一元二次方程的四种解法

1、一元二次方程的解法1一元二次方程的概念一、考点、热点回忆1、一元二次方程必须同时满足的三个条件：2、一元二次方程的一般形式：二、典型例题例1:判断以下方程是否为一元二次方程： x2 x 1 x2 1 x2 2x 3y 0 x2 3 (x 1)(x 4)ax2 bx c 0mx2 01m是不为零常数例2: 一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项.(1)x2 10x 900 0(2)5x2 10x 2.2 0(3)2x2 15 0(4)x2 3x 0(5) (x 2)23(6) (x 3)(x 3) 0例3:当m时，关于x的方程m+2 x|m|+3mx+1=0H一元二次方程三、课堂练习1、以

2、下方程中，关于x的一元二次方程是211A3(x 1)2(x 1) B. - - 2 0x y22 c2)C.ax bx c 0 D.x 2x x 12、用换元法解方程(x2+x)2+ (x2 + x)=6时，如果设x2+x=y,那么原方程可变形为A、y2 + y 6=0B、y2-y-6= 0G y2 y + 6=0D 、y2+ y+6=01 / 143、两数的积是12,这两数的平方和是25,以这两数为根的一元二次方程是 4、关于x的一元二次方程x2 (k 1)x 6 0的一个根是2,求k的值.四、课后练习1 .将方程3x(x 1)5( x 2)化成一元二次方程的一般形式，得；其中二次项系数是；

3、一次项系数是；常数项是2 .方程(k 4)x2 5x 2k 3 0是一元二次方程，那么k就满足的条件是.3 . m是方程x2-x-2=0的一个根，那么代数式m2-m=4 .在一幅长80cm,宽50cm的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形 挂图，如果要使整个挂图的面积是5400cn2,设金色纸边的宽为xcm ,那么x满足的方程是Ax2130x 14000Bx265 x 3500Cx2130x 1400 0Dx265x 350025.关于x的方程(m 3)x nx m 0,在什么条件下是一元二次方程？在什么 条件下是一元一次方程？2-直接开方法一、考点、热点回忆1、了解形如x2=a(a&

4、gt;0)或(x + h) 2= k(k > 0)的一元二次方程的解法 直接 开平方法小结：如果一个一元二次方程具有(x m)2 n( n 0)的形式，那么就可以 用直接开平方法求解。用直接开平方法解一元二次方程就是将一元二次方程的 左边化为一个完全平方式，右边化为常数，且要养成检验的习惯【复习回忆】2 / 141 .方程(k 4)x2 5x 2k 3 0是一元二次方程，那么k就满足的条件是.2 .假设a+们 x2+(x-1) 2=0二次项的系数为-2,那么a=二、典型例题例1:解以下方程：1x2= 224x21 = 0例2、解以下方程：(x 1)2 2 (x 1)2 4 0(3)12(

5、3 x)2 3 0推荐例3:用直接开平方法解以下方程1 22, 一 . 2 -221一 3x 115 0 2 x 34 2x 13x 2ax a b 04三、课堂练习1 .假设方程x-42=m-6可用直接开平方法解，那么m的取值围是A. m> 6 B . o C , m> 6 D , m=62 .方程1-x2=2的根是A.-1、3 B.1、-3 C.1- 、1 + V2 D.或-1、<2 +13 .方程(3x -1)2=- 5的解是。4 .用直接开平方法解以下方程：(1)4x 2=9;(2)x+22=16(3)(2x-1) 2=3;(4)3(2x+1)2=123 / 14四、

6、课后练习1、4的平方根是 方程x2 4的解是.2 . 一、一2. 一2、万程 x 11的根是,万程4 x 11的根是.3、当x取 时，代数式x50.5y2 2 0 5的值是2;假设x2 病 0,那么x =4、关于x的方程3x2 k 1 0假设能用直接开平方法来解，那么 k的取值围是 A、k>1B 、k<1 C 、k< 1 D 、k> 15、解以下方程：一八 2 o 1一、21-x2 - 02 5x 4 63 9、242 6 x 128 0622x 14x26、一个等腰三角形的两边是方程4 (x 10)20的两根，求等腰三角形的面积3-配方法4 / 14、考点、热点回忆1

