a小学数学奥赛5-3-4分解质因数(一).教师版

1、教学目标1. 能够利用短除法分解表达形式唯一2. 整数唯一分解定理： 让学生自己初步领悟 “任何一个数字都可以表示为 . 的结构， 而且知识点拨一、质因数与分解质因数（ 1） .质因数： 如果一个质数是某个数的约数，那么就说这个质数是这个数的质因数.（ 2） .互质数： 公约数只有 1 的两个自然数，叫做互质数 .（ 3） .分解质因数： 把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数.例如：30 2 3 5.其中2、3、5叫做30的质因数.又如12 2 2 3 22 3，2、3都叫做 12的质因数， 其中后一个式子叫做分解质因数的标准式，在求一个数约数的个数和约数的和的时候都要用到这个

2、标准式.分解质因数往往是解数论题目的突破口，因为这样可以帮助我们分析数字的特征 .（ 4） .分解质因数的方法：短除法212例如： 2 6 ，（是短除法的符号） 所以 12 2 2 3；3二、唯一分解定理任何一个大于 1 的自然数 n 都可以写成质数的连乘积，即： n p1a1 p2a2 p3a3 L pkak 其中为质数， a1 a2 L L ak为自然数，并且这种表示是唯一的 .该式称为 n 的质因子分解式 .例如：三个连续自然数的乘积是 210，求这三个数 .分析： 210=2357，可知这三个数是 5、6 和 7.三、部分特殊数的分解111 3 37；1001 7 11 13；1111

3、1 41 271；10001 73 137 ；1995 3 5 7 19 ；1998 2 3 3 3 37； 2007 3 3 223； 2008 2 2 2 251； 10101 3 7 13 37.例题精讲模块一、分解质因数【例 1】 分解质因数 20034= 。【考点】分解质因数 【难度】 1 星 【题型】填空【关键词】走美杯，决赛， 5 年级，决赛，第 2题，10 分【解析】 原 式 2 33 7 53答案】 2 33 7 53例 2】 三个连续自然数的乘积是 210 ，求这三个数是多少？ 考点】分解质因数【难度】 1 星 【题型】填空解析】 210分解质因数： 210 2 3 5 7

4、 ，可知这三个数是 5、6和 7。 答案】 5、6和 7例 3 】 两个连续奇数的乘积是 111555，这两个奇数之和是多少 ? 考点】分解质因数 【难度】 2 星 【题型】填空 解析】 111555分解质因数： 111555 3 3 5 37 67 (3 3 37) ( 5 67) 333 335，所以和为 668.本讲 不仅要求学生熟练掌握分解质因数，而且要注意一些技巧，例如本题中的 111 3 37 。答案】 668巩 固 】已知两个自然数的积是 35，差是 2，则这两个自然数的和是 .考点】分解质因数 【难度】 2 星 【题型】填空 关键词】希望杯，四年级，二试，第 8 题解析】 35

5、=135=57，5、7差 2，两个自然数的和是 5+7=12答案】 12 元例 4 】 今年是 2010 年，从今年起年份数正好为三个连续正整数乘积的第一个年份是 。 考点】分解质因数 【难度】 3 星 【题型】填空关键词】而思杯， 6 年级， 1 试，第 3 题解析】 11 12 13 1716， 12 13 14 2184 ，所以是 2184答案】 2184例 5 】 如果两个合数互质，它们的最小公倍数是126，那么，它们的和是考点】分解质因数 【难度】 2 星 【题型】填空关键词】迎春杯，五年级 ,初赛，第 3 题解析】 126 2 32 7 ，因为两个数互质且都是合数，所以这两个数只能

6、为9和14 ，它们的和为 23答案】 23例 6】 4 个一位数的乘积是 360，并且其中只有一个是合数，那么在这4 个数字所组成的四位数中，最大的一个是多少？考点】分解质因数 【难度】 2 星 【题型】解答解析】 将 360 分解质因数得 360 2 2 2 3 3 5，它是 6 个质因数的乘积 .因为题述的四个数中只有一个 是合数，所有该合数必至少为 6 3 3 个质因数的积，又只有 3 个 2 相乘才能是一位数，所以这 4 个乘数分别为 3，3，5， 8，所组成的最大四位数是 8533.答案】 8533例 7 】 已知 5 个人都属牛，它们年龄的乘积是 589225，那么他们年龄的和为多

7、少？考点】分解质因数 【难度】 2 星 【题型】解答解 析 】基本思路与上题一样，重点还是在 “1这”个因数的使用上，所以分解因数得到589225 1 13 25 37 49 ，五个人的年龄和为 125 岁。答案】 125 岁例 8】 如果 两个自然数的和 与差的 积是 23，那 么这两 个自然 数的和 除以这 两个数的 差的商是 考点】分解质因数 【难度】 2 星 【题型】填空关键词】希望杯， 4 年级，初赛， 4 题解析】 根据题意列式子如下： a b a b 23 ，因为 23分解质因数是 1与 23，所以 a b 23,a b 1， 根据和差关系算出 a 12， b 11，所以这两个自

