数学思想方法概括

1、精品文档函数方程函数思想，是指用函数的概念和性质去分析问题、转化问题和解决问题。方 程思想，是从问题的数量关系入手，运用数学语言将问题中的条件转化为数学模 型（方程、不等式、或方程与不等式的混合组），然后通过 解方程（组）或不等 式（组）来使问题获解。有时，还实现函数与方程的互相转化、接轨，达到解决 问题的目的。笛卡尔的方程思想是：实际问题一数学问题一代数问题一方程问题。 宇宙世 界，充斥着等式和不等式。我们知道，哪里有等式，哪里就有方程；哪里有公式， 哪里就有方程；求值问题是通过解方程来实现的等等； 不等式问题也与方程 是近亲，密切相关。列方程、解方程和研究方程的特性，都是应用方程思想时需

2、要重点考虑的。函数描述了自然界中数量之间的关系， 函数思想通过提出问题的数学特征， 建立函数关系型的数学模型，从而进行研究。它体现了“联系和变化”的 辩证唯 物主义观点。一般地，函数思想是构造函数从而利用函数的性质解题，经常利用的性质是：f（x）、f（X）的单调性、奇偶性、周期性、最大值和最小值、图像变 换等，要求我们熟练掌握的是一次函数、二次函数、幕函数、指数函数、对数函 数、三角函数的具体特性。在解题中，善于挖掘题目中的隐含条件，构造出 函数 解析式和妙用函数的性质，是应用函数思想的关键。对所给的问题观察、分析、 判断比较深入、充分、全面时，才能产生由此及彼的联系，构造出函数原型。另 外，

3、方程问题、不等式问题和某些代数问题也可以转化为与其相关的函数问题， 即用函数思想解答非函数问题。函数知识涉及的知识点多、面广，在概念性、应用性、理解性都有一定的要 求，所以是高考中考查的重点。我们应用函数思想的几种常见题型是： 遇到变量， 构造函数关系解题；有关的不等式、方程、最小值和最大值之类的问题，利用函 数观点加以分析；含有多个变量的数学问题中，选定合适的主变量，从而揭示其 中的函数关系；实际应用问题，翻译成 数学语言，建立数学模型和函数关系式， 应用函数性质或不等式等知识解答；等差、等比 数列中，通项公式、前n项和的 公式，都可以看成n的函数，数列问题也可以用函数方法解决。数形结合中学

4、数学的基本知识分三类：一类是纯粹数的知识，如实数、代数式、方程（组）、不等式（组）、函数等；一类是关于纯粹形的知识，如 平面几何、立体 几何等；一类是关于数形结合的知识，主要体现是解析几何。数形结合是一个数学思想方法，包含“以形助数”和“以数辅形”两个方 面，其应用大致可以分为两种情形：或者是借助形的生动和直观性来阐明数之间 的联系，即以形作为手段，数为目的，比如应用函数的图像来直观地说明函数的 性质；或者是借助于数的精确性和规范严密性来阐明形的某些属性，即以数作为手段，形作为目的，如应用曲线的方程来精确地阐明曲线的几何性质。恩格斯曾说过：“数学是研究现实世界的量的关系与空间形式的科学。”数

5、形结合就是根据数学问题的条件和结论之间的内在联系，既分析其代数意义，又 揭示其几何直观，使数量关的精确刻画与空间形式的直观形象巧妙、和谐地结合 在一起，充分利用这种结合，寻找解题思路，使问题化难为易、化繁为简，从而 得到解决。“数”与“形”是一对矛盾，宇宙间万物无不是“数”和“形”的矛 盾的统一。华罗庚先生说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百 般好，隔裂分家万事休。”数形结合的思想，其实质是将抽象的数学语言与直观的图像结合起来， 关键 是代数问题与图形之间的相互转化，它可以使代数问题几何化，几何问题代数化。 在运用数形结合思想分析和解决问题时， 要注意三点：第一要彻底明白一些概念

