2020--2020年朝阳区高三数学理科期末试题及答案

1、北京市朝阳区 2020-2020 学年度高三年级第一学期期末统一考试数学试卷(理工类)(考试时间 120 分钟2020 1满分 150 分)本试卷分为选择题(共40 分)和非选择题(共 110 分)两部分第一部分(选择题 共 40 分)、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，12.选出符合题目要求的一项设 i 为虚数单位，则复数 z1i1 i 在复平面内对应的点所在的象限是 iA第一象限B 第二象限 C 第三象限 D 第四象限过抛物线 y24x的焦点 F 的直线l交抛物线于 A,B两点若AB中点M 到抛物线准线的距离为6，则线段 AB 的长为A 69

2、 12D 无法确定3设函数 f(x) sin(2x )的图象为 C ，下面结论中正确的是3A函数 f (x) 的最小正周期是B图象 C关于点 (6,0)对称C4某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的全面积是A4 2 6B8C4 2 3D 4 3D函数 f ( x)在区间 (, )上是增函数2图象 C 可由函数 g(x) sin 2x的图象向右平移 个单位得到 35 ， 表示不重合的两个平面， m，l 表示不重合的两条直线 若 Im，ll，则“ l m ”是“ l 且 l ”的A充分且不必要条件B 必要且不充分条件C充要条件D 既不充分也不必要条件6在 ABC中， B 4，则sin A sin

3、C的最大值是1232 2 2ABCD4424uuuruuur uuur7点 O在 ABC 的内部，且满足OA2OB 4OC0，则 ABC 的面积与 AOC 的面积之比是A7 B 3C 5D 2228.设连续正整数的集合 I 1,2,3,.,238 ，若T是I 的子集且满足条件：当 x T时，7x T ，则集合 T 中元素的个数最多是（ ）A. 204 B. 207 C. 208 D. 209 第二部分（非选择题 共 110 分）二、填空题：本大题共 6小题，每小题 5 分，共 30分把答案填在答题卡上9角 的顶点在坐标原点，始边与 x 轴的非负半轴重合，终边经过点 P（1,2） ，则sin（

4、） 的值是10双曲线 C:x2 y2 （ 0）的离心率是 ；渐近线方程 是x2y4 0,11设不等式组x0,表示平面区域为 D ，在区域 D 内随机取一点 P ，则y0点 P 落在圆2 x2 y1内的概率为12有一口大钟每到整点就自动以响铃的方式报时， 1 点响 1 声，2点响 2声，3 点 响 3声，12点响 12 声(12 时制)，且每次报时时相邻两次响铃之间的间 隔均为 1 秒在一次大钟报时时，某人从第一声铃响开始计时，如果此次是 12 点的报时，则此人至少需等待 秒才能确定时间；如果此次是 11 点的报时， 则此人至少需等待 秒才能确定时间13在锐角 AOB的边OA上有异于顶点 O的

5、6 个点，边 OB上有异于顶点 O的 4 个点，加上点 O，以这 11 个点为顶点共可以组成个三角形(用数字作答)14已知函数 f(x) sxin 1xx (x R) 下列命题： 函数 f (x) 既有最大值又有最小值； 函数 f (x) 的图象是轴对称图形； 函数 f (x)在区间 ,上共有 7个零点；函数 f (x)在区间 (0,1)上单调递增其中真命题是 (填写出所有真命题的序号) 三、解答题：本大题共 6 小题，共 80分解答应写出文字说明，演算步骤或证明过 程15(本小题满分 13 分) 退休年龄延迟是平均预期寿命延长和人口老龄化背景下的一种趋势. 某机构为了解某城市市民的年龄构成，

6、从该城市市民中随机抽取年龄段在 2080 岁(含 20 岁和 80 岁）之间的 600人进行调查，并按年龄层次 20,30） ，30,40） ，40,50） ， 50,60） ， 60,70） ，70,80 绘制频率分布直方图，如图所示 . 若规定年龄分布在 20,40） 岁的人为“青年人” ，40,60） 为“中年人”， 60,80 为“老年人” .）若每一组数据的平均值用该区间中点值来代替，试估算所调查的600 人的平均年龄；）将上述人口分布的频率视为该城市在 20-80 年龄段的人口分布的概率从该 城市 20-80 年龄段市民中随机抽取 3 人，记抽到“老年人”的人数为 X ， 求随机变