8、然数的和除以这两个自然数的差的商为23，答案】 23例 9】 2004 7 20 的计算结果能够整除三个连续自然数的乘积，这三个连续自然数之和最小是多少？ 考点】分解质因数 【难度】 2 星 【题型】解答解析】首先分解质因数， 2004 7 20 2 2 2 2 3 5 7 167 ，其中最大的质因数是 167，所以所要求 的三个连续自然数中必定有 167 本身或者其倍数 . 165 3 5 1，166 2 83，168 2 2 2 3 7， 169 13 13，所以 165 166 167， 166 167 168，167 168 169都没有 4 个 2，不满足题意 .说明 167 不 可

9、 行 . 尝 试 334 167 2 ， 335 5 67 ， 336 2 2 2 2 3 7 ， 334 335 336 2 2 2 2 2 3 5 7 67 167 ，包括了 2004 7 20 中的所有质因数，所以这组 符合题意，以此三数之和最小为 1005.答案】 1005例 10】 A 是乘积为 2007 的 5 个自然数之和， B 是乘积为 2007 的 4 个自然数之和。那么 A 、 B 两数之差的 最大值是 。考点】分解质因数 【难度】 3 星 【题型】填空 关键词】华杯赛，五年级，决赛，第8题， 10分解析】 2007=1133223=1119223=1113669=1111

10、2007，所以 A 的可能值是 231 或 235 或 675 或 2011，又 2007=133223=119223=113669=1112007，所以 B 的可能值是 230 或 234或 674或 2010 ，A、 B两数之差的最大值为 2011230=1781。答案】 1781例 11 】 (老师可以先引入：小明一家四兄弟，大哥叫大毛，二哥叫二毛，三哥叫三毛，那老四叫什么？) 大毛、二毛、三毛、 小明四个人， 他们的年龄一个比一个大 2岁，他们四个人年龄的乘积是 48384。 问他们四个人的年龄各是几岁？考点】分解质因数 【难度】 2 星 【题型】填空解析】 题 中告诉我们， 4838

11、4是四个人年龄的乘积，只要我们把48384分解质因数，再按照每组相差2 来分成四个数相乘，这四个数就是四个人的年龄了。48384 28 33 7 (22 3) (2 7) 24 (2 32) 12 14 16 18 ，由此得出这四个人的年龄分别是 12 岁、 14 岁、 16 岁、 18 岁。由题意可知，这四个数是相差2 的四个整数。它们的积是偶数，当然这四个数不是奇数，一定是偶数。又因为48384的个位数字不是 0，显然这四个数中，没有个位数字是 0 的，那么这四个数的个位数字一定是2、4、6、8。又因为 104 48384 ，而 48384 204，所以可以断定，这四个数一定是 12、14

12、、16、18。也就是说，这四个人的年龄分别是12 岁、14岁、 16岁、 18 岁。答：这四个人的年龄分别是12岁、 14岁、 16岁、 18 岁。答案】 12岁、 14岁、 16岁、 18 岁例 12】 甲数比乙数大 5 ，乙数比丙数大 5 ，三个数的乘积是 6384 ，求这三个数？ 考点】分解质因数 【难度】 2 星 【题型】解答解析】将 6384分解质因数， 6384 2 2 2 2 3 7 19 ，则其中必有一个数是 19或19 的倍数；经试算， 19 5 14 2 7，19 5 24 2 2 2 3，恰好 14 19 24 6384，所以这三个数即为 14，19，24 . 一般象这种

13、类型的题， 都是从最大的那个质因数去分析 .如果这道题里 19不符合要求， 下一个该考虑 38，再下一个该考虑 57 ，依此类推答案】 14， 19， 24例 13 】 四个连续自然数的乘积是 3024，这四个自然数中最大的一个是多少？ 考点】分解质因数 【难度】 2 星 【题型】填空解 析 】分解质因数 3024 24 33 7，考虑其中最大的质因数 7，说明这四个自然数中必定有一个是7 的倍数.若为 7，因 3024不含有质因数 5，那么这四个自然数可能是 6、7、8、9或 7、8、9、10(10仍含 有 5，不行)，经检验 6、7、8、9恰符合 .答案】 9例 14 】 植树节到了，某市

