韩信点兵(同余问题)

1、二韩信点兵例1我们先考虑下列的问题：假设兵不满一万，每5人一列、9人一列、13人一列、17人一列都剩3人，则 兵有多少？首先我们先求5、9、13、17之最小公倍数9945 （注：因为5、9、13、17为两两互质的整数，故其最小公信 数为这些数的积），然后再加3,得9948 （人）。例2有一个数，除以3余2,除以4余1,问这个数除以12余几？解：除以 3 余 2 的数有：2, 5, 8, 11, 14, 17, 20, 23.它们除以12的余数是：2, 5, 8, 11, 2, 5, 8, 11,.除以 4 余 1 的数有：1, 5, 9, 13, 17, 21, 25, 29, 它们除以12的

2、余数是：1, 5, 9, 1, 5, 9,.一个数除以12的余数是唯一的,上面两行余数中，只有5是共同的，因此这个数除以12的余数是5.如果我们把问题改变一下：有一个数，除以3余2,除以4余1,问这个数是几？不求被12除的余数，而是 求这个数是几？.很明显，这个数最小是5,满足条件的数是很多的，它们是5 + 12Xn（n=0, 1, 2, 3），事实上，我们首先找出5后，注意到12是3, 4的最小公倍数，再加上12的整数倍，就都是满足条件的数. 这样就是把“除以3余2,除以4余1”两个条件合并成“除以12余5” 一个条件.题目中提出的条件有三个，我们可以先把两个条件合并成一个然后再与第三个条件

3、合并，就可找到答案.例3 秦朝末年，毙汉相争韩信帅1500名将士与斐王大将李锋交战。苦战一场，毙军不敌，败退回营，汉 军也死伤四五百人，于是韩信整顿兵马也返回大本营。当行至一山坡，忽有后军来报，说有楚军骑兵追来。只见 远方尘土飞扬，杀声震天。汉军本来已十分疲惫，这时队伍大哗。韩信急速点兵迎敌。他命令士兵3人一排，姑 果多出2名；接着命令士兵5人一排，结果多出3名；他又命令士兵7人一排，结果又多出2名。韩信马上向将 士们宣布：我军有1073人，敌人不足五百，我们居高临下，以众击穿，一定能打败敌人。一个数除以3余2,除以5余3,除以7余2,求符合条件的最小数.解：第1步 先列出满足其中一个条件的数

4、（一般从小到大），即除以3余2的教：2, 5, 8, 11, 14, 17, 20, 23, 26,，第2步再列出满足其中第二个条件的数，即除以5余3的数：3, 8, 13, 18, 23, 28,.第3步归纳前面第3步首先出现的公共数是8.8就是满足除以3余2,除以5余3的最小的那个数。3与5的最小公倍数是15.两个条件合并成一个就是8+15Xn（n=0, 1, 2,）。列出这一串数是8, 23, 38,，第4步再列出满足其中第三个条件的数，即除以7余2的数2, 9, 16, 23, 30,，第5步归纳第3步第4步得到的数列。就得出符合题目条件的最小数是23.事实上，我们已把题目中 三个条件

5、合并成一个。3, 5, 7的最小公倍数是105，满足三个条件的所有数是23+105Xn（n=0, 1, 2, ）第6步那么韩信点的兵在10007100之间，应该是23+105X10=1073人如果你随便拿一把蚕豆（数目约在100粒以内），假如3粒一数余1粒，5粒一数余2粒，7粒一数余2粒, 那么，原有蚕豆有多少粒呢？中国剩余定理韩信点兵）的计算方法是：第1步用3个一数剩下的余数，将它乘以70 （因为70既是5与7的倍数，又是以3去除余1的数）：第2步用5个一数剩下的余数，将它乘以21 （因为21既是3与7的倍数，又是以5去除余1的数）：第3步7个一数剩下的余数，将乘以15 （因为15既是3与5