6、 和运算的几何意义以及曲线的代数特征， 对数学题目中的条件和结论既分析其几 何意义又分析其代数意义；第二是恰当设参、合理用参，建立关系，由数思形， 以形想数，做好数形转化；第三是正确确定参数的取值范围。数学中的知识，有的本身就可以看作是数形的结合。女口：锐角三角函数的定 义是借助于直角三角形来定义的；任意角的三角函数是借助于 直角坐标系或单位 圆来定义的。数学思想在人类文明中的作用1、数学与自然科学：在天文学领域里，在第谷布拉埃观察的基础上，开普勒提出了天体运动三 定律：（a）行星在椭圆轨道上绕太阳运动，太阳在此椭圆的一个焦点上。（b）从太阳到行星的向径在相等的时间内扫过的面积是 F（如图）。

7、(c)行星绕太阳公转的周期的平方与椭圆轨道 C的半长轴的立方成正比。开普勒是世界上第一个用 数学公式描述天体运动的人，他使天文学从古希腊 的静态几何学转化为动力学。这一定律出色地证明了毕达哥拉斯主义核心的数学 原理。的确是，现象的数学结构提供了理解现象的钥匙。爱因斯坦的相对论是物理学中，乃至整个宇宙的一次伟大革命。其核心内容 是时空观的改变。牛顿力学的时空观认为时间与空间不相干。 爱因斯坦的时空观 却认为时间和空间是相互联系的。促使爱因斯坦做出这一伟大贡献的仍是数学的 思维方式。爱因斯坦的空间概念是相对论诞生 50年前德国数学家黎曼为他准备 好的概念。在生物学中，数学使生物学从 经验科学上升为

8、理论科学，由定性科学转变为 定量科学。它们的结合与相互促进已经产生并将继续产生许多奇妙的结果。 生物 学的问题促成了数学的一大分支一一 生物数学的诞生与发展，到今天生物数学已 经成为一门完整的学科。它对生物学的新应用有以下三个方面： 生命科学、生理 学、脑科学。2、数学与社会科学如果说在自然科学中，更多的是运用数学的计算公式及计算能力； 那么在社 会科学的领域中，就更能体现出数学思想的作用。要借助数学的思想，首先，必须发明一些基本 公理，然后通过严密的数学推 导证明，从这些公理中得出人类行为的定理。 而公理又是如何产生的呢？借助经 验和思考。而在社会学的领域中，公理自身应该有足够的证据说明他们

9、合乎人性， 这样人们才会接受。说到社会科学，就不免提一下数学在政治领域中的作用。 休 谟曾说：“政治可以转化为一门科学”。 而在政治学公理中，洛克的社会契约论 具有非常重要的意义，它不仅仅是文艺复兴时期的代表，也推动了整个社会的进 步。西方的资产阶级的文明比起封建社会的文明是进步了许多，但它必将被社会主义、共产主义文明所取代。共产党人提出的“解放全人类”一一为人民谋幸福、“为人民服务”和“三个代表”应当也必将成为政府的基本公理。在政治中不能不提的便是民主，而民主最为直接的表现形式就是选举。 而数 学在选票分配问题上发挥着重要作用。 选票分配首先就是要公平，而如何才能做 到公平呢？ 1952年数

10、学家阿罗证明了一个令人吃惊的定理一一 阿罗不可能定 理，即不可能找到一个公平合理的选举系统。这就是说，只有相对合理，没有绝 对合理。原来世上本无“公平”！阿罗不可能定理是数学应用于社会科学的一个 里程碑。在经济学中，数学的广泛而深入的应用是当前经济学最为深刻的变革之一。现代经济学的发展对其自身的逻辑和严密性提出了更高的要求，这就使得经济学与数学的结合成为必然。首先，严密的数学方法可以保证经济学中推理的可靠性， 提高讨论问题的效率。其次，具有客观性与严密性的数学方法可以抵制经济学研 究中先入为主的偏见。第三，经济学中的数据分析需要 数学工具，数学方法可以 解决经济生活中的定量分析。在人口学、伦理

11、学、哲学等其他社会科学中也渗透着数学思想等价转化等价转化是把未知解的问题转化到在已有知识范围内可解的问题的一种重 要的思想方法。通过不断的转化，把不熟悉、不规范、复杂的问题转化为熟悉、 规范甚至模式法、简单的问题。历年高考，等价转化思想无处不见，我们要不断 培养和训练自觉的转化意识，将有利于强化解决数学问题中的应变能力， 提高思 维能力和技能、技巧。转化有等价转化与非等价转化。等价转化要求转化过程中前因后果是充分必要的，才保证转化后的结果仍为原问题的结果。非等价转化 其过程是充分或必要的，要对结论进行必要的修正（如无理方程化有理方程要求 验根），它能给人带来思维的闪光点，找到解决问题的突破口。

