2017-2018学年高中数学第一章导数及其应用阶段通关训练新人教A版选修2-2

1、第一章导数及其应用阶段通关训练（60 分钟 100 分）一、选择题（每小题 5 分,共 30 分）1. （2017 永安高二检测）曲线 y=x3在点 x=2 处的切线方程是（）A. 12x-y-16=0B. 12x+y-32=0C. 4x -y=0D. 4x+y-16=0【解析】选 A.由题意，可对函数 y=x3进行求导得 y =3x2,当 x=2 时,y=23=8,y =3X22=12,所以切线方程为y-8=12（x-2）, 即 12x-y-16=0.(2x/Zr2jh+8)dr2. 在下面所给图形阴影部分的面积S 及相应的表达式中，正确的有（）8=-2 -【解析】选 D.应是 S= f(x

2、)-g(x)dx,8和正确.= J+=2.3.当 x -2,1时,不等式 ax3-x2+4x+30 恒成立,则实数 a 的取值范围是A.B.C.rbD.A.-5,-3B.916飞应是 S=2，dx- (2x-8)dx,【补偿训练】2曲线x=-1,x=1及 x 轴所围图形的面积为(A.2CD.【解析】选 A.S=-(x2+2x)dx+i |2(x+2x)dxC.-6,-2D.-4,-311-3 -【解题指南】 讨论 x 的范围利用分离参数法，转化为最值问题【解析】选 B.当 x (0,1时,令t= ,贝 U t 1,+g),a -3t3-4t2+t,32令 g(t)=-3t-4t +t,t 1,

3、+g),则 g (t)=-9t2-8t+1=-(t+1) (9t-1),显然在1,+g) 上 ,g (t)O,g(t) 单调递减，所以 g(t)ma=g(1)=-6,因此 a-6;9同理，当 x -2,0)时，得 aw-9由以上两种情况得-6wa w 显然当 x=0 时也成立.r9i_6j_故实数 a 的取值范围为L口.(x2fxe 04,/ 1=3+lnx-0+ln e-ln1的值为( )7D.儿456A.IB.7C.5ff f 1【解析】选 A.J f(x)dx=J1 I-x2dx+dxf(x)dx丸E (1屈4.设 f(x)= l 尤(其中 e 为自然对数的底数-4 -=3+仁 3.O1

4、1X111A 4B.S:y=心C.6D.7【解析】选 C.联立y=所以 O(0,0),B(1,1),7T7197当 x 0,n时,0f(x)0,则函数 y=f(x)-s inx在-2n,2n上的零点个数为5.如图所示,在边长为 1 的正方形OAB （中任取一点P,则点 P 恰好取自阴影部分的概率为13f2 2 X2! 21 1J；XI1阴影6 1P=12n的偶函数，f （x）是 f（x）的导函数,A.2B.4【解析】选 B.因为当时,f (x)0.y时,y 0,y=(x)-sinx为增函数，计算可知:x=0 时,y0;x=时,y0;x -n,0)时,y0,故y=f(x)-si nx在-n,n上

5、有且只有 2 个零点，根据周期性可知：y=f(x)-si nx在-2n,2n有且只有 4 个零点.6.(2017沈阳咼三检测）设定义在 R 上的函数 f（x）是最小正周期为C.5=f (x)-cosx,咛)时,f (x)0;当x(0,n)且 x丰、 伊为减函数；当 xC.-6,-2D.-4,-311-5 -、填空题（每小题 5 分，共 20 分）11-6 -7.已知函数 f(x)=(m_2)x2+(m2-4)x+m 是偶函数,函数 g(x)=_x3+2x2+mx+5 在(-g，+ g)内单调递减,则实数m=_ .【解析】若 f(x)=(m-2)x2+(m2-4)x+m 是偶函数，2则 m-4=

6、0,m= 土 2.2若 g (x)=-3x +4x+m 0 恒成立，4则 = 16+4X3m 0,解得 m -,故 m=-2.答案:-28.计算定积分！ (_ - +2x)dx=.j J/【解析】dx 的几何意义表示单位圆面积的四分之一，所以71答案：+139. (2017 永安高二检测)曲线 f(x)=x -x+3 在点 P(1,3)处的切线方程是 _.【解析】 设切线方程为y-3=k(x-1),因为f (x)=3x2-1,所以当x=1时,f (x)=2,即k=2,所以y-3=2(x-1), 整理得2x-y+1=0.答案：2x-y+1=010. (2016 全国卷n)若直线 y=kx+b 是

7、曲线 y=lnx+2 的切线，也是曲线 y=ln(x+1)的切线，则 b=_1【解析】y=lnx+2 的切线为：y=止 x+lnx1+1(设切点横坐标为 xj,y=ln(x+1)的切线1七+ 1丁 +1一为:y=x+ln(x2+1)-(设切点横坐标为 X2),7T12xdx=x22xdx=：+1.-7 -Inx. + 1 = ln(xj + 1)-、12叼 +1解得 xi=,X2=-,所以 b=lnx1+仁 1-ln2.答案:1-1 n2【补偿训练】已知等差数列an的前 n 项和为 S,且 Sio= (1+2x)dx,S2。=17,则 So 等于()A.15B.20C.25D.30fr【解析】