14、举行大型植树活动，共有1430 人参加植树，要把人数分成相等的若干队，且每队人数在 100 至 200 之间，则有分法（）。A、3种B、7种C、11种D、13 种考点】分解质因数 【难度】 3 星 【题型】选择 关键词】华杯赛，五年级，初赛，第 4 题解析】 只要找到 100到 200之间可以整除 1430的数即可。 1430可分解成 2，5，11，13 的乘积，所以可以 按每组 110人， 130 人，143 人分组，共有 3个方案。所以答案为 A答案】 A例 15】 a、b、c、d、e 这五个无数各不相同，它们两两相乘后的积从小到大排列依次为：3， 6，15，18，20，50，60，100

15、，120，300.那么，这五个数中从小大大排列第2 个数的平方是 。A 1 B. 3 C. 5 D. 10 考点】分解质因数 【难度】 5 星 【题型】选择 关键词】迎春杯，中年级，复试， 2 题 解析】D，解：设 a b c d e。由 ab 3,ac 6推知 c 2b；由 ce 120,de 300推知 d 5c 5b 。2 bc b 2b 2b2 ， bd b 5b 5b2 ， cd 2b 5b 10b2 。在 15,18,20,50,60,100 中，满足 2:5:10 的 三个数是 20,50,100, 所以 b2 100 10 10 。答案】 D例 16】 a、b、c、d、 e这五

16、个数各不相同，他们两两相乘后的积从小到大排列依次为：0.3、0.6、1.5、1.8、2、5、6、10、12、30。将这五个数从小到大排成一行，那么，左起第2个数是 。（A ）0.3 （ B） 0.5 （C）1 （D）1.5 考点】分解质因数 【难度】 5 星 【题型】选择 关键词】迎春杯，高年级，复试， 2 题 解析】 C，设 a b c d e 。由题意知， ab 0.3， ac 0.6 ，推知 c 2b；由 ce 12， de 30，推知 30 5 2 2 2d c c 5b，bc b 2b 2b2，bd b 5b 5b2，cd 2b 5b 10b2 ，在1.5,1.8,2,5,6,10

17、中， 12 2满足 2:5:10 的三个数是 2,5,10 ，所以 10b2 10 ，b2 1， b 1。 答案】 1例 17】 将 1 9 九个自然数分成三组， 每组三个数 .第一组三个数的乘积是 48，第二组三个数的乘积是 45， 第三组三个数字之和最大是多少？考点】分解质因数 【难度】 2 星 【题型】解答解析】 分解质因数 45 3 3 5， 48 2 2 2 2 3，可知 45 只能是 1，5， 9的乘积，而 48 可能是 2，4， 6或 2，3，8或1，6，8（舍去），则第三组的三个数可能是 3，7，8或 4，6，7，其中和最大的是 3 7 8 18.答案】 18例 18 】 一个

18、长方体的长、宽、高都是整数厘米，它的体积是 1998 立方厘米，那么它的长、宽、高的和的 最小可能值是多少厘米 ?考点】分解质因数 【难度】 3 星 【题型】解答解析】 我们知道任意个已确定个数的数的乘积一定时，它们相互越接近，和越小如 3 个数的积为 18，则 三个数为 2、3、3 时和最小，为 8 1998=233337， 37 是质数，不能再分解，所以 2333 对 应的两个数应越接近越好有 2333=69 时，即 1998=6937 时，这三个自然数最接近它们的 和为 6+9+37=52（厘米 ）答案】 52例 19】 一个长方体的长、 宽、高是连续的 3 个自然数， 它的体积是 39

19、270 立方厘米， 那么这个长方体的表 面积是多少平方厘米 ?考点】分解质因数 【难度】 3 星 【题型】解答解析】 39270=23571117，为三个连续自然数的乘积，而 343434 最接近 39270， 39270 的约数中接 近或等于 34 的有 35、34、33，有 333435=39270所以 33、34、35 为满足题意的长、宽、高则 长方体的表面积为： 2(长宽+宽高+高长)=2(33 34+34 35+35 33)=6934(平方厘米 )方法二： 39270=23571117，为三个连续自然数的乘积，考虑质因数17，如果 17 作为长、宽或高显然不满足当 17与 2 结合即

20、 34作为长方体一条边的长度时有可能成立，再考虑质因数7，与34 接近的数 3236 中，只有 35 含有 7，于是 7 与 5 的乘积作为长方体的一条边的长度而 39270 的 质 因 数 中 只 剩 下 了 3 和 1l ， 所 以 这 个 长 方 体 的 大 小 为 333435 长 方 体 的 表 面 积 为 2( 39270 + 39270 + 39270 )=2 (1190+1155+1122)=2 3467=6934( 平方厘米 )33 34 35 答案】 6934例 20 】 如果两数的和是 64，两数的积可以整除 4875，那么这两个数的差等于多少？ 考点】分解质因数 【难度

