2019届高考数学专题十七圆锥曲线的几何性质精准培优专练理

1、1.椭圆的几何性质例1:如图，椭圆培优点十七圆锥曲线的几何性质士+上2 b2心为O,其离心率为a b 0的上顶点、左顶点、左焦点分别为B、A.23 :3B.【解析】由Sa abfc 、3而，所以a 2C.2S>AABF : S BFO（）2 3 3:3Sa abf ： S BFO2.抛物线的几何性质例2:已知抛物线 C : y2 2Pxp在直线l:x1上的射影为B.3 :2D. 2 33 :2，得 SA ABF : SA BFOSAABOSA BFO : SA BFOab bc :bc2近3 :3 ,故选B.0的焦点为F ,准线l : xC上，点MA ,且直线AF的斜率为百，则 MAF的

2、面积为（C. 4 3设准线l与x轴交于点N ,所以|FN| 2,因为直线 AF的斜率为 4,所以 AFN 60所以AF 4由抛物线定义知，MA MF ,且 MAF AFN 60 ,所以4MAF是以4为边长的正三角形，其面积为 42 4点.故选C.43.双曲线的几何性质22例3:已知点P是双曲线 y- 1的右支上一点， M , N分别是圆x 10 2 y2 4和 36 642Cx 10y2 1上的点，则 PM| |PN|的最大值为 .【答案】1522【解析】在双曲线土匕1中，a 6, b 8, c 10, 36 64F1 10,0 , F2 10,0 , PF1 PF2 2a 12,PF2 |N

3、F215 .Q MP PF1 |MF1 , |PN| |PF2 NF2 , PM| |PN| |PE | MF1对点增分集训一、单选题1 .抛物线y2 2Pxp 0上的动点Q到其焦点的距离的最小值为1,则p ()A. 1B. 1C. 2D. 42【答案】C【解析】抛物线y2 2px p 0上的动点Q到其焦点的距离的最小值即到准线的最小值，很明显满足最小值的点为抛物线的顶点，据此可知：卫1, p 2 .本题选择C选项.222.设点F1, F2是双曲线x2 1的两个焦点，点P是双曲线上一点，若 3PFi 4 PF2 ,3则 PF1F2的面积等于()A. 5 3B. 3 15C. 4.5D. 210

4、【答案】B【解析】据题意，PFi 4PF2 ,且 |PF31PF2 2 ,解得 |PFi| 8 " PF2 6 .又讦24 ,在 PFiF2中由余弦定理，得cos F1PF2222PFiPF2IF1F272 PFi I PF28从而 sin F1PF2；1 cos2 F1PF2 眄,所以 SAPFF1 6 8 Y15 3/5,故选 B.81 2283.经过椭圆x2 2y2 2的一个焦点作倾斜角为45的直线l ,交椭圆于M , N两点，设OA. 32B. 4C. 8D. 16uur LLIU为坐标原点，则OM ON等于（A.B.C.D.y2 1 , a 72 , b 1 , c 1,取

5、一个焦点F 1,0 ,则直线方程2【解析】椭圆方程为2为 y x 1 ,代入椭圆方程得3x2-,故选C.34 1uuuu UULT4x 0, M 0, 1 , N -,-，所以 OM ON3 34.过抛物线y2 mx m 0的焦点作直线交抛物线于 P, Q两点，若线段PQ中点的横坐标为 3, pq 5m,则 m （）4A. 4B. 6C. 8D. 10【答案】B【解析】设PQ的坐标分别为x1,y1 , x2,y2 ,线段PQ中点的横坐标为3,则迎上2 3,2PQ x1 x2 p 6 m 5m ,由此解得m 6 .故选B. 4425.已知双曲线彳 a2 y b21 a 0,b 0的右焦点为F ,

6、点A在双曲线的渐近线上，4OAF是边长为2的等边三角形O为原点），则双曲线的方程为（）A.C.2 x32 x4B.D.22x y22【解析】双曲线x_ 22 1 a 0,b 0的右焦点为F，点A在双曲线的渐近线上，OAFa b是边长为2的,222等边三角形（O为原点），可彳导c 2, - 73,即马 3, Ja aaa双曲线的焦点坐标在 x轴，所得双曲线的方程为2X2 * 4 1 ,故选 B.36.如图所示，“嫦娥一号”探月卫星沿地月转移轨道飞向月球，在月球附近一点P变轨进入以月球球心F为一个焦点的椭圆轨道I绕月飞行，之后卫星在P点第二次变轨进入仍以 F为一个焦点的椭圆轨道 n绕月飞行，最终卫