8、选 A.S1o=(1+2 x)dx=(x+x2) =12,又因为an为等差数列，所以 2(S20-S10)= S10+S30-S20.所以 S30=3（S2S10）=3X（17-12）=15.三、解答题（共 4 小题，共 50 分）11.（12 分）（2017 安庆高二检测）求由曲线 xy=1 及直线 x=y,y=3 所围成平面图形的面积.所以1 111-8 -(xy 1, fx = lr(x 1,由得(y=匕或y=匕(舍去),故B(1,D;ry = xrfx =3F由& =3,得b =故 C(3,3),-9 -【解析】S1面积等于边长为 t 与 t2的矩形面积去掉曲线 y=x2与 x

9、 轴、直线 x=t 所围成的面积故所求面积 s=s+s= *dx+1(3-x)dx=(3x-lnx)1叮 3 策-罔&+12 丿 =4-l n3.12.(12 分)已知曲线 y=x3+x-2 在点 Po处的切线li平行于直线4x-y-1=0,且点 F0在第三象限(1)求 Fo的坐标.若直线l丄丨1,且l也过切点 Fo,求直线l的方程.【解析】(1)由 y=x3+x-2,得 y =3x2+1.由已知令 3x2+仁 4,解得 x= 1.当 x=1 时,y=0;当 x=-1 时,y=-4.又因为点 F0在第三象限，所以切点 Fo的坐标为(-1,- 4).因为直线I丄l1,l1的斜率为 4,1

10、所以直线l的斜率为-4.因为l过切点 F0,点 F0的坐标为(-1,-4),1所以直线l的方程为 y+4=- J(x+1),即 x+4y+17=0.13.(13 分)在区间0,1上给定曲线 y=x2,试在此区间内确定点t 的值,使图中阴影部分的面积S1 与 S 之和最小.311-10 -S=t t - xdx=t .S2的面积等于曲线 y=x 与 x 轴,x=t,x=1围成的面积减去矩形面积-11 -1f I 1矩形边长分别为 t2,(1-t), 即 ：x2dx-t2(1-t)= r3-t2+=.41所以阴影部分的面积S 为 S=S+St3-t2+；(0 0 时，求函数 f(x)的单调递减区间

11、.”1 X,+ QO当 a=0 时，设函数 g(x)=xf(x),若存在区间m,n ? / ,使得函数 g(x)在m,n上的值域为k(m+2)-2,k(n+2)-2, 求实数 k 的取值范围.(ax - l)(x - 1)【解析】(1)f(x)的定义域为(0,+ 8 ),f (x)=-11当 a (0,1)时，1.1由 f (x):或 0 x1.1所以当 x (0,1),x C，+8)时,f(x)单调递减.1所以 f(x)的单调递减区间为(0,1),(,+8).2当 a=1 时，恒有 f (x)W0,所以 f(x)单调递减，所以 f(x)的单调递减区间为(0,+8).13当 a(1,+8)时

12、/ 1.1由 f (x)1 或 0 x0).11-12 -令函数 h(x)=x2+ 3x - 2lnx一4则 h (x)=12令函数 p(x)=x +3x-2lnx-4,x 所以当 x (0, ),x (1,+ g)时,f(x)单调递减,所以 f(x)的单调递减区间为(0, ),(1,+ g).1综上,当 a (0,1)时,f(x)的单调递减区间为(0,1),(口,+g);当 a=1 时,f(x)的单调递减区间为(0,+g);1当 a (1,+g)时,f(x)的单调递减区间为(0,口),(1,+g).1(2)当 a=0 时,g(x)=x2-xlnx,x(0,+g),g(x)=2x-lnx-1,

13、g(x)=21时,g (x) =2 0,+QO所以 g (x)在 I?丿上单调递增1 1又 g (丄)=In20,所以 g (x) g，(士)0-+ OO所以 g(x)在 L?丿上单调递增2m一mlnm = k(m + 2)-2,tn -nlnn k(n + 2)-2.上恒成立.由题意，得原问题转化为关于 x 的方程 x2-xInx=k(x+2)-2在7x - xlnx + 2 Fl 1+QO2/上有两个不相等的实数根问题即方程 k= 尢+2在.x2- xlnx + 2丿上有两个不相兀 + 2,x-13 -因为 p(1)=0,所以当 x 諾 丿时，有 p(x)0 即 h (x)0,则当 x (

14、-g,1)时,f (x)0,所以 f(x)在(-g,1)上单调递减，在(1,+g)上单调递增(ii)设 a0.上单调递增.当 x (1,+ g)时，有 p(x)0即 h (x)0.19 ln2102-10加10 102-301因为 h()=l+ ,h(1)=1,h(10)=/9ln21 +10 5121=6h().所以 k的取值-14 -2若 a-丄,则 In(-2a)0;当 x (In(-2a),1) 时,f (x)0,所以 f(x)在(-g,ln(-2a)和(1,+g)上单调递增，在(In(-2a),1) 上单调递减.e3若 a1,故当 x (-g,1)U(In(-2a),+g)时,f (x)0;当 x (1,In(-2a)时,f (x)0,则由(1)知,f(x)在(-g,1)上单调递减 在(1,+g)上单调递增.又 f(1)=-e,f(2)=