空间点线面之间的位置关系

1、空间点、线、面之间的位置关系【知识梳理】1平面的基本性质公理1如果一条直线上的_两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内.公理2:如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其他公共点，这些公共点的集合是经过这个公共点的一条直线.公理3:经过不在同一条直线上 的三点，有且只有一个平面.推论1经过一条直线和这条直线外的一点 ，有且只有一个平面.推论2:经过_两条相交直线 ，有且只有一个平面.推论3:经过两条平行直线 ，有且只有一个平面.2直线与直线的位置关系(1) 位置关系的分类(2) 异面直线判定定理过平面内一点与平面外一点的直线，和这个平面内 的直线是异面直线.(3) 异面直线所成的

2、角 定义：设a, b是两条异面直线，经过空间任意一点0,作直线a/ a, b/ b，把a与b所成的叫做异面直线a, b所成的角. 范围：.n答案：(1)平行相交不经过该点锐角或直角0,23同一条直线4相等3. 公理4平行于同一条直线 的两条直线互相平行.4. 定理如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等.【自我检测】1. 若直线a与b是异面直线，直线b与c是异面直线，则直线a与c的位置关系是 平行、相交或异面.2. 如果两条异面直线称为“一对”，那么在正方体的十二条棱中共有异面直线24对.3. 三个不重合的平面可以把空间分成n部分，则n的可能取值为_4,6,7,8

3、.4. (2010 全国 I )直三棱柱 ABC AiBiCi 中，若/ BAC = 90 AB = AC = AAi,则异面直线 BAi 与 ACi所成角的大小为60.将直三棱柱 ABC AiBiCi补成如图所示的几何体.由已知易知：该几何体为正方体.连结 CiD，贝U CiD /BAi.异面直线BAi与ACi所成的角为/ ACiD(或补角),在等边 ACiD 中，/ACiD = 605. 下列命题： 空间不同三点确定一个平面； 有三个公共点的两个平面必重合； 空间两两相交的三条直线确定一个平面； 三角形是平面图形； 平行四边形、梯形、四边形都是平面图形； 垂直于同一直线的两直线平行； 一条

4、直线和两平行线中的一条相交，也必和另一条相交； 两组对边相等的四边形是平行四边形.其中正确的命题是 （填序号）.【例题分析】例1、如图所示，空间四边形 ABCD中，E、F、G分别在AB、BC、CD上，且满足 AE : EB = CF : FB = 2 :1, CG : GD = 3 : 1，过E、F、G的平面交 AD于H，连结 EH.(1) 求 AH : HD ;(2) 求证：EH、FG、BD三线共点.& AE CF(1) 解 eb = FB = 2，-EF /AC.EF /平面 ACD.而 EF?平面 EFGH , 且平面 EFGH 门平面 ACD = GH ,.EF /GH.而 EF /A

5、C,.AC /GH.AH CG 口“HD= GD = 3，即 AH : HD = 3 : 1.ef 1 gh 1(2) 证明/EF /GH，且 AC = 3，AC = 4, EF工GH , 四边形EFGH为梯形.令 EH n FG = P,贝y P EH，而 EH?平面 ABD ,P FG , FG?平面 BCD，平面 ABD n 平面 BCD = BD , P BD.EH、FG、BD 三线共点.变式1如图，E、F、G、H分别是空间四边形 AB、BC、CD、DA上的点，且EH与FG相交于点O. 求证：B、D、O三点共线.证明 VE AB，H AD，E平面 ABD，H 平面 ABD.EH?平面

6、ABD.VEH n FG = O，O 平面 ABD.同理可证O 平面BCD，O 平面 ABD n 平面 BCD，即O BD，B、D、O三点共线.例2、如图所示，直线 a、b是异面直线，A、B两点在直线a 上, C、D两点在直线b上.求证：BD和AC 是异面直线.证明两直线为异面直线的方法：1 .定义法（不易操作）.2 .反证法：先假设两条直线不是异面直线，即两直线平行或相交，由假设的条件 出发，经过严密的推理，导出矛盾，从而否定假设肯定两条直线异面.此法在异面 直线的判定中经常用到.3. 判定定理.证明 假设BD和AC不是异面直线，则 BD和AC共面，设它们共面于 aA、B、C、D a, .A

