2017年高考数学(考点解读+命题热点突破)专题23函数与方程思想、数形结合思想理

1、专题 23 函数与方程思想、数形结合思想【考点定位】 函数与方程的思想一般通过函数与导数、三角函数、数列、解析几何等知识进行考查；数形结合思想一般在选择题、填空题中考查.【命题热点突破一】函数与方程思想1. 函数与方程思想的含义(1)函数的思想，是用运动和变化的观点，分析和研究数学中的数量关系，是对函数概念的本质认识，建立函数关系或构造函数，运用函数的图象和性质去分析问题、转化问题，从而使问题获得解决的思想方法.(2)方程的思想，就是分析数学问题中变量间的等量关系，建立方程或方程组，或者构造方程，通过解方程或方程组，或者运用方程的性质去分析、转化问题，使问题获得解决的思想方法2. 函数与方程的

2、思想在解题中的应用函数与不等式的相互转化，对于函数y=f(x)，当y0 时，就转化为不等式f(x) 0,借助于函数的图象和性质可解决有关问题，而研究函数的性质也离不开不等式(2) 数列的通项与前n项和是自变量为正整数的函数，用函数的观点去处理数列问题十分重要(3)解析几何中的许多问题，需要通过解二元方程组才能解决，这都涉及二次方程与二次函数的有关理论.例 1、设 m n 是正整数，多项式(1 2x)m+ (1 5x)n中含 x 项的系数为16,则含 x2项的系数是()A. 13 B . 6C. 79 D . 37已知函数 f(x) = (x + m)ln(x + m)在 x = 1 处的切线斜

3、率为 1.1若对？x0,恒有 f(x) x + ax 2,求实数 a 的最大值；nx2证明：对？x (0 , 1和任意正整数 n 都有 f(x) r 1.e【答案】(1)D【解析】易知 x 的系数为2m- 5n，即2m- 5n= 16,即 2m+ 5n=16,且 m n 为正整数.由 2m+ 5n=16,得 n=16_2m,即 16 2m 必须能够被 5 整除，由于 16 2m 为偶数，且 0W16 2m x + ax + 2, 即卩 xln x x + ax 2,又 x0,所以 aln x + x+ -.令 h(x) = ln x + x+ -，所以xx要使原不等式恒成立，则awh(x)mi

4、n.2(x)=32 _x + x 2_(x + 2)( x 1)h (x) =+ 1 2=2-=2.x x xx当 0 x1 时，h (x)1 时，h (x)0 , h (1) = 0，故 x = 1 时，h(x)取得极小值，即最小值，所以 h(x)min= h(1) = 3,所以 aw3,所以 a 的最大值为 3.明:t 1时,对任意正整数他都有 S 所垃哙-1.故只需证明当汪4 1时,f仗)咅-be e令=1,则故当 g 弐时，c (K)o?即弘)在(61上单调递増，所ee以Q(1)=-1,因为-(-1)ee ee所以f仗)50仗)*所以f仗)疙一1,e帆羽忸41和任意正整数都有f 6)氏

5、 7e【特别提醒】方程思想的本质是根据已知得出方程(组)，通过解方程(组)解决问题；函数思想的实质是使用函数方法解决数学问题(不一定只是函数问题)，构造函数解题是函数思想的一种主要体现.【变式探究】33A - B .一55C. 3 D.一 32x(2)已知函数 f(x) = 1 阪1求 f(x)的单调区间；x2证明：当 x1 时，x+ (x 3)eln x0.【答案】(1) DA A AA A2m m+ 1【解析】AB= OB- 0A= (3 , 1).因为 AB/ OC 所以=，解得 m= 3.2x(1)已知向量 OA= (3 , 4) ,0B= (6 , 3),0C= (2m,1).若AB

6、/ OC,则实数 m 的值为(4解：f(x)=1的定义域为(0,1)U(1,+s),in x(In x )由 f (x)0 得 f(x)的单调递增区间为(.e,+s);x ( 2ln x 1)5由 f (x)0得国数 山)在区间(S2)上单调递増！由g (x)0得的数蓉仗)在区间+B)上单调递甌所以g(s) = (-X*+ 3x)e|g(x) = (x+ 3X)E?整理得x+ (x 3) eln x0.In xZ2【命题热点突破二】数形结合思想例 2、(1)设函数 f(x) = ex(2x 1) ax+ a，其中 a1，若存在唯一的整数 xo，使得 f(xo)0 得 x 刁 由 g (x)0

7、得 x 夕1上单调递减，在 1,+上单调递增.又函数 g(x)在 x1 时，g(x)故函数 g(x)在6时，g(x)0，所以其大致图像如图所示.7直线 y = ax a 过点(1 , 0).若 aw0,贝Uf(x)0.结合函数图像可知，存在唯一的整数xo，使得 f(xo)O，即存在唯一的整数xo，使得点(xo，axo a)在点(xo,f ( 1 )0,g(x0)的上方，则 xo只能是 0，故实数 a 应满足 f(0) 0, 在:中，令AB=a?AC=b , C二右如團所示，则求lb |的最大倩等价干在中，求曲的最大值.【特别提醒】数形结合思想主要是根据函数图像(或者其他几何图形)，找到解决问题

