八年级同步第11讲：一元二次方程的应用(二)(1)(教案教学设计导学案)

1、列一元二次方程解应用题是列一元一次方程解应用题的继续和发展， 从列方 程解应用题的方法来讲， 列出一元二次方程解应用题与列出一元一次方程解应用 题是非常相似的， 由于一元一次方程未知数是一次， 因此这类问题大部分都可通 过算术方法来解决 如果未知数出现二次， 用算术方法就很困难了， 正由于未知 数是二次的， 所以可以用一元二次方程解决有关面积问题， 经过两次增长的平均 增长率问题，数学问题中涉及积的一些问题，经营决策问题等等1 1、数字问题： 对于数的应用题主要是要知道数的表示例如：一个三位数个位、十位、百位分别为x x、y y、 z z,那么这个三位数则可以表示为例 1 1】 已知两个连续奇

2、数的积是，求这两个数 【难度】答案】 1717, 1919 或解析】解：设这两个连续奇数为,则, 整理得：,解得：, 所以答：这两个数是 1717， 1919 或 总结】本题主要考查利用一元二次方程解决数字问题例 2 2】 有一个两位数等于其数字之积的 2 2 倍，其十位数字比个位数字小 3 3 ，求这个两位数 【难度】答案】 3636 解析】设个位数字为，则十位数字是根据题意可得： ， 整理得：， 解得：，（不是整数，舍去） 答：这个两位数为 3636 总结】本题主要考查利用一元二次方程解决数字问题例 3 3】 有一个两位数， 它们的十位数字与个位数字之和为， 如果把十位数字与个位数字调 换

3、后，所得的两位数乘以原来的两位数就得，求原来的两位数【难度】 答案】原来的两位数是 3535 或 5353解析】设个位数字为，则十位数字是根据题意可得： ，整理得：分解得：， 解得：，答：原来的两位数是 3535 或 5353 总结】本题主要考查利用一元二次方程解决数字问题2 2、增长率问题基本公式：，表示增长前的数，表示增长率，表示增长后的数，要列出这类方程关键在于找出、 果是降低率，则为例 4 4】 甲、乙、丙三家超市为了促销一种定价均为元的商品，甲超市连续两次降价；乙超市一次性降价；丙超市第一次降价，第二次降价， 此时顾客要购买这种商品，最划算的 超市是哪家？【难度】答案】乙 解析】甲超

4、市： ； 乙超市：； 丙超市：总结】本题主要考查降低率的问题如例 5 5】 某钢铁厂去年月份钢的产量为吨，月份上升到吨，求这两个月平均每月增长的百 分率是多少？【难度】答案】 2020 解析】设这两个月平均每月增长的百分率是， 则根据题意可得： ， 解：（负值舍去） 答：这两个月平均每月增长的百分率是2020总结】本题主要考查利用一元二次方程解决增长率的问题例 6 6】 某商场今年一月份销售额万元， 二月份销售额下降， 进入月份该商场采取措施， 改 革营销策略，使日销售额大幅上升，四月份的销售额达到万元， 求三、 四月份平均每月 销售额增长的百分率【难度】答案】 2020 解析】三、四月份平均

5、每月销售额增长的百分率是， 则根据题意可得： ， 解：（负值舍去） 答：三、四月份平均每月销售额增长的百分率是2020总结】本题主要考查利用一元二次方程解决增长率的问题例 7 7】 某工厂月份产品数是万件， 要求第 1 1 季度总产品数达到万件， 若每月平均增长率相同，求该工厂每月的平均增长率 （只列方程不求解）【难度】答案】设该工厂每月的平均增长率是，则根据题意可得： 解析】注意第一季度为 1 1、2 2、3 3 月份产品数之和3 3、利润问题： 总利润单件利润总件数； 总利润总售价总成本价 根据公式想办法将降价后的利润以及降价后能售出的件数表示出来即可例 8 8】 某商店购进一种商品，进价