7、量 X 的分布列和数学期望1 6 （本小题满分 14 分） 如图，在四棱锥 P ABCD 中，底面 ABCD 是正方形，侧面 PAB 底面 ABCD ， PA AB，点E是PB的中点，点 F 在边BC上移动（）若 F为BC中点，求证： EF/ 平面PAC ； （）求证： AE PF ；）若PB 2AB ，二面角 E AF B的余弦值等于 11 ，试判断点 F 在边BC上11的位置，并说明理由CFB17(本小题满分 13 分)若有穷数列 a1，a2，a3,L , am( m是正整数)满足条件：ai am i 1(i 1,2,3,L ,m) ， 则称其为“对称数列” 例如， 1,2,3,2,1和1

8、,2,3,3,2,1都是“对称数列”()若 bn 是 25 项的“对称数列”，且 b13,b14, b15,L ，b25是首项为 1，公比为 2 的等比数列求 bn 的所有项和 S；()若 cn 是 50项的“对称数列”，且c26 , c27, c28,L ， c50是首项为 1，公差为 2 的等差数列求 cn 的前 n项和 Sn，1 n 50,n N .18(本小题满分 13 分)eax设函数 f (x) 2 ,a R x2 1()当 a 3时,求函数 f (x) 的单调区间；51()设 g(x)为 f (x) 的导函数，当 x ,2e时，函数 f (x) 的图象总在 g(x) 的图象 e的

9、上方，求 a 的取值范围19(本小题满分 14 分)已知椭圆 C: x2 y2 1(a b 0)过点(1, 3 ) ，离心率为 3 过椭圆右顶点 A的1 两条斜率乘积为 1的直线分别交椭圆 C于 M,N两点4 ()求椭圆 C 的标准方程；()直线 MN 是否过定点 D ？若过定点 D ，求出点 D 的坐标；若不过，请说明理 由20(本小题满分 13 分)已知函数 f(x) (x x1)(x x2)(x x3)，x1， x2， x3 R,且x1 x2 x3()当 x1 0，x2 1，x3 2时，若方程 f (x) mx恰存在两个相等的实数根，求 实数 m 的值；()求证：方程 f (x) 0 有

10、两个不相等的实数根；()若方程 f (x) 0的两个实数根是 , ，试比较 x1 x2 与 , 的大小并说明理由2015年北京市朝阳区高三年级第一学期期未练习数学 理科）!丨 Ulme(Z = I±2 I 3 内A. 4一益EUB.第二鮫HiC.第三象!D.第四象a!r列馳物线冷线的和D.无法确Jt2.比初汶=4T/,- / -, A DM痴为G 的K为（）A. CB. 9C. 12律案I C解析如图所示，由地物线定义甜AF = ACIBFl = |Dlll为AB山点 Il /到枪物线冷线州"为6 所以 AC + BD - 12 LJ Ali = HFI ÷ BF

11、 = 12 3 r) = sm(2r-l)的图娥为C 下IF诂i；八A. ft(r)的Irt介”周期足JhrB. W«lC黄尸点(壬,0)对称GHftC tBt9(r)=sin2 Im H 彳个T f rj D. () (何(品)I ½JfiSi!lB*解析£ /() l 引期T = = W :WG)=O '讥哄*, (0)冷St()材八IEg仗)«in2r J S ；i I ffJ 1' -iPh.:6T) iRiftm>4/ - -÷fer (fc Zl .4()二 ；l' M駅/(r) I < (誇冷)

12、先 减4.皎隆的 lli列B .t n frHl <)A 4 + 2y5B 8n«： A IK«Wlrft!KK 所 VD. 45.(VM1 PO 丄 F ABC OC ± f Jr PIB IIOP = OC - 2 O 一 ON = 1.认 I.H ill PA PIJ V pOi ÷ OA- 虫 AC = AB VOlP OC,- S PC 75(7rO 22 '：以 Spab 二 Scau 2 Sapac - SAPflC C . T 全 八 IJ 4 + 2/&农小不卫合的两，屮面.mI衣小不更合旳两条I；找n3 = ml

13、0WB W- /1Im - -1 Il IUIo 的（）A充片1MW疋条nC充波条fl映CB. Il 1<flD吐小充分也不必；条什解析：充分性：IM为 = rn所以m C am C 冈为ZIl m » IQIQB所IU/ I" : 4Z5tt il fTl7 芟B I冈为所以Hlnl n fim Efr.则Ilmii n fim 4*Ifr则九0。囚为Hla斤以n丈因为nc3 = m6. 4 A.ABC 屮 Hnt： DIHJrin4 IrinC的於人伯足(BIc晋D.2÷5解析:sdn 4 sinC = Sin 4 sin (x 4 B)Sm A Win