12、我们在应用时一 定要注意转化的等价性与非等价性的不同要求，实施等价转化时确保其等价性， 保证逻辑上的正确。著名的数学家，莫斯科大学教授 C.A.雅洁卡娅曾在一次向数学奥林匹克参 赛者发表什么叫解题的演讲时提出：“解题就是把要解题转化为已经解过的 题”。数学的解题过程，就是从未知向已知、从复杂到简单的化归转换过程。等价转化思想方法的特点是具有灵活性和 多样性o在应用等价转化的思想方 法去解决数学问题时，没有一个统一的模式去进行。它可以在数与数、形与形、 数与形之间进行转换；它可以在宏观上进行等价转化，如在分析和解决实际问题 的过程中，普通语言向数学语言的翻译；它可以在符号系统内部实施转换，即所

13、说的恒等变形。消去法、换元法、数形结合法、求值求范围问题等等，都体现了 等价转化思想，我们更是经常在函数、方程、不等式之间进行等价转化。可以说， 等价转化是将恒等变形在代数式方面的形变上升到保持命题的真假不变。由于其 多样性和灵活性，我们要合理地设计好转化的途径和方法，避免死搬硬套题型。在数学操作中实施等价转化时，我们要遵循熟悉化、简单化、直观化、标准 化的原则，即把我们遇到的问题，通过转化变成我们比较熟悉的问题来处理；或者将较为繁琐、复杂的问题，变成比较简单的问题，比如从 超越式到代数式、从 无理式到有理式、从分式到整式等；或者比较难以解决、比较抽象的问题，转 化为比较直观的问题，以便准确把

14、握问题的求解过程，比如数形结合法；或者从 非标准型向标准型进行转化。按照这些原则进行数学操作，转化过程省时省力， 有如顺水推舟，经常渗透等价 转化思想，可以提高解题的水平和能力。分类讨论在解答某些数学问题时，有时会遇到多种情况，需要对各种情况加以分类， 并逐类求解，然后综合得解，这就是分类讨论法。分类讨论是一种逻辑方法，是 一种重要的数学思想，同时也是一种重要的解题策略，它体现了化整为零、积零 为整的思想与归类整理的方法。有关分类讨论思想的数学问题具有明显的逻辑 性、综合性、探索性，能训练人的思维条理性和概括性，所以在高考试题中占有 重要的位置。引起分类讨论的原因主要是以下几个方面： 问题所涉

15、及到的数学概念是分类进行定义的。如|a|的定义分a>0、a=0、 a<0三种情况。这种分类讨论题型可以称为概念型。 问题中涉及到的数学定理、公式和运算性质、法则有范围或者条件限制， 或者是分类给出的。如等比数列的前 n项和的公式，分q=1和ql两种情况。 这种分类讨论题型可以称为性质型。 解含有参数的题目时，必须根据参数的不同 取值范围进行讨论。如解不 等式ax>2时分a>0、a=0和a<0三种情况讨论。这称为含参型。另外，某些不确定的数量、不确定的图形的形状或位置、不确定的结论等， 都主要通过分类讨论，保证其完整性，使之具有确定性。进行分类讨论时，我们要遵循的原

16、则是：分类的对象是确定的，标准是统一 的，不遗漏、不重复，科学地划分，分清主次，不越级讨论。其中最重要的一条 是“不漏不重”。解答分类讨论问题时，我们的基本方法和步骤是：首先要确定讨论对象以及 所讨论对象的全体的范围；其次确定分类标准，正确进行合理分类，即标准统一、 不漏不重、分类互斥（没有重复）；再对所分类逐步进行讨论，分级进行，获取 阶段性结果；最后进行归纳小结，综合得出结论。思维方法数学认识的一般性与特殊性数学作为对客观事物的一种认识，与其他科学认识一样，其认识的发生和发 展过程遵循实践一一认识一一再实践的认识路线。但是，数学对象（量）的特殊 性和抽象性，又产生与其他科学不同的、特有的认

