2020年初三数学下册中考专题复习二次函数面积最值问题(含答案)

1、3.如图，直线 AB和抛物线的交点是 A (0, - 3), B (5, 9),已知抛物线的顶点 D的横坐2020年初三数学下册中考专题复习二次函数面积最值问题1 .如图，关于x的二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于点A (1, 0)和点B,与y轴交于点C (0, 3),抛物线的对称轴与 x轴交于点D.(1)求二次函数的表达式；(2)在y轴上是否存在一点 P,使 PBC为等腰三角形？若存在.请求出点P的坐标；(3)有一个点M从点A出发，以每秒1个单位的速度在 AB上向点B运动，另一个点N从点D与点M同时出发，以每秒 2个单位的速度在抛物线的对称轴上运动，当点 M到达点B时，点M、N同时停

2、止运动，问点 M、N运动到何处时， MNB面积最大，试求 出最大面积.2 .如图，在平面直角坐标系中，平行四边形ABOC如图放置，将此平行四边形绕点O顺时针旋转90。得到平行四边形 A' B' OC'抛物线y= - x2+2x+3经过点A、C、A'三点.(1)求A、A'、C三点的坐标;(2)求平行四边形ABOC和平行四边形 A' B' OC'重叠部分 C' OD的面积;(3)点M是第一象限内抛物线上的一动点，问点 M在何处时， AMA'的面积最大?最大面积是多少？并写出此时M的坐标.标是2.(1)求抛物线的解析式及

3、顶点坐标;(2)在x轴上是否存在一点 C,与A, B组成等腰三角形？若存在，求出点C的坐标,若不在，请说明理由;(3)在直线AB的下方抛物线上找一点 P,连接PA, PB使得 PAB的面积最大，并求,它们相交于O, C两点，且分别与 x轴的正半轴交于点 B,点A, OA = 2OB.(1)求抛物线C2的解析式;(2)在抛物线C2的对称轴上是否存在点 P,使PA+PC的值最小？若存在，求出点 P的坐标，若不存在，说明理由;(3) M是直线OC上方抛物线C2上的一个动点，连接MO, MC, M运动到什么位置时, MOC面积最大？并求出最大面积.c3A ( 1, 0), B (4, 0), C (0

4、,5 .如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象交坐标轴于-4)三点，点P是直线BC下方抛物线上一动点.(1)求这个二次函数的解析式;(2)是否存在点P,使 POC是以OC为底边的等腰三角形？若存在，求出P点坐标;若不存在，请说明理由;(3)动点P运动到什么位置时， PBC面积最大，求出此时 P点坐标和 PBC的最大6 .如图，二次函数 y= - x2+3x+m的图象与x轴的一个交点为 B (4, 0),另一个交点为 A, 且与y轴相交于C点(1)求m的值及C点坐标；(2)在直线BC上方的抛物线上是否存在一点M,使得它与B, C两点构成的三角形面积最大，若存在，求出此时M点坐标；若不存在，请简

5、要说明理由(3) P为抛物线上一点，它关于直线BC的对称点为Q当四边形PBQC为菱形时，求点 P的坐标；点P的横坐标为t (0vt<4),当t为何值时，四边形PBQC的面积最大，请说明理由. 2S . 、.，7.如图，抛物线 y=ax+bx+装与直线 AB交于点 A (-1, 0),B (4,二)，点D是抛物线A、B两点间部分上的一个动点(不与点A、B重合)，直线CD与y轴平行，交直线 AB于点C,连接AD, BD.(1)求抛物线的表达式;(2)设点D的横坐标为 m, AADB的面积为S,求S关于m的函数关系式，并求出当 S8.如图 A (0, 3), B (3, 0), C (1, 0

