最大公约数与最小公倍数应用

1、实用文档文案大全最大公约数与最小公倍数应用（一）-、知识要点：1、性质1:如果a、b两数的最大公约数为d,贝U a=md,b=nd,并且（m,n） =1。例如：（24,54 ） =6,24=4 X 6,54=9 X 6, （4,9） =1。2、性质2:两个数的最小公倍数与最大公约数的乘积等于这两个数的乘积。a与b的最小公倍数a,b是a与b的所有 倍数的最大公约数，并且 axb=a,b x （a,b ）。例如：（18, 12） =, 18 , 12=（18, 12） X 18 , 12=3、两个数的公约数一定是这两个数的最大公约数的约数3、辗转相除法 二、热点考题：求鸵榴僦数限练一练：甲数是36

2、,甲、乙两数的最大公约数是 4,最小公 倍数是288,求乙数。例2两个自然数的最大公约数是7,最小公倍数是 210o这两个自然数的和是 77,求这两个自然数。分析与解：如果将两个自然数都除以7,则原题变为：“两藕貌的哥亲镖春音獭f传数是30。这两个自然T 3b已C 口白fa鼻攵y20公n欲千。12和15 分析与解：因为12, 15都是a的约数，所以a应当是12与15的公 倍数，即是12, 15=60的倍数。再由a, b, c=120知，a只能是 60或12Q a, c=15,说明c没有质因数2又因为a, b, c=120=23 x 3X5,所以 c=15。练一练：已知两数的最大公约数是21,最

3、小公倍数是126,求这两个数的和是多少？例4已知两个自然数的和是50,它们的最大公约数是5,求这两个自然数。例5已知两个自然数的积为 240,最小公 倍数为60,求这两个数。习题四1 .已知某数与24的最大公约数为4,最 小公倍数为168,求此数。2 .已知两个自然数白勺最大公约数为4,最小公倍数为120,求这两个数。3 .已知两个自然数的和为 165,它们的最 大公约数为15,求这两个数。4 .已知两个自然数的差为 48,它们的最 小公倍数为60,求这两个数。5 .已知两个自然数的差为 30,它们的最小公倍 数与最大公约数的差为450,求这两个自然数。6.已知两个自然数的和为900,它们的最

4、大公约 数与最小公倍数的乘积为432求这两个自然数。7、五年一班去划船，他们算了一下，如果增加一条船，正好每船坐6个，如果减少一条船，正好每船坐9人，这个班有多少人？8、一个数被2除余1,被3除余2,被4除余3, 被5除余4,被6除余5,此数最小是几？9、已知A与B的最大公约数为6,最小公倍数为84,且 AX B= 42,求 Bo10、已知A和B的最大公约数是31,且AX B= 5766,求 A和 B。11、有一盘水果，3个3个地数余2个，4个4 个数余3, 5个5个数余4个，问这个盘子里最 少有多少个水果？家庭练习1 .拖拉机前轮直径64厘米，后轮直径96厘 米，拖拉机开动后，前轮至少转多少

5、圈，才 能使前、后轮同时着地的两点重新同时着 地？2 .现在有香蕉42千克，苹果112千克，桔 子70千克，平均分给幼儿园的几个班，每 班分到的这三种水果的数量分别相等，那么最多分给了多少个班？每个班至少分到了三种水果各多少千克？3、一个数被2除余1,被3除余2,被4除 余3,被5除余4,被6除余5,此数最小是 几？4、将72和120的乘积写成它们的最大公约 数和最最小公倍数的乘积的形式。5、两个自然数的最大公约数是12,最小公倍数是72。满足条件的自然数有哪几组？例1用自然数a去除498, 450, 414, 得到相同的余数，a最大是多少？分析与解：因为498, 450, 414除以a所得的

6、余 数相同，所以它们两两之差的公约数应能被 a整 除。498-450=48, 450-414=36, 498-414=84。 所 求数是( 48, 36, 84) =12。例2现有三个自然数，它们的和是1111, 这样的三个自然数的公约数中，最大的 可以是多少？分析与解：只知道三个自然数的和，不知道三个 自然数具体是几，似乎无法求最大公约数。只能 从唯一的条件“它们的和是1111”入手分析。三 个数的和是1111,它们的公约数一定是1111的 约数。因为1111=101X 11,它的约数只能是1, 11, 101和1111,由于三个自然数的和是1111, 所以三个自然数都小于1111, 111

