2017年辽宁省沈阳市高考一模数学理

1、2017年辽宁省沈阳市高考一模数学理一、选择题：(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.已知集合A=x|x(x-3)0，B=-1，0，1，2，3，则AB=( )A.-1B.1，2C.0，3D.-1，1，2，3解析：集合A=x|x(x-3)0=x|0x3，B=-1，0，1，2，3，AB=1，2.答案：B.2.已知i是虚数单位，复数i·z=1-2i，则复数z在复平面内对应的点位于( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限解析：利用复数的运算法则、几何意义即可得出. 答案：C.3.已知平面向量=(3，4)，=(x，)，若

2、，则实数x为( )A.-B.C.D.-解析：利用向量共线定理即可得出.答案：C.4.命题p：“xN+，()x”的否定为( )A.xN+，()xB.xN+，()xC.xN+，()xD.xN+，()x解析：本题中的命题是一个全称命题，其否定是一个特称命题，由规则写出否定命题即可.答案：D.5.已知直线l：y=k(x+)和圆C：x2+(y-1)2=1，若直线l与圆C相切，则k=( )A.0B.C.或0D.或0解析：找出圆心坐标与半径r，利用点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离d，根据直线与圆相切，得到圆心到直线的距离d=r，即可求出k的值. 答案：D.6.如图所示，网格纸上小正方形的边长为1，粗线

3、画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为( )A.36+6B.36+3C.54D.27解析：由已知中的三视图，可得该几何体是一个以主视图为底面的四棱柱，代入柱体表面积公式，可得答案.答案：A.7.将A，B，C，D这4名同学从左至右随机地排成一排，则“A与B相邻且A与C之间恰好有1名同学”的概率是( )A.B.C.D.解析：先求出基本事件总数n=，再利用列举法求出“A与B相邻且A与C之间恰好有1名同学”包含的基本事件个数，由此能求出“A与B相邻且A与C之间恰好有1名同学”的概率.答案：B.8.中国古代数学著作孙子算经中有这样一道算术题：“今有物不知其数，三三数之余二，五五数之余三，问物几何

4、？”人们把此类题目称为“中国剩余定理”，若正整数N除以正整数m后的余数为n，则记为N=n(modm)，例如11=2(mod3).现将该问题以程序框图的算法给出，执行该程序框图，则输出的n等于( )A.21B.22C.23D.24解析：该程序框图的作用是求被3除后的余数为2，被5除后的余数为3的数，在所给的选项中，满足被3除后的余数为2，被5除后的余数为3的数只有23.答案：C.9.将函数f(x)=2sin(x+)(0)的图象向右平移个单位，得到函数y=g(x)的图象，若y=g(x)在-，上为增函数，则的最大值为( )A.3B.2C.D.解析：根据平移变换的规律求解g(x)，结合三角函数g(x)

5、在-，上为增函数建立不等式即可求解的最大值. 答案：C.10.已知S，A，B，C是球O表面上的不同点，SA平面ABC，ABBC，AB=1，BC=，若球O的表面积为4，则SA=( )A.B.1C.D.解析：由已知中S、A、B、C是球O表面上的点，SA平面ABC，ABBC，易S、A、B、C四点均为长宽高分别SA，AB，BC三边长的长方体的顶点，由长方体外接球的直径等于长方体对角线，利用球的表面积公式即可得到答案.答案：B.11.已知双曲线C：=1(a0，b0)的左、右焦点分别为F1，F2，点M与双曲线C的焦点不重合，点M关于F1，F2的对称点分别为A，B，线段MN的中点在双曲线的右支上，若|AN|

6、-|BN|=12，则a=( )A.3B.4C.5D.6解析：根据已知条件，作出图形，MN的中点连接双曲线的两个焦点，便会得到三角形的中位线，根据中位线的性质及双曲线上的点到两焦点的距离之差的绝对值为2a，求出|AN|-|BN|，可得结论.答案：A.12.已知函数f(x)=，则函数F(x)=ff(x)-2f(x)-的零点个数是( )A.4B.5C.6D.7解析：令t=f(x)，F(x)=0，则f(t)-2t-=0，分别作出y=f(x)和直线y=2x+，得到两交点的横坐标，再由图象观察，即可得到所求零点个数.答案：A.二、填空题：(本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题纸上)13.二

