西北工业大学-《827信号与系统》-基础提高-第17-20讲

1、专业课基础提高课程第17讲第七章 离散信号与系统时域分析-Z变换（一）第七章 离散信号与系统时域分析7-0 引言 一、在信号与系统的研究中，以新的观点-数字信号处理(Digital Signal Processing,DSP)的观点来认识和分析各种问题； 二、离散时间系统的分析方法与连续时间系统的分析方法在许多方面有着并行的相似性； 1、离散时间系统用差分方程描述，差分方程的求解与微分方程的求解在相当大程度上是一一对应的； 2、卷积和分析法在离散时间系统中有着相当重要的地位； 3、在离散时间系统中，同样用各种变换域方法和系统函数的概念，如z变换、离散傅立叶变换、沃尔什变换、离散余弦变换等； 三

2、、对连续信号的抽样，只是给出离散信号的方式之一，离散信号源更一般的例子如数字计算机系统输入、输出信号； 四、二者在理论上存在很多差异，如数学模型的建立和求解，系统性能分析和系统实现原理等。由于差异的存在使得离散系统表现出某些独特的性能。五、与连续系统相比有许多优点，如： 1、容易做到精度高、可靠性好，便于实现大规模集成，从而在重量和体积方面有其优越性； 2、在数字系统中一般含有存储器，存储器的合理运用可以使离散系统具有灵活的功能，这些功能在连续系统无法实现或难以实现； 3、数字系统容易运用可编程技术，借助软件控制，修改系统的各种需求，改善了系统的灵活性和通用性； 六、离散系统不能完全取代连续系

3、统；如A/D、D/A，高频信号的处理。7-1 离散时间信号 一、定义: 只在一系列离散的时间点上才有确定值的信号。 而在其它的时间上无意义，因此它在时间上是不连续的序列, 是离散时间变量的tk函数。获取方法：1）直接获取 2）连续信号取样取样间隔为均匀间隔T，得到抽样信号： f(kT)或f(nT)简化记为f(k)或f(n)表示方法： 1）图形表示 2）数据表格3）序列表示4）函数表示例: ，试写出其序列形式并画出图形。二、离散信号的能量和功率1、能量2、平均功率三、离散信号时域运算1.相加: 用同序号的值对应相加后构成新的序列。2.相乘: 3、数乘: 完成序号值的比例运算。4、累加和: 序号前

4、k项值累加得到一个新序列。5.差分: 序列与其移序序列的差而得到一个新序列。一阶后向差分：一阶前向差分：二阶后向差分：二阶前向差分：前向差分用在状态变量法较为方便，后向差分用在分析因果系统较为方便。四、离散信号时域变换（横坐标k只能取整数）1.移序: y(k)=f(k-m) 2.折叠: y(k)=f(-k)3.倒相: y(k)=-f(k) 4.展缩: y(k)=f(ak)五、常用离散信号1.单位序列（单位取样序列、单位脉冲序列、单位函数）2.单位阶跃序列3.单位矩形序列（单位门序列）4.单位斜坡序列5.单边指数序列6.正弦序列7.虚指序列与连续时间信号差别：1）连续时间信号的越大，信号震荡的频

5、率就越高，而对于离散信号分析ejwk时，仅在2p间隔内选择。一般选2）连续时间信号对于任何W都是周期的，对于离散信号w的取值要满足2p/w为整数之比。专业课基础提高课程第18讲第七章 离散信号与系统时域分析-Z变换（二）7-2 离散系统及其数学描述一、定义： 激励、响应均为离散时间信号的系统。二、分类：时不变系统： 因果系统：k0时刻的响应只与k=k0和k<k0时的激励有关。稳定系统：（BIBO） 系统对于有界输入（Bounded Input）信号产生有界的输出（Bounded Output）。离散LTI因果系统的充要条件是：当k<0时，h(k)=0离散LTI系统稳定的充要条件是单

6、位序列响应绝对可和。三、离散时间系统模型1、差分方程建立：例1：y(k)表示一个国家在第k年的人口数， a、b分别代表出生率和死亡率，是常数。设f(k)是国外移民的净增数，则该国在第k+1年的人口总数y(k+1)为多少？y(k+1)=y(k)+ay(k)-by(k)+f(k)=(a-b+1)y(k)+f(k)所以，有 y(k+1)+(b-a-1)y(k)=f(k) 例2：某人每月初均存入银行固定款f(k)，月息为a，月息按复利计算，每月本息不取，试求第k个月月初存入款时的本息之和y(k) 为多少？例3：某连续系统：建立以T为间隔的响应y(kT)的差分方程。说明：1、可以建立前向差分方程； 2、

