复数代数形式的加、减运算及其几何意义(20210929142021)

1、复数代数形式的加、减运算及其几何意义教学目标:知识与技能：掌握复数的加法运算及意义过程与方法：理解并掌握实数进行四那么运算的规律，了解复数加减法运算的几何意义情感、态度与价值观：理解并掌握复数的有关概念复数集、代数形式、虚数、纯虚数、实部、虚部理解并掌握复数相等的有关概念；画图得到的结论，不能代替论证，然而通过对图形的观察，往往能起到启迪解题思路的作用教学重点：复数加法运算，复数与从原点出发的向量的对应关系.教学难点：复数加法运算的运算率，复数加减法运算的几何意义。教具准备：多媒体、实物投影仪。教学设想：复数有复平面内惟一的一个点和它对应；反过来，复平面内的每一个点，有惟一的一个复数和它对应。

2、 复数z=a+bia、b R与有序实数对a, b是 对应关系这是因为 对于任何一个复数 z=a+bia、b R，由复数相等的定义可知，可以由一个有序实数对a,b惟一确定教学过程：学生探究过程：1 ；2实数可以与它进行四那么运算，即方程x2= 1的一个根，方程x2= 1的4n .i =11. 虚数单位i：i它的平方等于-1，即i2进行四那么运算时，原有加、乘运算律仍然成立2. i与一1的关系：i就是一1的一个平方根, 另一个根是i.3. i 的周期性：i4n+1=i, i 4n+2=-1,i 4n+3=-i,4.复数的定义：形如a bia,b R的数叫复数，a叫复数的实部，b叫复数的虚部全 体复

3、数 所成的集合叫做复数集，用字母 C表示*3. 复数的代数形式：复数通常用字母z表示，即z a bia,b R，把复数表示成a+bi的形式，叫做复数的代数形式4. 复数与实数、虚数、纯虚数及 0的关系：对于复数 a bia,b R，当且仅当b=0 时，复数a+bia、b R是实数a;当b*0时，复数z=a+bi叫做虚数；当a=0且b*0时， z=bi叫做纯虚数；当且仅当 a=b=0时，z就是实数0.5. 复数集与其它数集之间的关系：阻空0雇C.6. 两个复数相等的定义：如果两个复数的实部和虚局部别相等，那么我们就说这两个复数相等.即：如果 a, b, c, d R,那么 a+bi =c+dia

4、=c, b=d.般地，两个复数只能说相等或不相等，而不能比拟大小.如果两个复数都是实数，就Z(a , b)0(0 , 0),它所确定的复数复数z a bi一一对应复平面内的点Z(a,b)这是因为，每一个复数有复平 面内惟一的一个点和它对应；反过来，复平面内的每一个点，有惟一的一个复数和它对应这就是复数的一种几何意义8.假设 A(x, y) , 0(0,0).也就是复数的另一种表示方法，即几何表示方法uuu，那么 OA x, y9假设 a(xi, yi) , b(X2,y2)，那么 a b (xi X2,yi y?),a b (xi X2,yiy2)可以比拟大小.只有当两个复数不全是实数时才不能

5、比拟大小7. 复平面、实轴、虚轴:点Z的横坐标是a,纵坐标是b,复数z=a+bi (a、b R)可用点Z(a, b)表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，也叫高斯平面，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴实轴上的点都表示实数对于虚轴上的点要除原点外，因为原点对应的有序实数对为 是z=0+0i =0表示是实数.故除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数复数集C和复平面内所有的点所成的集合是对应关系，即两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差i0.假设 A(xi,yj , B(X2,y2)，那么 AB X2 Xi, y? y一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去始点的坐

6、标即 AB =0B OA =( x 2, y2) (x i,y i)= (x 2 xi, y 2 y 1) 讲解新课:复数代数形式的加减运算1.复数 zi 与 Z2 的和的定义：zi+z2=(a+bi)+( c+di )=( a+c)+( b+d) i .2. 复数 zi与 Z2的差的定义：zi-Z2=(a+bi)-( c+di )=( a-c)+( b-d) i .3.复数的加法运算满足交换律：zi+Z2=Z2+zi.证明：设年=弐乜“爲=弐址'(吕b-_,耳，氏尺).孔十丁尸(逊+山H)+ (弧亠氏)=(S+迂)+ (氐4比J金比+有 G+b(b+bd)=(氏+)+(辰+亦乩又为卜

7、弍二逮&；+/?：=氏+1l瓷乜£汁灭貝腹数的加法运算満足交撤律.4.复数的加法运算满足结合律:(Zl+Z2)+Z3=Zl+(Z2+Z3)证明：设zi=ai+bii.Z2=a2+b2i,Z3=a3+b3i(ai,a2,a3,bi,b2,b R). (zi+Z2)+z3= (ai+bii)+( a2+b2i) +(a3+b3i)=(ai+a2)+( bi+b2)i: +(a3+b3) i=(ai+a2)+ a? + (b+b2)+ 5 i=(ai+a2+a3)+( bi+b2+b3) i .Zi+(Z2+Z3)=( ai+bii)+ (az+bzi)+( as+bsi)=(ai

8、+bii)+ (a2+a3)+ (b2+b3) i =ai+(a2+a3) + bi+(b+b3) i=(ai+a2+a3)+( bi+H+bs) i (ai+a2)+a3=ai+(a2+a3), (bi+b2)+ b3=bi+( b2+b3).(Zi+Z2)+Z3=Zi + (Z2+Z3).即复数的加法运算满足结合律讲解范例：例 i 计算：(5-6i)+(-2-i)-(3+4i)解：(5-6i)+(-2-i)-(3+4i)= (5-2-3)+(-6-i-4) i= ii i -例 2 计算：(i 2i )+( 2+3i )+(3 4i )+( 4+5i )+( 2002+2003i )+(2

