锐角三角函数培优题型分类(答案版)

1、百度文库-让每个人平等地提升自我锐角三角函数培优-题型分类【考点】待定系数法求一次函数解析式；锐角三角函数的定义.1. （2009?±丹江二,K）直线y=kx-4与y轴相交所成锐角的正切值为之，则k的值为（）A. L B. 2 C.z ± 2 D.十!2/- 2y=kx- 4 与【分析】首先确定直线y=kx- 4与y轴和x轴的交点，然后利用直线 y轴相交所成锐角的正切值为 二这一条件求出k的值.【解答】解：由直线的解析式可知直线与 y轴的交点为（0, -4）,即直线y=kx-4与y轴相交所成锐角的邻边为| - 4| =4,与x轴的交点为y=0时,;直线y=kx- 4与y轴相

2、交所成锐角的正切值为-i-,W| =4Xy, k=± 2.故选C.【考点】锐角三角函数的定义；三角形中位线定理.2. （1998?台州）如图，延长 RttAABC斜边AB至ijD点，使BD=AB连接CD,若20A三 B 1 C二 D二【分析】若想利用cot/BCD的值，应把/ BCD放在直角三角形中，也就得到了 RttAABC的中位线，可分别得到所求的角的正切值相关的线段的比.【解答】解：过B作BE/ AC交CD于E./ . AB=BD.E是CD中点, . AC=2BE v AC± BC,.BnBC, /CBE=90.BE/ AC.又. cot/BCD=3 设 BE=k 贝

3、U BC=3x AC=2x,tanA=5k=Ax 故选 A.'AC 2k 2【考点3】锐角三角函数的定义.3.将一副直角三角板中的两块按如图摆放， 连接AC,则tan / DAC的值为（【分析】欲求/ DAC的正切值，需将此角构造到一个直角三角形中.AB 'C :D.?过C作CE!AD于E,设CD=BD=1然后分别表示出AD、CE、DE的值，进而可在RtAACE中，求得/ DAC的正切值.【解答】解：如图，过C作CE!AD于E./BDC=90, Z DBC=Z DCB=45,BD=DC设 CD=BD=1在 RtAABD 中，/ BAD=30,则 AD=2在 Rt EDC中，/

4、CDE力 BAD=30, CD=1, .tan/DAC=|二_L_ 2W313故选C.【考点】解直角三角形的应用-坡度坡角问题.4. （2007%云港）如图是一山谷白横断面示意图，宽AA'为15m,用曲尺（两直尺相交成直角）从山谷两侧测量出 OA=1m, OB=3m, O A, O B' =3mK A,O, O' At同一条水平线上），则该山谷的深h为30 m.【分析】过谷底构造相应的直角三角形，利用坡比定义表示山谷宽求解.【解答】解：设A、A'到谷底的水平距离为AC=m, A C=n二 m+n=15.根据题意知，OB/ CD/ O B'. OA=1,

5、OB=3, O A', O' B' =3F»xh=15-解得 h=30 (m).【考点】解直点三角形的应用-坡度坡角问题.5. （2007徵底）去年夏季山洪暴发，几所学校被山体滑坡推倒教学楼，为防止滑坡，经过地质人员勘测，当坡角不超过 45°时，可以确保山体不滑坡.某小学紧挨一座山坡，如图所示，已知 AF/ BC,斜坡AB长30米，坡角/ ABC=60.改造后斜坡BE与地面成45°角，求AE至少是多少米？（精确到米） 【分析】连接BE,过E作ENI±BC于N,贝U四边形AEND是矩形，有NE=AD,AE=DN 在RtA ADB和R

6、tA BEN中都已知一边和一个锐角，满足解直角三角形的条件, 可求出AD和BD、AE的长.【解答】 解：在RtADB中，AB=30米/ ABC=60AD=AB?sn / ABC=30X sin60 = 15/1 = =（米），DB=AB?co更 ABC=3（X cos60 =15 米.连接BE,过E作EN± BC于N.AE/ BC.四边形 AEND是矩形NE=AA26米在 RtENB中，由已知/ EBNK45°,当/EBN=45时，BN=EN小AE=DN=BN- BD=- 15=11 米答：AE至少是米.【考点】解直角三角形的应用-坡度坡角问题.6. (2010渐密市自主招

