2020年普通高等学校招生全国统一考试数学卷(安徽.理)含答案

1、2020年最新2020年普通高等学校招生全国统一考试（安徽卷）数学（理科）本试卷分第I卷（选择题）和第R卷（非选择题）两部分，第I卷第 1至第 2页，第II卷第3至第4页.全卷满分150分，考试时间120分钟. 考生注意事项：1 .答题前，务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的座位号、姓名，并认真核对答题 卡上所粘贴的条形码中“座位号、姓名、科类”与本人座位号、姓名、科类是否一致.2 .答第I卷时，每小题选出答案后，用 2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.3 .答第n卷时，必须用 0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上书写.在试题卷上作答无效

2、.4 .考试结束，监考员将试题卷和答题卡一并收回.参考公式：如果事件A, B互斥，那么球的表面积公式2P（A B） P（A） P（B）S 4 tR如果事件A, B相互独立，那么其中R表示球的半径p（a|b） p（a）|p（b）球的体积公式1 2 III n n（n2 1）V 4 tR312 22HIn2n（n 1）（2n1） 其中R表示球的半径二213 23HIn3-L第I卷（选择题共55分）一、选择题：本大题共 11小题，每小题 有一项是符合题目要求的.5分，共55分.在每小题给出的四个选项中，只2020年最新1.下列函数中，反函数是其自身的函数为（）A. f(x)x2,x0,)C.f(x)

3、ex,x(,)B. f(x) x3, x (,),1D. f(x) -, x (0,)x2.设l, m, n均为直线，其中m, n在平面内，则“l， ”是“l，m且I，门”的（A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件3.若对任意xR ,不等式x > ax恒成立，则实数a的取值范围是（A. a 1 B. a < 1C. a 1 D. a > 12020年最新4 .若a为实数，-ai-J2i ,则a等于()1+ .2iA. 22B.亚C. 2 亚D.2我5 .若 A x Z 2< 22 x 8, B x R|log2x 1,则 A。(，R

4、B)的元素个数为 ( )A. 0B. 1C. 2D. 36 .函数 f(x) 3sin 2x图象C关于直线x函数f(x)在区间11丘对称;5内是增函数;由y 3sin 2x的图象向右平移个单位长度可以得到图象以上三个论断中，正确论断的个数是A. 0B. 1)C. 2D. 32x y7.如果点P在平面区域2y2> 010 0上，点Q在曲线x22 < 0(y22)1上，那么PQ的第14题图2020年最新最小值为(C. 2.2 1D. 我 18 .半径为离为(的球面上的四点A,B,C,D是正四面体的顶点,A与B两点间的球面距A. arccos3 B. arccos3C. arccosD.

5、 arccos2 x9 .如图，Fi和F2分别是双曲线 ab21(a 0, b 0)的两个焦点， A和B是以。为圆心,以OF1为半径的圆与Fi该双曲线左支的两个交点，且 AF2AB是等边三角形，则双曲线的离心率为(AOB第9题图C. 5D. 1 V310.以 (x)表示标准正态总体在区间(，x)内取值的概率，若随机变量服从正态分布N( ,2),则概率P( |)等于()A.()()B.(1)( 1)C.1D. 2 ()11.定义在R上的函数f(x)既是奇函数，又是周期函数，T是它的一个正周期.若将方程f(x) 0在闭区间T, T上的根的个数记为 n ,则n可能为()A. 0B. 1C. 3D.

6、52007年普通高等学校招生全国统一考试(安徽卷)数学(理科)第II卷(非选择题共95分)注意事项：请用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答，在试题卷上书写作答无效.二、填空题：本大题共 4小题，每小题4分，共16分.把答案填在答题卡的相应位置.12 .若 2x3n的展开式中含有常数项，则最小的正整数n等于13 .在四面体OABC 中,a,c, D为BC的中点,E为AD的中点,(用a, b, c表示).14 .如图，抛物线 y x2 1与x轴的正半轴交于点 A, 将线段OA的n等分点从左至右依次记为 印P2,|, R1, 过这些分点分别作 x轴的垂线，与抛物线的交点依次为Q1，Q2M|，

7、Qn1,从而得到n 1个直角三角形Q1OP1, Q2P1P2，WAQn Fn 2匕1 当门 时，这些三角形 的面积之和的极限为15 .在正方体上任意选择 4个顶点，它们可能是如下各种几何形体的4个顶点，这些几何形体是 （写出所有正确结论的编号）.矩形；不是矩形的平行四边形；有三个面为等腰直角三角形，有一个面为等边三角形的四面体；每个面都是等边三角形的四面体；每个面都是直角三角形的四面体.三、解答题：本大题共 6小题，共79分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16 .（本小题满分12分）已知 0为 f（x） cos 2x 的最小正周期a tan,1 , b (cos ,2),且 abco