6、)分别是抛物线： y=ax2+bx+c (aw 0)上的三点， 点P为抛物线上一动点.(1)求此抛物线的解析式.(2)当 PAB是以AB为一直角边的直角三角形时，求此时点P的坐标.(3)若点P在抛物线上A、B两点之间移动时，是否存在一个位置，使PAB的面积最大？若存在，请求此时点 P的坐标.若不存在，请说明理由.7/K1'二必十也Lt9.如图，抛物线 y=ax +bx+c经过A (0, 3)、B ( - 1, 0)、D (2, 3),抛物线与x轴的另2一交点为E.点P为直线AE上方抛物线上一动点，设点P的横坐标为t.(1)求抛物线的表达式;(2)当t为何值时， PAE的面积最大？并求出

7、最大面积;(3)是否存在点P使 PAE为直角三角形？若存在， 求出t的值；若不存在，说明理由.10.如图，抛物线 y=ax2+bx+c与x轴交于A (- 1, 0) B (3, 0)两点，与y轴交于点 C(0, -3)(1)求出该抛物线的函数关系式及对称轴(2)点P是抛物线上的一个动点，设点P的横坐标为t (0vt<3).当 PCB的面积的最大值时，求点P的坐标(3)在(1)的条件下，点 P在抛物线上，点 Q在抛物线的对称轴上，若以 BC为边，以点B、C、P、Q为顶点的四边形是平行四边形时，求P点的坐标.备用图11 .如图，抛物线 y= - x2+bx+c与x轴交于点 A(- 1, 0)

8、和点B,与y轴交于C (0, 3), 直线y= _lK+m经过点C,与抛物线的另一交点为点 D,点P是直线CD上方抛物线上的一个动点，过点 P作PF，x轴于点F,交直线CD于点E,设点P的横坐标为m.(1)求抛物线解析式并求出点 D的坐标；(2)连接PD, ACDP的面积是否存在最大值？若存在，请求出面积的最大值；若不存在，请说明理由；(3)当 CPE是等腰三角形时，请直接写出m的值.12 .如图1,在平面直角坐标系中，直线y="1"x-与抛物线y= -，x2+bx+c交于A、B两点，点A在x轴上，点B的横坐标为-8.点P是直线AB上方的抛物线上的一动点(不与点A、B重合)

9、，过点P作x轴的垂线，垂足为 E,交直线AB于点C,作PDXAB于 点D,交x轴于点F.(1)求该抛物线的解析式；(2)求 sin/ACE 的值；(3)连接PA、PB (如图2所示)，设 PAB的面积为S,点P的横坐标为x,求S关于x的函数关系式，并求出S的最大值. 取 及15.如图，在平面直角坐标系中，矩形 OCDE的三个顶点分别是 C (3, 0), D (3, 4), E一条直线l解析式为：y= - -x+4与x轴交于点B,以M为顶点的抛物线经过 x轴上点2D (2, 0)和点 C ( 4, 0).(1)求抛物线的解析式；(2)求证：直线l是。M的切线；(3)点P为抛物线上一动点，且 P

10、E与直线l垂直，垂足为E; PF/y轴，交直线l于点F,是否存在这样的点 P,使 PEF的面积最小.若存在，请求出此时点P的坐标及4PEF面积的最小值；若不存在，请说明理由.14.如图，已知抛物线y=ax2-Wx+c与x轴相交于A、B两点，并与直线y=x-2交于B、 C两点，其中点C是直线y=x-2与y轴的交点，连接 AC.(1)求抛物线的解析式；(2)证明： ABC为直角三角形；(3) ABC内部能否截出面积最大的矩形DEFG?(顶点D、E、F、G在 ABC各边上)若能，求出最大面积；若不能，请说明理由.(0, 4).点A在DE上，以A为顶点的抛物线过点 C,且对称轴x=1交x轴于点B.连接

11、EC, AC.点P, Q为动点，设运动时间为 t秒.(1)填空：点A坐标为;抛物线的解析式为 .(2)在图中，若点P在线段OC上从点。向点C以1个单位/秒的速度运动，同时，点Q在线段CE上从点C向点E以2个单位/秒的速度运动，当一个点到达终点时， 另一 个点随之停止运动.当 t为何值时， PCQ为直角三角形？(3)在图中，若点P在对称轴上从点 A开始向点B以1个单位/秒的速度运动，过点P做PFXAB,交AC于点F,过点F作FGXAD于点G,交抛物线于点 Q,连接AQ, CQ.当t为何值时， ACQ的面积最大？最大值是多少？16.如图，抛物线y = ax2+bx+c (aw0)与x轴交于点 A和