7、生)某厂家新开发的一种摩托车如图所示，它的大灯 A射出的光线AB、AC与地面MN的夹角分别为8°和10°,大灯A离地面距离1m.Y BCn(1)该车大灯照亮地面的宽度 BC约是多少(不考虑其它因素)？(2) 一般正常人从发现危险到做出刹车动作的反应时间是，从发现危险到摩托车完全停下所行驶的距离叫做最小安全距离，某人以60km/h的速度驾驶该车，从60km/h到摩托车停止的刹车距离是等m,请判断该车大灯的设计是否能满足 最小安全距离的要求，请说明理由.(参考数据：鲁，tan8" T，257sinlO"中鲁'，tanlO"口关 502S【分

8、析】(1)本题可通过构造直角三角形来解答，过 A作AD，MN于D,就有 了/ABN /ACN的度数，又已知了 AE的长，可在直角三角形 ABE ACE中分别 求出BE、CE的长，BC就能求出了.(2)本题可先计算出最小安全距离是多少，然后于大灯的照明范围进行比较， 然后得出是否合格的结论.【解答】解：(1)过A作AD，MN于点D,在 RtACD中，tan/ACD="一，CD= (m)，CD1性，在 RtAABD 中，tan / ABD其八. BD=7 (m) ，ED：>BC=7- = (m)./答：该车大灯照亮地面的宽度 BC是；（2）该车大灯的设计不能满足最小安全距离的要求.

9、理由如下：以60 km/h的速度驾驶， 速度还可以化为：Egm/sJ最小安全距离为： 毁x 4_=8 （m）, - 33大灯能照到的最远距离是BD=7m,该车大灯的设计不能满足最小安全距离的要求.【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题.7. （2010?峰）关于三角函数有如下的公式: sin ( a+ B) =sin a co+COs a sir©。COs ( a+ =cos a cos-0sin-tanQ + tanBs sinDp1-tanCT tan Gtan105 =tan ( 45 +600)tan45fl +tan60"1-tan454 'tanSO*

10、利用这些公式可将某些不是特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数来求值, 如：（2+J1）.根据上面的知识，你可以选择适当的公式解决下面的实际问题：如图，直升飞机在一建筑物 CD上方A点处测得建筑物顶端D点的俯角a =60；底端C点的俯角B =75；此时直升飞机与建筑物CD的水平距离BC为42m,求建 筑物CD的高/B C【分析】先由俯角B的正切值及BC求得AB,再由俯角a的正切值及BC求得A、D两点垂直距离.CD的长由二者相减即可求得.【解答】解：由于a =60； B=75； BC=42贝U AB=BC?tanp =42tan75 °A、D垂直距离为BC?tan a =4两,=42?

11、"11 ,_1 r 1 1-t an45 'tanSOCD=AB- 4273=84.（米）.答：建筑物CD的高为84米.【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题.8. （2010?巴中）巴中市某中学数学兴趣小组在开展 保护环境，爱护树木”的活 动中，利用课外时间测量一棵古树的高，由于树的周围有水池，同学们在低于树 基米的一平坝内（如图）,测得树顶A的仰角/ ACB=60,沿直线BC后退6米到 点D,又测得树顶A的仰角/ ADB=45,若测角仪DE高米，求这棵树的高AM.（结果保留两位小数，卜巧=）【分析】可在RtAABD和RtAABC中，利用已知角的三角函数，用AB表示出BD

12、、 BC,根据CD=BD- BC=6即可求出AB的长；已知HM、DE的长，易求得BM的值, 由AM=AB- BM即可求出树的高度.【解答】解：设人8=乂米./RtA ABD 中，/ADB=45, BD=AB=/._, 一 ， :'_ _ S -/RtA ACB中，/ACB=60, BC=A& tan60=4x 米.3CD=BD- BC=（1-冬）x=6, /解得 x=9+3/3,即AB= （9+3百）米.v BM=HM- DE=- =2, . AM=AB-BM=7+W=（米）. Z答：这棵树高米.【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题.j9. （2015?t南州）如图，从热气

13、球 C上测得两建筑物A、B底部的俯角分别为30°和60度.如果这时气球的高度 CD为90米.且点A、D、B在同一直线上，D B【专题】计算题；压轴题.【分析】在图中两个直角三角形中，都是知道已知角和对边，根据正切函数求出 邻边后，相加求和即可.【解答】 解：由已知，得/ ECA=30, /FCB=60, CD=9QEF/ AB, CD±AB于点 D. / A=/ ECA=30, / B=/ FCB=60.在 RtAACD中，/ CDA=90, tanA,<'5 AD 5-AD=Sr=#=90x 言9。叵在 RtABCD中，/ CDB=90, tanB卫，/BD