8、ssin 2( sin17 .（本小题满分14分）如图，在六面体 ABCD ABC1D1中，四边形 ABCD是边长为2的正方形，四边形 ABCiDi是边长为1的正方形，DDi平面 A1B1C1D1 , DD1 平面 ABCD , DDi 2 .（I）求证： AiCi与AC共面，BiDi与BD共面.（n）求证：平面 AACC1 平面B1BDD1；（出）求二面角 A BBi C的大小（用反三角函数值表示）.18 .(本小题满分14分)设 a>0, f (x) x 1 ln2 x 2a ln x(x 0).(I )令F(x) xf (x),讨论F(x)在(0, 8)内的单调性并求极值; (n)

9、求证：当 x 1 时，恒有 x ln2 x 2a ln x 1 .2020年最新19 .(本小题满分12分)如图，曲线G的方程为y2 2x(y >0) .以原点为圆心.以t(t 0)为半径的圆分别与曲线 GA与点B .直线AB与x轴相交于点 C .和y轴的正半轴相交于点(I)求点 A的横坐标a与点C的横坐标 c的关系式(n)设曲线G上点D的横坐标为a 2 求证：直线CD的斜率为定值.第19题图20 .(本小题满分13分)在医学生物学试验中，经常以果蝇作为试验对象.一个关有6只果蝇的笼子里，不慎混入了两只苍蝇(此时笼内共有 8只蝇子，6只果蝇和2只苍蝇)，只好把笼子打开一个小孔，让 蝇子一

10、只一只地往外飞， 直到两只苍蝇都飞出， 再关闭小孔.以 表示笼内还剩下的果蝇 的 只数.(I)写出的分布列(不要求写出计算过程)；(n)求数学期望 e ；(出)求概率P( > E ).21.(本小题满分14分)某国采用养老储备金制度.公民在就业的第一年就交纳养老储备金，数目为a1,以后每年交纳的数目均比上一年增加 d(d 0),因此，历年所交纳的储备金数目 a1, a21H是一个公差为 d的等差数列.与此同时，国家给予优惠的计息政策， 不仅采用固定利率，而且计算复利.这 就是说，如果固定年利率为r(r 0)，那么，在第n年末，第一年所交纳的储备金就变为a1(1r)n 1,第二年所交纳的储

11、备金就变为a2。r)n 2 ,.以表示到第n年末所累计的储备金总额.(I)写出与Tn 1(n> 2)的递推关系式;(n)求证：Tn A Bn,其中An是一个等比数列，Bn是一个等差数列.2007年普通高等学校招生全国统一考试（安徽卷）数学（理科）试题参考答案一、选择题：本题考查基本知识和基本运算.每小题1. D2. A3. B4. B6. C7. A8. C9. D二、填空题：本题考查基本知识和基本运算.每小题11112.713 abc24414.-15.3三、解答题5分，满分55分.5. C10. B 11. D4分，满分16分.16.本小题主要考查周期函数、理能力.本小题满分 12分

12、.平面向量数量积与三角函数基本关系式,考查运算能力和推解：因为. 立 为f（x） cos 2x 的取小正周期，故8因 a b m,又 a b cos tan故 cos tan - 4,一 九由于0,所以422cos sin 2()cos sin22cos sin(22 u)cos sinc2. c2cossin 2cos sin2cos (cos sin )cos sin2cos 1-tan 2cos 'tan-2（2 m） .1 tan417.本小题主要考查直线与平面的位置关系、平面与平面的位置关系、二面角及其平面角等有关知识，考查空间想象能力和思维能力，应用向量知识解决立体几何问题

13、的能力.本小题满分14分.解法1 （向量法）：以D为原点，以DA, DC, DD1所在直线分别为 X轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系D xyz如图,则有 A(2,0,0) B(2,2,0) C(0,2,0) A(1Q2) Bi(1,1,2) (0,1,2) Di(0,0,2).(I)证明：,猊(1,1 0),aC ( 2,2,0) DB1 (1,1,0),DB (2,2,0).2A1C1,DBIAC与ACf平行，DB与甫平行,是A1cl与AC共面，BD1与BD共面.(n)证明:db AcDd! Ac (0,0,2) ( 2,2,0) 0,(2,2,0)-( 2,2,0) 0, Dd1 AC ,

