一元二次方程集体备课

1、学习必备欢迎下载一元二次方程集体备课一.教学内容：复习目标：（辅导时各位老师要学生掌握的点，每节课可以视情况巩固两点）了解一元二次方程的有关概念.能灵活运用直接开平方法、配方法、公式法、？因式分解法解一元二次方程.会根据根的判别式判断一元二次方程的根的情况.知道一元二次方程根与系数的关系，并会运用它解决有关问题.能运用一元二次方程解决简单的实际问题.了解数学解题中的方程思想、转化思想、分类讨论思想和整体思想.二.基础知识回顾1 .方程中只含有?个未知数，？并且未知数的最高次数是 , ?这样的 的方程叫做一元二次方程，通常可写成如下的一般形式： （）其中二次项系数是 , 一次项系数是 ,常数项是

2、.例如：一元二次方程 7x 3=2x2化成一般形式是 ?其中二次项系数是 、 一次项系数是 、常数项是 .2 .解一元二次方程的一般解法有;?; ?？求根公式法，？求根公式是学习必备欢迎下载解与根有关的证明题（判断三角形的形状，某一恒等式证明） 举例如下：4 . 一元二次方程根与系数的应用很多：已知方程的一根，不解方程求另一根及参系数；已知方程，求含有两根对称式的代数式的值及有关未知数系数；已知方程两根， 求作以方程两根或其代数式为根的一元二次方程.5 .能够列出一元二次方程解应用题.能够发现、提出日常生活、生产或其他学科中可以 利用一元二次方程来解决的实际问题，并正确地用语言表述问题及其解决

3、过程.6 .本章解题思想总结：转化思想转化思想是初中数学最常见的一种思想方法.运用转化的思想可将未知数的问题转化为已知的问题，将复杂的问题转化为简单的问 题.在本章中，将解一元二次方程转化为求平方根问题，将二次方程利用因式分解转化为一次方程等.从特殊到一般的思想从特殊到一般是我们认识世界的普遍规律，通过对特殊现象的研究得出一般结论，如从用直接开平方法解特殊的问题到配方法到公式法，再如探索一元二次方程根与系数的关系等.（对于理解力好的学生， 可以要求其掌握公式法的求根公式的由来，以及怎样用两根推导根与系数的关系）分类讨论的思想一元二次方程根的判别式体现了分类讨论的思想（在目前单元测试的压轴性题目

4、中出现的频率较高）.举例如下：四.易错点点拨易错点1:对一元二次方程的定义的理解.判断一个方程是否一元二次方程，关键是将整式方程化简后只含有一个未知数，且未知数的最高次数为2,特别地，当二次项的系数用字母表示时，二次项系数不为零不能漏掉（虽简单，但极易被学生忽略）.易错点2: 一元二次方程的一般形式.在确定一元二次方程的二次项、一次项及常数项时，一定要将一元二次方程化为一般形式（注意同类项的合并与等号右边不为零的情况）.易错点3:关于解一元二次方程时的易错点.是在解形如“ x2 =x”这样的方程时，千万不能在方程左右两边都除以X ,从而造成方程丢根（告知学生原因，即当x=0时，两边是不能同时除

5、以 0的，无意义）；学习必备欢迎下载用配方法时，当二次项的系数不为1时，应将二次项系数化为 1,再将方程左边配成完全平方式；利用公式法求一元二次方程的解时，要先判断b2-4ac必须非负才能求解；举例如下：利用因式分解法求一元二次方程的解时，方程右边一定要变为0 .易错点4：在用一元二次方程解决有关实际问题时，注意运用转化思想，如图形问题中,如何通过平移，旋转等变换把不规则的图形转化为规则的图形.另外，对于增长率问题，要把握基础数与总数的关系. 特别地，一元二次方程的两个解，一定要会判断检验其是否符合实际意义（两个解并非必须有一个是增根，二者都合适的情况也是存在的）【典型例题】考点1： 一元二次