14、DB=CD =2=30/3,/tonB V3 AB=ADfBD=90 ：；+30 ：；=120.；.答：建筑物A、B间的距离为120x巧米.【考点】解直角三角形的应用-方向角问题.10. （2007海州）如图，一艘船以每小时 30海里的速度向东北方向航行，在 A 处观测灯塔S在船的北偏东75°的方向，航行12分钟后到达B处，这时灯塔S 恰好在船的正东方向.已知距离此灯塔8海里以外的海区为航行安全区域，这艘 船可以继续沿东北方向航行吗？为什么？（参考数据、V2-, V3-）【分析】问这艘船能否可以继续沿东北方向航行， 只要证明D与S的距离要大于 8海里，可以做与正北方向平行的直线，与

15、SB的延长线相交于点C.则4ABC ACS®是直角三角形，可以运用勾股定理来计算.【解答】解：作与正北方向平行的直线，与 SB的延长线相交于点C,过点S作 SD±AB于 D.V AB=30X =6 （海里）， 60/CAB=45, /ACB=90, . AC=BC=AB?sin45 =6孚=3.历（海里），/CAS=75, /ACS=90, . SC=AC?tan75 =32乂 （2+/3）=班+3娓（海里），. BS=3/2+3'行（海里），/ DBS玄 ABC=45, . SD=BS?sin45 i3/2+3/6） X 喙=3+3内= >8,/这艘船可以继

16、续沿东北方向航行.【考点】平行四边形的性质；三角形的面积；解直角三角形.11. (2010?兰州)已知平行四边形 ABCD中，对角线AC和BD相交于点2, AC=10 BD=8.(1)若AC，BD,试求四边形ABCD的面积；(2)若AC与BD的夹角/ AOD=60,求四边形ABCD的面积；(3)试讨论：若把题目中 平行四边形ABCDT改为四边形ABCD,且/ AOD=， AC=a BD=b,试求四边形ABCD的面积(用含9, a, b的代数式表示).【分析】(1)因为AC，BD,所以四边形ABCD的面积等于对角线乘积的一半；(2)过点A分别作AEL BD, CF, BD,根据平行四边形对角线互

17、相平分和正弦定理求出4AOD的面积，那么四边形 ABCD的面积=4 AOD的面积；(3)作辅助线AE± BD, CF± BD,利用正弦定理求出 BCD ABD的高，那么 四边形ABCD的面积= BCD的面积+ ABD的面积./【解答】解：(1) V AC± BD,四边形ABCD的面积=AC?BD=40(2)分别过点A, C作AEL BD, CF± BD,垂足分别为E, F.四边形ABCD为平行四边形，AO=CO=AC=5, BO=DOfBD=4.2'2在 RtAOE中，sin/AOE幽A0. AE=AO?sin AOE=AO< sin60

18、=5X返身在 xTT 2Sx aoxOD?AeL22X4XX5=5/3.四边形 ABCD的面积 S=4Saod=20.(3)如图所示，过点A, C分别作AE，BD, CF，BD,垂足分别为E, F.在 RtAOE中，sin/AOE殁, AOAE=AO?siX AOE=AO?sin.同理可得CF=CO?sin COF=CO< sin e四边形ABCD的面积S=S abd+Sa cbdf-BD?AEf-BD?CF 22、BDsin 9(AO+CO) = -BD?ACsin9Jabsin .0平行四边形的性质；全等三角形的判定与性质；解直角三角形.12. （2006储坊）已知平行四边形 ABC

19、D AD=a AB=b, /ABC乱点F为线段BC上一点（端点B, C除外），连接AF, AC,连接DF,并延长DF交AB的延长 线于点E,连接CE.（1）当F为BC的中点时，求证： EFC与ZXABF的面积相等；（2）当F为BC上任意一点时， EFCt4ABF的面积还相等吗？说明理由.【分析】（1） &efJfC淌h, &abf=1bfW h',而EFCf4ABF的面积相等且 22当F为BC的中点，所以必须证明h=h',而h=ABsinq来解答，因此便可求证所求；（2）由于 ABC和4CDE为等底等高三角形，所以和4CDF同底等高,所以 &AFC=Sx

20、CDF.二 Sk ABC- S AFC=S1 CDE & CDF,即 S ABF=S EFC【解答】（1）证明：:点F为BC的中点，又 : BF/ AD,BE=AB=b.A, E两点到BC的距离相等,都为bsin a （3分）贝U SABF=i-?-1-?bsin a-i-absin a&EFC3?-；-?bsin a=absin 劣 <SABF=SEFG （5 分）/（2）解：Sa ABC=Sx CDE,又因为 ACFh' =EBsin所以证明方向转化为求证 EB=AB而EB=CD可利用证 EBH DCF法一：当F为BC上任意一点时，设 BF=k 贝U FC=a

