2018版高考数学专题2指数函数、对数函数和幂函数2.2.3第1课时反函数及对数函数的图象

1、第 1 课时 反函数及对数函数的图象和性质学习目标1.理解对数函数的概念 2 初步掌握对数函数的图象及性质3 会类比指数函数，研究对数函数的性质.戸预习导学聾挑战自我，点点落实_知识链接1 作函数图象的步骤为列表、描点、连线另外也可以采取图象变换法.2 指数函数y=ax（a 0 且 1）的图象与性质.a10vav1图象sZl、定义域R值域（0，+m）性质过定点过点（0,1），即x= 0 时，y= 1函数值的变化当x 0 时，y 1 ；当xv0 时，0vyv1当x 0 时，0vyv1 ；当xv0 时，y 1单调性是 R 上的增函数是 R 上的减函数预习导引1 对数函数的概念把函数y= logax

2、（x0,a0,a 1）叫作（以a为底的）对数函数，其中x是自变量，函数的 定义域是 （0 ,+）.2 对数函数的图象与性质a10vav1图象QiT=1巾5*性质定义域（0，+m）值域R2过点过点(1,0)，即x= 1 时，y= 0函数值的变化当 0vxv1 时，yv0； 当x1 时，y0当 0vxv1 时，y 0；当x 1 时，yv0单调性是(0 ,+)上的增函数是(0 ,+)上的减函数3.反函数(1) 对数函数y= logax(a0 且a* 1)与指数函数y=ax(a 0，且 1)互为反函数.要寻找函数y=f(x)的反函数，可以先把x和y换位，写成x=f(y)，再把y解出来，表示成y=g(x

3、)的形式，如果这种形式是唯一确定的，就得到f(x)的反函数g(x).产课堂讲义聾重点难点，个个击破_要点一对数函数的概念例 1 指出下列函数哪些是对数函数？(1)y= 3log2x;y= log6x;(3)y= logx3; (4)y= log2x+ 1.解(1)log2X的系数是 3,不是 1,不是对数函数.(2) 符合对数函数的结构形式，是对数函数.(3) 自变量在底数位置上，不是对数函数.对数式 log2X后又加 1,不是对数函数.规律方法判断一个函数是对数函数必须是形如y= logax(a 0 且a* 1)的形式，即必须满足以下条件(1) 系数为 1.(2) 底数为大于 0 且不等于

4、1 的常数.对数的真数仅有自变量x.跟踪演练 1 若某对数函数的图象过点(4,2)，则该对数函数的解析式为()A.y= log2xB.y= 2log4XC.y= log2x或y= 2log4xD.不确定答案 A2解析 设对数函数的解析式为y= logax(a 0 且a* 1)，由题意可知 loga4= 2,.a= 4,.a=2,该对数函数的解析式为y= log2X.3要点二对数函数的图象4_431例 2 如图所示，曲线是对数函数y= logax的图象，已知a取 3, -, 5、而，则相应于 sC2、C3、C4的a值依次为()B.3、 3、C.、3、D.4、.3、答案 A解析 方法一 先排C1、

5、C2底的顺序，底都大于 1，当x 1 时图低的底大,分别为 3、3然后考虑C3、C4底的顺序，底都小于 1,当xv1 时底大的图高，C3、C4对应的331_431a分别为三、乔.综合以上分析，可得C1、C2、C3、C4的a值依次为：3、百、三、不.故选 A.5 1U35 1U方法二 作直线y= 1 与四条曲线交于四点，由y= logax= 1,得x=a(即交点的横坐标等于l431底数)，所以横坐标小的底数小，所以C1、C2、C3、C4对应的a值分别为 3、不，故选*35 1UA.规律方法 函数y= logax(a U 且az1)的底数变化对图象位置的影响.A. 3、 5、315、10G、C2对

