + xy = 1 ,3、已知 x, y >0 , x+2y+2xy=8,求 x+2y 最小值;文档大

10、全4、（ 2013年山东（理）设正实数x, y,z满足x2 - 3xy + 4y2 z = 0,则当&取得最大值 z-,212时，一* 一 一的最大值为（）x y z实用标准A. 0 B. 1D. 3（提示：代入换元，利用基本不等式以及函数求最值）11 n2、已知 x> y>z>0H+之恒成立,x - y y - z x - z如果nW N 求n的最大值；（参考：4）（提示：分离参数，换元法）2变式：设x, y,z是正数，满足x2y+3z = 0,求的 xz最小值;1 4变式：已知a,b >0满则-+- = 2 ,右a + b之c恒成立,a b求c的取值范围；题

11、型八：利用基本不等式求参数范围1 a, 一1、（2012 沈阳检测）已知 x, y >0,且（x+y）（+a）之 9x y恒成立，求正实数 a的最小值；文档大全题型九：利用柯西不等式求最值1、二维柯西不等式a b（a,b, c, d二R,当且仅当一=一；即ad =bc时等w成立）c d若 a,b,c,d w R,则（a2+b2）（c2 +d2）之（ac+bd）2实用标准2、二维形式的柯西不等式的变式(1)a2 +b2 -Cc2 +d2 >|ac + bd(a,b, c, d R R,当且仅当a =;即ad =bc时等号成立)c d(2) . a2 b2 , c2 d2 - ac|

12、-|bda b(a,b, c, d w R,当且仅当一=一；即ad =bc时等w成立)c d(a b)(c d) _ (., ac iJbd )2a b(a,b, c, d >0,当且仅当一=一；即ad =bc时等w成立)c d析：(x -2y 2z)2 < (x2 y2 z2)12 (_2)2 22=4 9 = 36，x2y+2z最小值为-6此日寸；W=i2（A 22-2x 二34-4，y=一, z=一33-22222、设 x,y,z= R, 2x y 2z = 6 ,求 x +y +z 的最小值m ,并求此时x, y,z之值。.,、，424、Ans： m =4;(x,y,z)

13、=(-, , )3333、二维形式的柯西不等式的向量形式a < a P（当且仅当百=0,或存在实数卜,使？=卜7时，等号成立）4、三维柯西不等式若 a1,a2,a3, bi,b2,b3 R,则有：（a； a22 232）（心2 b22 b32） 一（aQ a2b2 , a3b3）2（ai,bjWR,当且仅当曳=0=包时等号成立） b1 b2 ba5、一般n维柯西不等式设阚©2, ；工与bi,b2, 'bn是两组实数，则有：3、设 x,y,zw R , 2x3y + z = 3,求 x2+(y1)2 + z2之最小值为,此时y=(析：2x3y+z = 3u 2x 3( y 1) + z = 0 )一 222-2222(a1 a2 一一an)(t>1 , b2bn ) _(&b a2b2：心and)（ai,bi wr,当且仅当包=生=an时等号成立） b1b2bn题型分析题型一：利用柯西不等式一般形式求最值1、设 x, y, zWR,若 x2 +y2 +z2 = 4,则 x2y+2z的最小值为 时，（x, y, z） = 4、(2013 年湖南卷(理)已知 a, b,cw,a+2b +3c= 6,222则a +4b +9c的最小值是 ( Ans:12)文档大