6、的倍数，又是以7去除余1的数），第4步将这些数加起来，若超过105 （105是3,5,7的最小公倍数），就减掉105,如果轲下来的数目还是比 105大，就再减去105,直到得数比105小为止。这样，所得的数就是原来的数了。根据这个道理，你可以很容 易地把前面的题目列成算式：1 X70 + 2X21+2X15-105 =142-105 =37因此，可以知道，原来这一堆蚕豆有37粒。【例4】求最小非负整数N,使他在除以5, 7,11以后所得余数分别是a, b,c。【韩信点兵法口诀的原理】能被7,11除尽数是77k,当k=3,即231除5正好余1, 231a除5正好余a。能被5,11除尽数是55k,

7、当k=6,即330除7正好余1, 330b除7正好余b。能被5, 7除尽数是35k,当k=6,即210除11正好余1, 210c除11正好余c°那么231a+330b+210c除以5, 7,11以后所得余数一定分别是a, b, c。5,7,11的最小公倍数是385,根据【符合要求的最小数N必满足0WNV385，所以当231a+330b+210c大于或 等于385时，还必须减去若干个385直到比385小为止，才可以得到符合题意要求的最小数,【说明】231a+330b+210c + 385k也一定满足“除以5, 7,11以后所得余数分别是a, b, c”。【例5】求最小非负整数N,使他在

8、除以5, 7,11以后所得余数分别是3, 5, 7。【解】231a+330b+210c=231 X3+330X5+210X7=3813.因为3813>385,所以减去9个385后，得到比385小的3813-9X385=348就是符合题意的最小非负整数 T这些题可转化为余数问题解决。如果你知道中国剩余定理，可直接用，如果不知道，也没有关 系，可采取余数常用方法，先找一个最小的满足第一个数，然后调整一下满足第二个数，再调整满 足第三个数。在调整时，一定不要改变你前面已经满足的数的特点，每次加前面已经满足的数的最 小公倍数，这样它的余数就不会被改变。课堂练习（用上面介绍的两种方法）1有一个数，

9、除以3余1,除以5余3,问这个数除以16余几？2韩信带1500名兵士打仗，战死四五百人。韩信令活着的兵士 3人站一排，多出2人；5人站一 排，多出4人；7人站一排，多出6人。韩信有多少士兵？人数:10493有一堆苹果五个五数剩3,七个七数剩1,九个九数剩2,这堆苹果最少有多少个？ ？ ？同余问题上面的问题，也有人称为“韩信点兵”,它形成了一类问题，也就是初等数论中的解同余式。一 同余的定义：如果两个正整数a和b除以n后余数相同，那么我们就说a和b关于模n同余,记作：a =b （mod n） 读作a与b同余，mod为n。或者a同余于b模e例如2 15 ： 4=3323-r4=5315和23对于除

10、数4同余9记作：15 =23 （mod4）可以理解为15和23除以4的余数相同。表示同余关系的数学表达式，与等式相似。将等式中的等号“二”换成同余符号“三”，在式尾缀 以（mod n）注明模n （即除数），就是同余式。含有未知数的同余式叫做同余方程，求未知数的值 就是解同余电。M余定理 ）恢1果* b <gd no,二、"同余"的四个常用定理是什么？则m| ra-b）若两数同余.他们的差必是除数的倍数例如，" ” (nx>d 10> 则10 I (73-23)73亏”的差星J0的倍数“同余定理(二7如果a三b (mod m) .c s d (mo

11、d m),则白 ± c = b ± d (mod m)例如，73 -3(mod 10)两数和的余数等于余数的和二 两数差的余数等于余数的差J84 =4(mod 10)73+84 34 7(mod 10)8473 三 43 三 1(mod 10)同余定理（三）c三d（除数m）.则a X g三bXd (除数m)例如， 73三3僻数10)到三4(除数10)73X84 =3X4= 2 (除数 1。)同杀定理，四丁|如果a三bI除数m)则a"三b(除数m)例如,40=1(mod13)两数丽薮丽东敌的积丁|某数乘方的余数，等于余数的乘方,4Q3,= |3D=|<niQd

