2009年广东古镇高三第二次质量检查数学理科

1、2009年广东省古镇高三第二次质量检查 数学（理科）试卷 本试卷分第 I I 卷（选择题）、第 IIII 卷（非选择题）两部分 共 150150 分，考试时间 120120 分钟. . 第I卷（选择题共 40 分） 注意事项： 1 1 答第 I I 卷前，考生务必将自己的姓名、统考考号、座位号、考试科目用铅笔涂写在 答题卡上 2 2 每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡 皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题上 3 3 考试结束，将答题卡与第n卷交回 一、选择题（每小题 5 分，共 40 分；每小题给出的四个选项中，只有一个选项符 合题目要求，把所选项前的

2、字母填涂在答题卡上） 1 1 .设全集 U =R=R，集合 A=XX-1AC，则 CU A 是（ ） A. A. XX1 D. D. XXK 2 2若 0 0、E E、F F 是不共线的任意三点，则以下各式中成立的是 （ B. B. EF OF -OE 3.3. 设Xo是方程In x，x=4的解，贝 U U Xo属于区间（ ） A. （0 0, 1 1） B. B. （1 1 , 2 2） C. C. （2 2, 3 3） D D. . （3 3, 4 4） 4.4. 已知简谐运动f（x）=2si n（Tx+）（ 3）的图象经过点（0 0, 1 1）,则该简谐运动的最小 正周期T和初相分别为（

3、 ） A T=6, B B. Tf 1 1 C C. D D. T ， 6 3 6 3 5.5. 某工厂六年来生产某种产品的情况是：前三年年产量的增长速度越来越快，后三年 C.C. EF 二-OF OE D.D. EF 二-OF -OE A.A. B.B. C.C. D D 6.6. 已知x 0, y 0, x, a, b, y成等差数列，x, c, d, y成等比数列，则空 吐 的 cd 最小值是( ) A. 0 B. 1 C. 2 D. 4 2 7.7. 对于函数f(x)=|x+2，f(x)=(x 2)，f(x) = cos(x_2),判断如下两个命 题的真假： 命题甲：f (x 2)是偶

4、函数； 命题乙：f (x)在(-：,)上是减函数，在(2,=)上是增函数； 能使命题甲、乙均为真的所有函数的序号是( ) A. B. C. D. & &对任意实数x, y，定义运算x* y =ax by cxy，其中a,b,c为常数，等号右边的运算 是通常意义的加、乘运算。现已知 1 * 2 = 4,2* 3 = 6，且有一个非零实数 m，使得对任意 实数x，都有x*m=x，则m=( ) A A. 2 2 B B. 3 3 C C. 4 4 D D. 5 52009年古镇高中高三数学（理科）综合测试试卷 第II卷（非选择题共 110 分） 、填空题（每小题 5 分，共 30 分

5、） 答 下面第 14、15 两道题中任选一道做答，若两道题全做答，则只按前一题计算得分. 1313. 从不在圆上的一点 A A 做直线交O O O 于 B B、C C 两点，且 ABABAC=60AC=60, OA=8OA=8，则O O O 的半径等于 _ . x = t 1414.点 P P （ 3 3, 0 0）到直线丿 （其中参数 t t 是任意实数）上的点的距离的最小值 j = 2t -1 是 _ . 1515.已知 2x y 3 = 6,贝 V: x2 y2 z2的最小值是 _ 号考考统 名姓 9函数 f(x)JgWx) 細3 的定义域为 _ 密 封 线 内 不 要 1010若数列f

6、aj的前n项和&二n2 -10n（n =1,2,3,|），则此数列的通项公 式为 _ 11 11 抛物线y=-x2与直线y=5围成的图形的面积是 _ 1212.如下图，第（1 1）个多边形是由正三角形 扩展 而来，第（2 2）个多边形是由正方形 扩展”而来，如此类推 设由正n边形 扩展”而来的多边形的边数为 an ,则 a6 二 级班 校学 WWWWWW 三、解答题(共 80 分解答题应写出推理、演算步骤) 16 16 .(本题满分 1212 分) 已知函数 f (x) =sin(2x ) sin(2x ) cos2x a(a ：二 R, a 为常数) 6 6 (I) 求函数的最小正周

