大学高数试卷及答案

1、浙江农林大学2021-2021学年第一学期期中考试课程名称：高等数学I课程类别:必修考试方式:闭卷考前须知：1、本试卷总分值100分。2、考试时间120分钟题号-一一二二二-三四五六七得分得分得分评阅人选择题在每题的四个备选答案中，选出一个正确答案，并将正确答案的选项填在题:号学：名姓级班业专：院学后的括号内。每题3分，共21分Asin xsin x 11A. lim1 B. lim0C. lim 1 -eD. lim 1 一exxx 0 xxxxxxx1 以下各式正确的选项是：2. 当x 0时，与匸等价的无穷小量是：A.1 x/x 1 B. ln C.1 exD. 1 cosTX1 Vx3.

2、 设fx在x a的某邻域有定义，那么它在该点处可导的一个充分条件是：.1卄齐 of a 2h f a h卄卄A. lim h f a f a存在 B. lim存在hhh 0hC.limi存在 D.lim f卫存在h 02hh 0h题答要不内线订装4. 函数y 3x3 x在区间0,1上的最小值是：A.0B.没有 C.2 D. 295. 函数y 1 x2在区间1,1上应用罗尔定理时，所得到的中值A.OB.1C. 1D.26.设函数fxaxb(1 x2)x0处处可导，那么:0()A. a b 1B. a 2,b1C. a 0,b 1D. a 1,b 0、填空题每题3分，共21 分(x sinx)22

3、.极限limn2 2n21. n222n2=n得分7.设x a为函数y f x的极值点，那么以下论述正确的选项是A. f (a) 0B. f (a) 0C. f (a) 0D.以上都不对23x cos x 11. 极限limx3.设函数fx=x2 3x 10xx 2ax、求以下极限每题6分，共18分1.求极限limx 01 xsinx得分ex22.求极限limxx 1222在点x=2处连续，那么a24. 函数fx 且的间断点为.sin x5. 函数y 2x2 ln x的单调减区间为.6. 设函数 y ln tan x，那么 dy .x a cost7. 椭圆曲线在t 相应的点处的切线方程为y

4、bsint 4得分113.求极限lim二-x 0 xxta n x四、计算以下导数或微分每题分6,共18分1.设函数 y (2 x)2 In(exSdx2.设yf (x)是由方程arctan - yInx2y2确定的隐函数，求dx2 .3.计算函数y 丄x的一阶导数.1 x五、(此题6分)求函数y (x 5)：7的凹凸区间与拐点.2得分六、(此题6分)设函数f(x)在(,)上二阶可导，函数0点二阶可导.g(x) aX bx c x 0，试确定常数a,b,c的值，使得函数g(x)在x f (x) x 0得分七、(此题5分)证明：当x 0时，1 xln(x . 1 x2), 1 x2 .得分八、(

5、此题5分)设函数f (x)在0,3上连续，在(0,3)内可导，且f (0) f(1) f (2) 3，f(3) 1.试证：必存在一点(0,3)，使得f'( ) 0.浙江农林大学2021-2021学年第一学期期中考试参考答案、单项选择题DBDDACD、填空题每题3分,共 21 分)1.12 . 2;3. 7； 4.k ,k 0,1, 2丄；5. (0, 2);2csc 2、x6. dx ; x7. ay bx , 2ab 0三、求以下极限每题6分，共18分1.求极限 lim 1 xSinx 1x 0ex1解：原式=limx 0xsinx2 .2xsin x lim x 0 2x122.

6、求极限limx解：原式=limxx 1263 6x2=limxlimex3eT13.求极限lim(飞x 0 xxtan x> tanx x解：原式=limx 0x2 tan xXm0tan x x3x1 lim - x 0 3xcos2 x2cosxsin x 1 = limx 0 6x 3四、计算以下导数或微分每题分 6,共18分1.设函数y 2x)2ln(ex, 1 e2x),求矽与 dy.dxdy2(2x)2(2x)xeTdx.1 e2x2.设ydx2 .f x是由方程arctanx ln x2 y2确定的隐函数，求 y解：方程两边同时对变量x求导并化简可得：y xy x yy从而

7、得到：y上式继续对变量X求导可得:xy1 y y yy化简上式并带入y'可得：y2(x2y2)3y x3. 计算函数y "x的一阶导数.解：两边同时取对数得：In yxl忙xln xln(1x)(2分)两边同时对x求导得：工lnyx ln(1 x)x-x(5分)从而得y yln xx 1 x 1五、此题6分求函数yxxln(15(x -)21 )lnx x 1 x 13 x2的凹凸区间与拐点(6解：函数的定义域为、5(x 1)5(2 x 1)，挤，右12, y 0，x 0, y 不存在。可知 y (x 5) , x2 函数 y (x 5) x2 在(1, 0)和(0,2 2内

8、是凸的，拐点为(1, 3 3 2). 6分2 21)上是凹的，在(，2)六、(此题6分)设函数f (x)在()上二阶可导，函数g(x)ax2 bx c x f(x) x0，试确定常数0a, b, c的值，使得函数g(x)在x 0点二阶可导.又由g(x)在x 0点二阶可导可得：g''(0)2ax b f (0)f (0) g (0) lim2a，从x 0 x 0解：因为g(x)在x 0点二阶可导，所以，g(x)在x 0点一阶可导、连续由g(x)在x0点连续可得：lim g(0) f (0)limg(0) c，从而cf(0)2分x0x 0由g(x)在x0点可导可得：1g(0) f&

9、#39;(0) g'(0)2i ax limbx cf(0)b，从而x 0x 0b f (0)4分从而可知：'“、2ax bg (x)，x0f (x)x0而 2a f "(0)6 分七、(此题5分)证明：当x 0时，1 xln(xx2). 1 x2 .证明：令 f (x) 1 xln(x 1 x2)1 x2，那么 f (0) 0 1 分因为f'(x) ln(x、厂x2)0,从而f (x)在x 0时单调递增，3分从而 f (x) f (0) 0，从而 1 xln(x1 x2) -1 x2 5 分八、(此题5分)一点 (0,3)，使得 f'( )0.证明：因为函数f(x)在0,3上连续，从而函数f (x)在0,2上连续,故在0,2上有最大值和最小值，分别设为 m,M