7、、经历探究将一元二次方程的一般式转化为x + h2= k ：n>0形式的过程, 进一步理解配方法的意义；2、填空：1x2+6x+=(x+) 2; (2)x 2-2x+=(x-) 2;(3)x 2-5x+=(x-) 2; (4)x 2+x+=(x+) 2; 22(5)x +px+=(x+);3、将方程x2+2x-3=0化为(x+h) 2=k的形式为；小结1:用配方法解一元二次方程的一般步骤：1、把常数项移到方程右边；2、在方程的两边各加上一次项系数的一半的平方，使左边成为完全平方；3、利用直接开平方法解之。小结2:当一元二次方程二次项系数不为1时，用配方法解方程的步骤：二次项系数化为1;移

8、项；直接开平方法求解.二、典型例题例1 :将以下各进展配方:(1) x2 + 10x+= x +2，一 5、 xx+=x一4例2 :解以下方程：1x2 4x 3 0 x2 6x += x 一 x2+bx +=x +2x2 3x 1 0推荐例3:用配方法解以下关于x的方程：一 、2nnn1x 110 x 1 9 02x 6ax 9a 4b 0例4:例1解方程：2x2 5x 2 03x2 4x 1 05 / 14例5、一个小球垂直向上抛的过程中，它离上抛点的距离hmi与抛出后小球运动的时间t(s)有如下关系：h 24t 5t2。经过多少秒后，小球离上抛点的高度是 16mm推荐例6:求证：对任意实数

9、x,代数式x2 4x 4.5的值恒大于零。三、课堂练习1.完成以下配方过程:1x2+8x+=(x+)22x2-x+=(x-) 23 x2+4=(x+)24x2-+9 =x-2.假设 x2-mx+449 / =(x+257)2,那么m的值为A. 75B.-C.145D.-1453 .用配方法解以下方程:(1)x 2-6x-16=0 ;(2)x2+3x-2=0;(3)x 2+2 <3 x-4=0 ;(4)x2-ix-i=0.4 .直角三角形的三边a、b、c,且两直角边a、b满足等式(a 2+b2) 2-2(a 2+b2)-15=0 ,求斜边c的值5 .用配方法解方程2y2-J5 y=1时，方

10、程的两边都应加上6 / 14A. B. 5 C. D. 244166 .a2+b2+2a-4b+5=(a+) 2+(b-) 27 .用配方法解以下方程：2x2+1=3x;(2)3y2-y-2=0 ;3x2-4x+1=0;(4)2x2=3-7x.8 .假设4x2-(4m-1)x+m2+1是一个完全平方式，求 m.四、课后练习1、用配方法解以下方程：1x2 6x 16 02x2 3x 2 023 x 7 6x 4x x -452、把方程x2 3x p 0配方，得到x m 2 1 .21求常数p与m的值；2求此方程的解。3、用配方法解方程 x2 px q 0( p2 4q 0)7 / 144、用配方

11、法解以下方程:21(2) 3x 12x03(3)4 X2-12J2 x 1=0 2x2 7x 2 0,(5)3x2+ 2x 3=0(6) 2x2 4x 5 02、你能用配方法求：当x为何值时，代数式3x2 6x 5有最大值?4-公式法一、考点、热点回忆1、把方程 4-x2=3x 化为 ax2+bx+c=0(a W0)形式为，b2-4ac=.2、方程x2+x-1=0的根是。3、方程3x2+2=4x的判别式b2-4ac二,所以方程的根的情况是.4、一元二次方程x2-4x+4=0的根的情况是A.有两个不等的实数根B.有两个相等的实数根C.没有实数根D.不能确定总结：一元二次方程ax2+bx+c=0(

12、a半0)的根的情况可由来判断:8 / 141 x2 15 10x当 b2-4ac >0 时, 当 b2-4ac=0 时，当 b2-4ac < 0 时,二、典型例题例1:解以下方程： 22(1)x2 3x 2 0; (2)2x2 7x 4变式：1、解方程：(1)2x(x 1) 3; (2)x2 1 x( 275 x).例2:解以下方程： 222(1)x x 1 0; (2)x2 3x 3 Q (3)2x 2x 1 0.例3:不解方程，判别以下方程根的情况.12x2+3x+4=0;22x2-5=6x;34x(x-1)-3=0 ;4x2+5=2V5x.题变：1、试说明关于x的方程x2+(