6、方程的概念及一般形式相关知识：只含有一个未知数的整式方程，并且都可以化为ax方程1x =5x的一次项的系数是 .【评注】概念性的问题关键是抓住概念的本质.一元二次方程必须符合三个条件：是整式方程；化简后只含一个未知数；未知数的最高次数为2.考点2: 一元二次方程的解相关知识：使一元二次方程左右两边的值相等的未知数的值，叫做一元二次方程的解， 或叫做一元二次方程的根.复习策略：要判断一个值是否是一元二次方程的解，只要将这个值代入一元二次方程， 看看方程左右两边是否相等即可.相等，则是方程的解；反之，则不是.2 c2例2.如果关于x的一元二次方程（m2）x +3x+m 4 = 0有一个解是0,求m

7、的值.【评注】已知方程的解确定方程中的待定系数的值，是逆向思维的运用，有时将方程的解代入方程中，可能还会出现含两个待定系数的方程，这时要注意整体思想方法的运用.考点3： 了解方程并判定方程根的情况2.相关知识：一兀一次万程根的判别：当 b -4ac0时，方程有两个不相等的实数根；，, 2， 、一一 ，, 2当b -4ac = 0时，万程有两个相等的实数根；当b -4ac0时，方程没有实数根. 反之也成立.复习策略：要掌握一元二次方程根的判别式的应用：不解方程判别根的情况；根据方程解的情况确定系数的取值范围；求解与根有关的综合题. + bx+c=0 （a、b、c为常数，？aw0）的形式，这样的方

8、程叫做一元二次方程.一元二次方程的一般形式：ax2+bx+c=0 （aw0）.复习策略：准确理解一元二次方程的定义，一元二次方程首先是整式方程，然后是经过化简后能得到一元二次方程的一般形式的方程才是一元二次方程.例1.下列方程是关于 x的一元二次方程的是（）1 1 C C2 2 二 0A. 3（x 1） =2（x 1）b. x2 x222C. ax +bx+c = 0d. x +2x=x -1学习必备欢迎下载2例3.（ 2007巴中市）一兀二次万程 x 2x1 = 0的根的情况为（）A.有两个相等的实数根B.有两个不相等的实数根C.只有一个实数根D.没有实数根 2.（2007安徽泸州）若关于x

9、的一元二次方程x - 2x+m = 0没有实数根，则实数 m 的取值范围是（）A. m 1 C. m l D. m 0）或（mx n） 2= a （m w 0, a0）的方程，可根据平方根 的意义，用直接开平方的方法求解.如果一元二次方程缺少常数项，或方程的右边为0,左边很容易分解因式，可考虑用因式分解法.当一元二次方程的二次项系数为1, 一次项的系数是偶数时，可考虑使用配方法.如果用以上几种方法都不易求解时，可考虑用公式法求解.例4.解下列方程：1（x+ 1） 2= 2（2x + 1） （3x1） = 12x （x+2） + 1 = 0 16 x2 4x=03 （x 2） 2=x （x 2）

10、由以上解析可以这样来总结：解一元二次方程，首先要把原方程变形为一般形式，然后计算b2-4ac,最后考虑用何种方法求解.如果b24ac是完全平方数，则用因式分解法，如果b2-4ac不是完全平方数且大于零，则用公式法，配方法实际是公式法的推导过程，因 此，除题目要求，一般不用配方法.2例5.解万程：（2007北东）解万程：x +4x1=0.（2007浙江嘉兴）解方程：x2 + 3=3 （x+ 1）.考点5:根据根与系数的关系，求与方程的根有关的代数式的值2相关知识：一兀二次方程根与系数的关系：若一兀二次方程ax +bx + c=0 （a、b、b c2 x1 x 2 ,x 1x2c为已知数，aw0,

11、 b2 -4ac0）的两个实数根为x1,x2 ,则12 a 1 2 a .即：一元二次方程两个根的和等于方程的一次项系数除以二次项系数的商的相反数；两个根的积等于常数项除以二次项系数的商.复习策略：根与系数的关系存在的前提是： aw0,即方程一定是一元二次方程； b2 -4ac0,即方程一定有实数根.根据新课标的要求，在课改实验区的中考试题中，运用一元二次方程根与系数的关系的 考题主要是求与方程的根有关的代数式的值的题型.例6.（2007山东淄博）若关于 x的一元二次方程x2 +kx+4k2 -3 = 0的两个实数根分 别是x ,x2 ,且满足x1 +x2 =x1x2 .则k的值为（）3 3（