14、 DB AC .DD1与DB是平面B1BDD1内的两条相交直线. .AC 平面 BDD/又平面AACC1过 AC .平面 A1ACC1 平面 B1BDD1 .(ID)解:戏 (10,2) BB； ( 1, 1,2),Cc! (0, 1,2).设n (xi, y，zi)为平面AABBi的法向量，n - AA1x1 2乙 0, n-Bb;x1 y 2乙 0.于是 yi0 ,取 zi1,则 xi 2, n (2,0,1).设m (x2, y2, z2)为平面B1BCC1的法向量,mBBix2 y2 2z2 0, m CC；y22z20.于是 x20 ,取 Z2 1 ,则 y2 2, m (0,2,1

15、).cos m二面角A BB1 C的大小为 冗arccos1.5解法2 （综合法）：平面ABCD./ 平面 ABCD .(I)证明：: D1D 平面 A0C1D1, D1DD1D DA , D1D DC ,平面 A1B1C1D1于是 C1D1 / CD , D1A / DA .设E, F分别为DA, DC的中点，连结EF, A1E, C1F ,有 AE/ D1D, C1F / D1D, DE 1, DF 1.AE / C1F ,于是 A1cl / EF .由 DE DF 1,得 EF / AC,故 AC1 / AC , A1cl 与 AC 共面.过点B1作B1O 平面ABCD于点O ,则口。J

16、= AE, B1OJLC1F ,连结 OE, OF ,于是 OE X BA，OF X B1C1 , OE OF ., B1A1A1D1, . . OE AD . B1cl C1D1,OF CD .所以点O在BD上，故D1B1与DB共面.（n）证明：D1D 平面 ABCD ,D1D AC ,又BD AC （正方形的对角线互相垂直），DD与BD是平面B1BDD1内的两条相交直线， .AC 平面 B1BDD1.又平面 AACC1过AC，平面A1ACC1平面BBDD1 .（出）解：二.直线DB是直线B1B在平面ABCD上的射影，AC DB ,根据三垂线定理，有 AC B1B.2020年最新过点A在平面

17、ABB1A1内作AMBiB于M ,连结MC,MO则B1B平面AMC ,是 B1B MC, B1B所以，AMC是二面角A B1B C的一个平面角.根据勾股定理，有 AA5, C1C.5,v OMB1B ,有 OMBOOBB1BBM J|AM10CM102_2- 2AM CM AC cos AMC 2 AM CMAMC1 arccos-,5面角A BB1 C的大小为1 a arccos-.518.本小题主要考查函数导数的概念与计算,利用导数研究函数的单调性、极值和证明不等式的方法，考查综合运用有关知识解决问题的能力.(I)解：根据求导法则有f (x)21n x本小题满分2a 八一，x 0, x14

18、分.故 F(x) xf (x)x 21n x 2a,2于是F (x) 1 - x2处取得极小值列表如下:x(0,2)2(2,却F (x)0F(x)极小值F(2)/故知F (x)在(0,2)内是减函数，在 (2, 8)内是增函数，所以，在 xF(2) 2 21n 2 2a.(n)证明：由a20知，F(x)的极小值F(2)2 21n 2 2a 0 .xf (x) 0 .于是由上表知，对一切 x (0, 0°),恒有F (x)00)内单调增加.从而当x 0时，恒有f (x) 0,故f (x)在(0,所以当 x 1 时，f (x) f (1) 0 ,即 x 1 ln2 x 2a In x 0

19、 .故当x 1时，恒有x ln2 x 2aIn x 1 .19 .本小题综合考查平面解析几何知识，主要涉及平面直角坐标系中的两点间距离公式、直线的方程与斜率、抛物线上的点与曲线方程的关系，考查运算能力与思维能力、综合分析问题的能力.本小题满分 12分.解：(I)由题意知，A(a,J29).因为|OA t ,所以a2 2a t2 .由于 t 0,故有 t JO_2a .(1)由点B(0, t), C(c,0)的坐标知，直线BC的方程为-1 .c t又因点A在直线BC上，故有-工包1 , c t将(1)代入上式，得a”2a1 ,c a(a 2)解得 c a 2 J2(a 2).(n)因为D(a2, J'2(a 2),所以直线CD的斜率为k . 2(a2) kCD.a 2 c2(a 2)a 2 (a 2 .2(a 2)2a 2) 2(a 2)所以直线CD的