7、n阶微分方程可以建立n阶差分方程； 3、微分方程的计算机求解，T决定求解精度。 2、传输算子描述（1）移序算子（2）算子形式的差分方程（3）传输算子（4）由传输算子写差分方程3. 模拟框图（1）模拟单元1）加法器2) 比例器（2）模拟框图3) 单位延迟器4、信号流图关于因果系统的差分方程和传输算子的形式：对于因果系统后向差分方程的形式必须满足：传输算子满足：7-3 离散系统时域分析的经典法一、差分方程递推求解法（迭代法）一阶方程，已知y(0)（初始条件）：优点：任意形式激励，计算机求解容易、直观。缺点：难以形成封闭形式，响应规律性难以确定。二、因果系统的初始状态、差分方程的初始条件、响应初始值

8、n阶方程：（求解需要n个初始条件）1、初始状态：（k=0为起始时刻，激励作用时刻） k=-1时刻所有延迟元件的输出为因果系统的初始状态，因果系统的初始状态由激励的作用时刻判定（前向和后向）1）如后向差分方程：2）如后向差分方程：3）前向差分方程：先变成后向，再判断较为直观。2、零状态响应（j>0）： 3、由差分方程和yx(-1)，yx(-n)及yf(-1)，yf(-n)， 用迭代法可以求得零输入响应初始值和零状态响应的初始值， 作为求解差分方程的初始条件。离散LTI因果n阶系统，激励在k=0作用于系统，有：1、零输入响应的初始条件：2、零状态响应初始条件（通常要求m£n）：3、

9、全响应初始条件（通常要求m£n）：三、一阶齐次差分方程通解：四、n阶齐次差分方程通解例1：已知某因果系统激励为零，初始状态y(1) =1 /6， y(2)=1/36，系统的差分方程为，求系统的响应 y(k)。 例2：已知因果系统零输入响应初始值为y(0)=2，y(1)=0，传输算子为，求系统的零输入响应y (k)。7.4 离散因果系统的时域经典解-非齐次差分方程通解传输算子 特征方程 （自然频率）时域解为 齐次方程通解形式取决于系统的自然频率，即特征根的形式；非齐次方程特解形式取决于系统的激励形式及特征根。经典法基本步骤：1）求系统数学模型（差分方程、传输算子等）；2) 写出特征方程

10、，并求出特征根（自然频率）；3）根据特征根，求对应齐次方程通解y0(k)；4）根据激励形式求非齐次方程特解yd (k) ；5）写出非齐次方程通解 y(k)= y0(k) + yd (k) 6）根据初始值求待定系数。全响应分解形式： 全响应=自由响应+强迫响应 全响应=零输入响应+零状态响应 全响应=暂态响应+稳态响应例1：因果系统的差分方程为，初始值y(0)=0， y(1)=2，求系统的响应 y(k)。 例2：因果系统初始状态y(-1)=0， y(-2)=0.5，描述系统的差分方程为求系统的响应 y(k)。专业课基础提高课程第19讲第七章：离散信号与系统时域分析-Z变换（三）7-5 离散因果系

11、统单位序列响应一、单位序列响应定义激励为单位序列信号时离散系统的零状态响应.二、因果系统单位序列响应求解1、 一阶系统当 f(k)=d(k), y(k)=h(k)时，有 （1） 递推法：传输算子：（2）等效初值法（后向差分）：（3）传输算子法：2、高阶系统：递推法、等效初值法、传输算子法例1：求单位序列响应h(k)，已知描述因果系统的差分方程为用等效初值法求单位序列响应二阶系统，等效初值h(0)和h(1)。7-6 离散系统时域卷积和分析法一、离散时间信号时域分解二、卷积和定义两个离散时间信号f1(k)和f2(k)，卷积和运算定义为：三、卷积和的性质1.交换律： 2. 分配律：3. 结合律：4、

12、延时性：若：有：四、卷积和的几何意义五、常用信号的卷积和1、f(k)与单位序列信号卷积2、f(k)与单位阶跃序列卷积3、akU(k)与U(k)卷积 4、akU(k)与akU(K)卷积：六、卷积和的计算1利用定义计算 2. 利用常用信号卷积与有关性质计算3. 利用图解法计算4. 利用列表法计算专业课基础提高课程第20讲第七章 离散信号与系统时域分析-Z变换（四）七、离散系统卷积和分析1、系统零状态响应2、离散系统的卷积和分析举例例1：求系统的零状态响应。例2:已知系统的激励和单位响应分别为如下,求系统的零状态响应。和例3：本章要点 1、离散信号基本概念：定义、分类、常用离散信号特性d(k)、U(k)