七弯曲变形ppt课件

1、第七章第七章 弯曲变形弯曲变形 摇臂钻床的摇臂或车床的主轴变形过大，就会影响零件的加工精度，摇臂钻床的摇臂或车床的主轴变形过大，就会影响零件的加工精度，甚至会出现废品。甚至会出现废品。 在工程实际中，对某些受弯构件，除要求具有足够的强度外，还要求在工程实际中，对某些受弯构件，除要求具有足够的强度外，还要求变形不能过大，即要求构件有足够的刚度，以保证构造或机器正常任务。变形不能过大，即要求构件有足够的刚度，以保证构造或机器正常任务。7.1 概述概述一、工程中的弯曲实例一、工程中的弯曲实例 桥式起重机的横梁变形过大桥式起重机的横梁变形过大, ,那么会使小车行走困难，出现爬坡景象。那么会使小车行走困

2、难，出现爬坡景象。 但在另外一些情况下，有时却要求构件具有较大的弹性变形，以满足但在另外一些情况下，有时却要求构件具有较大的弹性变形，以满足特定的任务需求。特定的任务需求。 例如，车辆上的叠板弹簧，要求有足够大的变形，以缓解车辆遭到的例如，车辆上的叠板弹簧，要求有足够大的变形，以缓解车辆遭到的冲击和振动作用。冲击和振动作用。P2P2P二、计算弯曲变形的目的二、计算弯曲变形的目的1 1、研讨刚度、研讨刚度2 2、解静不定问题、解静不定问题3 3、确定梁弯曲的动载系数。、确定梁弯曲的动载系数。控制变形：齿轮轴，镗刀杆控制变形：齿轮轴，镗刀杆运用变形：叠板弹簧，跳水板运用变形：叠板弹簧，跳水板三、弯

3、曲变形的根本概念三、弯曲变形的根本概念对称轴对称轴轴线轴线纵向对称面纵向对称面1 1、挠曲线、挠曲线 梁在平面弯曲时，其轴线在载荷作用平面纵向对称面梁在平面弯曲时，其轴线在载荷作用平面纵向对称面内，变成了一条曲线，该曲线称为挠曲线。内，变成了一条曲线，该曲线称为挠曲线。表示：表示：延续光滑延续光滑特点：特点：w=f(x)，它是坐标，它是坐标x的延续函数。的延续函数。2.2.挠度和转角挠度和转角规定：向上的挠度为正规定：向上的挠度为正 逆时针的转角为正逆时针的转角为正xyxw挠曲线方程：挠曲线方程：( )w f x转角方程：转角方程：d( )dwfxxtan: : 是度量弯曲变形的两个根本量是度

4、量弯曲变形的两个根本量四、画绕曲线近似外形的方法四、画绕曲线近似外形的方法1 1、思索支座的约束特点、思索支座的约束特点固定端：固定端：w = 0, = 0w = 0, = 0铰支座：铰支座：w A= 0,wB = w A= 0,wB = 0 02 2、思索弯矩的变化、思索弯矩的变化弯矩为正，下凸弯矩为正，下凸弯矩为负，上凸弯矩为负，上凸弯矩为弯矩为O O的线段，直线的线段，直线弯矩为弯矩为O O的点，拐点的点，拐点ABPPxMP2PL2PL2PLq22qaqaMxMx22qaPMxpapa例：例：7.2 挠曲线近似微分方程及其积分挠曲线近似微分方程及其积分一、挠曲线近似微分方程的导出一、挠曲

5、线近似微分方程的导出222 3/211 () d wdxdwdx( )1zzMxEI平面曲线平面曲线( (挠曲线挠曲线) ) 上恣意点的曲率公式。上恣意点的曲率公式。( )wf x纯弯曲梁变形后中性层的曲率纯弯曲梁变形后中性层的曲率公式，对于横力弯曲公式，对于横力弯曲l5h可近似运用。可近似运用。EIZ称为梁的抗称为梁的抗弯刚度。弯刚度。22d( )dwM xxEI 对于小挠度情形有对于小挠度情形有2d1dwx022dxwd022dxwd22d( )dwM xxEI 22d( )dwM xxEI22d( )dwM xxEI22d( )dwM xxEI挠曲线的近似微分方程挠曲线的近似微分方程二、

6、积分法求弯曲变形二、积分法求弯曲变形 DxCxEIxMwCxEIxMxwdd)(d)(dd DCxxxxMEIwCxxMEIdd)(d)( 22d( )dwM xxEI由挠曲线近似微分方程，由挠曲线近似微分方程， 得：得：对于等截面直梁，有：对于等截面直梁，有：阐明：阐明：1 1假设假设M Mx x方程方程 或或 EI EI有变化，那么应分段。有变化，那么应分段。2 2C C、D D为积分常数，由边境条件和延续性条件确定。为积分常数，由边境条件和延续性条件确定。固定端：固定端：w = 0, = 0w = 0, = 0确定积分常数：确定积分常数：1 1边境条件边境条件2 2延续性条件延续性条件