12、点B (1, 0),与y轴交于点 C (0,3),其对称轴l为x= - 1, P为抛物线上的一个动点.(1)求抛物线的解析式并写出其顶点坐标;(2)当点P的纵坐标为2时，求点P的横坐标;(3)当点P在运动过程中，求四边形 PABC面积最大时的彳1及此时点P的坐标.17.如图，在平面直角坐标系中，顶点为(4, - 1)的抛物线交y轴于A点，交x轴于B,C两点(点B在点C的左侧)，已知A点坐标为(0, 3).(1)求此抛物线的解析式；(2)过点B作线段AB的垂线交抛物线于点 D,如果以点C为圆心的圆与直线 BD相切, 请判断抛物线的对称轴 l与。C有怎样的位置关系，并给出证明；(3)已知点P是抛物

13、线上的一个动点，且位于A, C两点之间，问：当点 P运动到什么位置时， PAC的面积最大？并求出此时 P点的坐标和 PAC的最大面积.18 .如图，已知抛物线 y=-!x*+bx+4与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C,若4已知B点的坐标为B (8, 0).(1)求抛物线的解析式及其对称轴方程.(2)连接AC、BC,试判断 AOC与 COB是否相似？并说明理由.(3)在抛物线上BC之间是否存在一点 D,使得 DBC的面积最大？若存在请求出点 D的坐标和 DBC的面积；若不存在，请说明理由.19 .如图 1,抛物线 y= - -x2+bx+c (aw0)与 x 轴交于 A (-4, 0)、B

14、 (1, 0)两点，与y轴交于C点，对称轴x=-彳，点N (n, 0)是线段AB上的一个动点(N与A、B两点不重合)，请回答下列问题:(1)求出抛物线的解析式，并写出C点的坐标;(2)试求出当n为何值时， ANC恰能构成是等腰三角形.(3)如图2,过N作NF / BC,与AC相交于D点，连结CN,请问在N点的运动过程中， CDN的面积是否存在最大值；若存在，试求出该最大面积，若不存在，请说明理由.20 .抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点 A (1, 0)和点B (5, 0),与y轴交于点C (0, 3).该 抛物线与直线yogx+s相交于C, D两点，点P是抛物线上的动点且位于 x轴下方

15、，直线PM/y轴，分别与x轴和直线CD交于点M, N.(1)求该抛物线所对应的函数解析式；(2)连结PC, PD,如图1,在点P运动过程中， PCD的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，说明理由；(3)连结PB,过点C作CQLPM,垂足为点 Q,如图2,是否存在点 P,使得 CNQ 与 PBM相似？若存在，求出满足条件的点P的坐标；若不存在，说明理由.详细答案一.解答题(共20小题)1 .【解答】解：(1)把 A (1, 0)和 C (0, 3)代入 y=x2+bx+c,J l+b+e=O解得：b = - 4, c= 3,，二次函数的表达式为：y=x2-4x+3;(2)令 y

16、=0,贝U x2- 4x+3 = 0,解得：x= 1或x= 3, B (3, 0), BC= 3 也,点P在y轴上，当a PBC为等腰三角形时分三种情况进行讨论：如图 1,当 CP=CB 时，PC =32, . OP=OC+PC=3+3/或 OP=PC OC = 3/ 3 p1 (0, 3+3再)，P2 (0, 3 3/2);当 BP=BC 时，OP=OB=3, P3 (0, - 3);当PB=PC时， .OC=OB=3此时P与O重合, P4 (0, 0)；综上所述，点P的坐标为：(0, 3+3诋)或(0, 3- 3/2)或(0, - 3)或(0, 0);(3)如图2,设A运动时间为t,由AB

