斐波纳契《计算之书》中的数列问题

1、斐波纳契计算之书中的数列问题汪晓勤（华东师大数学系，200062）斐波纳契（Leonardo Fibonacci, 1170?1250?）是中世纪欧洲最重要的数学家，其代表作之一是计算之书（1202 ）。然而，除了包括“兔子问题”在的少数名题外，人们对此书 的具体容知之甚少。本文对该书第十二章1中的数列问题作一考察，以供HPM视角下“数列”教学设计之参考。1等差数列计算之书的第十二章开篇给出等差数列的求和方法。设等差数列的首项、末项、项数、公差、前n项和分别为a1、an、n、d和Sn。斐波纳契有命题1anain 1d。命题2Snn a】1ana。若 a1d，则 Sn-色1。2由命题2易得命题3

2、1 3 5III2n 1n2。命题42 4 6III2n n n 1。问题1已知a17、an 31、d 3，求 Sn。根据命题1，斐波纳契先求得n 虫1，再根据命题2求得Sn。d问题 2 求3 6 9 | 60。直接利用命题2的第二部分即可。问题3甲乙二人长途旅行，甲日行 20里，乙第一日行1里，第二日行2里，第三日 行3里，依此类推，日增 1里。问：二人几日后相遇？由命题2, - 1 n 20n，故斐波纳契的解法如下：20乘以2得40，从中减去1得239,此即二人相遇所需天数。问题4甲日行21里，乙从1里开始，日行里数按连续奇数逐日递增。问：几日后乙追上甲？由命题3易得n 21。问题5甲日行

3、30里，乙从2里开始，日行里数按连续偶数逐日递增。问：几日后乙追上甲？由命题4易得n 29。以下问题的解法均类似。问题6甲日行60里，乙第一日行3里，第二日行6里，第三天9里，等等。问：几 日后乙追上甲？问题7甲日行60里，乙第一日行 5里，以后日增5里。问：几日后乙追上甲？在下面的问题中，甲的日行里数不能被乙的日增里数整除。问题8甲日行10里，乙第一日行 3里，以后日增3里。问：几日后乙追上甲？因方程3 3n n 10n没有整数解，故取最近的一个正整数5，5日中甲行50里，乙行25545里。在第六日，乙日行18里，甲行10里，故日后乙追上甲。因此，5日后乙追上甲。88在另一本高水平的数学著作

4、 平方数之书 中，斐波纳契利用命题 3解决了一位名叫约 翰（Johannes）的宫廷学者向他提出的难题：求一个有理数 X，使得x2+5和x2-5都是有理 数的平方2。2高阶等差数列斐波纳契给出:命题12 22IIIn 1 2n 1命题12 32lb2n丄 2n 1 2n 1124n命题22 42ID2n丄 2n 2n 2 4n12斐波纳契的一般结果是:命题8 设ai,a2,|,an为等差数列，公差为d 印,则有印 a?川 a.1an an d 2an d。6d在平方数之书中，斐波纳契给出了上述公式推导3。因akakd2akdakdak2akd6a：d分别令k 1,2,3, n，将n个等式相加，

5、得an and 2an da1 d a12a1即n21 ,akan and2an da1k 16d令a1d 1，即得命题5 ； 令 a11,d般地，令a1d，即得命题&nd 6d a：k 1d a1 2a1 d2，得命题6；若q d 2，得命题7。应用命题5-8，斐波纳契解决了如下的问题 9 求 12 22 32 川 102、124282122162202。325272 92、224262 82102 和对于更一般的首项为 a、公差为d的等差数列，斐波纳契有nna2 2ad k 1nd2 kk 13等比数列等比数列是以连比例的形式出现的。斐波纳契给出:a2a2n 2命题9如果a1,a2,a3|

6、, a2n 1是一等比数列（构成连比例），则有a1a2n 1an 1an 12an。问题10将10分成不相等的三部分，使得最小部分乘以最大部分等于中间部分自乘。斐波纳契的解法是：先考察等比数列1，2, 4。三项相加得7,但结果应为10。故各项乘以10，依次得13、26和55。7777问题11将10分成四部分，使第一部分乘以第四部分，等于第二部分乘以第三部分， 又第一部分乘以第三部分等于第二部分自乘，第二部分乘以第四部分等于第三部分自乘。2与问题10类似，考察数列1, 2, 4, 8。四项相加得15,但结果应为10。故各项乘以上，3即得所求。问题12将10分成五部分，使第一部分乘以第五部分等于第