21、- x四边形ABCD平行四边形，屈_：芯 _ BE /一 一 ）AD BE+AB a BEb BE（7 分）/ a-x在EFCt, FC边上的高h尸BEsin夕'、 , bxsinQ一储=，1 a-x1 _ n I, 、 brsinQ 1,. /c 八、. S耽=yFC，hiw（ar”寸工8门口，（9分）又在 ABF中，BF边上的高h2=bsin0 SkABF=bxsin a 2S ABF=S EFC； （11 分）法二：: ABCD为平行四边形，Skabc=SLcDE=absin a 2又二 SAFC=SCDF,S ABC- S AFC=S CDE- & CDF, 即 &am

22、p;ABF=SEFC （11 分）菱形的性质；全等三角形的判定；等腰三角形的判定；解直角三角形.13. （2009拢岩）在边长为6的菱形ABCD中，动点M从点A出发，沿A? B?C向终点C运动，连接DM交AC于点N./1）（图 2）（1）如图1,当点M在AB边上时，连接BN:求证： ABNAADN;若/ ABC=60, AM=4, / ABN须，求点M到AD的距离及tan a的值.(2)如图2,若/ABC=90,记点M运动所经过的路程为x (6<x<12).试问：x为何值时，4ADN为等腰三角形.【考点】菱形的性质；全等三角形的判定；等腰三角形的判定；解直角三角形.【专题】压轴题；

23、动点型.【分析】(1)4ABN和4ADN中，不难得出AB=ADJZ DAC=Z CAB, AN是公 共边，根据SAS即可判定两三角形全等.通过构建直角三角形来求解.作 MHLDA交DA的延长线于点H,由可得/ MDA=/ ABN,那么M到AD的距离和/ a就转化到直角三角形 MDH和MAH中, 然后根据已知条件进行求解即可.(2)本题要分三种情况即：ND=NA, DN=DA AN=AD进行讨论.【解答】解：(1)证明：二四边形ABCD是菱形， .AB=AD / 1=/ 2.又AN=AN, .ABNAADN (SAS.作MH，DA交DA的延长线于点H.由 AD/ BC,得/ MAH=/ABC=6

24、0.在 RtAAMH 中，MH=AM?sin60 =4X sin60 =2/1. 点M到AD的距离为2K. . AH=2DH=6+2=8.在 RtADMH 中，tan/MDHM/、DH 84/由知，/ MDH=/ ABN须，/tanas /4/(2) Z ABC=90,/菱形ABCD正方形. ./CAD=45.Z下面分三种情形：(I )若 ND=NA,贝叱 ADN=Z NAD=45 .此时，点M恰好与点B重合，得x=6;Z(H )若 DN=DA,贝叱 DNA=Z DAN=45 .此时，点M恰好与点C重合，得x=12;(田)若 AN=AD=G 贝1=/ 2,v AD/ BC,/ 1=/ 4,又/

25、 2=/ 3, / 3=/4./CM=CN, AC=6叵 CM=CN=AC- AN=6/2-6.故 x=12- CM=12- (6&-6) =18-6/2.综上所述：当x=6或12或18-班时，4ADN是等腰三角形.(图1)等边三角形的判定与性质；解直角三角形.14. （2009?1田）已知：等边 ABC的边长为a.探究（1）:如图1,过等边 ABC的顶点%A、B、C依次作AB、BG CA的垂线围 成AMNC,求证：zMNG是等边三角形且 MN=/a；探究（2）:在等边 ABC内取一点O,过点O分别作OD，AR。已BG OF，CA, 垂足分别为点D、E、F.如图2,若点。是4ABC的重心，我们可利用三角形面积公式及等边三角形性质得到两个正确结论（不必证明）：结论1. OD+O&OFia；结论22./AD+BE+CF鼻；2如图3,若点O是等边 ABC内任意一点，则上述结论1, 2是否仍然成立？ 如果成立，请给予证明；如果不成立，请说明理由.【分析】（1）本题中 ABC为等边三角形，AB=BC=a /ABC=60,求出/ N, / G的值，在直角 AMB、zCNB中，可以先用a表示出MB, NB然后再表示出 MN,这样就能证得MN=/3a；（2）判定是否成立可通过构建直角三角形，把所求的线段都转化到直角三角形中进行求解；判断是否成立