6、元试销中发现这种商品每天的销售量（件 ）与每件的销售价 （元） 满足关系：，若商店每天销售这种商品要获得元的利润，那么每件商品的售 价应定为多少元？每天要售出这种商品多少件？【难度】答案】每件商品的售价应定为 4040 元，每天要售出这种商品 2020 件 解析】由题意列方程得： ，整理可得：，解得：答：每件商品的售价应定为 4040 元，每天要售出这种商品 2020 件总结】本题主要考查一元二次方程在利润问题中的应用，注意对题目条件的分析例 9 9】 某玩具厂计划生产一种玩具熊猫，每日最高产量为只，且每日产出的产品全部售 出，已知生产只熊猫的成本为(元) ，售价每只为(元) ，且、与的关系式

7、分别为，(1)当日产量为多少时每日获得的利润为元？(2)若可获得的最大利润为元，问日产量应为多少？【难度】答案】( 1 1)当日产量为 2525 时每日获得的利润为元；( 2 2)当日产量为 3535 时每日获得的利润为元解析】设利润为元，则(1 1)当每日获得的利润为元时，则则，解得：，每日最高产量为只，舍去.当日产量为 2525 时每日获得的利润为元.(2 2)当每日获得的利润为元时，则，则，解得：.当日产量为 3535 时每日获得的利润为元.总结】本题主要考查一元二次方程在利润问题中的应用，注意对题目条件的分析.例 1010 】某商场销售一批衬衫，进货价为每件元，按每件元出售，一个月内可

8、售出 件.已知这种衬衫每件涨价元，其销售量要减少件.为了减少库存量，且在月内赚 取元的利润，售价应定为每件多少元？【难度】答案】 6060 元.解析】设这种衬衫每件涨价元.则根据题意可得： ， 整理可得：， 解得：，当时，； 当时，因为要减少库存量，所以售价应定为每件 50+10=60 元总结】本题中主要考查对减少库存的理解例 1111】 某 水果批发商场经销一种高档水果，如果每千克盈利元，每天可售出千克，经市 场调查发现， 在进货价不变的情况下， 若每千克涨价元，日销售量将减少千克 现该商 品要保证每天盈利元，同时又要使顾客得到实惠，那么每千克应涨价多少元？【难度】答案】 5 5 元 解析】

9、设这种衬衫每件涨价元则根据题意可得： ，整理可得：， 解得：，要使顾客得到实惠，需涨价少，则每千克应涨价 5 5 元.总结】本题主要考查一元二次方程在利润问题中的应用，注意对题目条件的分析例 1212】服装柜在销售中发现某品牌童装平均每天可售出件， 每件盈利元 为了迎接 “六一”儿童节，商场决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利，减少库存经市 场调查发现， 如果每件童装每降价元， 那么平均每天就可多售出件 要想平均每天在销 售这种童装上盈利元，那么每件童装应降价多少元？【难度】答案】 2020 元解析】设每件童装应降价元，则根据题意可得： ， 整理可得：， 解得：，要减少库存，则要使的值

10、比较大，则每件童装应降价 2020 元总结】本题主要考查一元二次方程在利润问题中的应用，注意对题目条件的分析4 4、几何面积问题： 对于面积问题首先判断要求面积的图形的形状，再根据公式将要求出的量用表示出 来例如要求的某个长方形面积，就必须先把长和宽表示出来例 1313 】一个直角三角形的两条直角边的和是，面积是，两条直角边的长分别是【难度】答案】 6 6， 8 8解析】一个直角三角形的两条直角边的和是1414，积是，又这两个数是正数，所以这两条边长分别是 6 6 和 8 8总结】本题主要考查方直角三角形的面积问题例 1414】一个菱形两条对角线长的和是，面积是，菱形的周长是 _ （结果保留根

11、号）【难度】答案】解析】一个菱形两条对角线长的和是，积是，则两条对角线分别长为的边长为，则菱形的周长为.【总结】本题主要考查方菱形的面积问题.【例1515】若把一个正方形的一边增加， 另一边增加，得到的矩形面积的倍比正方形的面积多，则原正方形的边长为 _.【难度】【答案】1 1.【解析】设原来正方形的边长为，由题意可得：，整理得：， 解得：（舍去），所以原来正方形的边长为 1cm1cm.【总结】本题主要考查一元二次方程在几何图形面积中的应用.【例1616】如图，有一面积是平方米的长方形鸡场，鸡场的一边靠墙（墙长米），墙对面有一个米宽的门，另三边（门除外）用竹篱笆围成，篱笆总长米.求鸡场的长和宽