7、二部分乘以第四部分，等 于第三部分自乘，且第一部分乘以第四部分等于第二部分乘以第三部分，第一部分乘以第三部分等于第二部分自乘， 第二部分乘以第五部分等于第三部分乘以第四部分，第三部分乘以第五部分等于第四部分自乘。10同上题，考察数列 1, 2, 4, 8, 16,五项相加31,但结果应为10。故各项乘以 ,31即得所求。显然，上述三题的答案并不唯一，因为可以构造出无数个等比数列。问题13 棋盘（64格）上的数列满足：任意一项等于它前面一项的两倍。求棋盘上数 列各项的和。斐波纳契十分熟悉下面的结果：命题 10 1 2 22 川 2n1 2n 1。由此可得棋盘上数列之和为 264118,446,7

8、44,073,709,551,615。但这个数字实在太大了，于是斐波纳契给出了一种记法：将65536 （即棋盘前两行之和再加1）比占的金币（古罗马金币单位）装入一个保险箱，将65536个这样的保险箱放进一座房子，再将65536座这样的房子放进一座城市。于是，65536座这样的城市所含的金币数减去1，就是棋盘上所有数字之和。问题14 某人投资1第纳尔生利，五年后，获1第纳尔的两倍，又五年，获2第纳尔的两倍，因此每五年本息翻一番。求从这1第纳尔经过100年后增长到多少第纳尔。问题15 一人出售20双皮鞋，第一双卖1第纳尔，第二双卖2第纳尔，第三双卖 4第 纳尔，依次加倍直到最后一双，求卖得的总钱数

9、。利用命题10，问题15中的总钱数比问题14中的钱数少1。问题16 7个老翁去罗马，每人有7匹骡子，每匹骡子负7个袋子，每只袋子装7块面 包，每块面包配有 7把刀，每把刀配有 7个鞘。求总数。斐波纳契给出两种解法， 其中第一种是逐项直接相加；第二种类似于古代埃及祭司的递推方法：Ss 7171717171771 S5从斐波纳契的解法中，我们不难得出等比数列求和公式的一种推导方法：命题11首项为a、公比为q的等比数列前n项和为Sn ,则Sn a qSn 1。问题17树有百枝、枝有百巢、巢有百卵、卵有百禽。求总数。利用问题16中的方法，可得 S4100 1100 1100 1100101010100

10、。以下三问所求均为等比数列的一项。问题18某人有100镑，每年每4镑本金盈利1镑。18年后他得到多少镑？1冋题19 一人持有100比占的金币，过12座城市，在每座城市，他必须交纳的金10币。问：此人离开第 12座城市时，身上还剩多少金币？问题20 有个大酒桶里有100小桶的酒，每月从中拿走剩下的十分之一，求在年末的时候，即12个月后，剩下多少小桶的酒。4递推数列问题21某人将100镑存入银行，每镑月息为 4第纳尔，每年取出30镑；问：每年减少几镑？他的钱能在银行存几年、几月、几天和几小时？6an 1 305在这个问题中，我们设 an为第n年取款后上所余钱数，则数列an满足设bnan 1 an

11、,斐波纳契发现，bn曰 是个公比为-的等比数列,5前七项分别为2792552268710 ,b2 12, b3 14一，b417 ,b520 ,b624,b7295251256253125a0 100, anb1187438从100中减去前六项之和99 ，得，为六年后余钱。除以 b7，再化为小时（按1年625625360天、1天12小时计算），得第七年所存时间为8天8178小时。一般地，我们有命题12 设递推数列 an满足a0 a, an qan 1 p a 0, p 0, q 0 bn an an i，则bn是一公比为q的等比数列。问题22 一人经过7道门进入果园，摘苹果若干。离开果园时，他

