11有理数的乘方例题与讲解

1、2.11 有理数的乘方基础知识孱本技能m FJ I/3，I ，I IJ 111 J i F' i ；1 .有理数乘方的概念乘方的意义：一般地，n个相同的因数a相乘：，X .乂 口乂乂 ) ,记作an ,即 M个入-aX&XaX 义)= an,这种求几个相同因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做哥.在an中，a叫做底数，n叫做 指数，an读作a的n次方(或a的n次哥).(2)乘方的表示方法(3)学习乘方的意义，需要注意的几个方面：注意乘方的双重含义乘方指的是求几个相同因数的积的运算，其结果叫做哥.由此不难发现，乘方具有双重含义：一是乘方表示一种运算；二是乘方表示一种特殊的乘法运

2、算的结果.如25中，25可以看成一种运算，表示有 5个2相乘，即25=2X2X2X2X2,这时，25 应读作2的五次方；另一方面，25又可看成5个2相乘的结果，即2X2X2X2X2 = 25,这 时25却读作2的5次哥；注意乘方底数的书写格式乘方的书写一定要规范，不然会引起误会.当底数是负数或分数时，一定要记住添上括号，以体现底数是负数或分数的整体性.如( 3)X(3)X(3)X(3)应记作(3)4,不能记作 34.(3)4 与34表示的意义和结果完全不同.前者表示4个-3相乘，结果为81;后者为4个3相乘的积的相反数，结果为一81.再如5*5*)*5*5*5应记作呷上不能记作5；4 4 4

3、4 4 444一个数可以看成这个数本身的一次方，如3就是31, a就是a1,只是指数1通常省略an与一an的区别：i .an表示n个a相乘，底数是a,指数是n,读作：a的n次方.ii . an表示n个a乘积的相反数，底数是 a,指数是n,读作：a的n次方的相反数.如：(一3)3底数是一3,指数是3,读作一3的3次方，表示3个一3相乘，(-3)3=(- 3)X (3)X(3)= 27. 33底数是3,指数是3,读作3的3次方的相反数.33=(3X3X3) =27.所以(一3)3与一33的结果虽然都是一27,但表示的含义并不同.注意乘方运算的转化.计算乘方运算的结果时，应将乘方运算转化为乘法运算来

4、完成.如计算(5)3时，应将它转化为计算(5)X(5)X (5)的积；再如计算 吆j4时，应将它1 11 1转化为计算2X2X2W的积.【例1】 把下列各式写成乘方的形式，并指出底数，指数各是什么？(1)( 8.3)X (8.3)X ( 8.3) X ( 8.3) X ( 8.3);2(2)gxlx5X5；(3)ax ax a x x a(2 011 个 a).分析：以上三题都是相同因数相乘，可用乘方的形式表示，相同因数为底数，相同因 数的个数为指数，指数写在右上角.解：(1)( 8.3)X (8.3)X ( 8.3)X ( 8.3)X ( 8.3)=(8.3)5；2 2 2/2 4(2)x

5、- X _X-= I T.()5 5 5 55 '(3)ax ax ax x a(2 011 个 a) = a2 011.警误区书写乘方的注意事项当底数是负数或分数时，写成乘方的形式时，底数一定 要加上括号,如(1), (2)两题.2 .乘方运算的符号法则次(1)有理数乘方的符号法则：正数的任何次哥是正数；负数的偶次哥是正数，奇 哥是负数；0的任何次哥等于0; 1的任何次哥等于1.(2)根据乘方的符号法则和乘方运算的转化，关于乘方有如下几个性质：0的任何正整数次哥都是 0;互为相反数的偶次哥相等；互为相反数的奇次哥互为相 反数.如 0n=0(n 是正整数);(-4)6=46; (-4)

6、3=-43.进行乘方运算时与其他运算一样，先要确定符号，再计算出绝对值，同时还应注意(-a)2n=a2n, (_a)2n + 1=_ a2n+1(n是正整数)，由乘方的法则我们还知道：a2n>0,即任何有理 数的偶次哥是非负数.谈重点 决定乘方结果的符号的因素有理数乘方结果的符号取决于：一底数的符号， 二指数的奇偶.【例2】利用有理数乘方运算的符号法则计算:(3)2； (2)1.53; (3)-3); (4)(-1)11;(5)(-1)2； (6)(1)2n； (7)(-1)2n1.分析：根据有理数乘方的符号法则：(2)正数的任何次哥都是正数，(1)(3)(5)(6)是负数的偶次哥，结果

7、为正；(4)(7)是负数的奇次哥，结果为负.解：(1)( 3)2=3X 3=9;(2)1.53= 1.5 X 1.5X 1.5=3.375;4 4 4X&X 4 X 4 256.(3)卜 3/ 3*3*3*3= 81，(4)(-1)11 = -1；(5)(T)2=1；(6)(-1)2n=1；(7)(-1)2n 1 = - 1.基本方法易木黑力口3 .有理数乘方的运算有理数乘方运算的思路：确定哥的符号；确定哥的绝对值.有理数的乘方是一种特殊的乘法运算一一因数相同的乘法运算，哥是乘方运算的结果.因此有理数的乘方运算可以转化为乘法来运算，先根据有理数乘方的符号法则确定哥的符号，再根据乘方的意

