利用洛必达法则来处理高考中恒成立问题

1、导数结合洛必达法则巧解高考压轴题法则1若函数f(x)和g(x)满足下列条件：(1) lim f(x)=0及limg(x)=0； (2)在点a的去心邻域内，f(x) 与g(x)可导且g'(x) wO ；(3) lim f ")= l ,那么x >a g xlim HimX皿g x x皿g x法则2若函数f(x)和g(x)满足下列条件：(1)limf(x) = 0及lim g(x)=0 ; (2)三A>0,f(x) 和 g(x)在(*,A)与(A& )上 可导，且 g'(x) W0;(3) limf- = l ,那么x :g xlf)=limSl。x

2、:g x x : g x法则3若函数f(x)和g(x)满足下列条件：(1) lim f (x )=°°及lim g (x ) = °° ; (2)在点 x 声x >aa的去心邻域内,f(x) 与g(x)可导且g'(x) wO ;(3) lim f ")= l ,那么g xlimx 阻= limS=l g x利用洛必达法则求未定式的极限是微分学中的重点之一，在解题中应注意：1.将上面公式中的xa, x-oo换成 x一+8, x-oo, xt a +, xT a1洛必达法则也成立。2 .洛必达法则可处理。，二，。8,I-, co ，n

3、，汜型。03 .在着手求极限以前，首先要检查是否满足0,二，08 , 1、g 0, 00,8-8型定0式，否则滥用洛必达法则会出错。当不满足三个前提条件时，就不能用洛必达法则，这时 称洛必达法则不适用，应从另外途径求极限。4.若条件符合，洛必达法则可连续多次使用，直到求出极限为止。二.高考题处理1.(2010年全国新课标理)设函数f (x)=e再 令 h (x ) = (x2 + 1 )ln x x2 +1 ( x a 0,x #1 ), 贝 h'( 肉 2 lx n1 x x11 ,h (x) = 2ln x +1,易知 h (x)=2ln x+1=在(0,收)上为增函数，且 h (

4、1)=0;故当xxxq0,1)时，h"(x)<0,当 xw (1, 十七)时，h"(x)0;二h'(x)在(0,1 )上为减函数，在(1,+°° )上为增函数；故h-x>>h'=0二 h(x)在(0,)上为增函数h(1 )=0 二当 xw (0,1)时，h(x)<0,当 xw (1, +00)时, h(x )>0/.当 xw (0,1)时，g'(x)<0,当 xw (1, +°°)时，gx)> 0，g(x心(0,1)上为减函数，在(1,收)上为增函数 1x ax2。(

5、1)若a=0,求f(x)的单调区间；(2)若当x“时f(x)占0,求a的取值范围解：(II)当x=0时，f(x)=0,对任意实数a,均在f(x)之0；当x>0时，f(x)之0等价于 xxx xx x x -"1人a 一x -'1xa 一 2a x 2人a Me2令 g(x)=e2一(x>0),贝 1g(x) = -ee3 , 令xxxx xx x.xh (x ) = xe -2e +x+2(x>0),贝 Uh(x) = xe -e +1, h'(x )=xe > 0 ,知h'(x)在(0,)上为增函数，h x)a h'(0)=

6、0 ;知h( x)在(0,依)上为增函数，xxxe _x _1 e e困x2=l叫力血效h(x)>h(0)=0 ; .g'(x)A0, g(x)在(0,2 )上为增函数。由洛必达法则知，1 一 1 11 ,故aw，综上，知a的取值范围为I2222. ( 2011年全国新课标理)已知函数，曲线y= f(x)在点(1,f(1)处的切线方程为In x kx+2y3=0。(I)求 a、b 的值；(H )如果当 xa0,且 x#1 时，f (x) >+ ，求k 的x -1 x取值范围。解：(II)由题设可得，当xA0,x=1时，k<红华+1包成立。1 -x2令 g (x)=2x

7、ln x2- +1(x >0,x #1),则 g (x )=21 一 xx2 1 In x - x2 12，2 21-x洛必达法则知limg x =2则x_1x_1x In xkilm1 ln x 12x1=21=02,k M0,即k的取值范围为(-8，03 .已知函数f(x)=x (1+a)lnx 在x=1时，存在极值。(1)求实数a的值；(2)若x>1, mlnx>f(x)-1成立,求正实数m的取值范围x-1x - ln x -1斛：mln x :二x -1x Tn x -1 m (x -1)ln x(x-1) ln x(x -1)ln x (x -1)ln x1ln x