17、 = 2,得BM = 2- t,则DN = 2t, SAMNB= X (2 t) X2t=- t2+2t= (t1) 2+1 ,即当M (2, 0)、N (2, 2)或(2, - 2)时 MNB面积最大，最大面积是 1 .2.0), A'【解答】解：(1)当 y=0 时，x2+2x+3=0,解得 xi = 3, x2= 1,贝U C ( 1, (3, 0);当 x=0 时，y=3,则 A (0, 3);(2)二四边形ABOC为平行四边形，AB/ OC, AB = OC,而 C ( 1, 0), A (0, 3), B (1, 3).OB =J+S>aAOB = X 3X1 =2又

18、.平行四边形 ABOC旋转90。得平行四边形 A' B' OC', ./ACO=/OC' D, OC' =OC = 1,又. / ACO = / ABO, ./ ABO=Z OC ' D.又. / C' OD = Z AOB,.C' ODABOA,(3)设 M 点的坐标为(m, - m2+2m+3), 0V m<3,作MN / y轴交直线AA'于N,易得直线AA'的解析式为y= - x+3,则N ( m,. MN=- m2+2m+3- (- m+3) =- m2+3m,SaAMA = SaANM+SaMNA=

19、 _MN?32=(-m2+3m)2，当m=二时，Saama'的值最大，最大值为2二,此时m点坐标为3.【解答】解：（1）抛物线的顶点 D的横坐标是2,则x=- = 2，2a抛物线过是A （0, - 3）,则：函数的表达式为：y=ax2+bx-3,把B点坐标代入上式得：9=25a+5b - 3,联立、解得：a=工l , b = -, c= - 3,55抛物线的解析式为：y =-x2 - -x - 3,55当x=2时，y=-旦之，即顶点D的坐标为（2,3）;(2) A (0, 3) , B (5, 9),贝U AB= 13,当AB=AC时，设点C坐标（m, 0）,则：（m） 2+ （-3）

20、 2=132,解得：m=±4/!5, 即点C坐标为：（4广私0）或（-4p, 0）;当AB=BC时，设点C坐标（m, 0）,则：（5 m） 2+92= 132,解得：m=5±2V22,即：点 C 坐标为（5+222, 0）或（5- 222, 0）,当AC=BC时，设点C坐标(m, 0),则：点C为AB的垂直平分线于x轴的交点,则点C坐标为(，0),故：存在,点C的坐标为：(4£百，0)或(-4m, 0)或(5+2亚元,0)或(5 - 2722, 0)或0);设：AB所在的直线过点 A (0, -3),则设直线AB的表达式为y=kx- 3,把点B坐标代入上式，9=

21、5k- 3,则k=,故函数的表达式为：y=x- 3,设：点 P 坐标为(m, -m2-m - 3),则点 H 坐标为(m, -i-m - 3),555Sapab=4？PH?xb=( -m2+12m), z25当m=2.5时，S&ab取得最大值为： 正，2答： PAB的面积最大值为 四.24.【解答】解：(1)令：y=x2-2x=0,则x=0或2,即点B (2, 0),Ci、C2： y= ax2+bx开口大小相同、方向相反，则 a= - 1,则点A (4, 0),将点A的坐标代入 C2的表达式得: 0= - 16+4b,解得：b = 4,2故抛物线C2的解析式为：y= - x +4x;(

22、2)联立Ci、C2表达式并解得：x=0或3故点 C (3, 3),作点C关于C2对称轴的对称点 C ' (1,3),连接AC'交函数C2的对称轴与点P,此时PA+PC的值最小为：线段 AC'的长度=3.叵此时点P (2, 2);(3)直线OC的表达式为：y=x,过点M作y轴的平行线交 OC于点H ,设点 M (x, - x2+4x),则点 H (x, x),则 SaMOC =-< 0,(-x2+4x - x)5.'a=l解得4 b二Tlc=-4故当点M-)时，SaMOC最大值为乙二.248【解答】解：(1)设抛物线解析式为 y=ax2+bx+c,把A、B、

