2020届高考数学大二轮复习层级二专题二三角函数及解三角形第1讲三角函数的图象与性质教学案

1、第1讲三角函数的图象与性质考情考向高考导航1.高考对此部分内容的命题主要集中于三角函数的定义、图象与性质，主要考查图象的 变换，函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性及最值，并常与三角恒等变换交汇命题.2、主要以选择题、填空题的形式考查，难度为中等或偏下.真题体验X轴的非负半轴重合，终边1. （2018 全国I卷）已知角a的顶点为坐标原点，始边与上有两点A(1,a),B(2,b),且 cos 2 a =|,则 | a b|=()31A.5B.解析:cos 2a = cos2 a sin 2 a2,5D.152 cos2a - sin a1 tan2a2,2C.sin 2 a + cos2 a -

2、tan 2 “+1一3'=", - tan a=±g,当 tan “ =霍时，a=b=乎，.a=, b= 2p, . | ab| =害;55525555当 tan a =一普时，a=b= 一?，. . a= 一 £, b=一孚，. . | a b| =*.兀2. （2017 全国出卷）设函数f（x）=cos x+y ,则下列结论错误的是（）A. f（x）的一个周期为一2兀一8兀B. y= f （x）的图象关于直线 x= 2对称3一 ”一，兀C. f （x+兀）的一个零点为 x=, 兀、，一 一.D. f(x)在,兀单倜递减解析：D 当xe，兀时，x+e 5

3、9,3,函数在该区间内不单调.本题选择D2363选项.3. (2019全国n卷)若x1 = -4, x2=T是函数f(x)=sin3X( 3>0)两个相邻的极值-29 -点，则3 =()D.3A. 2B.2 C. 1解析：A 由正弦函数图象可知T= x2 x1 = 3 ； =；, .=兀，2.4. (2019 天津卷)已知函数 f(x) =Asin( cox+ 6)( A>0, co >0, |兀)是奇函数, 将y = f(x)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图象对应的函数为g(x).若g(x)的最小正周期为2兀，且g4=y2,则f8-=()A. -

4、2B. 2C. 2D. 2解析：C 在x=0处有定义的奇函数必有 f(0) =0. f(x)为奇函数，可知f(0) =Asin 6 =0,由| 6 |兀可得()=0;，一，一，、 r1把其图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，得g( x) = Asin 23x ,由g(x)的最小正周期为2 %可得3=2,兀L由g 7 =小，可得A= 2,所以 f(x)=2sin 2 x, f =2sin -= /2.故选 C. 84主干整合1.三角函数的图象及性质函数y= sinxy = cos xy= tan x图象单调性一兀兀在 2 12k 兀，2 12kTt( kC Z)上递增，在 + 2k 兀，3+2k

5、兀(k£ Z)上递减在2 k% -兀,2kTt( kZ)上递增，在2kTt , 2k Tt+兀(kCZ)上递减兀兀在(2+ k 兀，+kTt)( kCZ)上都是增函数对称中心坐标g , 0) , kC Z兀(k 兀 + 万，0), kC Z(写，0)kCZ对称轴 方程渐 近线兀x= k 兀 + 7,k C Zx = k % , k C Z兀X=kTr+ (kZ)2.三角函数图象的两种变换方法热点一三角函数的定义、诱导公式及基本关系题组突破1. （2020 资阳模拟）已知角a的顶点与原点 O重合，始边与X轴的非负半轴重合，终、.一兀边经过点 R2,1）,则tan 2a +7 等于（）A

6、. - 7B.ic. 一7D.解析：A 由角a的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点P（2,1）可得 x=2, y= 1,tan_y_1"-X-2, .tan 2 a2tan21 tan atan 2 a兀tan 2 a + tan 41 tan 2 a tan43+1 "=-7. 1-X 132 . （2020 衡水调研卷）知 sin (3 兀 + a) = 2sinasin( x q) 4 sin5sin( a) I 2cos( 2?ra)等于（）A.21B.3D.1C.6解析：D sine 兀+ a)=2sin 3+ a ,-1 一 sin e= 2