6、应的a5观察图象，注意变化规律:(1)上下比较：在直线x= 1 的右侧，a 1 时，a越大，图象向右越靠近x轴，Uvav1 时a6越小，图象向右越靠近X轴.左右比较：比较图象与y=1 的交点，交点的横坐标越大，对应的对数函数的底数越大.跟踪演练 2函数y= loga(x+ 2) + 1 的图象过定点()A. (1,2) B . (2,1) C . ( 2,1) D . (1,1)如图，若C,C2分别为函数y= logax和y=logbx的图象，贝 U()A.Ovabv1B.0bvab 1D.ba 1答案(1)D(2)B解析令x+ 2 = 1，即x= 1,得y= loga1 + 1 = 1,故函

7、数y= loga(x+ 2) + 1 的图象过定点(一 1,1).作直线y= 1,则直线与C,G的交点的横坐标分别为a,b,易知 Ovbvav1.要点三对数函数的定义域1例 3 (1)函数f(x) =+ lg(1 +x)的定义域是()1 xA.(s, 1)A.-20C.2 0U(0,+s)答案(1)C(2)C1 +x 0,解析(1)由题意知*1 x工0,B.(1,+s)C. (1,1)U(1,+s)D. (s,+s)(2)若f(x)=，则log-i(2x 1)2f(x)的定义域为(解得x 1 且xM1.B.1227了 2x+ 1 0,由题意有I2x +1* 1,81解得x 2 且XM0.规律方

8、法 求与对数函数有关的函数定义域时，除遵循前面已学习过的求函数定义域的方法外，还要对这种函数自身有如下要求：一是要特别注意真数大于零;三是按底数的取值应用单调性，有针对性地解不等式.跟踪演练 3函数y=xln(1 x)的定义域为()A. (0,1) B. 0,1) C . (0,1D . 0,1函数 y =lgxXT的定义域是()XI答案(1)B(2)Cx 0, 解析 因为y=xln(1 x)，所以*1 x 0 ,解得 0wxv1.解得x 1 且XM1 ,故函数的定义域为(1,1)U(1 ,+)，故选 C.要点四反函数例 4 求下列函数的反函数：xx2(1)y= 2x 5; (2)y=x；(3

9、)y= 1+ e2.x+ 5解(1)从x= 2y 5 中解得y= ，即为所求;yx从x= 1 y中解得y=x+7，即为所求；yyy从x= 1+ e2移项得x 1 = e2.两端取自然对数得到 ln(x 1)=；解得y= 2ln(x 1),即为所求.规律方法 要找寻函数y=f(x)的反函数，可以先把x和y换位，写成x=f(y)，再把y解出 来，表示成y=g(x)的形式.如果这种形式是唯一确定的，就得到了f(x)的反函数g(x).既然y=g(x)是从x=f(y)解出来的，必有f(g(x) =x,这个等式也可以作为反函数的定义.是要注意对数的底数;A.(1,+)C. (1,1)U(1,+)B.1,+

10、)D. 1,1)U(1,+)(2)要使函数有意义，需x+ 10, 1 时，y=ax是增函数，y= logax是减函数，排除 C 项，x . ._当 Ovav1 时，y=a是减函数，y= logax是增函数，排除 D 项，A 项正确.解析 由y= Inx,得x= ey，所以反函数为y= ex.F当堂检测J当堂训练.休验成功1 .下列函数是对数函数的是（）B.y= log22xA.y= loga(2x)C.y= log2x+ 1D.y= Igx答案 D解析 选项AB、C 中的函数都不具有“y= logax（a0 且a 1） ”的形式，只有 D 选项符合.1函数f(x)=-p1 x卜 lg（3x+

11、1）的定义域是（A.1B. ( m， 3)C.1 13，3)D. ( - 3, 1)答案解析由 0,3x+ 1 0,可得1vxv1.3 .函数y=ax与y=logax（a 0，且a* 1）在同一坐标系中的图象形状可能是（B 项;114 .若a 0 且a 1,则函数y= loga（x 1） +1 的图象恒过定点 答案（2,1）12解析 函数图象过定点，则与a无关，故 loga(x- 1) = 0,所以x- 1 = 1,x= 2,y= 1,所以y= loga(x-1) + 1 过定点(2,1).5 .函数y= lgx的反函数是 _ .答案y= 10 x解析 由反函数的定义知x= 10y,故反函数为