23、C三点坐标代入可得=。I c=-4，抛物线解析式为y=x2-3x-4;(2)作OC的垂直平分线 DP,交OC于点D,交BC下方抛物线于点 P,如图1,图1.PO=PC,此时P点即为满足条件的点，- C (0, - 4),D (0, - 2),，P点纵坐标为-2,代入抛物线解析式可得 x2-3x-4=- 2,解得x=*7 17 (小于0,舍去)或x=jW17 ,22| 存在满足条件的P点，其坐标为( 安"，-2);(3)二点P在抛物线上，可设 P (t, t2 3t 4),过P作PEx轴于点E,交直线 BC于点F,如图2, B (4, 0), C (0, 4),直线BC解析式为y=x-

24、 4, F (t, t-4),PF = (t-4) - (t2 - 3t-4) = - t2+4t,Spbc=S"fc+&pfb=_pf?oe+_!pf?be=_pf?oe+be)=_Lpf?ob=_ (-t2+4t) 22222X4= - 2 (t- 2) 2+8,，当t=2时，Sapbc最大值为8,此时t2-3t-4=-6, ，当P点坐标为(2, -6)时， PBC的最大面积为8.6.【解答】解：(1)将B (4, 0)代入y=- x2+3x+m,解得，m=4,，二次函数解析式为 y = - x2+3x+4 ,令x= 0,彳导y= 4, C (0, 4),(2)存在，理由

25、： B (4, 0), C (0, 4),直线BC解析式为y= - x+4 ,当直线BC向上平移b单位后和抛物线只有一个公共点时， MBC面积最大,ry=-x+4+b2L y=-k +3x+4x2 - 4x+b= 0, = 16 4b = 0,b= 4,一, I y=6 M (2, 6),(3)如图,点P在抛物线上，设 P (m, - m2+3m+4),当四边形PBQC是菱形时，点P在线段BC的垂直平分线上, B (4, 0), C (0, 4)，线段BC的垂直平分线的解析式为 y = x,2 m= - m +3m+4)-m=1±V5, P (1+J1, 1晒)或 P (1一底-底,

26、过点P作y轴的平行线I,过点C作I的垂线, 点D在直线BC上， D (t, - t+4), 29 i PD= - t +3t+4 - ( - t+4) = - t +4t,BE+CF = 4,112S 四边形 pbqc= 2Sapcb= 2( S，pcd+S，pbd) = 2(-5-PD x CF咛PD x BE) = 4PD= - 4t +16t,，当t=2时，S四边形pbqc最大=167.【解答】解：(1) .由题意得5a-b+= 05 516日十4b至冠解得：1 Q =-2, bb=212c5 y= " -x +2x+-(2)设直线AB为：y= kx+b.则=0J 5，解得4k

27、 他二qk2b2直线AB的解析式为y如图所示：记 CD与x轴的交点坐标为 E.过点B作BFLDC,垂足为F.m+5.m+5.二 m2+-LS=.当m=时，S有最大值.2.当 m=时,2+ 一1 x3 + l+(1, 0)代入 y=ax2+bx+c,得:0),8.【解答】解：(1)将 A (0, 3), B (3, 0), Cc-3 9a+3t>+c= 0 a+b+c=O，抛物线的解析式为y=x2-4x+3.(2)设点P的坐标为(m, m2-4m+3).点A的坐标为(0, 3),点B的坐标为(3,AP2= (m-0) 2+ (m2-4m+3-3) 2= m4-8m3+17m2, BP2=

28、(m-3) 2+ (m2-4m+3)2= m4 - 8m3+23m2 - 30m+18 , AB2= (3-0) 2+(0-3) 2= 18.分两种情况考虑:当/ BAP = 90° 时，AB2+AP2=BP2,即 18+m48m3+17m2=m48m3+23m230m+18,整理，得：m2 - 5m= 0,解得：m1 = 0 (舍去)，m2=5,点P的坐标为(5,8);当/ABP=90。时，AB2+BP2=AP2,即 18+m4 - 8m3+23m2 - 30m+18 = m4-8m3+17m2,整理，得：m2-5m+6 = 0,解得：m3=2, m3 = 3 （舍去），点P的坐标

