新浙教版九年级(上)1.3-二次函数的性质

1、函数 y=ax2+bx+c基本性质回顾二次函数二次函数y=ax2+bx+c（a0）的图像是一条抛物线的图像是一条抛物线，xy02-2-22-4yx0246-22-44y=2x24x6y=0.75x2+3xy=0.5x22x1.5观察下列二次函数图像：观察下列二次函数图像：顶点在图像的位置有什么特点？顶点是抛物线上的最高点（或最低点）顶点是抛物线上的最高点（或最低点）yx0246-22-44y=2x24x6y=0.5x22x1.5问：当自变量增大时，函数的值将怎样变化？问：当自变量增大时，函数的值将怎样变化？你还能发现：你还能发现： 这些函数是否存在最大值或这些函数是否存在最大值或最小值，它是由

2、解析式最小值，它是由解析式y=ax2+bx+c（a0）中的那一个系数决定的吗？中的那一个系数决定的吗？a二次二次函数函数y=axy=ax2 2+bx+c+bx+c(a0)(a0)的图象和性质的图象和性质.顶点坐标与对称轴顶点坐标与对称轴.位置与开口方向位置与开口方向.增减性与最值增减性与最值抛物线抛物线顶点坐标顶点坐标对称轴对称轴位置位置开口方向开口方向增减性增减性最值最值y=axy=ax2 2+bx+c+bx+c(a0)y=axy=ax2 2+bx+c+bx+c(a0)由由a,b和和c的符号确定的符号确定由由a,b和和c的符号确定的符号确定向上向上向下向下,y随着随着x的增大而减小的增大而减

3、小., y随着随着x的增大而增大的增大而增大. ,y随着随着x的增大而增大的增大而增大., y随着随着x的增大而减小的增大而减小. 根据图形填表：根据图形填表： a4bac4,a2b2 a4bac4,a2b2a2bx 直直线线a2bx 直直线线a4bac4,a2bx2 最小值为最小值为时时当当a4bac4,a2bx2 最大值为最大值为时时当当时时当当a2bx 时时当当a2bx 时时当当a2bx 时时当当a2bx 例：已知函数已知函数y=0.5x27x7.5(1)求函数的顶点坐标、对称轴，以及图像与坐标轴的交点求函数的顶点坐标、对称轴，以及图像与坐标轴的交点 坐标，并画出函数的大致图像；坐标，并

4、画出函数的大致图像；例题探究解解：（：（1）a=0.5,b=7,c=7.5;所以函数所以函数y=0.5x27x7.5的大致图像如图：的大致图像如图：x=720 xy10O10103051020 155(7，32)(0，7.5)(15，0)(1，0)自变量自变量x在什么范围内时，在什么范围内时，y随随x 的的增大而增大？何时增大而增大？何时y 随随x的增大而减的增大而减小？并求出函数的最大值或最小值。小？并求出函数的最大值或最小值。解：解： 由右图可知，由右图可知，当当x7时，时， y随随x 的增大而增大；的增大而增大；当当x7 时，时，y 随随x的增大而减小；的增大而减小；当当x7时，函数有最

5、大值时，函数有最大值32。(3)求图象与坐标轴交点构成的三角形的面积求图象与坐标轴交点构成的三角形的面积?（4）根据图象，说）根据图象，说 出出 x 取哪些值时，取哪些值时， y=0; y0.当当-15x1时时当当x=-15或或x=1时时当当x-15或或x 1时时已知函数已知函数y=x23x4.求函数图像的顶点坐标、与坐标轴交点的坐标和求函数图像的顶点坐标、与坐标轴交点的坐标和对称轴，并画出函数的对称轴，并画出函数的大致大致图像；图像；解：解： y=x23x4 (x1.5)26.25,图象顶点坐标为图象顶点坐标为(1.5, 6.25);又当又当y=0时，时，得得x23x40的解为：的解为： x

6、11，x24。则与则与x轴的交点为轴的交点为(1,0)和和(4,0) 与与y轴的交点为轴的交点为(0, 4)(1,0)(1.5, 6.25)(0, 4)(4,0)x=1.5Oyx记当记当x1=3.5,x2= ,x3= 时对应的函数值分别时对应的函数值分别为为y1,y2,y3,试比较试比较y1,y2,y3的大小的大小?如右图可知如右图可知: y2 y1 y3( ,y2)( ,y3)(3.5,y1)课内练习1、求下列函数的最大值（或最小值）和对应的、求下列函数的最大值（或最小值）和对应的自变量的值：自变量的值： y=2x28x1； y=3x25x12、二次函数、二次函数y=x2bx+9的图象顶点在