12、!.3>例1：求，3、309><：1993被-除的余数。473三3(mod?)309=1 (mod?)由"同余的可乘性，知；43309=31 (mod?) =3 (mod?)又因为 1993s5 (mod")所以：437x3。% 199。三37 Cmod7)=15 (mod-)三 1 (mod，)即3X309% 1993被7除余h上面求到余数的和或者积，如果比除数大，所求的余数等于余数的和或者积再除以c的余数。今天是星期一，所以再过20042天是星期二.【解】因为2004除以7的余数是2 .所以2004减r与2坳，7的余数相同.而 2 M4=(2-)068

13、 =<7+1 )(508所以2切“：7与I 66; E = 7的余数相同.故20武屿-7的余数为1.因为今天是星期一，所以再过2004天是星期二.三弃九法原理:检脸算式 1234 +1898 +18922 + 678967 +178902 = 889923 是不是正确的1234除以9的余数为1,1898除以9的余数为8,18922除以9的余数为4,678967除以9的余数为7,178902除以9的余数为0,这些余数的和除以9的余数为2而等式右边和除以9的余数为3,那么上面这个算式一定是错的。上述检验方法恰好用到的就是我们前面所讲的余数的加法定理，即如果这个等式是正确的，那么左边几个加 数

14、除以9的余数的和再除以9的余数一定与等式右边和除以9的余数相同。而我们在求一个自然数除以9所得的余数时，常常不用去列除法竖式进行计算，只要计算这个自然数的各个 位数字之和除以9的余数就可以了，在算的时候往往就是一个9一个9的我并且划去，所以这种方法被称作“弃 九法”。即：任何一个整数模9同余于它的各数位上数字之和。这个特性，不仅可以检验几个数相加的结果有没有错误，对于检脸相乘、相除和乘方的结果对不对同样适用注意：弃九法只能知道原题一定是错的或有可能正确，但不能保证一定正确。例如：检脸算式9+9=9时，等式两边的除以9的余数都是0,但是显然算式是错误的但是反过来，如果一个算式一定是正确的，那么它

15、的等式2两端一定满足弃九法的规律。例la除以5余E, b除以5余名如果3a>b,那么%b除以5余几? 分析与余数有关的问题考虑用同余式可以使解题简便.解：Va=l (inod5 ),/. 3a=3 (mod 5) 7或者3a=g (mod5) . (I) 又b三4 (mod 5) , (2)(1) - (2)得；3ab=84=4 (mod 5).因此，3ab除以5余4.因0Wy<9且y是慢数Ay=2.把y=2代入(1)得x+6+7+9+2三0 (mod9)',X三3 ( mod 9).山又里一位整数得：x=3.所求五位数是36792.例3计算机录入员平均每分钟可以输入72个

16、汉字，输入一篇有赤? 个汉字的文章所用的分钟数恰好是整数，求五位数酝.分析这道题实质是求一个能被72整除的五位数砺解：772=8X9,又72|丽瓯，山能被8、9整除的特征，得卜十 6+7 +9 + y=0 (mod9) (1)700-1-90+ y=0 (mod 8). (2)(注)X6000能够被8除尽，故(2)式里不列出它例4立:191919191919,求磁9除后所得商的个位数是几？-J1919个1919分析 设n+9 = fftpr,那么9 | (nr),根据n=商><9)以及nr的个位 数字，可推算出商的个位数字.抓住”个整数与它的各位数字之和对于模9同余”这性质，可以很

17、快的化大数 为小数.解：: n= 1919191919吟-1919X (1 + 9 + 1+9)三 1919乂2。三2*2=4 (mod1919 个 19199),二9 | (n-4) > 即n4=9X商，又Tn4的个位数字是5,'.n被9除所得的商的个位数字是5.例6 己知：=19191919-1919, ' 1间9不9问：a除以13所得余数是几？解：用试除方法可知：13 | 191919.1919X2=3838,而3 | 3837,.13 | 19191900,dJ3X37 个 191919 1900 = 19,38行不19 即1919个“1919”有3838个“19