7、1不可能是三 个自然数的公约数，而101是可能的，比如取三 个数为101, 101和909。所以所求数是101。练习：1、在1000到2000之间，能同时被 6、8、10这三个自然数整除的自然数一共有几个？2、三个连续偶数，它们分别是12、14、 16的倍数，比它们大的这样三个偶数最 小各是多少？ 3、四个连续自然数，它们分别是 6、7、9的倍数，比它们大的这样四个自然 数最小各是多少?4、甲、乙、丙三人沿600米的环形跑道 从同一地点出发同时同向跑步，甲每秒 跑3米，乙每秒跑4米，丙每秒跑2米, 至少经过多少时间三人又同时从出发点 出发？ 5、两数的乘积是9000,它们的最大公因 数是15,

8、这个两数各是多少？6、甲、乙、丙三人绕操场竞走，他们走 一圈分别需要1分、1分15秒和1分30 秒。三人同时从起点出发，最少需多长 时间才能再次在起点相会？ 7、两个小于150的数的积是2028,它们 的最大公约数是13,求这两个数、有一堆桔子，按每4个一堆分少1个, 按每5个一堆分也少1个，按每6个一 堆分还是少1个。这堆桔子至少有多少 个？【例3】狐狸和袋鼠进行跳远比赛，狐狸 每次跳4.5米，袋鼠每次跳2.75米，它 们每秒都只跳一次。比赛途中，从起点 开始，每隔12.375米设一个陷阱，当它 们之中一个先掉进陷阱时，另一个跳了 多少米？【例5】用长9厘米、宽6厘米、高4 厘米的长方体搭一

9、个正方体，至少需要 多少块这样的长方体木块？【例61 (1) A B两数的乘积是216,它们的最小公倍数是36。A、B两数的最大公因数是多少?最小公倍数是(2)甲乙两数的 最大公因数是4,甲数是36,乙数是多少?【例7】 加工某种机器零件，要经过三 道工序.第一道工序每个工人每小时可 完成3个零件，第二道工序每个工人每 小时可完成10个，第三道工序每个工人 每小时可完成5个，要使加工生产均衡, 三道工序至少各分配几个工人？练习：1 .甲数是乙数的三分之一，甲数和乙数 的最小公倍数是54,甲数是多少？乙数 是多少？2 .一块长方形地面，长120米，宽60米,要在它的四周和四角种树，每两棵之间 的

10、距离相等，最少要种树苗多少棵？每 相邻两棵之间的距离是多少米？3 .已知两个自然数的积是5766,它们的 最大公约数是31.求这两个自然数。4 .有一队同学去野炊，吃饭时，他 们两人一个饭碗，三个人一个菜碗， 四个人一个汤碗，一共用了 91个碗。 参加野炊的至少有多少同学？实用文档带余数的除法前面我们讲到除法中被除数和 除数的整除问题.除此之外，例如： 16+3=-1,即 16=5X 3+1.此时，被 除数除以除数出现了余数，我们称之 为带余数的除法。一般地，如果a是整数，b是整 数（bw0）,那么一定有另外两个整 数 q和 r, 0&rvb,使得 a=bx q+r o当r=0时，我们称a能被

11、b整除。当r?0时，我们称a不能被b 整除，r为a除以b的余数，q为a 除以b的不完全商（亦简称为商）. 用带余除式又可以表示为 a+ b=q r, 0Wrb。 文案大全实用文档例1 一个两位数去除251,得到的余 数是41.求这个两位数。分析这是一道带余除法题，且要求 的数是大于41的两位数.解题可从带 余除式入手分析。解：.被除数+除数=商余数， 即被除数=除数义商十余数，.251二除数 X 商 +41,251-41二除数X商，.210=除数义商。 210=2义 3X5X7,210的两位数的约数有10、14、 15、21、30、35、42、70,其中 42 和70大于余数41.所以除数是4

