2003年春季高考数学(文科)试题

1、绝密启用前2003 年普通高等学校春季招生考试数 学（文史类）（北京卷）本试卷分第I卷（选择题）和第n卷（非选择题）两部分.第I卷 1 至 2 页.第n卷 3至 8 页.共 150 分.考试时间 120 分钟.第I卷（选择题共 60 分）注意事项：1答第I卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上.2每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用像皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题卷上3考试结束，监考人将本试卷和答题卡一并收回参考公式：三角函数的积化和差公式sin：cos：= -sin（一：匚b-） sin（：-）21cos-：sin si

2、n（二、：）sin（卅I）21COS：COScos（、!） COS（:; I ）1sin : sin = _cos（、x、I ）_cos（：_：）2一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共有一项是符合题目要求的.1 .设a,b,c,d R且a b,c d，且下列结论中正确的是（ ）A.a c b dB.ac bdC.ac bdD.a bd c224A -BC D 2333、x 13若f(x)=则方程f (4x)= x的根是x( )11A 2B2C D -2 设 M 和 m 分别表示函数cosx-1的最大值和最小值，贝 U M+m 等于3( )2 24 若集合M二y|y=2x, p二

3、y|y x-1,则 M P =( )Ay | y 1By|y-O5.若 A , B , C 是厶 ABC 的三个内角，且Cy|y 0A： ：B： ：C(C二),y | y - 0则下列结论中正确的是正棱台、圆台的侧面积公式1S台侧（c c）l2其中c、c 分别表示上、下底面周长 l表示斜高或母线长球体的体积公式43V球R33其中 R 表示球的半径60 分.在每小题给出的四个选项中，只A6 在(A7.tgA：tgCB ctgA：ctgC等差数列an中，已知a1）Ca2sin A：sinCa3a4cosA： ：cosC那么a3等于设复数函数Z11 “J32Z2)5n125n127H1213IT12

4、f (x) =| x|和g (x)二x（2 - x）的递增区间依次是e：=,0,1/:=)C0：),(：,1D0：),1,2 2),(0）的曲线大致是y题号-二二三总分171819202122分数绝密启用前2003 年普通高等学校春季招生考试数 学（文史类）（北京卷）第H卷（非选择题共 90 分）注意事项：1.第n卷共 6 页，用钢笔或圆珠笔直接答在试题卷中.16 .如图，F1, F2分别为椭圆J 芯二1的左、右焦点,a2b2点 P 在椭圆上， POF2是面积为,3 的正三角形，则b2的值是_2.答卷前将密封线内的项目填写清楚10某班新年联欢会原定的5 个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新

5、节目如果将这两个新节目插入原节目单中，且两个新节目不相邻，那么不同插法的种数为得分评卷人中、填空题：本大题共 4 小题，每小题 4 分，共 16 分把答案填在题横线上.（ ）A . 6B .11.如图，在正三角形 ABCG, H , I, J 分别为 AF ,沿 DE, EF,数为A. 90 DF 折成三棱锥以后,12C. 15中，D, E, F 分别为各边的中点,AD , BE , DE 的中点.将厶 ABCGH 与 IJ 所成角的度（ ）B 60C. 4512.已知直线ax by c = 0（abj0）与圆 x2y2则三条边长分别为|a|, |b|, |c|的三角形 A .是锐角三角形B

6、.是直角三角形D . 0C.=1相切，（ ）是钝角三角形D 30D .不存在13 函数v = sin 2x + 1的最小正周期为I14.如图，一个底面半径为R 的圆柱形里杯中装有ryMT适量的水.若放入一个半径为r 的头心铁球，水_A-_1_ TR面高度恰好升高r,则一=Ml -L yr(1)(2)15.在某报自测健康状况 的报道中，自测血压结果与相应年龄的统计数据如下表观年龄（岁）3035404550556065收缩压（水银柱毫米）110115120125130135()145 十舒张压（水银柱毫米）707375788083()88 J表中数据的特点，用适当的数填入表中空白（_ ）内2 2三

7、、解答题： 本题共 6 小题，共 74 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤得分评卷人17.（本小题满分 12 分）解不等式：Iog2(x2- x-2) Iog2(2x- 2).19.(本小题满分 12 分)如图，ABCD A1B1C1D1是正四棱柱，侧棱长为占八、-(I)求三棱锥 D1 DBC 的体积.;(n)证明 BD1/平面 C1DE;(川)求面 C1DE 与面 CDE 所成二面角的正切值得分评卷人18.(本小题满分 12 分)已知函数f(x)426cos x -5cos x 1cos2x,求 f(x)的定义域,判断它的奇偶性,并求其值得分评卷人1，底面边长为 2, E 是棱 BC