18、”，三组二组取走“19”后还剩下一组.:a= 19 (mod 13).丁 a6 (mod 13).先试除得3对19可除尽，把1919个2对19 一组折算成为3对19 一组，即3838个19。3837个可以除尽，剩下下一个就是余数。例7求被3除余2,被5除余3,被7除余5的最小三位数解：设X为所求数，山题意(乂=2 (mod 3), (1)x3 (mod 5),(2)x5 (mod7)i (3) 即x=7k+5(k是整数).代入(2)得7k+5=3 (mod 5 ),二2k三3 (mod 5) ,2k=8 (mod 5).A k=4 (mod5),即 k=5m+4 (m是整数) Ax=7k+5=

19、7 (5m+4)+5=35m十33, 上式代入(1)得：35m+ 33 =2 (mod 3),2m2 (mod3),m=l (mod3) , 即ni=3t+l ”是整数). ,x=35m+33=35 (3t+l) +33=IO5t+68, 当t=l时，51=173.，所求的最小三位数为173.1.有一个自然蚊，用它分别去除63、乳、130都有余数,且3个余数的和是25,这三个 余数中最大的一个是多少？设所求的自然数为n0 63-rn »X Vi 9()-rn=B也130亍。=0"，门口+r?+r.二25 根据同余的第二个性质定理“和的余数等于余数的和二(63+90+130)

20、 2n的余 数是25. 63/90+130-25 = 253. 258是n的倍数, n是258的约数&25258=2X3X43, 258共有8个约数.但是上nV63 , 258的约数中符合条件的只3有一个43.所以n = 43063343=120904-43=24130+43=3I20+4-1 = 25二个余数中最大的一个是20。2、甲、乙、丙三个效分别为603、930. 393。某敷A除甲敷所得的余数是A除乙数所余效的2傕，A除乙数所傅的余数是A除丙数所的余数的2僭.求A等于多少？解：603-?A=Bi4r939-rA=B,2r393 + A =B：把余数处理成相同，再相减<?

21、）603 亍 A=B】4r（939X2） ： A=|iX2如（393X4） -fA=B）X44r393X4=1572, 939X2=1878,原题转化成“1572、187队603除以A的余数相同，：&A 是冬少工 这三个数两两相减的差是1378- 1572 = 306： 1878 603=1275： 1572 603=96%A是306、 1275、969的公约数。（306、1275. 969） -51=3 乂 17 人是51或17,不会是1利丸 经检验，A等3、现有卷果254粒，饼干210块和梢子186个.某幼儿园大班人数超过40人，每人分得 一样多的1果，一样多的饼干，也分得一样今的

22、精子余下的果、饼干和桔子的数量的 比是h 3； 2,这个大班有多少名小朋友？每人分得It果多少粒？饼干多少次？楮子多少 个？254：人数三小个r210+人数=m个3r186十人数m个2r解，设这个大班共有n名小朋友.由于余下的新果、饰和桔子的数量的比是L 3： 2,所以魁下的鑫果和桔子的数一和正好等 于剩下的研干的数量。根据同余的性质定理厂）254+186 -210=230 定是n的倍数, n是230的约 数。同样,剩下的糖果数量的2倍工好等于剩下的桔子的数型，于是,251X2 186 = 322, 322 一定是n的倍数，n是322的约数。n是”0和322的公约数.而4230. 322） =

23、46»而已知条件告诉我们幼匚时大班人数超过40 人，所以n=46,林果254 + 46 = 5（个）24（介）饼干210-r46=3（个）72（个）桔子186+ 46=3（个）48 （个）24： 72： 48=1； 3： 2,共有毋名儿能,每人分糖果5个,饼干3个，桔子3个令于1九603= 17 - 3.58939+17=554 393三17232答：A等于17。4、(3产+3/)被13除所得的余数是多少2幅31=5(modl3)3产展5箝(modi 3 J51525J545s5H<5、>511除以13的余数5128«51281512830-r 4 =7231

24、加丁 5 Hl 二 52-12(mod 13>所以"叫=12<modl3)30=4(此出3)30u=431 (modl3)4141r45414s14,4,r4,2除以13的余数43129014Ml129旦Ld4rl除以13的余数是以6为个徜环周期，31 ： 6 = 5l = 4n = .i,=4中川？)所以，5cdi3)日 3严'+30"三 12+4三3Cmodia谷：(3产+3。，被13除所得的余数是九5、一个数去除70、103所网的余敷为、2.+2.求a的值解：用数学表达式表述也意70千口=AaI03+n=B2a+2把式扬化为 C0X2+2) 4-n