14、STnACoeyl Vxin4)K为0 V 人 < 所以一上 < 24- < 所W24-y =咯 时.jdn4smC 取J44444247. O、ABC 的内加 I；肩足濒+2+ *5 Tt ABC fJ ；> AOC zjrZ比址<>冷矢A镣F ：法-：址K"O XAC I ;图所小:+ 2 - 40 - 0 Y i-÷2÷4 5?- Bd " 匕 前二;51+弓證= 昭期+押卜評所以所以股堆於 ABC 内 A O 育SAHoCOA + SACO° + Sdio日= 0法：如用.fKO"全点E m

15、 OE = 20« 以OA OE为邻边做tjq边形OADE 对RAE OD交点FOD AB点P'I OA + 2O = O 6 I at + 20 + = o 所以65 + 4况=亦.所以C 0、P、D 共後 OD 40C .所以FO = 20C所以BF H AOH络=£冈为F B分别为NE OE中点ISdipC =亍Szu BC SAPC - -SOC . 所以絆IS鳥.,OC 2?£ .：以AC L- 7Ii * AC旳屮杯系改 <4(0) 0(0.6) . C(C.0) O 仗) k：ij OA (a 矣 y) OA = (- , 6 - y)

16、 .(C - , -y)< O/t ÷ 20/) *- Tt ( 丫 y)4 2(-.6 y) ÷4(c . U) (0.0) ,ji' y2bb 72y 4y D ftA - 一.8.没连刃 1r = l12,3, . iT l MrUg =铁件:trT ：. 7T (WtIifrT屮元奪的个()A. 204B. 207C. 208D. 209n: C: T屮sf17常关柬的WtStQd我们,“屮的数分収氏二 关：1.7.49 : 2,14,98 : 3,21,147 : 128J96 ：共 4:町织於歩只lfr t U i>T屮IlJtt >T

17、屮生少応喲I处其屮4个元务7,14f21f18 X 先 5.35 : 6.12 X &56 : 34.238 A 4-2C 山哄个时合T . lurT中÷ -4frM中的26个元乩； < I F网匸丨仃妆.3G3733 237它fl.1L7的T放H ttl的7 V 1 lr中卜以这纠屮山仆UWUM U frT :所以 I ZrT屮放# I以f: 238 - 426= 208个元轧"实上元的第令T可以这用构造R先柠#LrU屮所有7的倍数(共3(.：?.再< 72 IrJ(Mtk «共4 t>卄河4、 W此U元余个監惊匕力238 34 + 4

18、-208个.¼JU地切以艸解如阳址U 山如用的苦艸不同的分"2 a哝f构成 &. ："卸 : Vi热所仔的化学建.二.填空题oT , * ；,<) ,： P(l,2) n(x-)Sin(Ir ) = Staa =林：等解析:10. «曲C : T2-V2 = A (>0) 渐近纹力秆 n：«i 2 : y=± 第空3分，第二空2分解析 “曲线万F地彤为三一丰=1所以 = A = c = 2A序以瘵心* UAAfee = = 2瀬近线"为y = ±F = ± + 2y - 4 0,H.、

19、I >(), I) D AMMV J P 则点卩y>oM2 + y2 = l内的槪宰力IlKt ，DD44 :P 内 5 亠4412.冇口川铃的方*H, 151. 223« 312 MV 1212次报时吋郴邻两JJ " MM均为1枳 件次人仲汕申'：4响铃开始计吋 M* ?2 M Jil此人至少 MI如衆此次於】戌的抿时期此人至少需：讨:松才能繃疋时间.n：«： 11 ： 11第空3分,第二兰2分I析；JlIiWAiU 町响 12 “ 12 51 歿12 声庚，I ：EGTHfrim. 11 - 1211 勺損时人忡会响Il M 収I经过10杪

20、斬到第1】h响时.不剣ft，：】1H必九再*rl秒购宦会不公千:站12 HW MW.E½ -HriCl2 用以11宀勺用时 此人rf至少1】诊才AWi足时间13. A AOli IrJ o/1 I "昇 -O 6 个，询 OB f ! , O ff / 4 个心 -O以这Ii卜上勺r共"以？ ；个“"mt; ZnL5>: 120翳析；4Hf*t况：1O C J 0/1 IU两 UO I眾 .< OA甘丿吐时幼忆欣门句卜个t；qci + c>q-9c :.旳形个故为CiCi =2fb! fcr,sO i. OD I* IlR 门 Ilti

21、H 口构城的所M以这H个占切;共叫以K応96+ 24 = 120个何形.H. 二；3 WI () ffifttfr ZffM小创：»«tt/(r) <M i,r » 共冇7 tT.1函t¾() “仙(U) I调逼用其屮=Ve(D解析: D:.,SinYT11rx ÷ l-* " 2Ir W 2r专Ii仪» = 5 时- f（T）、吕心）it > 10 时 f (T) >当工 <-9 时 /(x)>-py>-j>(-).f(r) 4 |-9,10) GbM T m . I m / &g