8、义把乘方转化为乘法，来运算哥的绝对值，最后得出塞的结果.例如计算( 5)3,先确定哥的符号为“”号，再计算53= 125,即(5)3= 125;再如，计算(一2)X32 时，先算 32=9,再算(一2)X9=18.正确理解有理数乘方的意义是进行乘方运算的前提，千万不能把底数与指数直接相乘.在进行有理数的乘方运算时要辨别清楚底数和指数，以及符号问题，避免出错.【例 31】 计算：(1)33; (2)(2)2; (3)(3X2)3; (4)-(-2)3.分析：运算时，先确定符号，再 计算乘方.(1)负号在哥的前面，结果是负数； (2)负数 的偶次哥，结果是正数；(3)先计算底数3X2= 6,再计算

9、(6)3; (4)先计算( 2)3,其结 果是负数，再加上前面的负号，最后结果是正数.解：(1)33= (3X 3X 3) = 27;(2)(-2)2=4;(3)(-3X 2)3 = (-6)3 = - 216;(4)(2)3=(8)=8.警误区勿把底数乘指数在进行乘方运算时，一定要避免出现把底数与指数直接相乘的运算错误.如一33=- (3X3) = - 9,这是由于没有理解乘方的意义导致的.【例32】 计算(0.25)10X412的值.分析：直接求(0.25)10和412比较麻烦，但仔细观察可以发现(0.25)10=0.2510,表示10个0.25相乘，而412表示12个4相乘，这就提醒我们

10、利用乘法的交换律和结合律，比较 容易求出结果.解：(一0.25)10X 412= (0.25)10X 412=(0.25)10 X 410 x 42= (0.25 X 4) 10 X 42=1X 16=16.4 .有理数乘方运算的应用有理数的乘方运算在现实生活中有广泛的应用，给生活中经常出现的大数的读写带来了极大的方便.现代高科技技术离不开数学技术，数学也是一门神奇的艺术，它那神奇的力量常常让人感到意外和惊奇！比如，一层楼高约 3米，一张纸的厚度只有 0.1毫米，0.1毫米与3米相比几乎可以忽 略不计，如果我们将纸对折、 再对折，如此这样对折20次后，其厚度将比30层楼房还要高， 这就是有理数

11、乘方的神奇魔力，在现实生活中有着很广泛的应用.数学是一门规律性很强的学科，只要掌握了它的规律，很多问题都可以迎刃而解了，乘方的规律也不例外.同学们要认真思考，仔细观察找到有理数乘方应用的规律.【例4】“兰州拉面”在学校门口开了一个连锁店，今天开张，做拉面的张师傅站在 门口进行广告宣传，当众拉起了拉面.他精湛的拉面技术赢得了围观顾客的阵阵喝彩，吃面的人更,是络绎不绝.张师傅先是用一根直径约13厘米的粗面条，把两头捏起来拉长，然后再把两头捏起来拉长，不断地这样，张师傅共拉了 10次，在他手里出现了一根根直径约0.1毫米的细面条.算一算：张师傅拉10次共拉出了多少根细面条？若拉 n次呢？(请把探索的

12、结果填入下 表中)次数12345610n面条根数分析：第一次拉出21 = 2根，第二次拉出 22= 4根，第三次拉出 23= 8根，所以第n次 拉出2n根.解：拉面的根数与拉面的次数 n有关系，拉面的根数=2n.次数12345610n面条根数二2481632 :642102n5 .与乘方相关的探究题探究题是近几年中考中的亮点， 渗透多个知识点，形式多样.解题时，一般遵循从特殊 到一般的探究思路，先准确计算几个特例的结果， 再通过对这些结果的分析、归纳得到一个 较一般的结论，最后再应用这个结论解决问题.由于乘方是一种新运算，它是一种特殊的乘法，特殊在因数相同，是同学们新接触的运算，所以解决 问题

13、时要注意，当底数是分数或负数时，写成塞时底数要加括号.与有理数的乘方有关的探究题主要有以下几种：(1)个位数字是几，在中考中经常涉及到，例如3n的个位数字是 3,9,7,1,3,971,依次循环；(2)拉面的条数、折纸的张数、握手 的次数、绳子的长度、细胞分裂的个数等，都利用2n或g1求解.【例51】 有一张厚度是0.1毫米的纸，将它对折 1次后，厚度为2X0.1毫米.(1)对折2次后，厚度为多少毫 米？(2)对折20次后，厚度为多少毫米？分析：此题的关键是将纸的层数化为哥的形式，找出对应关系.根据问题容易得到当对折两次后厚度为 4X0.1 = 22X0.1毫米，对折3次后厚度变为8X 0.1 = 23X0.1毫米，对折4 次是1