9、003 2004i)解法一：原式 =(i 2+3 4+2002+2003)+( 2+3 4+5+ -+2003 2004i )=(2003 iO0i)+(iO0i 2004) i =i002 i003i .解法二： (i 2i )+( 2+3i )= i+i ,(3 4i)+( 4+5i )= i+i ,(200i 2002i )+( 2002+2003) i = i + i .相加得(共有1001个式子)：原式=1001( - 1+i)+(2003 - 2004i)=(2003 - 1001)+(1001 - 2004) i =1002 - 1003i.复数代数形式的加减运算的几何意义复数的

10、加(减)法(a+bi) ± c+di )=( a±c)+( b±d) i .与多项式加(减)法是类似的就是把复数的实部与实部，虚部与虚局部别相加1.复平面内的点Z(a,b)对应uuu平面向量OZ2.复数z a bi一一对应uuu平面向量OZ3.复数加法的几何意义:设复数z1=a+bi , Z2=c+di，在复平面上所对应的向量为OZj、OZ2 ,即OZj、OZ2 的坐标形式为OZ1 =(a, b) , OZ2 =(c, d)以OZ1、OZ?为邻边作平行四边形 OZZZ2,那么对角线OZ对应的向量是OZ ,OZ = OZ1 +OZ2=(a, b)+( c, d)=(

11、 a+c, b+d) = (a+c)+( b+d)i4.复数减法的几何意义：复数减法是加法的逆运算，设z=(a- c)+( b-d)i，所以z -Z1=乙，Z2+Z1=z,由复数加法几何意义， 以OZ为一条对角线，0Z1为一条边画平行四边形,那么这个平行四边形的另一边0Z所表示的向量 0Z2就与复数z- Z1的差(a-c)+( b- d)iuuuuiuur对应由于OZ2 乙Z，所以，两个复数的差z-Z1与连接这两个向量终点并指向被减数的向 量对应.例3复数Z1=2+i , Z2=1+2i在复平面内对应的点分别为A B,求AB对应的复数z,z在平面内所对应的点在第几象限？解：z=z2- z!=(

12、1+2 i) - (2+ i )= - 1+i , z 的实部 a=-1< 0，虚部 b=1> 0,.复数z在复平面内对应的点在第二象限内点乐任何向量所对应的复数，总罡这个向量的终点所对应的复数滅去始点所对应的复数所得的恙 即石所表示的复数是 、而殆所表示的复数是盤-知故切不可把被屈数与融搞错尽管冋量石的位贵可以不同，只婪它们的终点与皓点所对应的复数的差相同那么向量益所对应的复数是惟一 的，因此我们将复平面上的向量称之自由向量丿貝陀只与其方向和长度有关，而与位墨无矢例4 复数zi=1+2i , Z2= 2+i , Z3= 1 2i，它们在复平面上的对应点是一个正方形的三个顶点，求这

13、个正方形的第四个顶点对应的复数分析一：利用AD BC ,求点D的对应复数为 x+yi (x, y R)，是:解法一：设复数zi、Z2、Z3所对应的点为 A B、C,正方形的第四个顶点D对应的复数AD OD OA=( x+yi)(1+2 i )=( x 1)+( y 2) i ;BC OC OB=( 1 2i) ( 2+i )=1 3i. AD BC，即(x 1)+( y 2) i =1 3i ,x 1 1,x 2,解得y 23, y 1.故点.丹对应的复数为2-i.分析二：利用原点0正好是正方形曲的中心来解解法二 因为点白与点芒关于原点对称所以竦点0初正万形的中心于是(-出)+ (x+yi )

14、=0 , x=2, y= 1.故点D对应的复数为2 i.点评：根据题意画图得到的结论，不能代替论证，然而通过对图形的观察，往往能起到 启迪解题思路的作用稳固练习：1. 复数Z1=2+i ,Z2=1+2i ,那么复数z=Z2 Z1在复平面内所表示的点位于A. 第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2. 在复平面上复数3 2i , 4+5i ,2+ i所对应的点分别是 A B、C,那么平行四边形 ABCD的对角线BD所对应的复数是A.5 9iB. 5 3iC. 7 11iD. 7+11i3. 复平面上 AOB勺顶点A所对应的复数为1+2i ,其重心G所对应的复数为1+i ,那么以OA OB为

15、邻边的平行四边形的对角线长为A.3 . 2B.2 . 2C.2D. . 54. 复平面上三点 A、B C分别对应复数1，2i,5+2i,那么由A、B、C所构成的三角形是A.直角三角形B.等腰三角形C.锐角三角形D.钝角三角形5. 一个实数与一个虚数的差()A.不可能是纯虚数B.可能是实数C.不可能是实数D.无法确疋疋头数还疋虚数6.计算(23i)(.3 2i) ( 3. 2)(.3. 2)i =7. 计算：(2x+3yi) (3x 2yi)+(y 2xi ) 3xi =(x、y R).8. 计算(1 2i) (2 3i)+(3 4i )(2002 2003i ).9. 复数 Z1=a2 3+(a+5)i ,z2=a 1+(a2+2a 1)i(a R)分别对应向量 0乙、O乙(O为原点)，假设向量 乙Z2对应的复数为纯虚数，求 a的值.解：爲石对应的复数为那么会St二呂1+(总十2右1)白"铢a +2)+(+a- 6) J丁筑筑是範虚数口一口' + 2二 0 “心 'J r解潯于一 1a*亠口一百才010. 复平面上正方形的三个顶点是A( 1, 2)、B ( 2, 1 )、C( 1, 2),求它的第四个顶点D对应的复数.解：设D (x, y),那么AD OD OA对应的复数为(x+yi) (1+2i )=( x 1)+( y 2