12、把一半苹果加上1个苹果给了第一个门卫；把剩下的一半加上一个给了第二个门卫；依次把剩下的苹果分给其他五个门卫。最后，只剩下1个苹果。问：此人在果园摘了多少个苹果？斐波纳契用两种方法来解本题。我们用一般形式来说明其中的第一种方法（第二种为一元一次方程解法）。假设进入果园须经过若干道门，由外到依次为第1道，第2道，等等,图1乐园摘果见图1。离开果园、通过第 n道门后剩下的苹果数为a*,则an为一递推数列，满足C 1, an2 an 11斐波纳契给出了数列的前8项1、4、10、22、46、94、190、382,但没有给出通项公式 an 3 2n 12。问题23某人经商，共有四种砝码，可用来称1-40之

13、间的所有整数磅。求每种砝码各重几磅。后人误将本问题称为“ Bachet砝码问题”。斐波纳契给出的答案是，四种砝码的重量从 小到大依次为1、3、9、27。斐波纳契还将问题加以推广。设可用来称从1磅开始的任意连续整数磅，砝码的重量从小到大依次为a1, a2，an ,，则数列an是一个递推数列， 满足a 1, an 2 印a2an 11 n 1由递推关系得 an 3an 1 n 1，故a.是首项为1、公比为3的等比数列。如：用1、3、9、27、81四个磅数的砝码，可以称从1磅开始直到121磅的重量。问题24 一对兔子，出生后第三个月可以繁殖出一对小兔子。问一对兔子一年中可繁殖出多少对兔子？斐波纳契数

14、列即因本题而诞生。斐波纳契给出了各月兔子对数之间的递推关系an an 1 an 2 n 3，但他不曾寻找这个数列的通项公式，更意想不到它会有如此广泛 的应用。问题25棋盘上的数列满足：任意一项等于它前面所有各项和的两倍。求棋盘上数列各项之和。本问题中的数列为递推数列，满足：ai 1,an 2 a1 a? | an 1。设前n项和为Sn，则斐波纳契的求和方法可以归结如下：因 an2 a1a| a. 1 ,故Sna1 a23 a1a2an 1an 1ana2blan 1ID an13Sn于是知，数列 Sn是一个首项为1、公比为3的等比数列。因此，Sn 3n 1。从而得63所求和为 足431,144

15、,561,273,430,837, 494,885,949,696, 427。斐波纳契只给出数列an的前几项，而没有给出通项公式。 事实上，由已知递推关系立得 a1 1，an 2Sn 12 3n 2 n 2。5余论计算之书是斐波纳契商途中学到的各地数学知识的之集大成者。许多问题都源于古 代埃及、巴比伦、中国、印度、希腊、阿拉伯的数学文献以及欧洲黑暗时期的作者如阿尔昆(Alcuin, 735804)等的数学著作。类似于问题3-8的行程问题已见于中国汉代九章算术中的盈不足章：“今有良马与驽马发长安，至齐。齐去长安三十里。良马初日行一百九 十三里，日增一十三里，驽马初日行九十七里，日减半里。良马先至

16、齐，复还迎驽马。问： 几何日相逢及各行几何？ ”问题16是莱因得纸草书和古巴比伦泥版上有关等比数列问题的翻版；问题17则让我们想起子算经“出门望堤”问题：“今有出门望见九堤。堤有九木， 木有九枝，枝有九巢，巢有九禽，禽有九雏，雏有九毛，毛有九色，问各几何？”(另文介绍)斐波纳契的命题10已为阿尔昆以及10世纪的阿拉伯数学家所知。但在递推数列方面，斐波纳契多有创新。除了印度数学家婆什伽罗( Bhaskara, 11141185 )的丽拉沃蒂(另 文介绍)，计算之书是历史上最早较系统地讨论数列问题解法的数学著作。“古人不见今时月，今月曾经照古人。”同样，斐波纳契看不到800年后的数列教学，但我们今天课堂上数列的教学目标与斐波纳契所孜孜以求的目标却并无二致。我们仿佛可以穿越时空，与一位中世纪先哲共品数列的趣味，同享数学的快乐。参考文献1 Fib on acci, L. Fib on acci s iber Abaci: A tran slati on into modern En glish of Leon ardoPisa no s Book of Calculatio n (tra nslated by L. E. Siegler). New York: Sprin ger-