7、星在 P点第三次变轨进入以 F为圆心的圆形轨道田绕月飞行.已知椭圆轨道 I和n的中心与F在同一直线上，设椭圆轨道 I和n的长半轴长分别为ai, a2,半焦距分别为Ci, c2,则有（）A.Caica2B. a1 ga2c2ClCaia2【解析】设圆形轨道 田的半径为R, ai ci a2 c2G R,- aiD. ai ga2c2aiRaic2a2 R - ia2a2由aia2知aiRa2,故选C.a2i a b 0的左、右焦点分别为Fi , F2, bM是双曲线C2的一条渐近线上的点，且OMMF2 O为坐标原点，若 Saqmf2 16 ,且双曲线Ci , C2的离心率相同，则双曲线 C2的实

8、轴长是（）【答案】D2【解析】双曲线C1:x- y241的离心率为"，设F2 C,0 ,双曲线C2一条渐近线方程为-x可得F2 Mbc22.a bb ,即有 |OM4cb2 a ，由 Saomf216 , 可得 1ab16 ,即 ab 32 ,又 a2 9.已知椭圆G :。与1 a1 afb2b2 c2 ,且,叵,22a 2解得a 8, b 4, c 4店,即有双曲线的实轴长为16.故选D.8.已知F是抛物线C:y 2x2的焦点,N是x轴上一点,线段FN与抛物线C相交于点M ,uuuu uuuu若 2FM MN ,则 FN ()1A. 1B. 12【答案】DC.D.【解析】由题意得点

9、F的坐标为0,1 ,设点M的坐标8Nd。，点N的坐标a,0 ,uuuur1 uuuuaxo, yo ，所以向重：FMx0,y0 - , MN8由向量线性关系可得：3xo a, 2yo 1yo,解得：yo ,412代入抛物线方程可得：x0-6 ,则a ,124由两点之间的距离公式可得：FN 5 .故选D.8b10,b2 0有相同的焦点220与双曲线C2:与1 a2 a2曲F1，F2,点P是曲线C1与C2的一个公共点,22e , 62分别是C1和C2的离心率，若PF1 PF2，则401 02的最小值为（A.B. 4C.D. 9【答案】A【解析】由题意设焦距为2c,椭圆长轴长为2曲，双曲线实轴为2a

10、2,令P在双曲线的右支上，由双曲线的定义|PR PF2I 2a2,由椭圆定义PF1PF2 2a1 ,222又 PF1 PE, . |PF1PF2I4c2,2 2，得 PF1 2 PF2 4ai2 4a22 ,将代入，得摩a22 2c2 ,4 c22 ai2a25 2a227-22a1ai22a2259.-2故选A.2210.已知F为抛物线C:y2urn uuu uum4x的焦点，A, B, C为抛物线C上三点，当FA FB FC时,称 ABC为“和谐三角形”，则“和谐三角形”有（A. 0个B. 1个C. 3个D.无数个【解析】抛物线方程为y2 4x, A, B, C为曲线C上三点，uuiu u

11、uu uuiir当FA FB FC 0时，F为ABC的重心，i用如下办法构造 ABC ,连接AF并延长至D ,使FD 1 AF ,2当D在抛物线内部时，设 D Xo,yo ,若存在以D为中点的弦BC ,设 B m1, ni , C m2, n2 ,ni n2.则 6 m2 2x0, n 1 2y0, kBC，m1 m2n2 4m,则11 ,两式相减化为 n1 n2 ni n2 4 ,n22 4m2m1 m2kBC n1 n2_2_,所以总存在以D为中点的弦BC ,所以这样的三角形有无数个， 故选D.mi m2 yo222211.已知双曲线i：x2y2r1 a 0,b 0的左右焦点分别为Fi,

12、F2,椭圆2： 1a2 b22 34的离心率为e,直线 MN过点F2与双曲线交于 M , N两点，若cos F）MN cos FF2M ,且71M e ,则双曲线 1的两条渐近线的倾斜角分别为（）F1NA. 30 , 150B. 45 , 135C. 60 , 120D. 15 , 165【答案】C【解析】由题 cos F1MN cos F1F2M ,F1MNF1F2M ,MF1 F1F22c,由双曲线的定义可得|MF2| |MF1 | 2a 2c 2a,y一 1的离心率为:41fm|12，两=, 2NF1I 4c,x2.椭圆2：- 3NF2 4c 2a,在MF1F2中，由余弦定理的 cos

13、F1F2 M2224c 2c 2a 4c2 2c 2c 2a2c224a c 4ac2c 2c a在NFF2中，由余弦定理可得:2224c 4c 2a 16ccos F1F2 N 2 2c 4c 2aF1F2MF,F2N小cos F1F2 M22r c a a c 4accos F1F2N 0,即0,2c 2c 2c a整理得2a2 +3C2 -7nr -0设双曲线的离心率为 e,3e2 7e1 2 0,解得 G 2或 1 （舍）. 32/a b22 4 , 3a ab2,即b J3.，双曲线的渐近线方程为 a.渐近线的倾斜角为60 ,120 .故选C.12.已知22P为椭圆上上431上一个动