7、梁的挠曲线是一条延续而光滑的曲线，因此在梁的挠曲线是一条延续而光滑的曲线，因此在挠曲线的任一点处如：弯矩方程的分界处，截挠曲线的任一点处如：弯矩方程的分界处，截面的突变处左右两截面的转角和挠度均相等。面的突变处左右两截面的转角和挠度均相等。A铰支座：铰支座：w A= 0,wB = 0w A= 0,wB = 0 知梁的抗弯刚度为知梁的抗弯刚度为EIEI。试求图示简支梁在均布载荷。试求图示简支梁在均布载荷q q作用下的转角方作用下的转角方程、挠曲线方程，并确定程、挠曲线方程，并确定maxmax和和wmaxwmax。xylqx例：例：222xqxqlwEI CxqxqlwEI3264DCxxqxql

8、EIw432412由边境条件：由边境条件：000wlxwx时，时，得：得：CqlD 3240,梁的转角方程和挠曲线方程分别为：梁的转角方程和挠曲线方程分别为：qEIlxxl2464233()2(24332lxlxEIqxw最大转角和最大挠度分别为：最大转角和最大挠度分别为：EIqlBA243maxEIqlwwlx384542max解：解：222)(xqxqlxM)(xMwEI 知梁的抗弯刚度为知梁的抗弯刚度为EIEI。试求图示悬臂梁在集中力。试求图示悬臂梁在集中力P P作用下的转角方程、作用下的转角方程、挠曲线方程，并确定挠曲线方程，并确定maxmax和和wmaxwmax。xylPABx例：例

9、：解：解：M xP lx( )() lPxPwEI CxlPxPwEI22DCxxlPxPEIw2326由边境条件：由边境条件：0, 00wwx时，CD 0梁的转角方程和挠曲线方程分别为：梁的转角方程和挠曲线方程分别为：PxEIxl22()3(62lxEIxPw最大转角和最大挠度分别为：最大转角和最大挠度分别为：max BPlEI22EIPlwwB33max)(xMwEI )(xMwEI 试求图示简支梁的弯曲变形抗弯刚度试求图示简支梁的弯曲变形抗弯刚度:EIz:EIz例：例：axyABblCP解：解：lPbRA1.1.求支反力、写出弯矩方程；求支反力、写出弯矩方程；lPaRBACAC段：段：x

10、11M1xlPbCBCB段：段：2M)(22axPxlPbax 10lxa22.2.列出挠曲线微分方程，并积分；列出挠曲线微分方程，并积分；ACAC段：段：11xlPbwEI 121112CxlPbEIwEIz1113116DxCxlPbEIwCBCB段：段：)(222axPxlPbwEI 22222222)(2CaxPxlPbEIwEI222323226)(6DxCaxPxlPbEIw3.3.列出边境条件；列出边境条件；,01时x01w,2时lx 02w4.4.延续性条件；延续性条件；,21时当axx21ww)(2121ww 由延续性条件，可求得由延续性条件，可求得21CC 21DD x21

11、xRA)(22axPxRA由边境条件，可求得由边境条件，可求得)(62221bllPbCC021 DD5.5.求最大转角和最大挠度求最大转角和最大挠度axyABblCPRARBx1x2 对简支梁受集中力，最大转角普通在对简支梁受集中力，最大转角普通在两端截面上两端截面上: :)(622011bllPbwxA)(622allEIPabwzlxB)(6bllEIPabz比较，当比较，当 a b a b 时，时，)(6maxallEIPabzB挠度最大值发生在挠度最大值发生在)0(0dxdw截面上，截面上，当当 a b a b 时，发生在时，发生在ACAC段：段：011dxdw0)3(62022xb

12、llPb3220blx3221max)(390bllEIPbwwzxx最后得转角方程和挠曲线方程为：最后得转角方程和挠曲线方程为：ACAC段：段：)3(6212211xbllPbEIwEIz)(6212211xbllPbxEIw)0(1ax CBCB段：段：)(2lxa)3(6222222xbllPbEIwEIz22)(3axbl222222)3(6xxbllPbEIw32)(axbl讨论：讨论：1 1AC段：段：11xlPbwEI 121112CxlPbEIwEI1113116DxCxlPbEIwCB段：段：)(222axPxlPbwEI 22222222)(2CaxPxlPbEIwEI6)