7、的图象顶点在y轴上，轴上，那么那么b等于多少？等于多少？x想一想 如果二次函数二次函数y=ax2+bx+c (a0)的图像与的图像与x轴的两个交点的轴的两个交点的 坐标坐标为为 （ x1，0 ）和和（ x2 ，0）方程ax2+bx+c0 (a0)的解与二次函数的解与二次函数y=ax2+bx+c (a0)的图像与的图像与x轴交点的坐标有什么关系？轴交点的坐标有什么关系？那么x1和 x2 恰好是方程ax2+bx+c0 (a0)的两个根方程ax2+bx+c0 (a0)的的解解就是就是 函数函数y=ax2+bx+c (a0)的图像与的图像与x轴交点的轴交点的 坐标坐标。横横可以发现：二次函数可以发现：

8、二次函数y=ax2+bx+c (a0)的图像与的图像与x轴交点的轴交点的 存在性存在性与与 方程ax2+bx+c0 (a0)的的解解是否存在是否存在有关。有关。归纳与探究那么，进一步推想方程ax2+bx+c0 (a0)解解的的存存在性在性又与什么有关呢？又与什么有关呢？b2 4ac的正负性有关。的正负性有关。故而：故而：当b2 4ac 时，抛物线与时，抛物线与x轴有轴有 交点；交点；当b2 4ac 时，抛物线与时，抛物线与x轴只有轴只有 交点；交点；当b2 4ac 时，抛物线与时，抛物线与x轴轴 交点。交点。0 两个两个0 一个一个0 没有没有 y=2X-X-1 y=4X2+4X+1 y=3X

9、2+2X+51、抛物线与、抛物线与x轴轴的交点的个数：的交点的个数：2个个1个个0个个b2- 4ac0b2- 4ac=0b2- 4ac02、抛物线、抛物线y=x2-5x+4与坐标轴的交点个数为（与坐标轴的交点个数为（ ）（A）0个个 （B）1个个 （C）2个个 （D）3个个D二次函数二次函数y=ax2+bx+c(a0)的图象的图象如图所示，则如图所示，则a_0，b_0，c_0yxob - 4ac_022、已知二次函数的图像如图所示，下列结论：、已知二次函数的图像如图所示，下列结论：a+b+c0 a-b+c0 abc 0 b=2a其中正确的结论的个数是（其中正确的结论的个数是（ ）A 1个个 B

10、 2个个 C 3个个 D 4个个Dx-110y1、抛物线、抛物线y=ax2+bx (a0)的顶点在第二象限，的顶点在第二象限，则则a_0，b_0.2、二次函数、二次函数y=ax2+bx ，当，当a0，b0时，它时，它的图象经过的图象经过_象限。象限。已知抛物线已知抛物线y=x2-2x +m的函数值恒大于零，的函数值恒大于零，求求m的取值范围的取值范围.大家应该很好的利用大家应该很好的利用二次二次函数图像函数图像给我们的启迪，给我们的启迪，来解决诸多问题！来解决诸多问题！已知某抛物线的对称轴是直线已知某抛物线的对称轴是直线x=1，该抛，该抛物线上最低点的纵坐标是物线上最低点的纵坐标是 -1，且抛

11、物线，且抛物线经过（经过（0，1），求该抛物线的解析式），求该抛物线的解析式.拓展与实践3.05米米4米米?2.25米米oxy球运动路线的函数解析式和自变量的取值范围；球运动路线的函数解析式和自变量的取值范围；球在运动中离地面的最大高度球在运动中离地面的最大高度。解解: 设函数解析式为设函数解析式为:y=a(x2.5)2+k,根据题意，得：根据题意，得：2.52a+k=2.25(42.5)2a+k=3.05则：则：a=0.2,k=3.5解析式为解析式为:y=0.2x2+x+2.25,自变量自变量x的取值范围为：的取值范围为：0 x4.球在运动中离地面的最大高度球在运动中离地面的最大高度 为为3.5米米。篮球运动员投篮时，球运动的路线为抛物线的一部篮球运动员投篮时，球运动的路线为抛物线的一部分（如图），抛物线的对称轴为分（如