8、的思路，帮助建立数的运算或者推理(以形助数)的一种方法.用图象法讨论方程(特别是含参数的指数、对数、根式、三角等复杂方程)的解(或函数零点)的个数是一种重要的思想方法，其基本思想是先把方程两边的代数式看作是两个 熟悉函数的表达式(不熟悉时，需要作适当变形转化为两个熟悉的函数)，然后在同一坐标系中作出两个函数的图象，图象的交点个数即为方程解(或函数零点)的个数【变式探究】(1)函数 y= f(x)为定义在 R 上的减函数，函数 y= f(x 1)的图像关于点(1 , 0)对称，x, y 满足不等式 f(x 2x) + f(2y y2)w0, M(1, 2) , N(x , y) , O 为坐标原

9、点，则当 1wxw4 时，OM-赤的取值范围为()A.12,+s) B.0,3C. 3 , 12 D . 0 , 12已知向量a ,3 ,Y满足 Ia| = 1 , |a3| = I3| , (aY) (3Y) = 0.若对每一确定的3, |Y| 的最大值和_ 1| - 3e + 2a0,即1 + a0, 解得专wa 0,故实数 a 的取值范围是,0AC4.8最小值分别为 m n,则对任意3, m- n 的最小值是()91A.2B 1C. 2 D. 2【答案】D (2)A【解析】（1）由函数y=f（s-i）的图像关于点o）对称可得函数y=f tx）的圉像关于坐标原点对称，故函数y=f（X）是奇

10、函数.不等式f（x*-2s） + f（2y-/）5D等价于x;-2/-2y,即仗-y）仗+y- 2）幼 又灼耳 所以乎）表示的平面区域如圉中阴影部分所示令=而-丽=買+纽则y=-p? + |.由團可知，IT,工取得最小值 5 当直线y=-囲+ $经过点匚时，工取得最大值讼故而-丽412.y5 s/c-2-304 5 5V平移向量a ,3,Y,使它们的起点位于点 O 处，终点分别记作A, B, C，如图所示，根据|a-3|=|3|可知点 B 在 OA 的垂直平分线上.根据（aY） （3Y） = 0 知点 C 在以 AB 为直径的圆上，故 m n 等于圆的直径 AB.又 OB= AB 所以要使 A

11、B 最小，则只要 OB 最小即可，由图易知，当点 B 为线段 OA 的中1. 2015 全国卷n改编已知等比数列an满足 ai= 3, ai+ as+ as= 21，贝Uas+ as+ a?=_【答案】422424222* 1 3 ,当直线y=i尹+ $经过点一2）时.1点时，m n 取得最小值 2.10【解析】由 a1= 3,得 a1+ as+ as= 3(1 + q + q ) = 21,所以 1 + q + q = 7,即(q + 3)(q 2) = 0,解得 q = 2,所以 a3+ a5+ a7= (a1+ a3+ a5)q2= 21x2= 42.51A-2B . 1C. 2 D.

12、2【答案】(1)D(2)A平移向量 a , 3 , 丫，使它们的起点位于点 0 处，终点分别记作 A, B, C,如图所示，根据| B | =| 3 I 可知点 B 在 0A 的垂直平分线上.根据（ 丫）（3丫）=0 知点 C 在以 AB 为直径的圆上，故 m n 等于圆的直径 AB又 OB=AB所以要使 AB 最小，贝 U 只要 0B 最小即可，由图易知，当点 B 为线段 0A 的中1点时，m- n 取得最小值门【高考真题解读】【答案】429AoAoo9【解析】由 ai=3,得 ai+a3+a5= 3(1 + q + q) = 21,所以 1 + q +q =7,即(q +3)(q -2)

13、=0,解得 q =2, 所以 as+ as+a?= (a 1+1. 2015 全国卷 n 改编已知等比数列an满足 31=3,ai + a3+a5=21,贝J a3+as+a7 =5as+ &)q2= 21 x2= 42.51A-2B . 1C. 2 D. 2【答案】(1)D(2)A平移向量 a , 3 , 丫，使它们的起点位于点 0 处，终点分别记作 A, B, C,如图所示，根据| B | =| 3 I 可知点 B 在 0A 的垂直平分线上.根据（ 丫）（3丫）=0 知点 C 在以 AB 为直径的圆上，故 m n 等于圆的直径 AB又 OB=AB所以要使 AB 最小，贝 U 只要 0B 最小即可，由图易知，当点 B 为线段 0A 的中1点时，m- n 取得最小值