13、2k+1)x+k-1=0必定有两个不相等的实数根9 / 14推荐例4：当k为何值时，关于x的方程kx22k+1x + k+3 = 0有两个不 相等的实数根？题变：1、一元二次方程(m-2)2x2+(2m+1)x+1=0有两个不相等的实数根，求的取 值隹.三、随堂练习1 .把方程(2x-1)(x+3)=x 2+1 化为 ax2 + bx + c = 0的形式，b2-4ac=,方程的根是.2 .方程(x-1)(x-3)=2 的根是A. x i=1,x2=3B.x=2 2 3 C.x=23D.x=-22 33 .关于x的一元二次方程x2+4x-m=0的一个根是5-2 ,那么m=方程的另一个根是.4

14、.假设最简二次根式 行7和J8m 2是同类二次根式,那么的值为A.9 或-1B.-1C.1D.95 .用公式法解以下方程：1x2-2x-8=0 ;2x2+2x-4=0;32x2-3x-2=0 ;43x(3x-2)+1=0.6 .方程(2x+1)(9x+8)=1的根的情况是A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根C.无实数根D.不能确定10 / 147 .关于x的方程x2+2Vkx+1=0有两个不相等的实数根，那么k() A.k>-1 B.k >-1 C.k >1 D.k >08 .要使关于x的方程kx2-4x+3=0有实数根，那么k应满足的条件是 A. k<

15、4/3B.k >4/3 C.k <4/3 D.k >4/39 .方程x2-mx+n=0有两个相等的实数根，那么符合条件的一组m, n的值可以是m=,n=.10 .不解方程，判断以下方程根的情况：13x2- x+1 = 3x25x2+1= 7x33x2 4北 x = -411 .解以下方程：2_2(1)x2 6x 0; (2)x2 12x 27 0_22(3)2y y 5 0; (4)x 6x 16 0四、课后练习1 .用公式法解方程J2x2+473x=2j2,其中求的b2-4ac的值是A.16 B. 4 C. 32D.642 .用公式法解方程x2=-8x-15 ,其中b2-4

16、ac=,方程的根是.。3 .用公式法解方程3x2+4=12x,以下代入公式正确的选项是a 12144 1212,144 12A.x 1.2= B. x1.2 =-12144 1212144 48C.Xi.2= D. x1.2= 4 .三角形两边长分别是3和5,第三边的长是方程3x2-10x-8=0的根，那么此三 角形是三角形.11 / 1425 .如果分式一的值为零，那么x=.x 16 .用公式法解以下方程：(1) 3y 2-y-2 = 0(2) 2x2+1 =3x(3)4x 2-3x-1=x-2(4)3x(x-3)= 2(x-1)(x+1)7 .以下方程中，没有实数根的方程式A.x2=9B.

17、4x2=3(4x-1)C.x(x+1)=1D.2y2+6y+7=08 .方程ax2+bx+c=0(a w0)有实数根，那么总成立的式子是A.b2-4ac>0B. b2-4ac<0C. b 2-4ac < 0D. b2-4ac > 09.如果方程9x2-(k+6)x+k+1=0有两个相等的实数根，那么 k=.4-因式分解法一、考点、热点回忆应用回忆：以下哪些方法能用因式分解法解2_(1)x 2x 0一42-(2)(x-3) (x 3) 0(3)x 1 2(x 1)2 11(4)x2 9 0小结：因式分解法解一元二次方程的一般步骤：1 .将方程的右边化为02 .将方程左边因

18、式分解.3 .把原来的一元二次方程转化为两个一元一次方程.4 .分别解两个一元一次方程，它们的根就是原方程的根12 / 14二、典型例题例1:用因式分解法解方程：(1) x2 4x (2) x 3 x(x 3) 0例2:解方程(2x 1)2 x2 0三、随堂练习1 .如果方程x2-3x+c=0有一个根为该方程可化为x-1x=02 .方程x2=x的根为A.x=0 B. xi=0,x2=13 .用因式分解法解以下方程：1x+22=3x+6;352x-1=(1-2x)(x+3)4 .用适当方法解以下方程：13x-12=1;1,那么c=，该方程的另一根为，C. x 1=0,x2=-1D. x 1=0,x 2=223x+22-4x2=0;42x-32+(3x-x 2)=0.22x+12=x2-1 ;3(2x-1) 2+2(2x-1)=3 ;4(y+3)1-3y=1+2y2.四、课后训练1下面哪个方程用因式分解法解比拟简便(1) x2 2x 5 0 (2) (2x 1)2 1 0.2.方程4x2-3x=0 ,以下说确的是13 / 14A.只有一个根x=3B.只有一个根x=0433C.有两个根xi=0,x 2=-D.有两个根xi=0,x 2=- 443.如果(x-1)(x+2)=0 ,那么以下结论正确的选项是A.x=1