7、期； (II) 求函数的单调递减区间； (IIIIII)若x0 三时,f(x)的最小值为-2,求 a 的值 17 17 .(本题满分 1212 分) 设函数f (x ax3 bx2 4cx d的图象关于原点对称，f(x)的图象在其上一点 3 P(1,m)处的切线的斜率为 -6，且当x = 2时f(x)有极值. ( (I ) )求a、b、c、d的值； ( (n ) )求f(x)的所有极值. 18 18 .(本题满分 1414 分) 如图，四棱锥 P P ABCDABCD 的底面是正方形，侧面 PADPAD 垂直底面 ABCDABCD，且 PADPAD 为正 三角形，E E为侧棱 PDPD 的中点

8、. (I) 求证：AEAE 丄平面 PCD PCD ; (II) 求平面 PABPAB 与平面 PDCPDC 所成二面角的大小； (III III )求直线 PBPB 与平面 PDCPDC 所成角的正弦值. a, b ?若存在，求实数a _4 4 b的值；若不存在，说明理由. 19 19 .(本题满分 1414 分) 制定投资计划时，不仅要考虑可能获得的盈利，而且要考虑可能出现的亏损 某投资人打算 投资甲、乙两个项目 根据预测，甲、乙项目可能的最大盈利率分别为 100100%和 5050%，可能 的最大亏损分别为 3030%和 1010% . .投资人计划投资金额不超过 1010 万元，要求确

9、保可能的资金 亏损不超过 1.81.8 万元 问投资人对甲、乙两个项目各投资多少万元， 才能使可能的盈利最大？ 20 20 .(本题满分 1414 分) 有一幅椭圆型彗星轨道图，长 4 4cmcm，高2.、3cm，如下图，已知 O O 为椭圆中心，A Aj, A A2 是长轴两端点，太阳位于椭圆的左焦点 F F 处. . (I)建立适当的坐标系，写出椭圆方程，并求出当彗星运行到太阳正上方时二者在图 上的距离； (H)直线 I I 垂直于 A A1A A2的延长线于 D D 点，|OD|=4|OD|=4，设 P P 是 I I 上异于 D D 点的任意一点， 直线 A A1P P, A A2P

10、P分别交椭圆于 M M、N N (不同于 A A1, A A2)两点，冋点 A A2能否在以 MN MN 为直径的圆上？试说明理由 2121.(本小题满分 1414 分) (I)求f (x)的极值; (II(II)求证f(x)的图象是中心对称图形； (III (III )设f (x)的定义域为D, ,是否存在la,bD 当x a.bl时，f (x)的取值范围是 已知函数 f (x) = In x -2 x - T 2 a = 2,c - -2 . 6 分 2009年古镇高中高三数学（理科）综合测试试卷 参考答案 、选择题 二、填空题 1)f(x) =2S2xCOS6 COS2x a3sin2x

11、 COS2x “2sin(2x 6 a 2兀 f（x）的最小正周聊尹二 3 i i 2 - 2 2)当2k 2x 2k 即 k x乞k (k Z)时，函数 f (x)单 2 6 2 6 3 调递减，故所求区间为k ,k (k Z) 6 3 7 - (3) X 0,二时,2x ，- x 时 2 6 6 6 2 f (x)取得最小值.2sin ) a = -2. a = -1 2 6 17 （本题满分 1414 分） 解：（I ）由函数f（x）的图象关于原点对称，得 f（-x）=-f（x）, .-ax3 bx2 -4cx d - - a x3 -bx2 -4cx - d，二 b = 0,d = 0

12、 . . 2 分 3 3 .f (x)二旦 x3 4cx f (x) = ax2 4c . 3 . f(1) = a 4c6，即6 f (2) = 4a 4c = 0 4a 4c = 014 BBCA 5814 BBCA 58 ADCDADCD 13132 2 或 2 .31 1010、 1414. . . 5 5an = =2n -11 1515. 18 7 1111、 12. 12. _42_ ； 97 300 三、 解答题 16 （本小题满分 1212 分） 1212 分 2 3 2 2 ( (n ) )由( (I ) ) 知 f (x) x -8x , f(x)=2x 8 = 2(x