17、识方法和理论形式。由此产生 数学认识论的特有问题。数学认识的一般性认识论是研究认识的本质以及认识发生、 发展一般规律的学说，它涉及认识 的来源、感性认识与理性认识的关系、 认识的真理性等问题。数学作为对客观事 物的一种认识，其认识论也同样需要探讨这些问题； 其认识过程，与其他科学认 识一样，也必然遵循实践一一认识一一再实践这一辩证唯物论的认识路线。事实上，数学史上的许多新学科都是在解决现实问题的实践中产生的。最古老的算术和几何学产生于日常生活、 生产中的计数和测量，这已是不争的历史事 实。数学家应用已有的数学知识在解决生产和科学技术提出的新的数学问题的过 程中，通过试探或试验，发现或创造出解决

18、新问题的具体方法， 归纳或概括出新 的公式、概念和原理；当新的数学问题积累到一定程度后， 便形成数学研究的新 问题（对象）类或新领域，产生解决这类新问题的一般方法、公式、概念、原理 和思想，形成一套经验知识。这样，有了新的问题类及其解决问题的新概念、新 方法等经验知识后，就标志着一门新的数学分支学科的产生，例如，17世纪的微积分。由此可见，数学知识是通过实践而获得的，表现为一种经验知识的积累。这时的数学经验知识是零散的感性认识， 概念尚不精确，有时甚至导致推理 上的矛盾。因此，它需要经过去伪存真、去粗取精的加工制作，以便上升为有条 理的、系统的理论知识。数学知识由经验知识形态上升为理论形态后，

19、 数学家又把它应用于实践，解 决实践中的问题，在应用中检验理论自身的真理性，并且加以完善和发展。同时， 社会实践的发展，又会提出新的数学问题，迫使数学家创造新的方法和思想， 产 生新的数学经验知识，即新的数学分支学科。由此可见，数学作为一种认识，与 其他科学认识一样，遵循着感性具体理性抽象理性具体的辩证认识过 程。这就是数学认识的一般性。数学认识的特殊性科学的区分在于研究对象的特殊性。 数学研究对象的特殊性就在于，它是研 究事物的量的规定性，而不研究事物的质的规定性；而“量”是抽象地存在于事 物之中的，是看不见的，只能用思维来把握，而思维有其自身的逻辑规律。所以 数学对象的特殊性决定了数学认识

20、方法的特殊性。这种特殊性表现在数学知识由 经验形态上升为理论形态的特有的认识方法一一 公理法或演绎法，以及由此产生 的特有的理论形态一一公理系统和 形式系统。因此，它不能像自然科学那样仅仅 使用观察、归纳和实验的方法，还必须应用演绎法。同时，作为对数学经验知识 概括的公理系统，是否正确地反映经验知识呢？数学家解决这个问题与自然科学 家不尽相同。特别是，他们不是被动地等待实践的裁决， 而是主动地应用形式化 方法研究公理系统应该满足的性质：无矛盾性、完全性和公理的独立性。为此， 数学家进一步把公理系统抽象为形式系统。因此，演绎法是数学认识特殊性的表 现。概括数学本质的尝试数学认识的一般性表明，数学

21、的感性认识表现为数学知识的经验性质； 数学 认识的特殊性表明，数学的理性认识表现为数学知识的演绎性质。因此，认识论中关于感性认识与理性认识的关系在数学认识论中表现为数学的经验性与演绎 性的关系。所以，认识数学的本质在于认识数学的经验性与演绎性的辩证关系。 那么数学哲学史上哲学家是如何论述数学的经验性与演绎性的关系， 从而得出他 们对数学本质的看法的呢？数学哲学史上最早探讨数学本质的是古希腊哲学家柏拉图。他在理想国 中提出认识的四个阶段，认为数学是处于从感性认识过渡到理性认识的一个阶 梯，是一种理智认识。这是柏拉图对数学知识在认识论中的定位， 第一次触及数 学的本质问题。17世纪英国经验论哲学家