14、点，过点 P作圆x1的两条切线，切点分别是AB,uiu uuu则PA PB的取值范围为（A 2，B.3 562, 9C.2.2 3569D.2 2 3,如图，由题意设APB 2 ,则|PA PB1 tanuur uuurPA PBuuu uuuPA PB cos21?2 tancos21 cos21 cos2cos2 ,设 cos2t,UUU UJLUU则 PA PB2 31 t2. 1 t当且仅当1 tJ2时等号成立，此时cos2又当点P在椭圆的右顶点时,sincos21 2sin2uun uuu此时PA PB最大，且最大值1 7_971 - 9569PA PB的取值范围是2夜3,56 ,故

15、选C.9、填空题13 .已知过抛物线 y22x的焦点F,且斜率为43的直线与抛物线交于 A、B两点，则AF BFAB2【解析】由y2 2x知p 1,由焦点弦性质 j+二 -2, AF lBF P而 AF BFAF BF 1 卫1ABAF + BF1 +122'AF |BF 214 .已知椭圆。y21的左、右焦点为F1、F2,点F1关于直线yx的对称点P仍在椭a圆上，则pf1f2的周长为.【答案】2 2 2【解析】设F1 c,0 , F2 c,0 c 0 ,F1关于直线yx的对称点P坐标为0,c ,点P在椭圆上，则：3c2 1,则c b 1, a2 b2 c2 2,则a 五, a故PF1

16、F2 的周长为：|PFj |PF2 F1F2 2a 2c 2V2 2 .x2 v2umr uuur15. P为双曲线 r 1右支上一点，Fi, F2分别为双曲线的左、右焦点，且PF1 PF2 0，49直线PF2交y轴于点A,则AFiP的内切圆半径为【解析】PR PF2, 4APF的内切圆半径为r,PFiPA| |AFi 2r,PF? 2a PA AF1 2r ,- AF2 |AFi 2r 4,.由图形的对称性知：|AF2| |AFi , r 2.故答案为2.2216.已知直线l与椭圆 与 3 1 a 0,b 0相切于第一象限的点P Xo，yo ,且直线l与xa2 b2轴、y轴分别交于点 A、B

17、,当AAOBIO为坐标原点）的面积最小时，F1PF2 60 （ F1、F2是椭圆的两个焦点），若此时在PF1F2中，F1PF2的平分线的长度为 a ,则实数m的 m值是.【答案】52【解析】由题意，切线方程为 2rx ayob2Q直线l与x轴分别相交于点A,B,2aA ,0XoB0,K yoSAAOB2.2 a bxoyo2Q3a2 yo b21 2xoyoabxoyo2abS*A AOBab,当且仅当xoayob AOB（O为坐标原点）的面积最小,设PF1x, PF2由余弦定理可得4c2xy4a23xy1Sa PF1F22xysin6o32yo F与3c 236 hc 一b32cVo4 2

18、xy -b33 2Tb，瓦Tb'Q F1PF2的内角平分线长度为2m5 ,故答案为23aa )m1 _3a2 2m2a311x aym22在 15 b2 吏 b2.2m3am1与2, 23三、解答题17.设常数t2 .在平面直角坐标系 xOy中，已知点F 2,0 ,直线l : x t ,曲线y2 8x 0 x t,y 0 . l与x轴交于点A、与 交于点B. P、Q分别是曲线 与线段AB上的动点.(1)用t表示点B到点F距离;(2)设t 3, |FQ 2,线段OQ的中点在直线FP,求4AQP的面积；(3)设t 8,是否存在以FP、FQ为邻边的矩形FPEQ ,使得点E在 上？若存在，求点

19、P的坐标；若不存在，说明理由.【答案】(1) t 2; (2) Z2ZI ；(3)存在，P ,. 655【解析】(1)方法一：由题意可知：设 B t,2历,则 |bf| J t 2 2 8tt 2 , . BF| t 2 ；方法二：由题意可知：设 B t ,2 V2t ,由抛物线的性质可知:BF |BF| t 2； F 2,0FQ 2, t 3,贝U FA，Q 3, J2 ,设OQ的中点D 3,一2 2联立解得:褥，则直线PF方程：y,38x2_3x2 20x126 (舍去)，AAQP的面积7,36，(3)存在，设29y2 m,my2yT8y y2 16 'kFQ16 y28y ，直线QF方程为y16 :""8y16 :"8y一 一 24