7、cos a ,即 sin a = 2cos a ,sin( 7t a)则仙2二小2c。-3小sin a 4cos a5sin a + 2cos a2cos a 4cos a 21=-=-=-.10cos a + 2cos a1263. (2020 衡水信息卷)已知曲线f (x) =x32x2x在点(1, f(1)处的切线的倾斜角为a ,贝U Cos2 _2- + a 2cos2 a 3sin(2 兀一a )cos(兀+ a )的值为()B.D.8A.54C.3解析：A 由 f (x) =x3 2x2x 可知 f ' ( x) = 3x24x1,tan a=f' (1)=2,co

8、s2 "2- +a 2cos2 a 3sin(2 兀一 a )cos(兀+ a)=(sin a ) 2-2cos 2 a - 3sin a cos a=sin 2 a 2cos2 OC 3sin a cos asin 2 a 2cos2 a 3sin a cos atan 2 a 3tan a2sin 2 a + cos2 atan 2 a +14+62 85 =5.(1)涉及与圆及角有关的函数建模问题(如钟表、摩天轮、水车等)，常常借助三角函数的定义求解.应用定义时，注意三角函数值仅与终边位置有关，与终边上点的位置无关.(2)应用诱导公式时要弄清三角函数在各个象限内的符号；利用同角

9、三角函数的关系化简过程要遵循一定的原则，如切化弦、化异为同、化高为低、化繁为简等.热点二三角函数的图象及应用直观想象击主 系仆直观想象是指借助空间想象感知事物的形态与变化，利用几何图形理解和解决数学 问题.主要包括：利用图形描述数学问题，建立形与数的联系，构建数学问题的直 观模型，探索解决问题的思想 .兀例1(1)(2020 东营模拟)已知函数f(x)=sin cox + w (>0)的最小正周期为兀，为了得到函数g(x) = cosax的图象，只要将y=f(x)的图象()兀A.向左平移百个单位长度12兀B.向右平移万个单位长度c.向左平移5彳个单位长度D.向右平移粤个单位长度12解析A

10、 由题意知，函数f(x)的最小正周期T=兀，所以3=2,兀即 f(x)=sin 2x+ , g(x)=cos 2 x,把 g(x)=cos 2x 变形得 g(x) = sin 2x + -2- = sin 2 x + y2 +-3 ,所以只要将 f(x)的图兀象向左平移 行个单位长度，即可得到g(x)=cos 2 x的图象，故选 A.(2)(2020 厦门模拟)函数f(x)=Asin( 3 x +巾)(co >0, | v兀)的部分图象如图所 示，将函数f(x)的图象向右平移 需个单位长度后得到函数g(x)的图象，若函数 g(x)在区间6' 8上的值域为-1,2,则9 =.解析由

11、函数f(x)=Asin( cox+ 6)( 3>0, |兀)的部分图象,则 A= 2, T= 13?一墨=/，解得 丁=兀，所以 3=2,即 f (x) =2sin(2 x+ 巾)， 兀兀兀当 x =-时，f 万=2sin 2 X § + 巾=0,又| 6 |兀，解得6 = r,3所以 f(x)=2sin 2x 一9, 3因为函数“x)的图象向右平移52个单位长度后得到函数g(x)的图象,所以 g(x)=2sin 2 x-12 3 = 2cos 2 x, 兀若函数g(x)在一百，e上的值域为1,2,则2cos 2 e=1 即 e=k7t +，kez或 e=kTt +等，kez,

12、故 e=g.333»一兀答案5(1)已知函数y = Asin( 3x+(J)(A>0,>0)的图象求解析式时，常采用待定系数法， 由图中的最高点、最低点或特殊点求A;由函数的周期确定 3 ;确定6常根据“五点法”中的五个点求解，其中一般把第一个零点作为突破口，可以从图象的升降找准第一个零点的位 置.(2)在图象变换过程中务必分清是先相位变换，还是先周期变换.变换只是相对于其中的 自变量x而言的，如果x的系数不是1,就要把这个系数提取后再确定变换的单位长度和方向. .一L兀一 一一. .一(2 020杭州模拟)已知函数f(x)=q3cos 2x-2 cos 2 x,若要得到