25、=2A2a+270X2+2=142142与103除以n的余数相同,根据同余的性质定理(IL n能整除142与103的差.142 103=39, n能翌除39, n是39的约数.3g的豹数有1, 3、13, 3a经检验，n= 13。70013=551034-13=712 (12=2X5+2)所以.n=56、一个大于10的自然数去除90、1M后所将的两个余数的和等于这个自然数去除220后所得的余数，则这个自焦数是多少？解；设这个大于10的自然数为n。根据同余胞性质定理二)两数和的余数等于余数的利 用n去除90、164后所得的两个余数 的和等于用n去除220所得的余数，而90+164=254。254

26、和22。除以！i所得的余数相同,于是254 220=3”是n的信教，n是34的约数。3d的约数有1、2、17.刎,因为n是大于10的自然数，所以n 只能是£7或34。当 n=34 时-90+34=222： 164+34=428； 220+34=61622+28=416 所以，nW34当 n = 17 时.90+17=55： 164-? 17=911： 22017 = 12165 + 11 = 16所以.n=17答：？孑合要求的自燃数是17.7.有一串数w 1, 3, 8, 22, 60, 1M, 448,其中第一个数是1,第二个数是3,从第 三个数起，每个数恰好是前苒个数之和的2倍,

27、那么在这国数中，第2W0个数除以9的余 敷是找规律,根据递推关系把这半数除以9的余数列出来加下:19 3r 8f 4, 61 2， 7< 0» 5* 1， 3寸 8, 4, 6, 29 «,» 0， 5. 每9个数为一个循环周期.20004-9=2222.第2000个数除以9的余数与第2个数除以9的余数是 样的，除以9的余 数是3。8、一个小于200的JR,它除以11余8,除以13余10,这个数是多少？解:先把已知条件用教学发达式写出来.设所求的自然数为此N4-ll =8N4-I3=10这两个除法算式的余数与除数的差邻是“3”,11-8=13-10,把被除数

28、N加上3之后除以II和13都能整除，也就是说.(N+3)是II和13的公倍数.11, 13： =1，13,海33 140, 14。 就是所求的数.例1、求71427X19被7除后的余数解：因为71427三6 (mod7)19=5(mod7)应用性质(3)得：71427X19三6X5 (mod7)而30 =2(mod7)由性质(1)得71427X19三2 (mod7)所以71427X19被7除的余数为2练习2若2836, 4582, 5164, 6522四个自然数都被同一个自然数相除，所得余数相同 且为两位数，除数和余数的和为.把题意用数学表达式表示:2836+ x =4582： x51644-

29、 x =口6522-7- X =2836, 4582, 5164, 6522对于自然数x同余，根据同余的基本性质,他们两两栩减 的差必是犬的倍数,x是差的约数。由余数是两位数.除数比余数人.所以x至少是两 位数e分析：<1) 5164-4582 = 582； 6522-5164 = 1358.(582. 1358) =19九194 = 2X97.X是1叼的约数，K至少是两位数，乂可能是97或194。(2)检脸：如果x=194. 28362191 = 14120,余数不是两位数,与题意不符、 如果x=?7, 2836:97 = 2923.余数是两位数,与题您相符除数是97,余数是23。练月

30、 3 算式 1X3X5X7X9X11X13义 15X 17X19X21X23X25X27X X2007,计 算结果的末两位数字是多少？分析：个数的末两位,相当于除以100的余数.而100=4X25,(1) IX3X5XX2007,这些因数都是奇数,且包含5、15、25、35所以乘积必然是5X5=25的倍数，而乘积是奇数,因此乘积的末两位只能是25或齐7上(2> “积的余数等于余数的积二1.3,5, 7、 2007这1004个奇数除以4的余数依次是1. 3、1、3、1X3X5XX2007除以4的余数与1X3X1X3X1 X3XX 1X3除以4的余 数相同，1X3X1X3X1X3X 义1X3