7、项式(x+)6的展开式中的常数项为_.解析：利用二项式展开式的通项公式，令x的幂指数等于0，求得r的值，即可求得展开式中的常数项.答案：.14.若实数x，y满足不等式组，则目标函数z=3x-y的最大值为_.解析：由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数得答案.答案：1.15.已知ABC的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为S，且满足4S=a2-(b-c)2，b+c=8，则S的最大值为_.解析：满足S=a2-(b-c)2，b+c=8，利用余弦定理与三角形的面积计算公式可得：2bcsinA=2bc-(b2+c2-a

8、2)=2bc-2bccosA，化为sinA=1-cosA，与sin2A+cos2A=1，解得sinA，进而利用三角形面积公式，再利用基本不等式的性质即可得出.答案：8.16.设函数f(x)=g()+x2，曲线y=g(x)在点(1，g(1)处的切线方程为9x+y-1=0，则曲线y=f(x)在点(2，f(2)处的切线方程为_.解析：由题意求得g(1)=-8，g(1)=-9，对f(x)求导，注意复合函数的导数，求出f(2)，x=2处切线的斜率，由点斜式方程即可得到所求方程.答案：x+2y+6=0.三、解答题(本大题共5小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.已知数列an是公差不

9、为0的等差数列，首项a1=1，且a1，a2，a4成等比数列.()求数列an的通项公式；()设数列bn满足bn=，求数列bn的前n项和Tn.解析：()利用等差数列与等比数列的通项公式即可得出.()利用等差数列与等比数的求和公式即可得出.答案：()设数列an的公差为d，由题设，a22=a1a4，即(1+d)2=1+3d，解得d=0或d=1又d0，d=1，可以求得an=n()由()得bn=n+2n，Tn=(1+21)+(2+22)+(3+23)+(n+2n)=(1+2+3+n)+(2+22+2n)=+2n+1-2.18.为了探究某市高中理科生在高考志愿中报考“经济类”专业是否与性别有关，现从该市高三

10、理科生中随机抽取50名学生进行调查，得到如下2×2列联表：(单位：人).()据此样本，能否有99%的把握认为理科生报考“经济类”专业与性别有关？()若以样本中各事件的频率作为概率估计全市总体考生的报考情况，现从该市的全体考生(人数众多)中随机抽取3人，设3人中报考“经济类”专业的人数为随机变量X，求随机变量X的概率分布及数学期望.附：参考数据：(参考公式：X2=)解析：()计算K2，根据临界值表作出结论；()分别计算X=0，1，2，3时的概率得出分布列，根据分布列得出数学期望和方差.答案：()2=12.56.635有99%的把握认为理科生愿意报考“经济类”专业与性别有关.()估计该市

11、的全体考生中任一人报考“经济类”专业的概率为p=X的可能取值为0，1，2，3，由题意，得XB(3，)，P(X=k)= ，(k=0，1，2，3)随机变量X的分布列为随机变量X的数学期望E(X)=.19.在三棱柱ABC-A1B1C1中，侧面AA1C1C底面ABC，AA1=A1C=AC=AB=BC=2，且点O为AC中点.()证明：A1O平面ABC；()求二面角A-A1B-C1的大小.解析：()推导出A1OAC，由此能证明A1O平面ABC.()以O为原点，OB，OC，OA1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角A-A1B-C1的大小.答案：()证明：AA1=A1C，且

12、O为AC的中点，A1OAC，又侧面AA1C1C底面ABC，交线为AC，且A1O平面AA1C1C，A1O平面ABC.解：()如图，以O为原点，OB，OC，OA1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系.由已知可得O(0，0，0)，A(0，-1，0)，A1(0，0，)，C1(0，2，)，B(，0，0)=(，1，0)，=(，0，-)，=(0，2，0)设平面AA1B的一个法向量为=(x1，y1，z1)，则有令x1=1，得y1=，z1=1=(1，-，1)设平面A1BC1的法向量为=(x2，y2，z2)，则有令x2=1，则y2=0，z2=1，=(1，0，1)cos，=所求二面角的大小为arccos