21、】 3 星 【题型】解答解 析 】4875=355513，有 ab 为 4875 的约数，且这两个数的和为 64发现 39=313、25=55 这两个 数的和为 64，所以 39、25 为满足题意的两个数那么它们的差为39-25=14 。答案】 14例 21 】 有两个整数，它们的和恰好是两个数字相同的两位数，它们的乘积恰好是三个数字相同的三位数.求这两个整数分别是多少？考点】分解质因数 【难度】 3 星 【题型】解答 解析】两位数中，数字相同的两位数有 11、22、33、44、55、66、77、88、99 共九个，它们中的每个数都 可以表示成两个整数相加的形式，例如 33 1 32 2 31

22、 3 30 L L 16 17，共有 16 种形式， 如果把每个数都这样分解，再相乘，看哪两个数的乘积是三个数字相同的三位数，显然太繁琐了.可以从乘积入手，因为三个数字相同的三位数有111、222、333、444、555、666、 777、888、999，每个数都是 111 的倍数，而 111 37 3，因此把这九个数表示成一个两位数与一个一位数或两个两位 数相乘时，必有一个因数是 37 或 37 的倍数，但只能是 37 的 2 倍 (想想为什么？ )3 倍就不是两位数 了.把 九 个 三 位 数 分 解 ： 111 37 3 、 222 37 6 74 3 、 333 37 9 、 444

23、37 12 74 6 、 555 37 15、 666 37 18 74 9、777 37 21、 888 37 24 74 12、 999 37 27. 把两个因数相加， 只有(74 3) 77和(37 18) 55的两位数字相同 .所以满足题意的答案是 74和 3， 37 和 18.答案】 74 和 3，37 和 18例 22】 如果一个数，将它的数字倒排后所得的数仍是这个数，我们称这个数为回文数如年份数1991 ，具有如下两个性质： 1991 是一个回文数 1991 可以分解成一个两位质数回文数和一个三位质 数回文数的积在 1000 年到 2000年之间的一千年中，除了 1991 外，具

24、有性质和的年份数， 有哪些？考点】分解质因数 【难度】 3 星 【题型】解答解析】这一千年间回文数年份共有 10个，除去1991外，还有 1001，1111，1221，1331，1441，1551，1661， 1771， 1881符合条件的两位质数只能是 11，所以符合条件的只有三个，即11 101 1111， 11 131 1441， 11 15l 1661 答案】 11 101 1111， 11 131 1441， 11 15l 1661例 23】 有一种最简真分数，它们的分子与分母的乘积都是140 如果把所有这样的分数从小到大排列，那么第三个分数是多少？考点】分解质因数 【难度】 3 星

25、 【题型】解答解 析 】有 140=2257，要保证分数最简即要让分子与分母是互质的，那么两个质因数2 必须同时位于分子或者同时位于分母的位置上。这样由小到大的最简分数依次是12257 答案】 528例 24 】 纯循环小数 考点】分解质因数1 ,2 2 4 , 5 5 , 7 7 ，倒数第三小的是 5 。140 5 7 35 2 2 7 28 2 2 5 20280.a&b&c写成最简分数时 ,分子和分母的和是 58 ,则三位数 abc 【难度】 3 星【题型】填空 解析】如果直接把 0.a&b&c转化为分数 ,应该是 abc ,因此,化成最简分数后的分母应该是 999 的约数,我们999将

26、 999分解质 因数得 : 999 33 37 ,这个最简 分数的 分母应 小于 58 ,而 且大于 29,否则该 分 数就变成了假分数了,符合这个要求的 999的约数就只有 37 了,因此 ,分母应当为 37,分子就是58 37 21,也就是说 0.a&bc& abcabc21,因此 abc 21 27 56799937 2737【答案】567模块二、分解质因式【例 25】三个质数的乘积恰好等于它们和的11 倍，求这三个质数 .考点】分解质因式【难度】 2 星 【题型】解答解 析 】 设 这三个质数分别是 a 、 b 、 c ，满足 abc 11( a b c) ，则可知 a 、 b 、 c

27、 中必有一个为 11，不妨 记为 a，那么 bc 11 b c，整理得 (b 1)( c 1) 12，又12 1 12 2 6 3 4，对应的 b 2 、c 13 或b 3、c 7或b 4、c 5 (舍去)，所以这三个质数可能是 2， 11， 13或 3， 7，11.答案】 2、11、13 或 3、7、 11例 26 】 三个质数的乘积恰好等于它们的和的7 倍，求这三个质数考点】分解质因式 【难度】 2 星 【题型】解答解析】设这三个质数分别是 a、b、c，满足 abc 7(a b c) ，则可知 a、b、 c中必有一个为 7，不妨记 为 a，那么 bc 7 b c，整理得 (b 1)(c 1) 8，又8 1 8 2 4，对应的 b 2、c 9(舍去)或 b 3、 c 5，所以这三个质数可能是 3， 5，7答案】 3、 5、7例 27】 如图，长方形周长为 20 ，面积为 24。另一个长方形，面积为 20，周长为 24。它的长是，宽是