31、除以4又能分组处理,(1 X3X1X3) X (1X3X1X3) XX (1X3X1X3)共 1004 + 1=251 组，每 组除以4都余1,无论多少个1相乘都得1.所以1X3X5X乂 2007除以4的余数是U 检抬25或者75这两个数，75除以4余3,只有25除以4余L所以原式计算结 果的末两位数字是25。练习4一个四位数是这个数的数字和的83倍，求这个四位数.分析；设这个四位数为而根据遮意有ABCD =(A+B-C-D) X83ABCD-A+B+C+D) = (A+B+C+D) X83- (A+B+C+A等号左边人证1)一 (A-B*C-f-D) =999A+99B+9C,很明显等号左边

32、是9的倍数e那么等号右边也必然是9的倍数。等号右边：(.A+B+C + D) X83- (A+R+C4D)=(A十B+C十D) X82=(A+B+C+D> X81+ (A+H+C+D)=(A+B+C+D) X9X9+ (A.+B+C+D)于是得出结论，(A十B十C十D)是9的倍数。 ABCD = (A+B+C+D)X83A+B+C+D粤 =12土， A+B+C+D四个数字最大是36,又是9的倍数, 8383所以 A+B+C + D只可能等于18、27、36。当 A*B+C+DR8 时,18X83 = 149%.符合题意。当 A+B+C+D=27 时,27X83=2241,不符合题意。*八

33、十H+C+D 36时，36X83 2988,不符合题意只有1494=<1+4+9+4) X83,只有M94符合题目要求，所以这个四位数是1494。答：一个四位数是这个数的数字和的83倍，这个四位数只能是1494。练习1有两个自然数相除，商是17,余数是13,已知被除数、除数、商与余数之和为2113,则被除数是多少？ 【解析】被除数+除数+商+余数=被除数+除数+17+13=2113,所以被除数+除数=2083,由于被除数是除数的 17倍还多13,则由“和倍问题”可得:除数=(208373)(17+1)=115,所以被除数=2083-115=1968.2已知2008被一些自然数去除，所得的

34、余数都是10,那么这样的自然数共有多少个？【解析】本题为一道余数与约数个数计算公式的小综合性题目.由题意所求的自然数一定是200870即1998的 约数，同时还要满足大于10这个条件.这样题目就转化为1998有多少个大于10的约数， 1998 = 2x33x37,共有(1+1) X (3+1)义(1+1)=16个约数，其中1, 2, 3, 6, 9是比10小的约数，所 以符合题目条件的自然数共有11个.3有一个整数，除39, 51, 147所得的余数都是3,求这个数.【解析】(法1) 39-3 = 36, 147-3 = 144, (36,144) = 12, 12的约数是1,2,3,4,6,

35、12,因为余数为3要小于除数， 这个数是4,6.12;(法2)由于所得的余数相同，得到这个数一定鲍整除这三个数中的任意两数的差，也就是说它是任意两 数差的公约数.51-39 = 12, 147-39 = 108, (12,108) = 12,所以这个数是4,6,12 .4有一个整数，用它去除70, 110, 160所得到的3个余数之和是50,那么这个整数是.【解析】(70 + 110 + 160)-50 = 290, 50 + 3 = 162,除数应当是290的大于17小于70的约数，只可能是29 和58, 110+58 = 152, 52>50t所以除数不是58 70-29 = 212

36、, 110+29 = 323, 160 + 29 = 515, 12 + 23+15 = 50,所以除数是295用自然数n去除63, 91, 129得到的三个余数之和为25,那么n=.【解析】n能整除63 + 91 + 129 - 25 = 258.因为25 + 3 = 81,所以n是258大于8的约数.显然，n不能大 于63.符合条件的只有43.6 一个大于10的自然数去除90、164后所得的两个余数的和等于这个自然数去除220后所得的余数，则这 个自然数是多少？【解析】这个自然数去除90、164后所得的两个余数的和等于这个自然数去除90+164 = 254后所得的余数，所以 254和220