13、(632322axPxlPbEIw222DxC2 2当须分段表示弯矩方程时，需用延续条当须分段表示弯矩方程时，需用延续条件、边境一同确定积分常数。件、边境一同确定积分常数。3 33220blx截面截面最大挠度很接近于梁中点挠度值最大挠度很接近于梁中点挠度值故工程上常用中点的挠度替代最大挠度：故工程上常用中点的挠度替代最大挠度：)43(48|222blEIPbfzlx4 4当当 b =l/2 时时zABEIPl162maxzlxEIPlwf48|22max5 5积分法适用于求恣意截积分法适用于求恣意截面的挠度的转角面的挠度的转角axyABblCPRARBx1x2 知梁的抗弯刚度为知梁的抗弯刚度为

14、EIEI。试求图示简支梁的转角方程、挠曲线方程，并确定。试求图示简支梁的转角方程、挠曲线方程，并确定maxmax和和wmaxwmax。yaqABCxaaaDEqaqax1x2解：由对称性，只思索半跨梁解：由对称性，只思索半跨梁ACDACD111)(qaxxM222211)(2axqqaxwEIqaxwEI 22222)(2)(axqqaxxM)0(1ax )2(2axa12112CxqawEI1113116DxCxqaEIw232222)(62CaxqxqawEI22242322)(246DxCaxqxqaEIw由延续条件：由延续条件：212121,wwwwaxx时由边境条件：由边境条件：由对

15、称条件：由对称条件：得CCDD12120,011wx时得 D100,222wax时得 Cqa23116 例：例：梁的转角方程和挠曲线方程分别为：梁的转角方程和挠曲线方程分别为：axaxaaxaxEIqwaxxxaEIqawaxaaaxaxEIqaxxaEIqa244)(4240)11(6211)(360)311(622342322131121233222212121最大转角和最大挠度分别为：最大转角和最大挠度分别为：max AxqaEI1031116EIqawwax819422max2yaqABCxaaaDEqaqax1x2例：用积分法求图示各梁的挠曲线方程，应分为几段？将出现几例：用积分法求

16、图示各梁的挠曲线方程，应分为几段？将出现几个积分常数？并写出各梁的边境条件和延续条件。个积分常数？并写出各梁的边境条件和延续条件。; 0, ; 0, 021BAwaxwx边境条件边境条件延续条件延续条件PqaaAB121212, ;BBxxa www边境条件边境条件; 0, 0, 01AAwx 延续条件延续条件; ,212121CCwwwaxx PaaC边境条件边境条件延续条件延续条件; 0, ; 0, 0, 021BAAwlaxwx malABC;,2121Cwwwaxx边境条件边境条件;2-2-, ; , 0, 021EAqlaEAaqlwlxwxBAqABla1.1.挠度和转角挠度和转角

17、规定：向上的挠度为正规定：向上的挠度为正 逆时针的转角为正逆时针的转角为正xyxw挠曲线方程：挠曲线方程：( )w f x转角方程：转角方程：ddwx 挠度和转角是度量弯曲变形挠度和转角是度量弯曲变形的两个根本量。的两个根本量。内容回想：内容回想：22d( )dwM xxEI挠曲线的近似微分方程挠曲线的近似微分方程2.2.挠曲线近似微分方程挠曲线近似微分方程3.3.积分法求弯曲变形积分法求弯曲变形d( )ddwM xxCxEIDCxxxxMEIwCxxMEIdd)(d)( 对于等截面直梁，有：对于等截面直梁，有：( )d dM xwxxCxDEI截面的转角方程截面的转角方程梁的挠曲线方程梁的挠

18、曲线方程阐明：阐明：1 1假设假设M Mx x方程方程 或或 EI EI有变化，那么应分段。有变化，那么应分段。2 2C C、D D为积分常数，由边境条件和延续性条件确定。为积分常数，由边境条件和延续性条件确定。22d( )dwM xxEI挠曲线的近似微分方程挠曲线的近似微分方程7.3 叠加法求弯曲变形叠加法求弯曲变形一、叠加法前提一、叠加法前提 资料服从胡克定律资料服从胡克定律 小变形小变形二、第一类叠加法二、第一类叠加法载荷叠加法载荷叠加法 当梁上同时作用有几种载荷时，可分别求出每一种载荷单独作用当梁上同时作用有几种载荷时，可分别求出每一种载荷单独作用下的变形，然后将各个载荷单独引起的变形

19、叠加，得这些载荷共同作用下的变形，然后将各个载荷单独引起的变形叠加，得这些载荷共同作用时的变形。时的变形。求：求：wC ,wC ,B B各种载荷与它所引起的变各种载荷与它所引起的变形呈线性关系。形呈线性关系。vvv=+用叠加法求用叠加法求BACw、例：例：解：解：Cw53844qlEIPlEI348mlEI216A qlEI324PlEI216mlEI3BqlEI324PlEI216EIlm6假设图示梁假设图示梁B B端的转角端的转角B=0B=0，那么力偶矩等于多，那么力偶矩等于多少？少？例：例：解：解：BPaEI 22EIam 2mPa40例：求图示梁例：求图示梁 B B、D D两点的挠度两

