221综合法和分析法(12)-副本

1、演绎推理是证明数学结论、建立数学体演绎推理是证明数学结论、建立数学体系的重要思维过程系的重要思维过程. .数学结论、证明思路的发现数学结论、证明思路的发现, ,主要靠合主要靠合情推理情推理. .复习推 理合情推理（或然性推理）归纳(特殊到一般）类比（特殊到特殊）演绎推理（必然性推理）三段论（一般到特殊）2.2直接证明数学组数学组茂名市第十七中学茂名市第十七中学 韦文红韦文红直接证明直接证明1 1 概念概念 直接从原命题的条件逐步推得命题成立直接从原命题的条件逐步推得命题成立2 2 直接证明的一般形式：直接证明的一般形式：本题结论已知定理已知公理已知定义本题条件例例: :已知已知a0,b0,a0

2、,b0,求证求证a(ba(b2 2+c+c2 2)+b(c)+b(c2 2+a+a2 2) )4abc4abc因为因为b b2 2+c+c2 2 2bc,a0 2bc,a0所以所以a(ba(b2 2+c+c2 2) )2abc.2abc.又因为又因为c c2 2+b+b2 2 2bc,b02bc,b0所以所以b(cb(c2 2+a+a2 2) ) 2abc.2abc.因此因此a(ba(b2 2+c+c2 2)+b(c)+b(c2 2+a+a2 2) ) 4abc.4abc.证明证明: :2.2.12.2.1 综合法和分析法综合法和分析法(1)(1) 一般地，利用已知条件和某些数学一般地，利用已

3、知条件和某些数学定义、公理、定理等定义、公理、定理等, ,经过一系列的推经过一系列的推理论证理论证, ,最后推导出所要证明的结论成最后推导出所要证明的结论成立立, ,这种证明方法叫做这种证明方法叫做综合法综合法 用用P P表示已知条件、已有的定义、公表示已知条件、已有的定义、公理、定理等理、定理等,Q,Q表示所要证明的结论表示所要证明的结论. .则综则综合法用框图表示为合法用框图表示为: :1 1P PQ Q1 12 2Q QQ Q2 23 3Q QQ Qn nQ QQ Q2bac由由a,b,ca,b,c成等比数列，有成等比数列，有 3B由，得， ABC因为因为A,B,CA,B,C为为 ABC

4、ABC的内角，所以的内角，所以 2B=A+C 2B=A+C 证明：由证明：由A,B,CA,B,C成等差数列，有成等差数列，有例例1 1：在：在中，三个内角、对中，三个内角、对应的边分别为应的边分别为a a、b b、c c，且、成等，且、成等差数列，差数列，a a、b b、c c成等比数列，求证成等比数列，求证为等边三角形为等边三角形由余弦定理及，可得由余弦定理及，可得222222cosbacacBacac再由，得再由，得22,acacac即即2()0.ac因此因此 a=ca=c从而从而 A=C A=C 由由 ，得，得 3ABC所以所以ABCABC为等边三角形为等边三角形. .引例引例2 2：回

5、顾基本不等式：回顾基本不等式： (a0,b0)(a0,b0)的证明的证明. .a a + + b ba ab b2 2证明证明: :因为因为: : 所以所以所以所以所以所以 成立成立()b 20a a 20a a + + b ba ab b 2a a + + b ba ab b a a + + b ba ab b2 2证明证明: :要证要证只需证只需证: :只需证只需证: :只需证只需证: :因为因为: : 成立成立所以所以 成立成立 a a+ +b ba ab b2 2 2a a+ +b ba ab b 20a a+ +b ba ab b()b 20a a()b 20a aa a + + b

6、 ba ab b2 2直接证明（数学理论）直接证明（数学理论）上述两种证法有什么异同？上述两种证法有什么异同？都是直接证明都是直接证明证法证法1 1 从已知条件出发，以已知的定义、公理、从已知条件出发，以已知的定义、公理、定理为依据，逐步下推，直到推出要证明的结论定理为依据，逐步下推，直到推出要证明的结论为止为止 综合法综合法相同相同不同不同 证法证法2 2 从问题的结论出发，追溯导致结论成立的从问题的结论出发，追溯导致结论成立的条件，逐步上溯，直到找到一个明显成立的条件条件，逐步上溯，直到找到一个明显成立的条件为止为止. . 分析法分析法 一般地，从要证明的结论出发，逐步一般地，从要证明的结

7、论出发，逐步寻求推证过程中，使每一步结论成立的充寻求推证过程中，使每一步结论成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件（已知条件、为判定一个明显成立的条件（已知条件、定理、定义、公理等）为止，这种证明的定理、定义、公理等）为止，这种证明的方法叫做方法叫做分析法分析法 特点：特点：执果索因执果索因. .用框图表示分析法的思考过程、特点用框图表示分析法的思考过程、特点. .1 1QPQP2323PPPP1212PPPP得到一个明显得到一个明显成立的条件成立的条件例例2 2 求证求证372 5课本课本8989页练习页练习2.2.求证求证

8、672 25.直接证明直接证明小结：小结：综合法综合法已知条件已知条件结论结论分析法分析法结论结论 明显成立的条件明显成立的条件 分析法分析法 解题方向比较明确，解题方向比较明确， 利于寻找解题思路；利于寻找解题思路； 综合法综合法 条理清晰，易于表述。条理清晰，易于表述。作业：金版学案作业：金版学案2.2.12.2.1的例题的例题和选择填空题和选择填空题. .2 22 22 22 22 2例例 . . 已已 知知 , , k k + +( (k kZ Z) ), ,且且2 2 s si in n + + c co os s = = 2 2s si in n s si in n c co os

9、 s = = s si in n 1 1 - - t ta an n 1 1 - - t ta an n 求求 = =. .1 1 + + t ta an n 2 2( (1 1 + + t ta an n ) )证证:1 1QPQP2323PPPP1212PPPP得到一个明显得到一个明显成立的条件成立的条件也可以是经过也可以是经过证明的结论证明的结论例：设抛物线例：设抛物线y y2 2=2px(p0)=2px(p0)的焦点的焦点为，经过点的直线交抛物线于为，经过点的直线交抛物线于、两点，点在抛物线的准线、两点，点在抛物线的准线上，且上，且x x轴（如图），证明轴（如图），证明直线经过原点直线经过原点42-2-4-65B BA AC CO OF F作业：作业：组，组组，组为数证例例: :. .已已知知a a、b b、c c不不全全相相等等的的正正，b b