13、-4). 3 由 f (x) 0,得 x2 x (_oO, _2 ) - 2 (-2,2) 2 (2, + 找 f (x) 0 0 + 0 0 f(x) 极小 / 极大 -4 0 , x 2 或 x ： -2 . ) 1212 分 8分 32 3 32 - f（x）极大二 f（2）盲；（X）极小二 f 18 证明：（I I）在正丄PAD中，E是PD的中点， 又面 PAD _面ABCD，面 PAD 面ABCD 而AE 面 PAD，所以CD _ AE 所以由PD CD = D，有AE _面 PDC . （IIII）取正 PAD的底边AD的中点O ,连接PO，贝U PO _ AD . 所以AE _

14、PD . 二 AD , CD _ AD，所以 CD _ 面 PAD . 又面 PAD _面 ABCD，所以P0 _面 ABCD . 如图，以点O为坐标原点，DA为x轴，OP为z轴, 建立空间直角坐标系设 AD = 2a，则有A（a,0,0）， P(0,0伍),B(a，2a，0) , D), E送0 2 AB =(0,2a,0). n AP ，即 n AB =0 ), y 再设n =（x, y,z）是面PAB的法向量，则有x zv 一ax 3az = 0， 可设 n*3,o,1). 2ay =0 3 Y 3 又AE =（ a,0, a）是面PDC的法向量，因此 2 2 - AE n 1 cos

15、： AE, n | AE M n | 2 所以：:AE,n =120，即平面 PABPAB 与平面 PDCPDC 所成二面角为60 . （川）由（IIII）知PB =（a,2a,i 3a），设PB与面PDC所成角为二，则 sin r二丨PB AE 6所以PB与面PDC所成角的正弦值为 6 | PB | | AE | 4 4 f (X)的取值范围是不可能是 靑. 19 (本题满分 1414 分) 解!设投资人分别月“方元、y万元投资W、乙购个顼目. 严Kh 由葩知書+f X yO* 目标确歎需+0.5” 上述不第我繼袁示的平面医城如图所示，阴够部分F常边界)即可行塢 作寛统3 *0- 5了 “併

16、作平行于取31 *的-ffl ftSJ! * +0+ 5y JtjF* R Rp 与可中有条宜缄絵过可行ttt上的M点,目 与找怨A- + 0. Sy = 0的距离駁丸这菠静点雄直妓 jr+ylO W0.3*+0. lyuLft 的交总 i = 10, 0.3it + 0. ly *8t 得 M 4I ”6. 此时“】x4+Q,5x6=7(Jf). v7 0t 儿岂叭严6时工取iftflt大血 答:投資人用d万元投资甲顼冃.6万元投资乙项目才BB 在确像寸撇奉超过L8?*的前箍下,便可龍的盈利最 尢 2b = 2 一 3, a = 2,b = 3,. c = 1, 2 2 椭圆方程为=1=1

17、4 3 20解：(I I)建立图示的坐标系，设椭圆方程为 2 2 X y 2 2 = 1（a b 0）,依题意，2a=42a=4, a b F (- 1 1, 0 0)将 x= x= 1 1 代入椭圆方程得y二3, 2 当彗星位于太阳正上方时，二者在图中的距离为 ()由(I I)知，A A1 ( 2 2, 0 0), A A2 (2 2, 0 0), 设 M M ( X0,y0),常M在椭圆上， 2 3 2 y。 (4-x) 4 又点 M M 异于顶点 A A , A A ,. 一 2 2 x x 2 2, 1.5 1.5 cm . 6 分 由 P P、M M、A A1三点共线可得 P P（4

18、, 6y。) x。 2 6y0 A2 ),A2PC 2 - Xo、0,. A2 M AP、0, P P、A A?、N N 三点共线，.直线 A A2M M 与 NANA2不垂直， 点 A A2不在以 MNMN 为直径的圆上 . 1414 分 21解：山= 4(XXC 注意到=，即X (一)， 解 X(X 得x=6或x=0 所以当X变化时，f/(x), f(x)的变化 4(x _2)(x -4) 情况如下表: X (- ,0) 0 (0, 2) (4,6) 6 (6,址) f/(x) + + 0 0 一 一 0 + f(X) 递增 极大值 递减 递减 极小值 递增 1 3 所以f (0) = In 3是f (X)的一个极大值，f (