22、J.洛克在批判R.笛卡尔的天赋观念中建立起他的 唯物主义经验论，表述了数学经验论观点。他强调数学知识来源于经验， 但又认 为属于论证知识的数学不如直觉知识清楚和可靠。德国哲学家兼数学家 莱布尼茨在建立他的唯理论哲学中，阐述了唯理论的数 学哲学观。他认为：“全部算术和全部几何学都是天赋的”；数学只要依靠矛盾 原则就可以证明全部算术和几何学；数学是属于推理真理。他否认了数学知识具 有经验性。德国哲学家康德为了克服唯理论与经验论的片面性，运用他的先验论哲学， 从判断的分类入手，论述了数学是“先天综合判断”。由于这一观点带有先验性 和调和性，所以它并没有解决数学知识的经验性与演绎性的辩证关系。康德以后

23、，数学发展进入一个新时期，它的一个重要特点是 公理化倾向。这 一趋势使大多数数学家形成一种认识： 数学是一门演绎的科学。这种观点的典型 代表是数学基础学派中的逻辑主义和形式主义。前者把数学归结为逻辑，后者把 数学看作是符号游戏。1931年哥德尔不完全性定理 表明了公理系统的局限性和 数学演绎论的片面性。这就使得一些数学家开始怀疑“数学是一门演绎科学”的 观点，提出，数学是一门有经验根据的科学，但它并不排斥 演绎法。这引起一场 来自数学家的有关数学本质的讨论。拉卡托斯为了避免数学演绎论与经验论的片面性， 从分析数学理论的结构入 手，提出数学是一门拟经验科学。他说：“作为总体上看，按 欧几里得方式

24、重组 数学也许是不可能的，至少最有意义的数学理论像自然科学理论一样， 是拟经验 的。”尽管拉卡托斯给封闭的欧几里得系统打开了第一个缺口，但是，拟经验论实际上是半经验论，并没有真正解决数学性质问题，因而数学家对它以及数学哲 学史上有关数学本质的概括并不满意。1973年，数理逻辑学家A.罗宾逊说：“就 应用辩证法来仔细分析数学或某一种数学理论（如微积分）而言，在我所读的从 黑格尔开始的这方面的著作中，还没有发现经得起认真批判的东西。”因此，当 计算机在数学中的应用引起数学研究方式的变革时， 特别是当计算机证明了四色 定理和借助计算机进行大量试验而创立 分形几何时，再次引起了数学家们对“什 么是证明

25、？”“什么是数学？”这类有关数学本质的争论。数学本质的辩证性正因为一些著名数学家不满意对数学本质的概括， 他们开始从数学研究的体 验来阐明数学的经验性与演绎性的相互关系。 D.希尔伯特说：数学的源泉就在于 思维与经验的反复出现的相互作用， 冯诺伊曼说：数学的本质存在着经验与抽 象的二重性；R.库朗说：数学“进入抽象性的一般性的飞行， 必须从具体和特 定的事物出发，并且又返回到具体和特定的事物中去”；而 A.罗宾逊则寄希望 于：“出现一种以辩证的研究方法为基础的、态度认真的数学的哲学”。本节将根据数学知识的三种形态（经验知识、公理系统和形式系统）及其与 实践的关系，具体说明数学的经验性与演绎性的

26、辩证关系。经验知识是有关数学模型及其解决方法的知识。 数学家利用数学和自然科学 的知识，从现实问题中提炼或抽象出数学问题（数学模型），然后求模型的数学 解（求模型解），并返回实践中去解决现实问题。这一过程似乎是数学知识的简 单应用，但事实并非如此。因为数学模型是主观对客观的反映，而人的认识并非 一次完成，特别是遇到复杂的问题时，需要修正已有的数学模型及其求解的方法 和理论，并经多次反复试验，才能解决现实问题。况且社会实践的发展，使得旧 的方法和知识在解决新问题时显得繁琐， 甚至无能为力，从而迫使数学家发明或 创造新的方法、思想和原理，并在实践中得到反复检验，产生新的数学分支学科。 这时的数学知

27、识是在解决实践提出的数学问题中产生的，属于经验知识，具有经验的性质。数学的经验性向演绎性转化 第一部分讲过，数学经验知识具有零散性和不 严密性，有待于上升或转化为系统的理论知识； 而数学对象的特殊性使得这种转 化采取特殊的途径和方法一一 公理法，产生特有的理论形态一一公理系统。所以， 数学的经验性向演绎性的转化，具体表现为经验知识向作为理论形态的公理系统 的转化。公理系统是应用公理方法从某门数学经验知识中提炼出少数基本概念和公 理作为推理的前提，然后根据逻辑规则演绎出属于该门知识的命题构成的一个演 绎系统。它是数学知识的具体理论形态， 是对数学经验知识的 理论概括。就其内 容来说，是经验的；但