12、A） 1 或 4（B） 1（C） 4（D）不存在学习必备欢迎下载（2007四川德阳）阅读材料：设一元二次方程ax2+bx+c = 0的两根为xi, x2,则bcXi X2x1x2两根与方程系数之间有如下关系：a, 1 2 a.根据该材料填空：x2 xi 2已知x1 , x2是万程x +6x+3 = 0的两实数根，则 xi x2的值为【评注】不解方程，利用一元二次方程根与系数的关系求两个代数式的值关键是把所给 的代数式经过恒等变形，化为含 xi+x2, Xi .X2的形式，然后把Xi+x2, Xi X 2的值代入， 即可求出所求代数式的值.常见的代数式变形有：22/、2- XiX2 =(Xi X

13、2) -2XiX211x1 x2 Xi x2XiX22(Xi X2) -2xiX22(-2)2X2 Xi （xi X2） - 2X1X2 += Xi X2Xi X2考点6:xi - x2=J（Xi +X2）2 _4平2二次方程的应用相关知识：应用在日常生活实践中， 许多问题都可以通过建立一元二次方程这个模型来进行求解，然后回到实际问题中去进行解释和检验.首先要把实际问题加以分析， 抽象成数学问题，然后用数学知识去解决它. 应用一元二次方程 解决实际问题的步骤可归结为：“设、找、歹h解、验、答”：设：是指设未知数，可分为直接设和间接设.所谓直接设，就是指问什么设什么； 在直接设未知数比较难列出方

14、程或者列出的方程比较复杂时，可考虑间接设未知数.找：是指读懂题目，审清题意，明确已知条件和未知条件，找出它们之间的等量关 系.列：就是指根据等量关系列出方程.解：就是求出所列方程的解.验：分为两步.一是检验解出的数值是否是方程的解，二是检验方程的解是否符合 实际情况.答：就是书写答案，一定要遵循“问什么答什么，怎么问就怎么答”的原则.以上几个步骤中，审题是基础，找出等量关系是解决问题的关键，能否恰当设元直接影响着列方程和解方程的难易，所以要根据不同的具体情况把握好解题的每一步.复习策略：i. 一元二次方程解应用题应注意：写未知数时必须写清单位，用对单位；列方程时，方程两边必须单位一致；答必须写

15、 清单位.注意语言和代数式的转化，要把用语言给出的条件用代数式表示出来.2.常见的应用题：几何图形的面积问题：这类问题的面积公式是等量关系，如果图形不规则，应分割或组合成规则图形，找出各部分面积之间的关系，再运用规则图形的面积公式列出方程.平均增长（降低）率问题：此类问题是在某个数据的基础上连续增长（降低）两次得22到新的数据，解这类问题需牢记公式 a（i+x） =b或a（i-x） =b，其中a表示增长（降低） 前的数据，x表示增长或降低率，b表示后来得到的数据，“ + ”表示增长，“”表示降低.方法规律：解此类问题所列的方程，一般用直接开平方法求解.增长率不能为负数，降低率不能大于i.学习必

16、备欢迎下载营销问题：解决此类问题首先要清楚几个名称的意义，如成本价、售价、标价、打折、利润、利润率等以及它们之间的等量关系.梳理总结:此类问题常见的等量关系是：“总利润=总售价一总成本”或“总禾帆=每利润率=售价M100%件商品的利润X销售数量，进价”例7.据报道，我省农作物秸杆的资源巨大，但合理利用量十分有限，2006年的利用率只有30%,大部分秸杆被直接焚烧了，假定我省每年产出的农作物秸杆总量不变，且合理利用量的增长率相同，要使 2008年的利用率提高到 60%,求每年的增长率.（取72=1.41）例8. 一块矩形耕地大小尺寸如图 1,如果修筑同样宽的两条“之”字形的道路，如图 1 所示，