29、为（2, - 1）.综上所述：当 PAB是以AB为一直角边的直角三角形时, 点P的坐标为（5, 8）或（2, - 1）.（3）存在，如图过点 P作PD / y轴交直线 AB于点D.设直线AB的解析式为y=kx+d （kw。），将 A (0, 3), B (3, 0)代入 y= kx+d,得:,解得：J -1 , ld=3直线AB的解析式为y=- x+3.n+3),设点P的坐标为（n, n2-4n+3） （0vnv3）,则点D的坐标为（n,. Spab十OB?PD =PD = ( - n+3) - ( n2 - 4n+3) = - n2+3n,=n2+%= & (n-) 2上Z.2222

30、8.当n=时，Sapab取得最大值，此时最大值为 28当 PAB的面积取最大值时，点 P的坐标为（音，-日）.，抛物线解析式为 y = - x2+2x+3；(2) /A (0, 3), D (2, 3),，抛物线对称轴为 x=1, E (3, 0),设直线AE的解析式为y=kx+3,-3k+3 = 0,解得，k=- 1,直线AE的解析式为y= - x+3,2t +2t+3) , M (t5 - t+3),如图1,作PM/y轴，交直线AE于点M,设P (t,")2目22，82'= Sapju +Sapme -PM-QE = 2-x 3 x，t=2时，融E的面积最大，最大值是 2

31、1.28(3)由图可知/ PEAW90。，只能有/ P/XE = 90 或/ APE =90 , ./ OAE=Z OEA=452,作 PGLy轴,FAG=Z APG = 45PG= AG,2t= - t +2t+3- 3,即一2t +t=0,解得t=1或t=0 (舍去)，当/APE=90° 时，如图 3,作 PKLx轴，AQXPK,图3则 PK= t2+2t+3, AQ = t, KE=3- t, PQ= - t2+2t+3 - 3= - t2+2t,. /APQ+/KPE = /APQ + /PAQ=90° , ./ PAQ=Z KPE ,且/ PKE = / PQA,

32、PKEA AQP, .史 啦PQ9-t +2t+32-t即 t2-t-1 = 0,解得：t= 或 t= I7 50 (舍去)， 综上可知存在满足条件的点p, t的值为i或HL210【解答】解：(1)设抛物线解析式为 y=a (x+1) (x-3),.抛物线与y轴交于点C (0, -3), a = 1二设抛物线解析式为 y= (x+1) (x-3) =x2-2x- 3,对称轴为直线x=1;(2)设 P (t, t2- 2t- 3)SaPCB = SaPOC+SaPOB- SBOC= X 3t2x 3x |t2- 2t- 3|-x 3X 3et<0, .函数有最大值,154.时，面积最大,P

33、 (3)设 Q (1, n),当PQ、PC为平行四边形的对角线时,P (4, n+3),，42- 2X 4 - 3= n+3, n = 2,P (4, 5);当CQ、BP为平行四边形的对角线时,P ( - 2, n - 3),(-2)22X (-2) - 3=n - 3, n=8,P ( - 2, 5);综上所述，以BC为边，以点B、C、P、Q为顶点的四边形是平行四边形时，P 点的坐标(4, 5), (-2, 5).11.【解答】解：(1)把 A ( 1, 0), C (0, 3)分别代入 y= x2+bx+c 得TFrO；3*，抛物线的解析式为 y= - x2+2x+3;把 C (0, 3)