20、点的挠度 wB wB、 wD wD。解：解： EIqaEIaqaEIaqwB3143)2(8)2(434 EIqaEIaqawwBD3848)2(2243v例：怎样用叠加法确定图示梁例：怎样用叠加法确定图示梁C C截面的挠度截面的挠度 wC wC和转角和转角CC。解：解：vvv418CqlwEI 316CqlEI 42128BqlwEI3248BqlEI422272384CBBlqlwwEI32248CBqlEI41241384CCCqlwwwEI 312748CCCqlEI 所以，所以，三、第二类叠加法三、第二类叠加法逐段分析求和法逐段分析求和法 为求梁某截面的挠度和转角，常把构件分成几段分

21、别刚化处置，为求梁某截面的挠度和转角，常把构件分成几段分别刚化处置，进而计算出每段变形在该截面处引起的挠度和转角，然后将它们分别叠进而计算出每段变形在该截面处引起的挠度和转角，然后将它们分别叠加，得到该截面处总的挠度和转角，这种计算变形的方法称为逐段分析加，得到该截面处总的挠度和转角，这种计算变形的方法称为逐段分析求和法，又称位移叠加法。求和法，又称位移叠加法。注：此种叠加方法在求外伸梁，或受力比较特殊的悬臂梁注：此种叠加方法在求外伸梁，或受力比较特殊的悬臂梁的变形时，比较方便。的变形时，比较方便。v例例求外伸梁求外伸梁ABCABC的外伸端的外伸端A A的挠度。的挠度。解：用逐段分析求和法。解

22、：用逐段分析求和法。EIlqaaEIlqaawB6-321-321 EIqaw8-422 2将将BCBC段刚化段刚化1 1将将ABAB段刚化段刚化3 3最后结果最后结果)34(246833421alEIqaEIlqaEIqawwwlABaC CqABq2wABC Cqa1wqa2/2例例求外伸梁求外伸梁ABCABC的外伸端的外伸端A A的挠度和转角。的挠度和转角。解：解：EIqaawB12542 EIqaw8411 1将将BCBC段刚化。段刚化。2 2将将ABAB段刚化。段刚化。3 3最后结果最后结果EIqawww2413421ABq1wABaC CqP=qaaam=qa2DEIqa631 1

23、EIqaBmBPBmB12532 312712qaEIqaABC C2wm= qa2/2P=qam=qa2D例例求悬臂梁求悬臂梁ACBACB的自在端的自在端B B的挠度和转角。的挠度和转角。解：解：EIqawwwPm127)()(4222EIqaw8411 1将将ACAC段刚化。段刚化。2 2将将BCBC段刚化。段刚化。EIqa631 1w1BCABqaaCqam=qa2/2ABC2w3wEIqaaawmCPCC43)()( 32CqaEI 两根资料一样、抗弯刚度一样的悬臂梁两根资料一样、抗弯刚度一样的悬臂梁、如图示，如图示，梁的最大挠度是梁的最大挠度是梁的多少倍？梁的多少倍？2llP2PPl

24、EI33例：例：16倍倍 例：简支梁在整个梁上受均布载荷例：简支梁在整个梁上受均布载荷 q q 作用，假设其跨度添作用，假设其跨度添加一倍，那么其最大挠度添加多少倍？加一倍，那么其最大挠度添加多少倍？lqIEl qw38454max16倍倍7.4 梁的刚度校核梁的刚度校核刚度条件：刚度条件：maxwwmax 、 是构件的答应挠度和转角，它们决议于构件是构件的答应挠度和转角，它们决议于构件正常任务时的要求。正常任务时的要求。w一、梁的刚度条件一、梁的刚度条件二、三类刚度问题二、三类刚度问题1 1刚度校核刚度校核2 2截面设计截面设计3 3确定答应载荷确定答应载荷例：图示工字钢梁，例：图示工字钢梁

25、， l =8m， Iz=2370cm4, Wz=237cm3，w = l500，E=200GPa，=100MPa。试根据梁的刚度条。试根据梁的刚度条件，确定梁的答应载荷件，确定梁的答应载荷 P，并校核强度。，并校核强度。解：由刚度条件解：由刚度条件500483maxlwEIPlw得PEIl485002 711.kN所以 .P 711kNmaxmaxMWz所以满足强度条件。PlWz460MPa hbhb2hbMOO hb2h2hoo21max6)(bhMWMz 31()12zEbhEI2hb 2M22max122/)(bhMWMz 12412)2(2)(332EbhhbEEIz2:1)( :)(2max1max 1:4)( :)(21zzEIEIhb2h2hoo 解除多余约束，代之相应的反力；解除多余约束，代之相应的反力；变静不定梁为方式上的静定梁系统变静不定梁为方式上的静定梁系统一、静不定梁的概念一、静不定梁的概念