7、B、CD? a,即 a、b? a这与a、b是异面直线矛盾，故假设不成立.BD和AC是异面直线.变式2如图是正方体或四面体，P、Q、R、S分别是所在棱的中点， 这四个点不共面的是 （填序号）. 例3、（2009全国I ）已知三棱柱 ABCA1B1C1的侧棱与底面边长都相等， A1在底面ABC上的射影为BC的中点，则异面直线 AB与CCi所成的角的余弦值为33 .解题导引 高考中对异面直线所成角的考查，一般出现在综合题的某一步，求异面直线所成角的一般步骤 为:（1）平移：选择适当的点，平移异面直线中的一条或两条成为相交直线，这里的点通常选择特殊位置的点,如线段的中点或端点，也可以是异面直线中某一条

8、直线上的特殊点.证明：证明所作的角是异面直线所成的角.（3）寻找：在立体图形中，寻找或作出含有此角的三角形，并解之.取舍：因为异面直线所成角B的取值范围是 0 90 所以所作的角为钝角 时，应取它的补角作为异面直线所成的角.如图，A1D丄平面 ABC,且D为BC的中点，设三棱柱的各棱长为1,贝U AD = 込，由A1D丄平面 ABC知1A1D = -, RtA1BD 中，易求 A1B =于，求AC11 + 1 2 CC1/AA1,.AB与AA1所成的角即为 AB与CC1所成的角.在AA1BA中，由余弦定理可知 cos/A1AB=22X 1 x 13 3=4Ab与CC1所成的角的余弦值为4.变式

9、3 在空间四边形 ABCD中，已知 AD = 1, BC =3,且AD丄BC,对角线 BD = 和BD所成的角.如图所示，分别取 AD、CD、AB、BD的中点 E、F、G、H，连结EF、FH、HG、GE、GF.由三角形的中位线定理知，EF /AC，且EF = 43, GE /BD，且GE-.GE和EF所成的锐角（或直角）就是AC和BD所成的角.同理,GH /AD , HF /BC.GH = 2, HF = , 又 AD丄 BC,./GHF = 90 aGF2= GH2+ HF2= 1.在AEFG 中，EG2+ EF2= 1 = GF2,/J3EF = 90即AC和BD所成的角为90 :例4、如

10、图所示，在四棱锥 PABCD中，底面是边长为 2的菱形，/ DAB = 60,对角线AC与BD交于点O, PO丄平面 ABCD , PB与平面 ABCD所成的角为 60 (1) 求四棱锥的体积；(2) 若E是PB的中点，求异面直线DE与PA所成角的余弦值.多角度审题对只需求出高P0,易得体积；对 可利用定义，过 E点作PA的平行线，构造三角形再求解.解在四棱锥P ABCD中，PO丄平面ABCD ,/PBO是PB与平面 ABCD所成的角，即/ PBO= 60 2分在 RtKOB 中， BO = AB sin 30 = 1,又 PO 丄 OB,PO = BO tan 60 =.3,底面菱形的面积S

11、= 2X2X 22 = 2 3,1 VPABCD = 3X 2 ,3X 3 = 2.7 分(2)取AB的中点F，连结EF, DF ,E 为 PB 中点， EF /FA,/DEF为异面直线DE与PA所成角(或其补角).9分在 RtKOB 中，AO= AB cos 30 = V3,在 RtPDA 中，PA= 6,.EF =由余弦定理得 cosZDEF =DE2+ EF2- DF在正三角形 ABD和正三角形 PDB中，DF = DE = .3,.3 2+ 于2-6所以异面直线DE与PA所成角的余弦值为2.14分【突破思维障碍】求两条异面直线所成的角的大小，一般方法是通过平行移动直线，把异面问题转化为

12、共面问题来解 决根据空间等角定理及推论可知，异面直线所成角的大小与顶点位置无关，往往将角的顶点取在其中的 一条直线上特别地，可以取其中一条直线与另一条直线所在平面的交点或异面线段的端点总之，顶点 的选择要与已知量有关，以便于计算，具体步骤如下：(1)利用定义构造角，可固定一条，平移另一条，或两条同时平移到某个特殊的位置，顶点选在特殊的位置上;证明作出的角即为所求角;(3) 利用三角形来求解，异面直线所成角的范围是(0 90 【易错点剖析】1求异面直线所成的角时，仅指明哪个角，而不进行证明.2忘记异面直线所成角的范围，余弦值回答为负值.【强化练习】异面或相交一、填空题1 和两条异面直线都相交的两