37、除以这个自然数后所得的余数相同，因此这个自然数是254 - 220 = 34的约数，又大于10,这 个自然数只能是17或者是34.如果这个数是34,那么它去除90、164、220后所得的余数分别是22、28、16,不符合题目条件；如果 这个数是17,那么他去除90、164、220后所得的余数分别是5、11、16,符合题目条件，所以这个自 然数是17.7甲、乙、丙三数分别为603, 939, 393.某数A除甲数所得余数是A除乙数所得余数的2倍，A除乙数 所得余数是A除丙数所得余数的2倍.求A等于多少？【解析】根据题意，这三个数除以A都有余数，则可以用带余除法的形式将它们表示出来：6O3 + A

38、”r 939 + A = K?393 + A = M由于4=2G，4=23，要消去余数,：，%，我们只能先把余数处理成相同的，再两数相减. 这样我们京把房二个式子乘以2,使得被除数和余数都扩大2倍，同理，第三个式子乘以4. 于是我们可以得到下面的式子：603 + 从=（乙（939x2） + A = 2K?-2/; （393x4）+A = 2K?-4G 这样余数就处理成相同的.最后两两相减消去余数，意味着能被A整除. 939x2-603 = 1275, 393x4 603 = 969, （1275,969） = 51 = 3x17.51的约数有1、3、17、51,其中1、3显然不满足，检脸17和

39、51可知17满足，所以A等于17.8 22”与20032的和除以7的余数是.【解析】找规律.用7除2, 22 , 23 , 24 , 25 , 26,的余数分别是2, 4, 1, 2, 4, 1, 2, 4, 1,，2的个 数是3的倍数时，用7除的余数为1： 2的个数是3的倍数多1时，用7除的余数为2: 2的个数是3的 倍数多2时，用7除的余数为4.因为Z"3 = 2""、7+2 ,所以2"）"3除以7余4.又两个数的积除以 ）00?7的余数，与两个数分别除以7所得余数的积相同.而2003除以7余1,所以2003?除以7余1.故2-. 与200

40、3?的和除以7的余数是4 + 1=5.【巩固】22°08+20082除以7的余数是多少？【解析】2:8除以7的余数为1, 2008 = 3 x 669 + 1 ,所以2父项=？?*669-1=（2»69 x2 ,其除以7的余数为：1669 x2 = 2 ： 2008除以7的余数为6,则ZOOM除以7的余数等于6除以7的余数，为1;所以 2"）8+2008?除以7的余数为：2 + 1 = 3.【例1】（2009年走美初春六年级）有一串数：1, 1, 2, 3, 5, 8,从第三个数起，每个数都是前 两个数之和，在这串数的前2009个数中，有几个是5的倍数？【解析】由

41、于两个数的和除以5的余数等于这两个数除以5的余数之和再除以5的余数.所以这串数除以 5 的余数分别为：1, 1, 2, 3, 0, 3, 3, 1, 4, 0, 4, 4, 3, 2, 0, 2, 2, 4, 1, 0, 1, 1, 2, 3, 0,可以发现这串余数中，每20个数为一个循环，且一个循环中，每5个数中第五个数是5的倍数. 由于2009+5 = 4014,所以前2009个数中，有401个是5的倍数.【巩固】著名的裴波那契数列是这样的：1、1、2、3、5、8、13、21这串数列当中第2008个数除以3所得 的余数为多少？【解析】斐波那契数列的构成规则是从第三个数起每一个数都等于它前面

42、两个数的和，由此可以根据余数定理将 裴波那契数列转换为被3除所得余数的数列：1、1、2、0、2、2、1、0、1、1、2、0第九项和第十项连续两个是1,与第一项和第二项的值相同且位正连续，所以衰波那契数列被3除的余 数每8个一个周期循环出现，由于2008除以8的余数为0,所以第2008项被3除所得的余数为第8项 被3除所得的余数，为0.【例2】（1997年全国小学数学奥林匹克试题）将12345678910111213依次写到第1997个数字，组成一 个1997位数，那么此数除以9的余数是 .【解析】本题第一步是要求出第1997个数字是什么，再对数字求和.19共有9个数字，10-99共有90个两位

