相似三角形”8“字模型(共17页)

1、精选优质文档-倾情为你奉上授课日期： 年 月 日 授课课时： 课时 学员姓名 年 级 辅导科目 数学学科教师班 主 任 授课时间 教学课题教学目标教学重难点课前检查作业完成情况： 优 良 中 差建 议: 教学内容一、相似三角形的性质1相似三角形的对应角相等与相似，则有2相似三角形的对应边成比例与相似，则有（为相似比）3相似三角形的对应边上的中线，高线和对应角的平分线成比例，都等于相似比与相似，是中边上的中线，是中边上的中线，则有（为相似比）与相似，是中边上的高线，是中边上的高线，则有（为相似比）与相似，是中的角平分线，是中的角平分线，则有（为相似比）4相似三角形周长的比等于相似比与相似，则有（

2、为相似比）应用比例的等比性质有5相似三角形面积的比等于相似比的平方与相似，是中边上的高线，是中边上的高线，则有（为相似比）进而可得二、相似三角形的判定1平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似2如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似可简单说成：两角对应相等，两个三角形相似3如果一个三角形的两边和另一个三角形的两边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似4如果一个三角形的三条边与另一个三角形的你对应成比例，那么这两个三角形相似可简单地说成：三边对应成比例，两个三角形相似5如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另

3、一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似6直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形相似（常用但要证明）7如果一个等腰三角形和另一个等腰三角形的顶角相等或一对底角相等，那么这两个等腰三角形相似；如果它们的腰和底对应成比例，那么这两个等腰三角形也相似三、相似证明中的基本模型8字形图8字型，结论：，【例1】如图，在ABCD中，F是AD延长线上一点，连接BF交DC于点E，则图中相似三角形共有（）对A2对B3对C4对D5对【解答】解：ABCD是平行四边形，ADBC，DCAB，ABFDEFCEB，相似三角形共有三对故选：B【例2】如图，在ABCD中，AC，BD相交于点O，点E

4、是OA的中点，连接BE并延长AD于点F，已知SAEF=4，则下列结论中不正确的是（）ABSBCE=36CSABE=12DAFEACD【解答】解：在ABCD中，AO=AC，点E是OA的中点，AE=CE，ADBC，AFECBE，=，AD=BC，AF=AD，=；故选项A正确，不合题意；SAEF=4，=（）2=，SBCE=36；故选项B正确，不合题意；=，=，SABE=12，故选项C正确，不合题意；BF不平行于CD，AEF与ADC只有一个角相等，AEF与ACD不一定相似，故选项D错误，符合题意故选：D【练习1】如图，E为ABCD的DC边延长线上一点，连AE，交BC于点F，则图中与ABF相似的三角形共有

5、2个【解答】解：四边形ABCD是平行四边形，ABCD，ADBC，ABFCEF，CEFAED，ABFAED图中与ABF相似的三角形是：CEF，AED故答案为：2【练习2】如图，在ABCD中，AC，BD相交于点O，点E是OA的中点，连接BE并延长交AD于点F，已知SAEF=4，则下列结论：=；SBCE=36；SABE=12；AEFACD，其中一定正确的是（填序号）【解答】解：在ABCD中，AO=AC，点E是OA的中点，AE=CE，ADBC，AFECBE，=，AD=BC，AF=AD，=；故正确；SAEF=4，=（）2=，SBCE=36；故正确；=，=，SABE=12，故正确；BF不平行于CD，AEF

6、与ADC只有一个角相等，AEF与ACD不一定相似，故错误，故答案为：【练习3】如图，在平行四边形ABCD中，E、F分别是AD、CD边上的点，连接BE、AF，他们相交于G，延长BE交CD的延长线于点H，则图中的相似三角形共有4对【解答】解：四边形ABCD是平行四边形，ABCD，ADBC，ABGFHG，ABEDHECHB，图中的相似三角形共有4对故答案为：4【练习4】在ABC中，DB=CE，DE的延长线交BC的延长线于P，求证：ADBP=AECP【解答】解：过点C作CGDP交AB于G，DG=，DG=，=，BD=EC，ADBP=AECP【练习5】如图，在ABC中，ABAC，边AB上取一点D，边AC上