13、一个奇函数的图象，则可以将函数 f(x)的图象()A.向左平移3个单位长度6兀B.向右平移/个单位长度6兀C向左平移万个单位长度.兀D向右平移万个单位长度解析：C f (x) = 3cos 2x "2" cos 2x = 3cos " 2x cos 2x=-3sin 2x cos 2x兀兀兀= 2sin 2x-y =2sin 2x-,所以将f(x)的图象向左平移 瓦个单位长度可得到奇函数y= 2sin 2 x的图象，故选C.(2)(2019 哈尔滨三模)已知函数f(x)=2sin( cox + 6)( 3 >0, | v兀)的部分图象如图所示，已知点A(0,

14、、/3),B-6-,0 ,若将它的图象向右平移-6个单位长度，得到函数g(x)的图象，则函数g(x)图象的一条对称轴方程为()兀A. x=12B.兀x=7入兀C. x=3D.解析：A f(0)2s 2sin 6 = 3/3,sin 6 =,又 | 6 | v 兀， 6 =-3"或兀 3 .、,、_、,兀F (J)=k7t(kez), . 3 = k 兀-36,、X=6k-2(k Z),或 3兀T 2 % 兀 兀= 6k4(叱刁，又3>o,且4=不=云7>否，1- 3 v 33=2, 6 =1，. f(x) =2sin 2x+l ,将其图象向右平移 336个单位长度，得到函

15、数g(x)的图象,g(x) =2sin 2 x +- = 2sin 2x+ ,g(x)图象的对称轴方程满足2x+w=kTt + K(k63332ez),x=k2L+12(kZ),故选 A.热点三三角函数的性质及应用例2(1)(2019 全国n卷)下列函数中，以兀兀 兀2为周期且在区间彳，三单调递增的是B. f(x) = |sin 2x|D. f(x) = sin| x|()A. f(x) = |cos 2 x|C. f (x) = cos| x|解析A 作出函数f(x)=|cos 2 x|的图象，如图.兀兀 兀由图象可知f(x) = |cos 2 x|的周期为万，在区间 了，万 上单调递增.兀

16、兀 兀同理可得f(x)=|sin 2 x|的周期为2，在区间 了, "2上单调递减，f(x) = cos| x|的周期为2兀.f(x) =sin| x|不是周期函数，排除 B, C, D.故选A.(2)(2019718兀14兀保定三模)已知函数f(x)=2cosx+百(>0)满足：f -3- =f 3 ，且14 内有最大值但没有最小值.给出下列四个命题:3pi： f(x)在区间0,2兀上单调递减;P2： f(X)在最小正周期是P3： f(X)的图象关于直线兀rLx=对称;P4： f(X)的图象关于点0对称.其中的真命题是(A. P1,P2B. P1, P3C. P2,P4D.

17、P3, P4解析C 由题意得,当x=8兀 14兀211工一时，f(x)取得取大值，则cos 311 Tt CO 兀=1，115_= 2k 兀'3 =12k122一 * . 一 ，(ke N),又易知2兀 T=314兀 8兀一,.1 一所以 k= 1, 3=2, f(x) = 2cos=4兀，P2是真命题,2兀故f(x)的最小正周期T= 3又f ?=0,因此f(x)的图象关于点 30对称,P4是真命题.故选C.(2019 唐山调研)设函数f(x)=Asin(6是常数，A>0,3 >0) .若兀 兀兀f(x)在区间 y,5上具有单调性，且 f =f兀不，则f(x)的最小正周期为

18、兀解析.f (x)在区间,万上具有单调性,兀f万=f兀孑- x=："和2不是f (x)的极值点，其极值应该在2万十亏7x=-2=72处取得， f12 = f 6，x = "6也不是函数f(x)的极值点，又 f (x)在区间 彳,-2上具有单调性，兀x=122兀7兀 兀万为f(x)的另一个相邻的极值点，故函数f(x)的最小正周期T= 2X 75 12答案7t求解函数y = Asin( 3 x + 6 )性质的三种意识(1)转化意识：利用三角恒等变换将所求函数转化为f(x)=Asin( 3X+6)的形式.(2)整体意识：类比y= sin x的性质，只需将 y= Asin( co