34、代入 y= -yx+m,解得 m=3,直线CD的解析式为y = -x+3,2S 7.D点坐标为(三，：)；2 4(2)存在.设 P(m, m2+2m+3),贝U E (m, Jm+3),的面积存在最大值，最大值为m,64当 m=二时， CDP42 m(3)当 PC = PE 时,m + ( m +2m+3 3)m)2,解得m=0 （舍去）或5_当 CP=CE 时，m2+(-m2+2 m+3 - 3)2=m2+( m+3 - 3)j-i2,解得m = 0 （舍去）或综上所述,2当 EC = EP 时，m晟（舍去）或m的值为 反或旦或上.mm) 2解得m=HOEl尸B12【解答】解：（1）当x=-

35、 8时,EDy=7x7152B ( 8,15当y=0时,I"=0,解得 x = 2,则 A (2, 0),把 B ( - 8,一打)，A (2, 0)代入 y=-j-x2+ bx+ c 得15T6一b 十 c二-l+2b+c=0解得b=4 c4，抛物线的解析式y=x2(2)当 x=0 时，y=4二，则 G （02在 RtAAOG 中，: OG =OA=2,PC，x 轴,PC/ OG,ACE=Z AGO,sinZ ACE=A；(3)设 P (x,一工x2一呈x+&)，贝U C (x,二x 一四),44 242.S=_L?(2+8)?( - x2-x+4)=-二x2-叵x+20=

36、-(x+3) 2+2424244 '当x=-3时，S的最大值为二区.413.【解答】解：(1)设抛物线的解析式为y=a (x-2) (x+4),将点M的坐标代入得：-9a= 2,解得：a=-(2)连接AM,过点M作MGLAD,垂足为 G.把 x= 0 代入 y= - +4 得:y=4,A (0, 4).将 y = 0 代入得：0 = - -j-x+4,解得 x= 8,B (8, 0).OA=4, OB=8.- M ( 1, 2), A (0, 4), .tan/ MAG = tan Z ABO =MAG = /ABO. / OAB+/ABO = 90° , ./ MAG +

37、/OAB = 90° ,即/ MAB = 90°.l是。M的切线.(3)/ PFE+/FPE = 90° , / FBD + /PFE=90° , .tan/ FPE =XPF: PE: EF = V?： 2: 1 . . PEF 的面积=-Lpe?EF = X.5PF?ZLpF =-LpF2. 22555 当PF最小时， PEF的面积最小.设点P的坐标为(x, - Zx2-jlx+一叵)，则F (x,x+4).9992PF = ( - -x+4) - ( - -ix2 - -Lx+-1L) = - -x+4+ x2+-x.当x =1时，PF有最小值,

38、82999299PF的最小值为L.32P (5532).PEF的面积的最小值为= 二X （上！）2=i24L. 532512014.【解答】（1）解：:直线y=-x- 2交x轴、y轴于B、C两点,B (4, 0), C (0, 2),1.- y= ax2 -三x+c 过 B、2r0=16a-6+e，C两点,2二二. y=x2-2-x-2与x负半轴交于A点，22 A ( - 1, 0),在 RtAAOC 中， AO= 1, OC = 2, .AC = f/5,在 RtABOC 中， . BO=4, OC = 2, BC= 2小 AB=AO + BO= 1+4=5,.ab2=ac2+bc2,.AB

39、C为直角三角形.,理由如下:(3)解： ABC内部可截出面积最大的矩形DEFG ,面积为与一点为C, AB、AC、BC边上各有一点，如图 2,此时 AGFsACBs FEB.设 GC = x, AG = a/5 - ,.AG _GF'AC 'CB5.V5-x GF正二 2vr.GF=2V5-2x,.S=GC?GF=x72V5-2k） =- 2x2+2/5x= - 2（x喙）? _1 = 一 2 （ x喙）2+!-, 即当x=时，S最大，为擀.AB边上有两点，AC、BC边上各有一点，如图 3,此时 CDEACABA GAD,设 GD = x,.AD _GD 'AB -CB