12、y= 10 x.课堂那结- 11.判断一个函数是不是对数函数关键是分析所给函数是否具有y= logax(a 0 且a 1)这种形式.2 .在对数函数y= logax中，底数a对其图象直接产生影响，学会以分类的观点认识和掌握 对数函数的图象和性质.3 .涉及对数函数定义域的问题，常从真数和底数两个角度分析歹分层训练 /解疑纠傭，训练检测_、基础达标1.函数y= logax的图象如图所示，贝U a的值可以是()1一A. 0.5B.2C. eD.n答案 A解析T函数y= logax的图象单调递减，0a 0,解析由解得 1x 0,3.在同一坐标系中，函数y= logax与y=logx的图象之间的关系是

13、()313A.关于y轴对称B.关于 x 轴对称14答案 B解析f(8) = log28 = log223= 3,f(f(8) =f( 3) = 33= 6 .已知对数函数f(x)的图象过点(8 , 3)，则f(2(2) =_3答案3解析设f(x) = logax(a0，且a 1),小1则一 3= loga8, .a= q. f(x) = log2x,f(2 .2) = log1(2 .2)=log2(2,2)=|.7 .求下列函数的定义域：1(1)f(x) = lg(x 2) + ;x 3f(x) = log(x+1)(16 4x).X 2 0, 解(1)要使函数有意义，需满足x 3 工 0,

14、解之得x2 且XM3. 函数定义域为(2,3)U(3 ,+).C.关于原点对称答案 BD.关于直线y=解析Ty=log1x= log3x函数y= log3x与y=log1x的图象关于x轴对称.334 .如图是三个对数函数的图象，贝 Ua、b、c的大小关系是（）A.abcC. cabD. acb答案 D解析y=logax的图象在（0,+R）上是上升的，所以底数a 1,函数y= logbx,y= logex的图象在（0,+）上都是下降的，因此b,c (0,1)，又易知cb,故acb.5.已知函数f(x) =F,x 0,1那么f（f（）的值为（A. 27B.271C. 27D一刃B.1516 4x

15、0,(2)要使函数有意义，需满足 x+ 1 0, iX +1 工 1,解之得1xV0 或 0VXV4.函数定义域为(1,0)U(0,4).二、能力提升18 .设函数f(x) = log2X的反函数为y=g(x)，且g(a) = 4 贝 Ua等于()11A. 2B. 2C.2D2答案B解析函数f(x) = log2X的反函数为y= 2X，即卩g(x) = 2X又1g(a)=4,.A1.c. 2=，a= 2.49.若函数f(x) = loga(x+b)的图象如图，其中a,b为常数，则函数g(x) =ax+b的图象大 致是()答案 D解析 由函数f(x) = loga(x+b)的图象可知，函数f(x

16、) = loga(x+b)在(一b,+)上是减函数.所以 0a 1 且 0b 1.所以g(x) =ax+b在 R 上是减函数，故排除 A, B.由g(x)的值域为 (b,+).所以g(x) =ax+b的图象应在直线y=b的上方，故排除 C.1 +a210 .若 log 21 时，.Tog2a1-+a-0= log2a1,1 十a片01+a21 +a,1 +a21aa0T：2a1.当 02a1 时log2富1.+a01+a21 +a,1 +a2、,-aa0,. a1，此时不合题意.综上所述，a 2, 1 .11 .已知f(x) = log3X.(1)作出这个函数的图象;,即 log3X= log32，解得x= 2.由图象知：函数f(x)为单调增函数，当 Ovav2 时，恒有f(a)vf(2) . 所求a的取值范围 为(0,2).三、探究与创新1 12 ?log 只+ 5 在区间2,4上的最大值和最小值.1 1 1解 因为 2log xlog 24,1即1 log 2* 2.1 设t= log x，则2wtw1,21 宀 1 所以y=t t+ 5,其图象的对称轴为直线t= 4,13 所以当t= 2 时，ymax= 10 ；当t= 1 时，ymin=.13.若函数f(x)为定义在 R 上的奇函数，且x (0,十8)时，