43、数，共有数字：90x2 = 180 （个），100999共900个三位 数，共有数字：900x3 = 2700 （个），所以数连续写，不会写到999,从100开始是3位数，每三个数字 表示一个数，（1997-9-180）-3 = 6022,即有602个三位数，第603个三位数只写了它的百位和十 位.从100开始的第602个三位数是701,第603个三位数是9,其中2未写出来.因为连续9个自然 数之和能被9整除，所以排列起来的9个自然数也能被9整除，702个数能分成的组数是：702+9 = 78 （组），依次排列后，它仍然能被9整除，但702中2未写出来，所以余数为9-2 = 7 .【例3】 有

44、2个三位数相乘的积是一个五位数，积的后四位是1031,第一个数各个位的数字之和是10, 第二个数的各个位数字之和是8,求两个三位数的和.【解析】本题条件仅给出了两个乘数的数字之和，同时发现乘积的一部分已经给出，即乘积的一部分数字之和已 经给出，我们可以采用弃九法原理的倒推来构造出原三位数.因为这是一个一定正确的算式，所以一定 可以满足弃九法的条件，两个三位数除以9的余数分别为1和8,所以等式一边除以9的余数为8,那 么口1031除以9的余数也必须为8, 只能是3.将31031分解质因数发现仅有一种情况可以满足是两 个三位数的乘积，KP 31031 = 31x1001 = 143x217所以两个

45、三位数是143和217,那么两个三位数的和是360【例4】 设2009引”的各位数字之和为A, A的各位数字之和为8, 8的各位数字之和为C, C的各位 数字之和为那么。=?【解析】由于一个数除以9的余数与它的各位数字之和除以9的余数相同，所以2OO9*109与a、B、。、D除 以9都同余，而2009除以9的余数为2,则20092")9除以9的余数与22°09除以9的余数相同，而26=64 除以9的余数为1,所以2?009 =26x355 =(2(') x2除以9的余数为2s除以9的余数，即为5. 另一方面，由于2009纶)9 <100002a)9 = 108

46、036 ,所以200920a9的位数不超过8036位，那么它的各位数 字之和不超过9x8036 = 72324,即AK72324：那么A的各位数字之和3<9x5 = 45 , 8的各位数字之 和Cv9x2 = 18, C小于18且除以9的余数为5,那么。为5或14,。的各位数字之和为5,即。=5.同余补充练习1有四个自然数A、B、C、D,它们的和不超过400,并且A除以B商是5余5, A除以C商是6余6, A除以 D商是7余7。那么，这四个自然数的和是？A. 216 B. 108 C, 314 D. 348【解析】利用余数基本恒等式：被除数;除数义商十余数，有A=BX5+5= (B+1)

47、X5o由于A、B均是自然数, 于是A可以被5整除，同理，A还可以被6、7整除，因此，A可以表示为5、6、7的公倍数，即210n。由于A、 B、C、D的和不超过400,所以A只能等于210,从而可以求出"41、034、D=29,得到A+B+C+U314,选C。2 一个三位数除以9余7,除以5余2,除以4余3,这样的三位数共有多少个？A. 5个B. 6个C. 7个D. 8个解析：除以5余2,除以4余3,我们知道除数与对应余数的和相同，对应的为“和同加和”，满足这两个 条件的数可以表示为，P=20n+7,表示除以20余7;再配上之前的条件除以9余7,对应的为“余同取余”，我 们得到这个数可

48、以表示为180n+7,由于这个数为三位数，所以n可以取1、2、3、4、5,所以共5个。3有一个整数用它去除63, 91, 129得到的3个余数的和是25,这个整数是多少？一个整数去除63, 91, 129得到的3个余数的和是25则(63+91+129)除以这个数的余数是25即：63+91+129-25=258能够被这个数整除。而 258=2X3X43所以这个数可能是：2、3、43、6、86、129又这个数应小于63,且大于9 (8X3<25)所以这个数是434自然数m除13511、13903和14589,余数都相同，m的最大值是多少？因为 m 除 13511、13903 和 14589,余数都相同，所以，139037351 仁392 和 1458973903=686