12、2或 70.即要求的两位数是42或70。文案大全实用文档例2用一个自然数去除另一个整数， 商40,余数是16.被除数、除数、商 数与余数的和是933,求被除数和除 数各是多少？解：:被除数=除数义商十余数， 即被除数=除数义40+16。由题意可知：被除数十除数=933-40-16=877,（除数 X 40+16） + 除数=877, 除数X 41=877-16,除数=861+ 41,除数=21,. 被除数=21X40+16=856。答:被除数是856,除数是21。 例3某年的十月里有5个星期六， 文案大全4个星期日，问这年的10月1日是 星期几？解：十月份共有31天，每周 共有7天，.31=7

13、X4+3,根据题意可知：有5天的星 期数必然是星期四、星期五和星期 六。这年的10月1日是星期四。 例4 3月18日是星期日，从3月 17日作为第一天开始往回数 （即3 月16日（第二天），15日（第三 天），）的第1993天是星期几？解：每周有7天，1993+7=284（周）5 （天），文案大全实用文档从星期日往回数 5天是星期 二，所以第1993天必是星期二. 例5 一个数除以3余2,除以5余 3,除以7余2,求适合此条件的最 小数。这是一道古算题.它早在孙子算经中记有：“今有物不知其七七数之剩二，问物几何？ ”关于这道题的解法，在明朝就流传 着一首解题之歌：“三人同行七十稀，五 树梅花廿

14、一枝，七子团圆正半月，除百 零五便得知.”意思是，用除以3的余数 乘以70,用除以5的余数乘以21,用除 以7的余数乘以15,再把三个乘积相加. 如果这三个数的和大于105,那么就减去 105,直至小于105为止.这样就可以得到满足条件的解.其解法如下：方法 1: 2X70+3X21+2X 15=233233-105X2=23 符合条件的最小自然数是23。例5的解答方法不仅就这一种，还可以这样解：方法 2: 3, 7+2=2323除以5恰好余3。所以，符合条件的最小自然数是23方法2的思路是什么呢？让我们再来看下面两道例题 例6 一个数除以5余3,除以6余4,除 以7余1,求适合条件的最小的自

15、然数。分析“除以5余3”即“加2后被5整 除，同样“除以6余4”即“加2后被6整除”解:个条件。想:除余1”5 , 6-2=2：28+5 ,的条件?适合前两6 X ?之后能满足“ 728+5, 6 X 4=148, 148=21X7+1, 又 148210=5, 6, 7所以，适合条件的最小的自然数是148。例7 一个数除以3余2,除以5余3,除以7余4,求符合条件的最小自然数。解：想：2+3X ?之后 能满足“5除余3”的条件？2+3X 2=8。再想：8+3, 5 X?之 后能满足“7除余4”的条 件？8+3 , 5 X 3=53。符合条件的最小的 自然数是53。归纳以上两例题的解 法为：逐

16、步满足条件法.当 找到满足某个条件的数后， 为了再满足另一个条件，需 做数的调整，调整时注意要 加上已满足条件中除数的 倍数。解这类题目还有其他 方法，将会在有关“同余” 部分讲到。例8 一个布袋中装有小球 若干个.如果每次取3个， 最后剩1个；如果每次取5 个或7个，最后都剩2个. 布袋中至少有小球多少 个？解：2+5 , 7 X 1=37（个）:37除以3余1,除以5余2,除以7余2,布袋中至少有小球37个。例9 69、90和125被某个正整数N除时，余数相同， 试求N的最大值。分析在解答此题之前，我 们先来看下面的例子：15除以2余1, 19除 以2余1,即15和19被2除余数 相同（余数都是1）。但是19-15能被2整 除.由此我们可以得到这 样的结论：如果两个整数a 和b,均被自然数m除，余 数相同，那么这两个整数之 差（大-小）一定能被m整 除。反之，如果两个整数之 差恰被m整除，那么这两个文案大全实用文档整数被m除的余数一定相 同。例9可做如下解答：.三个整数被N除余数相同，N| (90-69),即 N | 21, N |(125-90),即 N| 35,.N是21和35的公约数。;要求N的最大值，N是21和35的最大 公约数。.21和35的