8、1，、=g (x) x-1g(x)=(lnx)-1+ (x-1),则 g(x)=-22x ln x (x-1)22x(lnx) -(x-1)x(x -1)(lnx)212 / 8h(x)= x(ln x)2(x1)2 h'(x) = (ln x)2+2ln x 2x+ 2,令 r(x) = h'(x),贝，N(x) = 21n x2-2x ,令 xM (x) =r(x),/、,、_ 2-2xtx)<0,则，r(x)为减,x且r(1)=0，则h (x)为减，且g(x) 在 x=1 处h(1)=0，则g(x)为减，这样,g(x)<g(1),而 g(1)g(xx _1 _

9、一匕(x-1xl n - xi- = m 1x x»x 洋一11 1x - / l imJ x x 1 x -用 罗 比 达 法 则，121 P = -1m ,贝 U m1/2.x : x n1l n4 .已知函数f(x)= ex,曲线y=f(x)在点(x0,y0)处的切线为y=g(x).(1)证明：对于-x1R, f(x) >g(x);(2)当x2时，f(x)之1 +2，恒成立，求实数a的取值范围。1 xxx , 2解：分离变量：awe(1 x)(1 x)=h(x)，去导数,hx)=e-(一x1) 1(x>0),分 xx子 r(x)= ex(x2 +x-1)+1,(x0

10、,空)，扩展定义域,求导 r'(x)=ex(x2+3x)之0,可知，r(x) 为定义域内增函数，而 r (x)2r(0)=0.所以h1x)0.为增函数。则a<h(0)不 存在，罗比达法则可得为 1练习1. 2006年全国2理设函数f(x)=(x+ 1)ln(x+1),若对所有的x>Q都有f(x)方x成立，求实数 a的取值范围.2. 2006全国1理1 x ax一一已知函数f(x)= e .(I)设a>0,讨论y=f(x)的单调性;1 -x(n)若对任意 xw(0,1)恒有f(x)>1,求a的取值范围.3. 2007全国1理4. 设函数 f(x)=exe”. (I

11、)证明：f(x)的导数 f'(x)2；(n)若对所有x > 0都有f (x) > ax,求a的取值范围.5. 2008全国2理设函数f(x)= s1nx . (I)求f(x)的单调区间； 2 cosx(n)如果对任何 x > 0 ,都有f (x) < ax,求a的取值范围.解：(i)f (x)=(2 cosx)cos x-sin x(-sin x)(2 cosx)22cos x 1(2 cosx)22 冗. 2 u . _ _.1 一.当 2k 冗<x <2ku + (k= Z)时，cosx > ,即 f (x) > 0 ;332.2兀4

12、兀._ _1当 2k?t + <x <2ku + (k = Z)时，cosx < 一一，即 f (x) <0 .332f (x)在每一个区间因此f (x)在每一个区间,2kL红,2k：t+25 i( kw z)是增函数，33右冗+立为久+&i ( M Z )是减函数33解：(I)略(n)应用洛必达法则和导数f (x) = sinx < ax2 cosx若 x =0,则 a WR ；sin xsin xsin x若x >0 ,则Wax等价于a之，即g(x)=2 cosxx(2 cosx)x(2 cosx)2xcosx -2sin x -sin xcos

13、x x g'(x)=x2(2 cosx)2t己 h(x) =2xcosx -2sin x -sin xcosx +x ,h'(x) =2cosx _ 2xsinx -2cosx - cos2x 12-2xsin x -cos2x 1 = 2sin x 2xsin x = 2sin x(sin x - x)sinx . cosx而 lim g(x)= lim = limx_0x p x(2 cosx) x-0 2+cosx -xsinx一、.sin x 111 一 1另一方面，当xwn,z)时，g(x)=吧)一工父，因此a至 x(2 cosx) x 二 336. 2008辽宁理l