7、取一点E，使AD=AE，直线DE和BC的延长线交于点P求证：BP：CP=BD：CE【解答】证明：如图，过点B作BFAC交PD延长线于点F则PCEPBF，=BFAC，1=2又AD=AE，2=4，1=3=4，BF=BD=，BP：CP=BD：CE【练习6】已知：线段OAOB，点C为OB中点，D为线段OA上一点连接AC，BD交于点P（1）如图1，当OA=OB，且D为OA中点时，求的值；（2）如图2，当OA=OB，且时，求tanBPC的值（3）如图3，当AD：AO：OB=1：n：时，直接写出tanBPC的值【解答】解：（1）过D作DECO交AC于E，D为OA中点，AE=CE=，点C为OB中点，BC=CO

8、，PC=，=2；（2）过点D作DEBO交AC于E，=，点C为OB中点，PC=，过D作DFAC，垂足为F，设AD=a，则AO=4a，OA=OB，点C为OB中点，CO=2a，在RtACO中，AC=2a，又RtADFRtACO，AF=，DF=，PF=ACAFPC=2a=，tanBPC=tanFPD=（3）与（2）的方法相同，设AD=a，求出DF=a，PF=a，所以tanBPC=【练习7】已知线段OAOB，C为OB上中点，D为AO上一点，连AC、BD交于P点（1）如图1，当OA=OB且D为AO中点时，求的值；（2）如图2，当OA=OB，=时，求BPC与ACO的面积之比【解答】解：（1）过C作CEOA交

9、BD于E，BCEBOD，C为OB上中点，CE=OD，D为AO中点，CE=AD，ECPDAP，=2；（2）过C作CEOA交BD于E，过P作PFOB交OB于F，设AD=x，=，AO=OB=4x，OD=3x，BCEBOD，C为OB上中点，CE=OD=x，ECPDAP，；由勾股定理可知BD=5x，DE=x，PD=AD=x，PF=，SBPC=，SACO=4x2，图反8字型，结论：、四点共圆【例3】如图，不能判定AOB和DOC相似的条件是（）AAOCO=BODOBCA=DDB=C【解答】解：A、能判定利用两边成比例夹角相等B、不能判定C、能判定两角对应相等的两个三角形相似D、能判定两角对应相等的两个三角形

10、相似故选：B【练习1】如图，在四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AC平分DAB，且DAC=DBC，那么下列结论不一定正确的是（）AAODBOCBAOBDOCCCD=BCDBCCD=ACOA【解答】解：A、DAC=DBC，AOD=BOC，AODBOC，故此选项正确，不合题意；B、AODBOC，=，=，又AOB=COD，AOBDOC，故此选项正确，不合题意；C、AOBDOC，BAO=ODC，AC平分DAB，DAC=BAC，BAC=BDC，DAC=DBC，CDB=CBD，CD=BC，故此选项正确，不合题意；D、无法得出BCCD=ACOA，故此选项错误，符合题意故选：D【练习2】如图，（1

11、）若AE：AB=AF：AC，则ABCAEF；（2）若E=B，则ABCAEF【解答】解：（1）若AE：AB=AF：AC，则ABCAEF；（2）若E=B，则ABCAEF故答案为：AF：AC，B图双8字型，结论：，【例4】如图，AB/CD,点E为AB上一点，点F为CD上一点，求证：AEBE=DFCF【例5】如图，在平行四边形ABCD中（ABBC），直线EF经过其对角线的交点O，且分别交AD、BC于点M、N，交BA、DC的延长线于点E、F，下列结论：AO=BO；OE=OF；EAMEBN；EAOCNO，其中正确的是（）ABCD【解答】解：平行四边形中邻边垂直则该平行四边形为矩形，故本题中ACBD，即AO

12、BO，故错误；ABCD，E=F，又EOA=FOC，AO=COAOECOF，OE=OF，故正确；ADBC，EAMEBN，故正确；AOECOF，且FCO和CNO不全等，故EAO和CNO不全等，故错误，即正确故选：B20如图，在ABC中，E为高AD上的动点，F是点D关于点E的对称点（点F在高AD上，且不与A、D重合）过点F作BC的平行线与AB交于P，与AC交于Q，连接PE并延长交直线BC于点N，连接QE并延长交直线BC于点M，连接PM、QN（1）试判断四边形PMNQ的形状，并说明理由；（2）若要使四边形PMNQ是一个矩形，则ABC还应满足什么条件？请说明理由；（3）若BC=10，AD=6，则当点E在