28、就其表现形式来说，是演绎的，具有演绎性质。因为数学 成果（一般表现为定理）不能靠归纳或实验来证实，而必须通过演绎推理来证明， 否则，数学家是不予承认的。公理系统就其对经验知识的概括来说，是理性认识对感性认识的抽象反映。 为了证实这种抽象反映的正确性，数学家采取两种解决办法。一是让理论回到实 践，通过实际应用来检验、修改理论。欧几里得几何的不严密性就是通过此种方 法改进的。二是从理论上研究公理系统应该满足的性质： 无矛盾性、完全性和公 理的独立性。这就引导数学家对公理系统的进一步抽象，产生形式系统。形式系统 是形式化了的公理系统，是由形式语言、公理和推理规则组成的。 它是应用形式化方法从不同的具

29、体公理系统中抽象出共同的推理形式，构成一个 形式系统；然后用有穷推理方法研究形式系统的性质。所以，形式系统是撇开公 理系统的具体内容而作的进一步抽象， 是数学知识的抽象理论形态。它采用的是 形式推理的方法，表现其知识形态的演绎性。数学的演绎性向经验性的转化 这除了前面说过的认识论原因外，对 公理系 统和形式系统的研究也证实了这种转化的必要性。哥德尔不完全性定理严格证明 了公理系统的局限性：（1 ）形式公理系统的相容性不可能在本系统内得到证明， 必须求助于更强的形式公理系统才能证明。而相容性是对公理系统最基本的要 求，那么在找到更强的形式公理系统之前， 数学家只能像公理集合论那样，让公 理系统回

30、到实践中去，通过解决现实问题而获得实践的支持。（2 ）如果包含初等算术的形式公理系统是无矛盾的，那么它一定是不完全的。这就是说，即使形 式系统的无矛盾性解决了，它又与不完全性相排斥。“不完全性”是指，在该系 统中存在一个真命题及其否定都不可证明（称为不可判定命题）。所以，“不完 全性”说明，作为对数学经验知识的抽象的公理系统，不可能把属于该门数学的 所有经验知识（命题）都包括无遗。对于“不可判定命题”的真假，只有诉诸实 践检验。因此，这两种情况说明，要解决公理系统的无矛盾性和不可判定命题， 必须让数学的理论知识返回到实践接受检验。由此可见，数学的认识过程是：在解决现实问题的实践基础上获得数学的

31、经 验知识；然后上升为演绎性的理论知识（公理系统和形式系统）；再返回到实践 中，通过解决现实问题而证实自身的真理性， 完善或发展新的数学知识。这是辩 证唯物论的认识论在数学认识论上的具体表现，反映了数学本质上是数学知识的 经验性与演绎性在实践基础上的辩证统一。演算方法既然数学的本质是经验性与演绎性在实践基础上的辩证统一，那么能否对数学的本质进一步作出哲学概括呢？即用简洁的语言表达数学的本质，就像拉卡托斯说的“数学是拟经验的科学”那样。 为此，本文提出，数学是一门演算的科学 （其中“演”表示演绎，“算”表示计算或算法，“演算”表示演与算这对矛盾 的对立统一）。在此，必须说明三点：何以如此概括？

32、“演算”能否反映数学研 究的特点以及能否反映数学本质的辩证性？1何以如此概括？首先，从理论上讲，数学本质是数学观的一个重要问题， 而数学观与数学方 法论是统一的，所以可以通过方法论来分析数学观。 数学认识对象的特殊性决定 了数学认识方法的特殊性。这种特殊性表现在，数学研究除了像自然科学那样仅 仅采用观察、实验、归纳的方法外，还必须采用 演绎法。因此，可以通过研究数 学认识方法来反映数学认识的本质。其次，从事实上看，数学知识的经验性表明数学是适应社会实践需要而产生 的，是解决实际问题的经验积累。社会实践提出的数学问题都要求给出定量的回 答，而要作出定量的回答就必须进行具体的计算， 所以计算表征了

