2015年普通高等学校招生全国统一考试（四川卷）数学文

1、2015年普通高等学校招生全国统一考试（四川卷）数学文一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的.1.设集合A=x|-1x2，集合B=x|1x3，则AB=()A.x|-1x3B.x|-1x1C.x|1x2D.x|2x3解析：集合A=x|-1x2，集合B=x|1x3，则AB=x|-1x3.故选：A.2.设向量=(2，4)与向量=(x，6)共线，则实数x=()A.2B.3C.4D.6解析：因为向量=(2，4)与向量=(x，6)共线，所以4x=2×6，解得x=3；故选：B.3.某学校为了了解三年级、六年级、九年级这三个年级之间的学

2、生视力是否存在显著差异，拟从这三个年级中按人数比例抽取部分学生进行调查，则最合理的抽样方法是()A.抽签法B.系统抽样法C.分层抽样法D.随机数法解析：我们常用的抽样方法有：简单随机抽样、分层抽样和系统抽样，而事先已经了解到三年级、六年级、九年级这三个年级之间的学生视力是否存在显著差异，这种方式具有代表性，比较合理.故选：C.4.设a，b为正实数，则“ab1”是“log2alog2b0”的()A.充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件解析：若log2alog2b0，则ab1，故“ab1”是“log2alog2b0”的充要条件，故选：A.5.下列函数中，最小正周期为

3、且图象关于原点对称的函数是()A.y=cos(2x+)B.y=sin(2x+)C.y=sin2x+cos2xD.y=sinx+cosx解析：y=cos(2x+)=-sin2x，是奇函数，函数的周期为：，满足题意，所以A正确y=sin(2x+)=cos2x，函数是偶函数，周期为：，不满足题意，所以B不正确；y=sin2x+cos2x=sin(2x+)，函数是非奇非偶函数，周期为，所以C不正确；y=sinx+cosx=sin(x+)，函数是非奇非偶函数，周期为2，所以D不正确；故选：A.6.执行如图所示的程序框图，输出s的值为()A.-B.C.-D.解析：模拟执行程序框图，可得k=1k=2不满足条

4、件k4，k=3不满足条件k4，k=4不满足条件k4，k=5满足条件k4，S=sin=，输出S的值为.故选：D.7.过双曲线x2-=1的右焦点且与x轴垂直的直线，交该双曲线的两条渐近线于A、B两点，则|AB|=()A. B.2C.6D.4解析：双曲线x2-=1的右焦点(2，0)，渐近线方程为y=，过双曲线x2-=1的右焦点且与x轴垂直的直线，x=2，可得yA=2，yB=-2，|AB|=4.故选：D.8.某食品保鲜时间y(单位：小时)与储藏温度x(单位：)满足函数关系y=ekx+b (e=2.718为自然对数的底数，k，b为常数).若该食品在0的保鲜时间是192小时，在22的保鲜时间是48小时，则

5、该食品在33的保鲜时间是()A.16小时B.20小时C.24小时D.28小时解析：y=ekx+b (e=2.718为自然对数的底数，k，b为常数).当x=0时，eb=192，当x=22时e22k+b=48，e16k=e11k=eb=192当x=33时，e33k+b=(ek)33·(eb)=()3×192=24故选：C9.设实数x，y满足，则xy的最大值为()A.B.C.12D.16解析：作出不等式组对应的平面区域如图；则动点P在BC上运动时，xy取得最大值，此时2x+y=10，则xy=，当且仅当2x=y=5，即x=，y=5时，取等号，故xy的最大值为，故选：A10.设直线l

6、与抛物线y2=4x相交于A、B两点，与圆(x-5)2+y2=r2(r0)相切于点M，且M为线段AB的中点，若这样的直线l恰有4条，则r的取值范围是()A.(1，3)B.(1，4)C.(2，3)D.(2，4)解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(x0，y0)，则斜率存在时，设斜率为k，则y12=4x1，y22=4x2，利用点差法可得ky0=2，因为直线与圆相切，所以，所以x0=3，即M的轨迹是直线x=3，代入抛物线方程可得y=±2，所以交点与圆心(5，0)的距离为4，所以2r4时，直线l有2条；斜率不存在时，直线l有2条；所以直线l恰有4条，2r4，故选：D.二、填空题：本大