22、t; - I所以 m亦()金定义域上的Jrt小仇考虑，冈为/(l-) = (x) 所以工二;为f(0的对J:考虑，/() = 0 即Jdnirt = O 也WT = k9keZ 所以在区刮Hr詞I Ff-3t-2l-I10,l,2t3 A计7 G零点：/(0) = (l) = 0 所以f()不町能年丙谨懵三.解答理15. i休年龄誌迟÷fWXff Kifll人1£龄化养策下的桦口势束机构为了 了解瑕城巾山民的 丁彩构成从该城山山ISW机抽Iid汀24 2O8O “仟20岁和80冷)Zrn ffJC人IIfIiB仟時按年龄层次20,30)30,40) 40,50)50.60)

23、 (60,70) . 70.80吃制颔华分估“力 W.如阳所小.itfrA (20,40) IfJ人为 F年人40,CO)旳人为屮年人二60,80的人为 -E年人二<i)n谄ftficj÷fw!ijfft*代怜 H佔"所调舍的6人的平均年冷2 I M1<>!.2O8O年粽,丿的轧 从谀城巾2080够的M取 3 , fl * <A -A解析：<1)由18息佔悴所调C的G人的平均年賛为25 X 0.1 35 X 0.2 ÷ 45 X OJ ÷ 55 X 04> ÷ G5 X 0.1 + 75 X 0.1 - 48

24、().4分 ,2080f 齡I. IMMMl '、 I*到Z：、-Iwi車为；.5依起©X的为0I23 P(X = O) = CS(I)O)1 = s P(X = I) = C>()(i)a = s p(x = 2) = c()a(4) = : P(X = 3) = q()s(4) = .曲机 XX0123P04W1、： 16. 切阳 ABCD底T ABCD I 方形 P4 丄代曲片CD PA - PIf ELPli IrJ 屮门， Fftxi c Ie功1)看F为BC的屮点.4i: EF Il半由:PAC ：(2)求ih AE 1 PF :3» YiPli

25、- 24 E-AF-Bv導. 卜 IlC井说明理由解析:1)A 4PBC 屮. Pli 屮点.ILBC 屮心，所以EFlPC乂IN为EFa wPAC PCC rtP4C 所以EF I i PAC4分<2)IM为底由ABCD LF方形所以"C丄A"XP；为 M P4W L BCD 半PAlin 半XABCD - Ali BCC fCD 所以C丄f rtnPBJ i AE C * 曲PAB 所以BCIAE由fil PA = ABAE定PB的屮点所以AEIPB W为 PBCBCUB 所以AE丄I iiiPflCIM ¾ PF c * 曲卩(7 所以AE丄PF3)“

26、F 为边 BC 1.5?IgB FJ .写分.IU 为 PA 二 AB PB = y2AB 所以PAIABI 2) «1 l. BC 1 frP4?XCD 所以AD丄半PAB 即AD丄PA . AD丄/1 所以人D . AB . AP两两垂血分JM以TlDABAP 上！y ：.不妨tt4B 2 BFm R(O,O,O) . B(0,20) P(0.0,2) E(O,1,1) . F(Tn,20) ½4 = (OJ.1) A = (m,2,0)改半OrAEF的个法向i为7t = (p.q.r) g = O,illW彳AF O1g + f = 0, mp + 2g = 0.IU

27、P 2 . Wq = -m r = m . fI = (2, -m.m) 由 JMP 丄片 APIAD AHnAD 诉以人卩丄3 ABCDKPYrfnXflF 1 -个M H 为"= (0,0,2)IHWU l*"2m2茹网=52P * Imr由 J C=Al) 2 所以FC Q, F为边C I IiB门旳.'；分W14分17. ffJi*11 . < a, am : Tn 为氏整敎）满足条件：a1 =Om-Ol（t = 1,2,3. .m）蝎林其为対风收列”.阿如.12321和12.3321 If址-对称蛙列二（1）IHbfj肚is顷的-时称敌列- Hfen

28、 . 6u . lH ½n为1 公比为2的弓比数列.求&J的所仔项和S :2 r M <50川的时仪益处- Ce 切C8C5O二订儿为】公"¾2的3 ' “的 K(< (<J IHSn 1 n50 n N L1 > “、迥 l： &i3 1 b】4 = 2 g 二 b 213 2,2 US j5 2门 i S/ - 2门 &J2 &|4 - 2 期 S= 2(® + + 61J + I = 2 1÷ 1 = 2la - 3 .r6仃2、笊亡-o *21x219 . IyJ 2芫50