13、条直线的位置关系是2.给出下列命题：G、H、I、GH与IJ所成角的大小为60若平面a上的直线a与平面B上的直线b为异面直线，直线 c是a与B的交线，那么c至多与a、b 中的一条相交；若直线 a与b异面，直线b与c异面，则直线a与c异面；一定存在平面 a同时和异 面直线a、b都平行.其中正确的命题为 (填序号)错，c可与a、b都相交;错，因为a、c可能相交也可能平行;b的公垂线段的中点且与公垂线垂直的平面即可满足条件 正确，例如过异面直线3.如图所示，在正三角形 ABC中，D、E、F分别为各边的中点, 别为AF、AD、BE、DE的中点，将厶ABC沿DE、EF、DF折成三棱锥以后,将三角形折成三棱

14、锥，如图所示，HG与IJ为一对异面直线，过IJ的平行线,因 GH /DF , IJ /AD,所以/ ADF为所求,因此HG与IJ所成的角为60 :BE与CDi所成的角的余弦值为31010D,44. (2009全国H改编)已知正四棱柱 ABCD A1B1C1D1中，AA1= 2AB, E为 AA1的中点，则异面直线如图所示，连结 A1B,则A1B /CD1，故异面直线BE与CD1所成的角即为BE与A1B 所成的角设 AB= a，贝U A1E = a, A1B = 5a, BE = 2a.BE2+ A1B2 A1E2 2a2 + 5a2 a20SBE 中，由余弦定理得：cosSB2BEA1B= 2

15、X ；2aX 5a =百.5.正四棱锥S ABCD的侧棱长为.2,底面边长为，3, E为SA的中点，则异面直线 BE和SC所成的 角为. 60解析设AC与BD的交点为0,贝U 0E/SC,./BE0（或其补角）即为异面直线BE和SC所成的角,E0= 1SC=在ASAB中,在ABE中,2 1 6芬,B0= 2BD = y,131AB I3 .6 cos A= SA = 2= 4AB2 + AE2 BE2c0S A=2AB E，BE = .2.在BEO中,BE2 + E02 B021cosZBE0= 2 ,.ZBE0 = 60 :2BE E06.一个正方体纸盒展开后如图所示，在原正方体纸盒中有如下

16、结论：AB丄EF :AB与CM所成的角为60;EF与MN是异面直线； MN /NDM/F （CD.则正确结论的序号是 .解析 把正方体的平面展开图还原成原来的正方体，如图所示，易知AB /CM , EF与MN异面，MN丄CD，故正确.7.下面命题正确的是 （填序号）. 若直线a、b相交，b、c相交，则a、c相交； 若a/ b，贝U a、b与c所成的角相等； 若a、b与c所成的角相等，贝U a/ b; 若a丄b, b丄c,贝U a / c.&在图中，G、H、M、N分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线 的图形有 .（填上所有正确答案的序号 ）（4）二、解答题9.如图所示，正方体 ABCD

17、 AiBiCiDi中 求证：（1）E, C, Di, F四点共面；（2）CE , DiF , DA 三线共点.证明 如图所示，连结 CDi, EF, AiB,E、F分别是AB和AAi的中点，iEF /AiB,且 EF = qAiB, （2 分）又AiDi 綊 BC,四边形AiBCDi是平行四边形,AB/CDi,.EF /CDi,EF与CDi确定一个平面 a, E , F , C, D i a,即E, C, Di, F四点共面.（6分）O-AMA氓FAB 丄 EF,GH、MN是异面直线1（2）由（1）知 EF /CDi,且 EF = qCDi,四边形CDiFE是梯形，CE与DiF必相交，设交点为

18、 P, （8分）贝U P CE?平面 ABCD ,且 P DiF?平面 AiADDi,P 平面 ABCD 且 P平面 AiADDi.（iO 分）又平面 ABCD n平面AiADD i = AD ,P AD , ACE, DiF, DA 三线共点.（i4 分）iO如图，在正方体ABCD AiBiCiDi 中，P、Q、M、N分别为AD、AiP / CN , AiQ/ CM，且/ PAiQ=Z MCN.证明 如图所示，在 AiBi上取中点K，易知四边形CM /BK.又AiK/BQ，且 AiK = BQ ,四边形AiKBQ为平行四边形，AQ/BK , （9 分）由公理4有AiQ/MC, （iO分）CiDi、BiCi的中点，求证:（3分）MKBC为平行四边形.BDi与CE所成的角的余弦A H.cos ZD iBG =DiB2+ BG2 DiG22DiB BGA