7、题共5小题，每小题5分，共25分.11.设i是虚数单位，则复数i-=_.解析：复数i-=i-=i+i=2i.故答案为：2i.12. lg0.01+log216的值是_.解析：lg0.01+log216=-2+4=2.故答案为：2.13.已知sin+2cos=0，则2sincos-cos2的值是_.解析：sin+2cos=0，即sin=-2cos，tan=-2，则原式=，故答案为：-114.在三棱住ABC-A1B1C1中，BAC=90°，其正视图和侧视图都是边长为1的正方形，俯视图是直角边长为1的等腰直角三角形，设M，N，P分别是AB，BC，B1C1的中点，则三棱锥P-AMN的体积是_

8、.解析：判断三视图对应的几何体的形状，画出图形，利用三视图的数据，求解三棱锥P-AMN的体积即可.答案：由三视图可知，可知几何体的图形如图：几何体是底面为等腰直角三角形直角边长为1，高为1的直三棱柱，所求三棱锥的高为NP=1，底面AMN的面积是底面三角形ABC的，所求三棱锥P-AMN的体积是：.15.已知函数f(x)=2x，g(x)=x2+ax(其中aR).对于不相等的实数x1、x2，设m=，n=.现有如下命题：对于任意不相等的实数x1、x2，都有m0；对于任意的a及任意不相等的实数x1、x2，都有n0；对于任意的a，存在不相等的实数x1、x2，使得m=n；对于任意的a，存在不相等的实数x1、

9、x2，使得m=-n.其中的真命题有_ (写出所有真命题的序号).解析：对于，由于21，由指数函数的单调性可得f(x)在R上递增，即有m0，则正确；对于，由二次函数的单调性可得g(x)在(-，-)递减，在(，+)递减，则n0不恒成立，则错误；对于，由m=n，可得f(x1)-f(x2)=g(x1)-g(x2)，考查函数h(x)=x2+ax-2x，h(x)=2x+a-2xln2，当a-，h(x)小于0，h(x)单调递减，则错误；对于，由m=-n，可得f(x1)-f(x2)=-g(x1)-g(x2)，考查函数h(x)=x2+ax+2x，h(x)=2x+a+2xln2，对于任意的a，h(x)不恒大于0或

10、小于0，则正确.故答案为：.三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16.设数列an(n=1，2，3)的前n项和Sn，满足Sn=2an-a1，且a1，a2+1，a3成等差数列.(1)求数列an的通项公式；(2)设数列的前n项和为Tn，求Tn.解析：(1)由条件Sn满足Sn=2an-a1，求得数列an为等比数列，且公比q=2；再根据a1，a2+1，a3成等差数列，求得首项的值，可得数列an的通项公式.(2)由于，利用等比数列的前n项和公式求得数列的前n项和Tn.答案：(1)由已知Sn=2an-a1，有an=Sn-Sn-1=2an-2an-1(n2)，即an=

11、2an-1(n2)，从而a2=2a1，a3=2a2=4a1.又因为a1，a2+1，a3成等差数列，即a1+a3=2(a2+1)所以a1+4a1=2(2a1+1)，解得：a1=2.所以，数列an是首项为2，公比为2的等比数列.故an=2n.(2)由(1)得，所以Tn=.17.一辆小客车上有5名座位，其座号为1，2，3，4，5，乘客P1，P2，P3，P4，P5的座位号分别为1，2，3，4，5.他们按照座位号顺序先后上车，乘客P1因身体原因没有坐自己1号座位，这时司机要求余下的乘客按以下规则就坐：如果自己的座位空着，就只能坐自己的座位.如果自己的座位已有乘客就坐，就在这5个座位的剩余空位中选择座位.

12、(1)若乘客P1坐到了3号座位，其他乘客按规则就座，则此时共有4种坐法.下表给出其中两种坐法，请填入余下两种坐法(将乘客就坐的座位号填入表中空格处)(2)若乘客P1坐到了2号座位，其他乘客按规则就坐，求乘客P5坐到5号座位的概率.解析：(1)根据题意，可以完成表格；(2)列表，确定所有可能的坐法，再求出乘客P1坐到5号座位的概率.答案：(1)余下两种坐法：(2)若乘客P1坐到了2号座位，其他乘客按规则就坐，则所有可能的坐法可用下表表示为于是，所有可能的坐法共8种，设“乘客P5坐到5号座位”为事件A，则事件A中的基本事件的个数为4，所以P(A)=.答：乘客P5坐到5号座位的概率是.18.一个正方