13、何处时，四边形PMNQ的面积与APQ的面积相等？【解答】解：（1）四边形PMNQ是平行四边形PQMN，EPQ=ENM；EQP=EMN，PEQNEM，EDMN，EFPQ，=，F、D关于点E对称，EF=ED，PQ=MN，PQMN，四边形PMNQ是平行四边形；（2）满足条件：AB=AC，PQBC，APQ=B，AQP=C，AB=AC，B=C，APQ=AQP，AP=AQ，AFPQ，AF平分PQ，EP=EQ，四边形PMNQ是平行四边形，PE=EN，ME=EQ，PE=EQ=EM=EN，MQ=PN，当AB=AC时，PMNQ是矩形；（3）设ED=x，SPMNQ=SAPQ，PQ×2x=PQ×（

14、62x），x=1，当ED=1时，四边形PMNQ与APQ面积相等21如图，在平行四边形ABCD中（ABBC），直线EF经过其对角线的交点O，且分别交AD、BC于点M、N，交BA、DC的延长线于点E、F，（1）求证：AOECOF；（2）若AM：DM=2：3，ONC的面积为2cm2，求AEM的面积【解答】（1）证明：四边形ABCD是平行四边形，ABCD，OA=OC，E=F，在AOE和COF中，AOECOF（AAS）；（2）解：ABCD，AEMDFM，EM：FM=AM：DM=2：3，AOECOF，OE=OF，ADBC，AMO=CNO，在AOM和CON中，AOMCON（AAS），OM=ON，即EM=FN

15、，设EM=2x，FM=3x，则FN=2x，OM=ON=MN=（FMFN）=x，EM：OM=2x：x=4，SONC=2cm2，SOAM=2cm2，SAEM=4SONC=4×2=8（cm2）22如图，ABCD为四边形，两组对边延长后得交点E、F，对角线BDEF，AC的延长线交EF于G求证：EG=GF【解答】证明：如图，过C作EF的平行线分别交AE、AF于M、N由BDEF，可知MNBD易知SBEF=SDEF又，则SBMC=SDCN则MC=NC又=，EG=GF图8字型，结论：【例6】如图，在ABCD中，过点B的直线与对角线AC，边AD分别交于点E和点F，过点E作EGBC，交AB于G，则图中相

16、似的三角形有5对【解答】解：图中相似三角形有ABCCDA，AGEABC，AFECBE，BGEBAF，AGECDA共5对，理由是：四边形ABCD是平行四边形，ADBC，ABCD，AD=BC，AB=CD，D=ABC，ABCCDA，ABCCDA，GEBC，AGEABCCDA，GEBC，ADBC，GEAD，BGEBAF，ADBC，AFECBE故答案是：5【练习1】如图，平行四边形ABCD中，过点B的直线与对角线AC、边AD分别交于点E和F过点E作EGBC，交AB于G，则图中相似三角形有（）A4对B5对C6对D7对【解答】解：图中相似三角形有ABCCDA，AGEABC，AFECBE，BGEBAF，AGE

17、CDA共5对，理由是：四边形ABCD是平行四边形，ADBC，ABCD，AD=BC，AB=CD，D=ABC，ABCCDA，即ABCCDA，GEBC，AGEABCCDA，GEBC，ADBC，GEAD，BGEBAF，ADBC，AFECBE故选：B【练习2】如图，平行四边形ABCD中，过点B的直线与对角线AC、边AD分别交于点E和F过点E作EGBC，交AB于G，则图中相似三角形有（）A7对B6对C5对D4对【解答】解：图中相似三角形有ABCCDA，AGEABC，AFECBE，BGEBAF，AGECDA共5对，理由是：四边形ABCD是平行四边形，ADBC，ABCD，AD=BC，AB=CD，D=ABC，A

18、BCCDA，即ABCCDA，GEBC，AGEABCCDA，GEBC，ADBC，GEAD，BGEBAF，ADBC，AFECBE故选：C【练习3】如图，ABDC，AC与BD 交于点E，EFDC交BC于点F，CE=5，CF=4，AE=BC，则等于（）ABCD【解答】解：EFDC交BC于点F，CE=5，CF=4，AE=BC，CEFCAB，即，解得，AE=20，ABDC，DCEBAE，即，故选：B【练习4】已知：如图，梯形ABCD中，ADBC，DEAB，DE与对角线AC交于点F，FGAD，且FG=EF（1）求证：四边形ABED是菱形；（2）连接AE，又知ACED，求证：AE2=EFED【解答】证明：（1）ADBC，DEAB，四边形ABED是平行四边形FGAD，CFGCAD，=同理：=