13、(-).20.已知椭圆C：=1(ab0)的左焦点为F1(-，0)，e=.()求椭圆C的方程；()如图，设R(x0，y0)是椭圆C上一动点，由原点O向圆(x-x0)2+(y-y0)2=4引两条切线，分别交椭圆于点P，Q，若直线OP，OQ的斜率存在，并记为k1，k2，求证：k1·k2为定值；()在()的条件下，试问OP2+OQ2是否为定值？若是，求出该值；若不是，说明理由.解析：()由题意得，c，a，推出b，即可得到椭圆的方程.()由已知，直线OP：y=k1x，OQ：y=k2x，且与圆R相切，列出方程，说明k1，k2是方程k2-2x0y0k +y02-4=0的两个不相等的实数根，推出k1

14、k2=，通过点R(x0，y0)在椭圆C上，化简求解即可.()OP2+OQ2是定值18.设直线OP：y=k1x，OQ：y=k2x，联立解得同理，得，然后计算OP2+OQ2=x12+y12+x22+y22化简求解即可.答案：()由题意得，c=，e=，解得a=2，b=椭圆方程为=1.()由已知，直线OP：y=k1x，OQ：y=k2x，且与圆R相切，=2，化简得(x02-4)k12-2x0y0k1+y02-4=0同理(x02-4)k22-2x0y0k2+y02-4=0，k1，k2是方程k2-2x0y0k +y02-4=0的两个不相等的实数根x02-40，0，k1k2=点R(x0，y0)在椭圆C上，所以

15、，即k1k2=.()OP2+OQ2是定值18.设直线OP：y=k1x，OQ：y=k2x，k1·k2=-，联立解得同理，得由OP2+OQ2=x12+y12+x22+y22=，OP2+OQ2=18综上：OP2+OQ2=18.21.已知函数f(x)=ex-1-x-ax2.()当a=0时，求证：f(x)0；()当x0时，若不等式f(x)0恒成立，求实数a的取值范围.解析：()求出函数的导数，解关于x的不等式，求出函数的单调区间，得到函数的最小值，证出结论即可；()求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间，从而求得实数a的取值范围.答案：()a=0时，f(x)=ex-1-x，f(x

16、)=ex-1当x(-，0)时，f(x)0；当x(0，+)时，f(x)0故在单调递减，在单调递增，f(x)min=f(0)=0，f(x)0()f(x)=ex-1-2ax，令h(x)=ex-1-2ax，则h(x)=ex-2a.1)当2a1时，在0，+)上，h(x)0，h(x)递增，h(x)h(0)，即f(x)f(0)=0，f(x)在0，+)为增函数，f(x)f(0)=0，a时满足条件； 2)当2a1时，令h(x)=0，解得x=ln2a，当x0，ln2a)上，h(x)0，h(x)单调递减，x(0，ln2a)时，有h(x)h(0)=0，即f(x)f(0)=0，f(x)在区间(0，ln2a)为减函数，f

17、(x)f(0)=0，不合题意综上得实数a的取值范围为(-，.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.作答时，用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑.选修4-4：坐标系与参数方程22.以直角坐标系xOy中，直线l：y=x，圆C：(为参数)，以坐标原点为为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系. ()求直线l与圆C的极坐标方程；()设直线l与圆C的交点为M，N，求CMN的面积.解析：()利用三种方程的互化方法，求直线l与圆C的极坐标方程；()设直线l与圆C的交点为M，N，求出圆心到直线的距离，|MN|，即可求CMN的面积.答案：()将C的参数方程化为普通方程为(x+1)2+(y+2)2=1，极坐标方程为2+2cos+4sin+4=0直线l：y=x的极坐标方程为=(R)，()圆心到直线的距离d=，|MN|=，CMN的面积S=.选修4-5：不等式选讲23.已知函数f(x)=|x-a|-x，(a0).()若a=3，解关于x的不等式f(x)0；()若对于任意的实数x，不等式f(x)-f(x+a)a2+恒成立，求实数a的取值范围.解析：()将a的值带入f(x)，两边