14、n x设函数 f(x)= ln x ln( x 1).1 x求f(x)的单调区间和极值；是否存在实数 a，使得关于x的不等式f(x)a的解集为(0,十g)？若存在，求a的取值范围 试说明理由.7. 2010新课标理设函数f(x)=ex -1 xax2. (I)若a = 0,求f(x)的单调区间；(n )若当xno时f (x) >Q求a的取值范围.;若不存在，8 .2010新课标文已知函数 f (x) -x(ex -1)-ax2.(i)若f(x)在x = -1时有极值，求函数 f(x)的解析式;(n)当x20时，f (x) >0,求a的取值范围解：(I)略(n)应用洛必达法则和导数当

15、 x 20时，f(x) >0,即 x(ex-1)>ax2.当x=0时，aWR；xex 7当x>0时，x(e -1)之ax等价于e -1之ax,也即aWxxe 一 1记 g(x)=,xxw (0, f ,则 g'(x)=1把+1 x记 h(x) =(x1)ex +1 , x0,收)，则 h'(x) = xex >0,因此 h(x) =(x 1)ex 十1 在(0,)上单调递h(x)ex -1增，且h(x) >h(0) =0 ,所以g'(x) =(_2 >0 ,从而g(x)=在(0,依c)上单调递增.由洛必达法则有xxe -1e 一.li

16、m g (x) = lim =四=1 '即当 xt 0 时，g(x)T 1所以g(x) a1 ,即有a E1.综上所述，当a <1 , X20时，f(x)之0成立.9. 2010全国大纲理 设函数f(x) =1 -e/(i)证明：当x >-1时,(n)设当 x A0时，f (x)xf (x) >；x 1x<,求a的取值范围.ax 1解：(I)略(n)应用洛必达法则和导数由题设x之0 ,此时f (x) >0.当x, 、 x<0, f(x) <不成立;ax 1ax 1当a占0时，当x A0时,f (x) <x，即 1 -e，<ax 1x

17、 ; ax 1记 g(x)=则 1 -e"ax 1小1-e。1等价于1二即x ax 1x xxe -e 1xxe - xx x2x 2 x xxe -e1e -x e -2e 1x，则g '(x)=2xx 2xe -x(xe -x)xe-2(ex -x2-2 e。). (xex - x)2记 h(x)= ex x2 2 e。，则 h'(x)= ex -2x -e ,h''(x) =ex+e« - 2 0.因此，h'(x) =ex 2xe”在(0,十)上单调递增，且h'(0) =0 ,所以 h'(x) >0 ,即h

18、(x)在(0, 十笛)上单调递增，且h(0) = 0 ,所以 h(x) >0.因此g'(x)=F7h(x)>0'所以g(x)在(0,十好)上单调递增.由洛必达法则有x xxe -e1lim g(x) = lim *= limx0x0 xex xx0xxex xe xe Tx xe xe=lim x x x)0 2ex xex1,即当xT 0时,2一 1,、11 .一1g(x)T ,即有g(x) ,所以a w.综上所述，a的取值范围是(,一.222210. 2011新课标理0.已知函数f(x) rallx+b ,曲线y = f(x)在点(1,f(1)处的切线方程为x

19、+ 2y 3 x 1 x(I)求a、b的值；(n)如果当x >0 ,且x #1时,f (x) > ln x + k ,求k的取值范围 x -1 x3T押题 若不等式sin x > x-ax3对于xw(0,二)恒成立，求a的取值范围 2解：应用洛必达法则和导数当x三(0,)时，原不等式等价于 a > x s3nx .2x3x -sin x 、 3sin x-xcosx。2x记 f (x):一3-,则 f '(x)=4.xxt己 g(x) =3sin x-xcosx2x,贝U g'(x) =2cosx+xsin x - 2.因为 g ''(x) =xcosx sinx = cosx(x -tanx), g”'(x) =xsinx <0 ,所以 g''(x)在(0,：)上单调递减，且 g"(x)<0,n所以g'(x)在(0,)上单调递减，且2ng'(x)<0 .因此g(x)在(0,-)上单调递减, 2g (x)x - sin x 二 且 g(x) <0 ,故 f '(x) =/ <0 ,因此 f (x) =3在(0,)上单倜递减.xx2由洛必达法则有x -si