29、 门-时钉扛呵”,*1 Il Cl <q49 q 347 CX (¾b1 ；U I n 25 上 Sn - n2 - 50n :2G n 50 ：. Sn Sas ÷ (n 25) + x(n 25)( 2G)x 2 S.二 2 so+ 1250 .-n, + 50n,1 n 25,n N*fI Sm = *2 SOn 1250. 2G n 50fn N*.13分1&农冈妆/(工)二一一aR1) Hla=L®t< /(T)T.q.:O(2)欢曲 为他)的Stt>与X 卜詞时 My(JP)的盹总在曲的時的上力球的frt.H C¥(

30、3/- Io+3)-5(卢+ I)：f, (T) > O f* 3t2 Id? > O .解< £ r > 3 ；WUf() < O , 3j2 - IQr ÷ 3 < O "f<<3W(3,+oo) iff£：所 W /() ,.H /. < 卩力(Cl)2) IU g(X)一.严(心- 2a) f (T)(X . D=ZPj¾t() ,JW总4 g() flW( I 方听以/() > P(T) .三+ 1(2 + 1)乂因为 Ao . -, a(z2 + 1) - 2 < T

31、2 ÷ 1 .Ia -I)(T2 ÷ 1) < 2r . + I2rT ttA() = -r Wa-Kh(T)mei (» n-r<l :I 2(1-Ta)h,() WfJI < (尹 + 1) 由“)= ：£；彳Vo 注童到*：4.-.I i -9IiMI i,2aIC /讲以h()勺於小伯为叹伽)卩!为人(丄)=一 (2c)=l- fl >f -< g c2 + 14c2 + 14c2 + 1 Ca +所以a-l<r4e2 + 1所以 jyfflmH一 8,13分19. W C:吕+兽= l(a>b>O

32、) i. 戾心車为或.过|右的h<m7（ FM .Nr4（1）炖a G的杯榷方F0：2) IhkAfJV址冷过定 D ? Y 1定丿DJJll D的屮怀.卜沖 DJWly I I.G1. =F HZlm= 分 b-4 = + : /-23-仲r2 一 + M C-al-AA 析解2> n.WJV 过疋户 D(0.0)Vlta 下*h rrUAf f AN 的斜华令 1!他O Wl 4.W rl7 ¾y-fc(-2)y上(尤-2) = 256fc416(1 ÷ 4Jb2)(4i21) = 16>0 'k2 T U In IF r r u - 5 2)

33、十(菩一 2)耗 足点M磊)*MAX； ½ . 7 (fih 为 y=-=9-2)4IK2l» 以 1ITai / TN ：* k / 土诗 .w.v而* VV "- ” -)et,z Jy = r 詁熔门线MJV过足Q D(0.0)-AfN关f对以)iTv=r,v m4 时 HfN m定门 D(O0)<U 所曲M N l-.< D(0,0)145/20. C -/(r) = (T-Ti)(T-T2Rr-Ta). h,j,t2wR 巧 <巧< 巧.1)与刘=0 r2 = 1. T3 2时 ZUj杠J(") = m;T恰讥料个HI3

34、的实教根求fcmnffl：(2» 4i«l： Z>fVf(x) = 0f两牛不郴弁的实数根：3 (r Ora½ 0(<8>认比 M 仲;巧 Ia 0的1小；Itl.解析：I)耳巧=O j = 1 =,=2 时 f() = T(T- I)(T-2)t ( 1) (T- 2) = ：-J? ( - 3 ¼ 2 - m) = O'/(Tl -mrrmmi» r r = 0足 元 次方WF-3+ 2-TH = O的 个实业根則Tn = 2时力(2 3八 2-m) = O M 化为Xer-3) = O 八门 QlJ , 

35、7;；10力Sii"元T2 3t2- = OU4.-' T2 3 t 2 m OJA = 9-4(2-m) = 0 Kwfn = -I .此时屮f(:r)=耐恰作金两个郴等的实絵4畸( IU为Q)m=-l <rn 2HLrKlR.4分2 ' l(T) (T Tl)(T T2)(I T3).可；'J /(1) T3 UI + T2 ÷ Ta)T24 (TJTa ÷ T1T3 ÷3)XiWa '斤 H f,(父)=22 (TI + 乃 + 巧)F + TiT2 + TXTI + 巧巧=O .Ii 元 "h fi J 17.4 (Tl T2 a)2 12 (l2 + T1T3 + *