19、x + 6)中的“cox+G”看成y = sin x中的“ x”，采用整体代入的方法求解._ .兀.一 一一、一令3X+ () = k 71 + (k Z),可求得对称轴方程.令cox+(J)= k7t(kez),可求得对称中心的横坐标.将3X+ 6看作整体，可求得 y = Asin( wx+巾)的单调区间，注意 3的符号.(3)讨论意识：当 A为参数时，求最值应分情况讨论.兀(2020 长沙模拟)已知函数 f(x)=2sin( co x+()+1 co >0, U | < , f( a)=-1, f(B)=1,若|a Bl的最小值为34二 且f (x)的图象关于点 看，1对称，则

20、函数 f (x) 的单调递增区间是()A. - + 2k%，兀 + 2kTt , ke Z兀B. - + 3kTt，兀 + 3kTt , k ZC.兀+ 2kTt, 52L+2kTt , kezD.兀 + 3kTt, 5+3kTt , kCZ解析：B (1)本题考查三角函数的图象和性质.由 f( a)=1, f( 3) = 1可知f(x)的图象关于直线x= a对称，关于点(3,1)对称，所以最小正周期 T= 4| a 一 § | min = 3兀=,则 w =|，又 f - =2sin lxT+ 6 + 1= 1,则 sin+() =0,又| 6 | 贝U 巾=一, 3434*626

21、则 f(x)=2sin fx +1,由一2k 兀 w |x "W="+ 2k u , kC Z 得一；+3kTtWxw 兀 36723622兀 ,+ 3kTt, kCZ,即函数f(x)的单调递增区间是一万+3kTt, Tt+ 3k% , ke z,故选b.(2)(2019 全国I卷)关于函数f (x) = sin| x| + |sin x|有下述四个结论：f (x)是偶函数兀f(x)在区间 万，兀单调递增 f(x)在兀，兀有4个零点 f(x)的最大值为2.其中所有正确结论的编号是()A.B.C.D.解析：C / f ( x) = sin| x|+|sin( x)| =sin

22、| x| 十 |sin x| , ，f(x)是偶函数，对；兀-f (x)在区间2,兀上单调递减，错；f (x)在兀，兀上有3个零点，错；f(x)的最大值为2,对.故选C.+ 1,下列叙述正确的是()(3)(多选题)关于函数f(x)=2sin 2x+-一，.兀 A.其图象关于直线x=J对称一 J ,兀一 j一，, lirB.其图象可由y=2sin x+彳+1图象上所有点的横坐标变为原来的2得到C.其图象关于点10对称8D.其彳1域 1,3兀解析：BD 本题考查三角函数性质的综合应用以及三角函数图象的伸缩变换.f =兀 兀L兀2sin 2X彳+了 +1=。2+1,不是函数的最值，因此函数f(x)的

23、图象不关于直线 x =对, 一八，一兀一1 ,一、 , 一，1,称，故 A错反；y=2sin x+ +1图象上所有点的横坐标变为原来的 2得到f(x)=2sin2x+ 4 +1 的图象，故 B正确；设 y=2sin 2x+-4 ,则当 x=与1 时，y= 2sin 2x( + ?= 2sin兀=0,即函数y= 2sin 2x + ：+1的图象关于点 筌，1对称，故C错误；当sin48兀,兀*,2x+ =1时，函数f(x)取得最大值3,当sin2x+ = 1时，函数f(x)取得最小值1,即函数f(x)的值域是1,3,故D正确，故选BD.限时40分钟 满分80分一、选择题(本大题共12小题，每小题

24、5分，共60分)1. (2020 南昌段考)已知角0的始边与x轴的非负半轴重合，终边过点M 3,4),则cos2 0 sin 2 0 + tan 0 的值为()A.12175B.12175C.797579D.75解析：A 设O为坐标原点，则由已知得|OM=5,因而cos e =-3, sin 0=4, tan 055=,贝U cos 2 9 sin 2 9 + tan 9 = -= -=7-.325 25 3752. （2019 青岛三模）如图，这个美妙的螺旋叫做特奥多鲁斯螺旋，是由公元5世纪古希腊哲学家特奥多鲁斯给出的，螺旋由一系列直角三角形组成，如图，第一个三角形是边长为1的等腰直角三角形