17、余下的部分作为耕地.要使耕地的面积为540m2,道路的宽应是多少？分析：在面积问题中有一些计算题，如采用平移的方法适当改变图形的形状，可以给解决问题带来意想不到的美妙效果.此题如不采用“平移法” ，很难人手.若把“之”字道路 平移一下位置，变为图 2,则此题即可迎刃而解.*-32m- 图132 m 图220m考点7: 一元二次方程中考阅读理解题例析与一元二次方程相关的阅读理解问题，是近几年的一种新题型，由于这类问题有助于培养学生的阅读理解能力、创新意识，而备受大家的关注，现略举几例与同学们共赏析.例9. （2006年福建晋江市）阅读下面的例题：解方程：x2|x|-2=0解：（1）当x0时，原方

18、程化为x2-x-2=0,解得：x1=2, X2 = 1 （不合题意，舍学习必备欢迎下载(2)当x 0时，原方程化为x2+x2=0,解得：xi= 1 (不合题意，舍去)，X2 = 2，原方程的根是 x1=2, x2 = -2.请参照例题解方程 x2一|x3|3=0,则此方程的根是 .例10. (2006年广东茂名市)先阅读，再填空解题：(1)方程 x2 x 12= 0 的根是：x1 = 3, x2=4,则 x1+x2=1, x1,x2=12;173(2)方程 2x27x + 3=0 的根是：x1= 2 , x2 = 3,则 x1 + x2= 2 , x1 , x2= 2 ；(3)方程 x23x+

19、1 = 0 的根是：x1 =, x2 =.贝U x1+x2=, x1 , x2=;根据以上(1) (2) (3)你能否猜出：如果关于x的一元二次方程 mx2+nx+p=0 (mw0且m、n、p为常数)的两根为 x1、x2,那么x + x2、x1 x2与系数m、n、p有什么关系？请写出来你的猜想并说明理由.分析：本题首先请同学们阅读两个一元二次方程的两根之和、两根之积与系数之间的关系，再通过第3个方程的两根之和、 两根之积与系数之间的关系特点，归纳猜想出一元二次方程的两个根与系数的关系.【中考再现】学习必备欢迎下载【模拟试题】（答题时间：40分钟）一、选择题21、（2007巴中市）一元二次万程

20、x 2x-1 =0的根的情况为（）A.有两个相等的实数根B.有两个不相等的实数根C.只有一个实数根D.没有实数根2.2、（2007安徽泸州）若关于 x的一元二次方程 x - 2x + m = 0没有实数根，则实数 m 的取值范围是（）A. m 1 C. ml D. m 1B. mv 2 C. m 0D. m 07、（2007湖北武汉）如果 2是一元二次方程 x2=c的一个根，那么常数 c是（）A. 2 B. -2C. 4 D. -4、填空题21、（2007重庆）已知一元二次方程2x 3x1=0的两根为x1、x2,则x1x2 -2、（2007四川眉山）关于 x的一元二次方程 x2+bx+c= 0

21、的两个实数根分别为 1和2,贝 U b =； c =.23、（2007浙江温州）方程 x 2x = 0的解是;24、（2007湖南怀化）已知方程 x -3x+k =0有两个相等的实数根，则 k=5、（2007四川成都）已知 x是一元二次方程x2+3x 1=0的实数根，那么代数式x-35（x 2 -）3x -6xx-2的值为6、（2007江苏淮安）写出一个两实数根符号相反的一元二次方程： 7、（2007安徽芜湖）已知2 一，5是一元二次方程x24x + c = 0的一个根，则方程的另 一个根是.三、解答题21、（2007湖南株州）已知 x= 1是一元二次方程ax +bx 40 = 0的一个解，且a#b,2-2a -b求2a -2b的值.2、（2007湖北天门）已知关于 x的一元二次方程 x2+4x+m1=0。请你为m选取一个合适的整数，使得到的方程有两个不相等的实数根；设“、3是（1）中你所得到的方程的两个实