12、各多 少米？【难度】【答案】宽为 1010 米，长为 1515 米.【解析】设鸡场的宽为，则长为.根据题意可得：，整理可得：，解得：，当时，舍去.宽为 1010 米，长为 1515 米.【总结】本题主要考查一元二次方程在几何图形面积中的应用，注意对条件的分析.【例1717】如图，在宽为，长为的矩形地面上修建两条同样宽且互相垂直的道路，其余部分作为耕地为.则道路的宽为是 _.【难度】【答案】1 1 米.4 4 和 6 6，则菱 形解析】设道路的宽为由题意可得： ，整理得：， 解得：，（不符合题意，舍去） 道路的宽为 1 1 米.总结】本题主要考查一元二次方程在几何图形面积中的应用，注意对条件的分

13、析例 1818】台门中学为美化校园，准备在长米，宽米的长方形场地上，修筑若干条道路，余下部分作草坪， 并请全校学生参与图纸设计. 现有三位学生各设计了一种方案 如下图），问三种设计方案中道路的宽分别为多少米？1 1 ）甲方案图纸为图 1 1 ，设计草坪总面积平方米.【难度】答案】 1 1 米.解析】设道路的宽为，由题意可得： ，整理得：， 解得：，（不符合题意，舍去） .道路的宽为 1 1 米.总结】本题主要考查一元二次方程在几何图形面积中的应用，注意对条件的分析.2 2）乙方案图纸为图，设计草坪总面积平方米.【难度】答案】 2 2 米.解析】设道路的宽为，由题意可得：整理得：，解得：，（不合

14、题意，舍去） .道路的宽为 2 2 米.总结】本题主要考查一元二次方程在几何图形面积中的应用，注意对条件的分析.3 3）丙方案图纸为图，设计草坪总面积平方米.【难度】答案】 1 1 米.解析】设道路的宽为，由题意可得： ，整理得：，解得：，（不合题意，舍去） .道路的宽为 1 1 米.图纸总结】本题主要考查一元二次方程在几何图形面积中的应用，注意对条件的分析传播问题5 5、传播问题（1 1）送贺卡原则是我送你一张你也要送我一张，所以对于每个人都送出去了张，总共 有个人所以列式为；（2 2）而握手以及单循环比赛是不重复进行的，但我们可以假设它重复进行，所以列式 为这两类问题具有共同的特征，统称为

15、传播问题例 1919 】圣诞节昂立师生互送贺卡，总共送出张，求昂立共有师生多少人？【难度】答案】 3131 人 解析】设昂立共有师生人，由题意可得： 整理得：，解得：，（负值舍去） 答：昂立共有师生 3131 人总结】本题主要考查互送卡片问题，由于每人都要送到，因此不用除2 2例 2020 】参加一次足球联赛的每两队之间都进行一场比赛，共比赛场比赛， 共有多少个队参加比赛？【难度】【答案】 1010【解析】设共有个队参加比赛，由题意可得： 整理得：，解得：，（负值舍去） 答：共有 1010 个队参加比赛【总结】 本题主要考查传播问题中的比赛问题， 由于每两队之间都进行一场比赛， 除 2 2例

16、2121 】生物兴趣小组的学生， 将自己收集的标本向本组其他成员各赠送一件，互赠了件，这个小组共有多少名同学？【难度】答案】 1414 解析】设这个小组共有名同学，由题意可得： 整理得：，解得：，（负值舍去） 答：这个小组共有 1414 名同学 总结】本题主要考查传播问题中的互送问题，由于每个成员各赠送一件，因此不用除例 2222 】首届中国象棋比赛采用单循环制， 每位棋手与其它棋手比赛一盘制，轮比赛共下了场，那么参加第一轮比赛的共有几名选手？【难度】答案】 2121 解析】设参加第一轮比赛的共有名选手由题意可得： ， 整理得：，解得：，（负值舍去） 答：参加第一轮比赛的共有 2121 名选手