8、 的中设A( -c,0), B(c,0)(C 0)为两定点，动点 P 到 A 点的距离与到B 点的距离的比为某租赁公司拥有汽车100 辆当每辆车的月租金为 3000 元时，可全部租出.当每辆车的月租金每增加50 元时，未租出的车将会增加一辆.租出的车每辆每月需要维护费200 元.(I)当每辆车的月租金定为3600 元时，能租出多少辆车？(H)当每辆车的月租金定为多少元时， 租赁公司的月收益最大？最大月收益是多少 元？得分评卷人20.(本小题满分 12 分)定值a(a 0)，求 P 点的轨迹.得分评卷人21.(本小题满分 13 分)如图，在边长为 I 的等边 ABC 中，圆 ABC 的内切圆，圆

9、 。2与圆Oi外切,且与 AB，BC 相切，圆 On+i与圆 On外切，且与 AB ,BC 相切，如此无限继续下去记圆 On的面积为an（n三N）.（I）证明an是等比数列；（n）求lim（a1亠an）的值.得分评卷人22 .（本小题满分 13 分）绝密启用前2003 年普通高等学校春季招生考试数学试题（文史类）（北京卷）参考答案一、选择题：本题主要考查基本知识和基本运算.每小题 5 分，满分60 分.1.A2.D3.D4.C5.C6.A7.B8.C9.A10.D11.B12.B二、填空题：本题主要考查基本知识和基本运算.每小题 4 分，满分16 分.13. n2、314.315.( 140)

10、( 85)16.2、3三、解答题：本大题共 6 小题，共 74 分.解答应写岀文字说明，证明过程或演算步骤17 本小题主要考查不等式的解法、对数函数的性质等基本知识，考查运算能力和逻辑思维能力分 12又当x诗：,k叭,f（x）=6cos4x-5cos2x 1cos2x(2cos2x-1)(3cos2x-1)23cos x-1，cos2x所以f（x）的值域为y | -1 _ y：1或1 :19.本小题主要考查正四棱柱的基本知识，考查空间想象能力、1 122 21.3 23（H）证明：记 D1C 与 DC1的交点为 O,连结 OE.TO 是 CD1的中点，E 是 BC 的中点，（I）解：VDBC/

11、 EOIIBD1.TBD1二 平面 C1DE，EO 平面 C1DE，BD1II平面 C1DE.（山）解：过 C 作 CH 丄 DE 于 H，连结 CH在正四棱柱 ABCD A1B1C1D1中,C1C 丄平面 ABCD，C1H 丄 DE，C1HC 是面逻辑思维能力和运算能力.满分 12 分.Di8AC1DE 与面 CDE 所成二面角的平面角分.解：原不等式TDC=2，CC1=1，CE=1，CD CE _2 1_ 2DE 2212. 5x2-x -20,二x -10 x2-x -2 2x -2(x -2)(x 1) Ox -10,2x-3x 0 x 2,x 3.x : 0 或 x 3故原不等式的解

12、集是x| x 3.CC1tg._ C1HC =-CH_2_5. 520.本小题主要考查直线、圆、曲线和方程等基本知识，考查运用解析几何的方法解决问题的能力满分 12 分.GC52即面 C1DE 与面 CDE 所成二面角的正切值为 218 本小题主要考查三角函数的基本知识，考查逻辑思维能力、分析和解决问题的能力.满分 12 分.解：由cos2x =0 得 2x,解得2 . 2 2解：设动点 P 的坐标为(x，y). 由|PA|= a(a、0)得七(x c) y_a|PB| 耳(xc)2+y2所以f(X)的定义域为x | x R且x - ,k Z.24化简得(1 a2)x22c(1 a2)x c2

13、(1 a2) (1-a2)y0.因为f（X）的定义域关于原点对称，且f（_x）=6cos4（吹）5COS2（刁厂1cos(-2x)6 cos x-5cos X+1=f(x),所以 f(x)是偶函数.cos2x当a = 1 时，得 x22c（1a）x c2y0，整理得1 -a当 a=1 时，化简得 x=0.1 + a $2 .2(x-a2_1c)y2ac2= (a2-1).a +12ac所以当a=1时，P点的轨迹是以(N c,0)为圆心，|二|为半径的圆;a21a21当 a=1 时，P 点的轨迹为 y 轴.21 .本小题主要考查二次函数的基本知识，考查分析和解决问题的能力解：(I)当每辆车的月租金定为3600 元时，未租岀的车辆数为所以这时租出了 88 辆车.(H)设每辆车的月租金定为x 元，则租赁公司的月收益为f (x) =(100 _x300)(x _200)，50整理得f(x) 匸(8000 x)(x-200)x2164x-320001(x-4100)2304200.505050所以，当 x=4100 时，f (x)最大，最大值为f (4100) = 304200，即当每辆车的月租金定为410