25、，以后每个直角三角形以上一个三角形的斜边为直角边，另一条直角边为1.将这些直角三角形在公共顶点处的角依次记为a 1, a 2, a 3,，则与 a 1+ a 2+a 3+ a 4最接近的角是（）参考值：tan 55 ° =1 .428 , tan 60 ° =1.732, tan 65 ° =2.145,1.414A. 120°B. 130°C. 135°D. 140°解析：C 由题意可得，a 1, a 2, a 3, a 4都是锐角，且 a 1 = 45tantan ”3=岌=乎，所以 “3 = 3°，tana

26、4=j=2,所以 a 1+ a 3= 75 .又tan( a 2+ a 4)tan a 2+ tan a 46 + 5M 21 tan a 2 - tan a 4= 1.87 ,接近tan 60，故 a 2+ a 4接近60a 2+ a 3+ a 4最接近的角是 135 .tan x3. （2018 全国出卷）函数f（x） = 1+tan 2 x的最小正周期为（C.兀D. 2兀解析：C 由已知得f(x) =tan x1 + tan xsin 2 x,所以f(x)的最小正周期为 T= 224. (2019 成都二诊)将函数y=2sin位长度，所得图象对应的函数恰为奇函数，则兀A.6兀C.4解析：

27、A2兀sin 2x+ - 3sin xcos xsin x 2 1+ cos兀x + sin,兀由 y = 2sin x+ sinC.sin xcos x1cos2 x+ sin 2 x = sin x cos x=- cos xx的图象向左平移 6( 6 >0)个单6的最小值为=sin 2 x+兀B.12兀D. 37t6x可得7171y = 2sin x + cos x+ 该函数的图象向左平移 6个单位长度后，所得图象对应的函数解析式为g(x)= sin2兀2x+2 6 + 32兀因为g(x) = sin 2x+2 6+=-为奇函数，所3k兀兀.一,6 =-(k(E Z)23 -一 -

28、 TT .又3 >0)故3的取小值为:,选A.65.(2020 广州模拟)已知函数f(x)=sin兀兀 2兀3X+6(3>0)在区间 一7，-3-上单调递增，则的取值范围为()A.0,B. 0,1C. 2，3D. 8,解析:B 通解：因为xC7t71为函数兀f (x) = sin 3 x + > 0)在区递增，所以71713-丁2k兀十万，武乙兀优解：取 3 = 1, f = sin又 3 >0,1所以0V w<2,B.71717 + E= sin 不<0，f 了717171= sin T+T =sinW1, f 2 =sin 等+芸=sin t=1，不满足

29、题意，排除 A, C, D,选B. 33662L兀6.（2019 洛阳统考）设函数f（x） = y3sin（2 x+巾）+ cos（2 x+巾）| v-2的图象关于直线x = 0对称，则y=f（x）在；，。的值域为（）48A.-十，0B. -2,0C.（-隹 0）D. （-2,0）兀解析：A 由题意得函数f（x） = 2sin 2x+g+ 6 ,因为其图象关于直线x=0对称，所.、兀 兀 I一 .兀 .兀 一一兀.以 2X0+ 6+ 6 = + kTt（ke Z）,即（）= + k7t（kZ）,又 | （）| < ,所以（）=3, f（x）= 2sin 2x+ -6-+ -3 =2cos

30、 2 x.当 WxW-时，-2<2x<4-,所以 y=f（x）在 4,上的值域为-也0. 兀 兀7. （2018 天津卷）将函数y = sin 2x + 的图象向右平移 行个单位长度，所得图象对应510的函数（）A.在区间3巴，5上单调递增44B.在区间 学，兀 上单调递减C.在区间?，32匚上单调递增D.在区间* 2兀上单调递减解析：A 由函数图象平移变换的性质可知：兀 TT 将y=sin2x+ -5的图象向右平移 正个单位长度之后的解析式为:兀兀y = sin 2x 而+-5 = 2sin x.则函数的单调递增区间满足:兀兀2k兀一y<2x<2 ku 十 万（k”）