17、 总结】本题主要考查传播问题中的比赛问题，由于每队只参加一场，因此要除因此不用全组共2 2已知第一2 2习题 1 1】 两个连续奇数的积是 6363，则这两个奇数是 _【难度】答案】 7 7 和 9 9 或解析】或总结】本题中是两个连续的奇数之积，因此要注意正数和负数的两种情况习题 2 2】长方形的长比宽多，面积是，则它的长是 _【难度】答案】 1010 厘米解析】设长为，则宽为，由题意可得： ，解：，（负值舍去） 则长方形的长为 1010 厘米总结】本题主要考查利用一元二次方程解决面积问题习题 3 3】某厂今年利润为元，计划今后每年增长，两年后利润是 _【难度】答案】解析】考查增长率的表达式

18、习题 4 4】 若正方形的边长增加为两倍，它的面积就增加4848 ，则原来的边长为 _ . .【难度】答案】 4 4解析】设正方形原来的边长为，由题意可得： ，解，（负值舍去） 答：正方形原来的边长为 4cm4cm总结】本题主要考查利用一元二次方程解决面积问题习题 5 5】 某农场的总产值预计今年比前年翻一番， 那么平均每年总产值约增长 _（ 精确到 0.010.01）【难度】【答案】4141%.【解析】设平均每年总产值约增长由题意可得：，解得：（负值舍去）平均每年总产值约增长 4141 %.【总结】某农场的总产值预计今年比前年翻一番，可以理解为今年的总产值是前年总产值的2 2 倍.【习题 6

19、 6】张大叔从市场上买回一块矩形铁皮，他将此矩形铁皮的四个角各剪去一个边长为米的正方形后，剩下的部分刚好能围成一个容积为立方米的无盖长方体箱子，且此长方体箱子的底面长比宽多米，现已购买这种铁皮每平方米需元钱，问张大叔购买这张铁皮共花了 _元钱【难度】【答案】700700.【解析】设长方体的长为米，则宽为米，由题意可得：，解得：，（负值舍去）.则矩形铁皮的长为米，宽为米，矩形铁皮的面积为平方米.一共花元.【总结】本题主要考查利用一元二次方程解决面积问题.【习题 7 7】有一个两位数，它的十位数字与个位数字之和为4 4，如果把十位数字与个位数字调换位子后，所得的两位数乘以原来的两位数得403403

20、，设原来的数的个位数是，则可得方程是（）. .A.A.B.B.C.C.D.D.【难度】【答案】A A【解析】这个两位数可表示为，调换后的两位数可表示为，故选 A A .【总结】本题主要考查一元二次方程在数字问题中的运用.【习题 8 8】某旅社有 100100 张床位，每床每晚收费 1010 元时，客床可全部租出，若每床每晚收费提高 2 2 元，则减少 1010 张床位租出，若每晚收费再提高 2 2 元，则再减少 1010 张床位租出，以每次提高 2 2 元的这种方法变化下去，为了投资少而利润大，每床每晚应提高（ ）. .【难度】【答案】 C C【解析】设每床每晚提高元，则减少张床位租出， 由题

21、意可得：利润 = =要使利润最大，则要使取最小值，且取整数，则2 2 或 3 3，又投资少而利润大，.每床每晚提高 6 6 元【总结】本题主要考查一元二次方程在利润问题中的运用，此题中要注意每次提高的都是2 2元，另外还要注意投资少利润大习题 9 9】某工厂今年月份产品数是万件， 要求月份达到万件， 求这个工厂月份和月份的月平均增长率【难度】答案】 2020解析】设 2 2 月份和 3 3 月份的月平均增长率是， 则根据题意可得： ，解：（负值舍去） 答：这两个月平均每月增长的百分率是 2020总结】本题主要考查利用一元二次方程解决增长率的问题A.4A.4 元和 6 6 元B.4B.4 元C.

22、6C.6 元D.8D.8 元作业 1 1】 一个直角三角形的两条直角边相差，面积是，斜边的长是 _【难度】答案】解析】直角三角形的两条直角边相差为5 5 ，积为 1414，则两条直角边长为 2 2 和 7 7则斜边长为总结】本题主要考查一元二次方程在面积中的运用作业 2 2】 为了绿化学校，需移植草皮到操场，若矩形操场的长比宽多米，面积是 平方米则操场的长为 _米，宽为 _ 米【难度】答案】 6464， 5050解析】总结】本题主要考查一元二次方程在面积中的运用【作业 3 3】如图，在长为，宽为的矩形的四个角上截去四个全等的正方形，使 得 留 下的图形（图中阴影部分） 面积是原矩形面积的， 所截去的小正