33、数学经验知识 的特点。而对于各种具体的计算方法及其一般概括的“算法”（包括公式、原理、法则），也都可以用“算”来概括、反映数学知识的经验性在方法论上的计算或 算法特点。同时，数学知识的演绎性反映数学认识在方法论上的演绎特点，所以，可以用“演”来反映数学知识的演绎性。 因此，我们可以用“演算”来反映数学 本质的经验性与演绎性。第三，为避免概括数学本质的片面性。自从数学分为应用数学与 纯粹数学以 后，许多数学家认为，数学来源于经验是很早以前的事，现在已经不是了，而是 变成一门演绎科学了。而一般人也接受这种观点。但这样强调数学的演绎性特点， 却忽视了数学具有经验性质的一面。为了避免这种片面性，这里特

34、别通过数学方 法论来概括和反映数学的本质。2. “演算”反映了数学研究的特点数学研究对象的特殊性产生了数学研究特有的问题：计算与证明。它们成为数学研究的两项主要工作。关于“证明”。数学对象的特殊性使得数学成果不能 像自然科学成果那样通过实验来证实， 而必须通过逻辑演绎来证明，否则数学家 是不予承认的。所以，数学家如何把自己的成果表达成一系列的演绎推理（即证明）就成为重要工作。证明成为数学研究工作的重要特点。关于“计算”。数学 本身就是起源于计算，即使数学发展到高度抽象理论的今天，也不能没有计算。 数学家在证明一个定理之前，必须经过大量的具体计算，进行各种试验或实验， 并加以分析、归纳，才能形成

35、证明的思路和方法。只有在这时候，才能从逻辑上 进行综合论证，表达为一系列的演绎推理过程，即证明。从应用数学来看，更是 需要大量的计算，所以人们才发明各种计算机。在电子计算机广泛应用的今天， 计算的规模更大了，以致在数学中出现数值实验。因此，计算成为数学研究的另 一项重要工作。既然“计算与证明”是数学研究的两项主要工作和特点， 那么“数学是演算 的科学”这一概括是否反映出这一特点？“证明”是从一定的前提 （基本概念和 公理）出发，按照逻辑规则所进行的一种演绎推理。而“演（绎）”正可以反映“证明”这一特点。而“算”显然更可以直接反映“计算”或“算法”及其特 点。由此可见，“演算”反映了数学研究的计

36、算和证明这两项基本工作及其特点。3. “演”与“算”的对立统一反映数学性质的辩证性首先，从数学发展的宏观来看。数学史告诉我们，数学起源于“算”，即起 源于物体个数、田亩面积、物体长度等的计算。要计算就要有计算方法，当各种 计算方法积累到一定数量的时候，数学家就进行分类，概括出适用于某类问题的 计算公式、法则、原理，统称为算法。所以数学的童年时期叫做算术，它表现为 一种经验知识。当欧几里得建立数学史上第一个 公理系统时，才出现“演绎法”。 此后，“演”与“算”便构成了数学发展中的一对基本矛盾， 推动着数学的发展。 这在西方数学思想史中表现最为突出。 大致说来，在欧几里得以前，数学思想主 要是算法

37、；欧几里得所处的亚历山大里亚前期，数学主要思想已由算法转向演绎 法；从亚历山大里亚后期到18世纪，数学主要思想再次由演绎法转向算法；19世纪到20世纪上半叶，数学主要思想又由算法转向演绎法；电子计算机的应用 促进了计算数学的发展及其与之交叉的诸如 计算流体力学、计算几何等边缘学科 的产生以及数学实验的出现。这一切又使算法思想重新得到发展，成为与演绎法 并驾齐驱的思想。可以预言，随着计算机作为数学研究工具地位的确立，算法思 想将成为今后相当长一个时期数学的主要思想。 算法思想与演绎思想在数学发展 过程中的这种更迭替代，从一个侧面体现了“演”与“算”这对矛盾在一定条件 下的相互转化。所以，有的数学史工作者从方法论的角度把数学的发展概括为算 法倾向与演绎倾向螺旋式交替上升的过程。其次，从数学研究的微观来看。“演”中有“算”，这充分表明了我们上面 所分析的“证明”中包含着“计算”，包含着“算”向“演”转化。“算”中有 “演”，这充分表现在 算术和代数中。算术和代数表现为“算”，但是，算术和 代数的“算”，并不是自由地计算，而是要遵循基本