40、5,AD x "T=2V5，AD = x,CD = CA - AD x,.毁匪CA -AB.S=GD?DE=x?(5-_x)=2即x= 1时，S最大，为.2x+5x = (x - 1) 2_1 =22综上所述， ABC内部可截出面积最大的矩形DEFG ,面积为(x-1) 2 点15【解答】解：(1) .抛物线的对称轴为x=1,矩形OCDE的三个顶点分别是 C (3, 0),D (3, 4) , E (0, 4),点 A 在 DE 上,点A坐标为(1 , 4),设抛物线的解析式为 y=a (x- 1) 2+4把C (3, 0)代入抛物线的解析式，可得解得a= - 1.故抛物线的解析式为

41、 y= - ( x - 1) 2+4,即 y= x +2x+3 ;(2)依题意有：OC = 3, OE=4,ce=j/oc2<ie2=五2十履=5,当/ QPC= 90° 时,cos/ QCP =PC ocCQ CE解得t =当/ PQC= 90° 时, PCQ为直角三角形;(3) A (1, 4), C (3, 0),设直线AC的解析式为y=kx+b,则产43k+b=0解得.、b=6故直线AC的解析式为y= - 2x+6.1 P (1, 4 t),将 y= 4 - t 代入 y= - 2x+6 中，得 x= 1+,2.Q点的横坐标为1+,2将 x= 1+代入 y=

42、( x 1)2+4 中，得 y= 4 .24一、 t2二. Q点的纵坐标为4,4 QF = ( 4 - ) - (4-t) =t-Ji,SaACQ= Sa AFQ+Sa CFQ= _FQ?AG+FQ?DG22=FQ (AG+DG)= -FQ?AD21 t2=X 2 (t 一 )2 4- +t +t4=一工(t2+4 - 4t - 4)4= (t - 2) 2+1 ,4当t=2时， ACQ的面积最大，最大值是 1 .216.【解答】解：(1) 抛物线y=ax+bx+c (aw0)与x轴交于点A和点B (1, 0),与y轴交于点C (0, 3),其对称轴l为x=- 1,A ( 3, 0),解得:x

43、+1) 2+4,，二次函数的解析式为 y= - x2- 2x+3=-，顶点坐标为(-1,4).(2)设点 P (x, 2)即 y = - x2 - 2x+3= 2,解得 xi = J/ - i 或 x2= - 1,，点 P (61, 2)或(近1, 2).(3)设点 P (x, y),贝U y = - x2 2x+3,- S 四边形 BCPA= SaOBC+SaOAP+SaOPC, s四邮函"W/甘吗多2 75一0,当x=-二时，四边形PABC的面积有最大值7517.【解答】解：(1)设抛物线为y=a (x-4) 2-1,;抛物线经过点 A (0, 3),1 - 3= a (0-4)

44、 2- 1,4.抛物线为) 2 _舄/2尹3 ；(2)相交.证明：连接CE,则CEXBD,当!(工-4产-1=。时， X1= 2, X2=6. 4-A (0, 3), B (2, 0), C (6, 0),对称轴x= 4,OB = 2, AB = 2 2 +3 A = l I?, BC = 4,V ABXBD,2 .Z OAB+Z OBA = 90 , Z OBA+Z EBC=90AOBA BEC,.空=毁，即电3_=2,解得CE=4记BC CE 4 CE13.跟逗2,13故抛物线的对称轴I与。C相交.(3)如图，过点P作平行于y轴的直线交AC于点Q;)x 6Q-士 (m- 3)4当m=3时， BC的面积最大为18.【解答】解：(1) .B点的坐标为B (8, 0),- 16+8b+4=0,解得 b=旦，2，抛物线的解析式为 y - Y+x+4, 4 x 23_、2对称轴方程为 x = -= 3;2*( +(2)二由(1)知，抛物线的对称轴方程为x= 3, B (8, 0) A (- 2, 0), C (0, 4),.OA=2, OC = 4, OB=8, .tan/ ACO = tan/ CBO =1,2 ./ ACO=Z CBO. . / AOC=Z COB =90° ,AOCA COB.(3)设BC解析式为y= kx+b,