31、,rtr兀兀即卜兀一丁会兀+ 7（1）令k=1可得一个单调递增区间为:函数的单调递减区间满足：2k7t + Tw2xw2k7t + Y(kez),即 k兀 +cwk兀 + ,k”)令k=1可得一个单调递减区间为:5兀477 .本题选择A选项.兀8. (2020 贵阳监测)函数f(x)=Asin wx + (川>0)的图象与x轴正半轴交点的横坐f(x)的图象.-、. 兀 一. .标构成一个公差为 三的等差数列，若要得到函数 g(x)=Asin cox的图象，只要将兀A向左平移百个单位兀B向右平移石个单位C向左平移自个单位D向右平移点个单位解析：D 正弦函数图象与 x轴相邻交点横坐标相差为半

32、个周期，即Td=- =2兀 一兀d=,所以 3=2,则 f (x) = Asinw x + = Asin兀2 x+,12所以只要将函数f(x)的图象兀向右平移 行个单位就能得到g(x)=sin cox的图象.9.A兀(2019 德州三模)如图是函数f(x)=Asin(2 x+巾)A> 0, |()| <图象的一部分，对不同的 xi, xzC a, b,若 f(xi) = f (x2),有 f (xi+ x2) =。2,则()A.f (x)在区间3兀一二兀, 二-8 ' 8内单调递增B.f(x)在区间3兀兀8，8内单调递减C.f (x)在区间5兀-兀12 ' 12内单

33、调递增D.f (x)在区间5兀12 瓦，12内单调递减解析：A 根据图象得出:A= 2,对称轴方程为 x = 12-,所以 2sin( X1 + X2+ 6 )=2?兀,i所以 xi+X2= 6,因为 f(xi+x2)=g2,所以 2sin 2 6+6 =/，即 sin(兀 - 6 ) = 2,因为 | 6 | w2,所以 6 ="4，所以 f (x) = 2sin 2X+7,因为 + 2k；7t < 2 x+<+2k7t , kCZ,所以一 一8- 十兀kTtWxwy+ ku , kCZ,即为f(x)的单调递增区间.10. (2019 辽宁省五校协作体联考 )设3>

34、;0,将函数兀y=2cos cox + 石的图象向右平移石个单位长度后与函数y=2sin兀3X + "5的图象重合，则3的最小值是(3B.27D.21 A.25C.2解析：C 通解将函数兀y = 2cos w x + - 5 兀 一的图象向右平移 三个单位长度后，得57t7t的图象由已知得2 cos7t7tx> x + = 2sin所以兀cos CO X5兀+石=sin7t7t7twsin1 兀2X+W石十万cos2x+w5cos 2兀X-53兀兀3兀cos一 X一_十 二=cos二X 一102552兀万+兀5=sin52X+兀5 ，所以35的最小值为-.故选C.+ =cos

35、2X -3 兀 wsin -x+y ；,3 ,；当3 =2时,当3 ="2时,优解将函数y = 2cos兀兀 一写的图象向右平移号个单位长度后，得v =2cos 3兀兀x 一匚+号=2cos兀3 X + _5兀L 35的图象，由已知得cos兀 co X + -5兀-3=5兀兀兀兀兀兀兀兀sin 3 x十万，所以sin2 13 X +5L 35=sin co x + ,所以52 13 X +广5L 3+52k兀=cox + 3，kCZ,所以3 =5+ 10k, kCZ,又3>0,所以3的最小值为2.故选C. 52211.（多选题）在平面直角坐标系 xOy中，角a以Ox为始边，终边

36、经过点P（ 1, m）（ m>0）, 则下列各式的值一定为负的是（）A. sin a + cos aB. sin a cos aC. sin a cos asin aD- tan a解析：CD 本题考查三角函数定义的应用及三角函数值符号的判断.由已知得r = | OPma =/2>0,m+ 11cos a = 2 2<0, tan a = - m<0,m+1 sin x+cosa的符号不确定,sin asin a cos a >0, sin a cos a <0, tan_- = cos a <0.故选CD.12. （2019 全国出卷）设函数兀f (x) = sin w x + ( w >0),已知 f (x)在0