13、体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如图所示.(1)请按字母F，G，H标记在正方体相应地顶点处(不需要说明理由)(2)判断平面BEG与平面ACH的位置关系.并说明你的结论.(3)证明：直线DF平面BEG.解析：(1)直接标出点F，G，H的位置.(2)先证BCHE为平行四边形，可知BE平面ACH，同理可证BG平面ACH，即可证明平面BEG平面ACH.(3)连接FH，由DHEG，又DHEG，EGFH，可证EG平面BFHD，从而可证DFEG，同理DFBG，即可证明DF平面BEG.答案：(1)点F，G，H的位置如图所示.(2)平面BEG平面ACH，证明如下：ABCD-EFGH为正方体，BCFG，B

14、C=EH，又FGEH，FG=EH，BCEH，BC=EH，BCHE为平行四边形.BECH，又CH平面ACH，BE平面ACH，BE平面ACH，同理BG平面ACH，又BEBG=B，平面BEG平面ACH.(3)连接FH，ABCD-EFGH为正方体，DHEG，又EG平面EFGH，DHEG，又EGFH，EGFH=O，EG平面BFHD，又DF平面BFHD，DFEG，同理DFBG，又EGBG=G，DF平面BEG.19.已知A、B、C为ABC的内角，tanA，tanB是关于方程x2+px-p+1=0(pR)两个实根.(1)求C的大小(2)若AB=3，AC=，求p的值.解析：(1)由判别式=3p2+4p-40，可

15、得p-2，或p，由韦达定理，有tanA+tanB=-p，tanAtanB=1-p，由两角和的正切函数公式可求tanC=-tan(A+B)=，结合C的范围即可求C的值.(2)由正弦定理可求sinB=，解得B，A，由两角和的正切函数公式可求tanA=tan75°，从而可求p=-(tanA+tanB)的值.答案：(1)由已知，方程x2+px-p+1=0的判别式：=(p)2-4(-p+1)=3p2+4p-40，所以p-2，或p.由韦达定理，有tanA+tanB=-p，tanAtanB=1-p.所以，1-tanAtanB=1-(1-p)=p0，从而tan(A+B)= .所以tanC=-tan(

16、A+B)=，所以C=60°.(2)由正弦定理，可得sinB=，解得B=45°，或B=135°(舍去).于是，A=180°-B-C=75°.则tanA=tan75°=tan(45°+30°)= .所以p=-(tanA+tanB)=-(2+)=-1-.20.如图，椭圆E：=1(ab0)的离心率是，点P(0，1)在短轴CD上，且·=-1(1)求椭圆E的方程.(2)设O为坐标原点，过点P的动直线与椭圆交于A、B两点.是否存在常数，使得·+·为定值？若存在，求的值；若不存在，请说明理由.解析：(

17、1)通过e=、·=-1，计算即得a=2、b=，进而可得结论.(2)分情况对直线AB斜率的存在性进行讨论：当直线AB的斜率存在时，联立直线AB与椭圆方程，利用韦达定理计算可得当=1时·+·=-3；当直线AB的斜率不存在时，·+·=-3.答案：(1)根据题意，可得C(0，-b)，D(0，b)，又P(0，1)，且·=-1，解得a=2，b=，椭圆E的方程为：+=1；(2)结论：存在常数=1，使得·+·为定值-3.理由如下：对直线AB斜率的存在性进行讨论：当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y=kx+1，A(x1，y1

18、)，B(x2，y2)，联立，消去y并整理得：(1+2k2)x2+4kx-2=0，=(4k)2+8(1+2k2)0，x1+x2= ，x1x2= ，从而·+·=x1x2+y1y2+x1x2+(y1-1)(y2-1)=(1+)(1+k2)x1x2+k(x1+x2)+1= =- -2.当=1时，- -2=-3，此时·+·=-3为定值；当直线AB的斜率不存在时，直线AB即为直线CD，此时·+·=+=-2-1=-3；故存在常数=1，使得·+·为定值-3.21.已知函数f(x)=-2xlnx+x2-2ax+a2，其中a0.(1)设g(x)是f(x)的导函数，讨论g(x)的单调性.(2)证明：存在a(0，1)，使得f(x)0恒成立，且f(x)=0在区间(1，+)内有唯一解.解析：(1)函数f(x)=-2xlnx+x2-2ax+a2，其中a0.可得：x0.g(x)=f(x)=2(x-1-lnx-a)，可得g(x)=，分别解出g(x)0，g(x)0，即可得出单调性.(2)由f(x)=2(x-1-lnx-a)=0，可得a=x-1-lnx，代入f(x)可得：u(x)=(1+lnx)2-2xlnx