必修四平面向量地数量积讲义

1、2.3平面向量的数量积一、平面向量数量积- f*T1、疋义：已知两个非零向量a与b，它们的夹角为，则数量丨a I x| b |xcos 叫做a与b的数量积(或内积)，记作a b，即a b =| a | x| b | xcos 。注意：(1)两向量的数量积，其结果是个数量，而不是向量，它的值为两向量的模与两向量夹角的余弦的乘积，其 符号由夹角的余弦值决定 ；(2)两个向量的数量积是两个向量之 间的一种乘法，与以前学过的数的乘法不同，“”不能省略，也不能也成“x” ； ( 3)在运用数量积公式时，一定要 注意两个向量夹角的范围：0°w W180 0。(4) 规定： 零向量与任一向量的数量

2、积为 0,即0_-b = 0 ； (5)当向量a与b的夹角为90°时，叫a与b互相垂直， 记作：a丄b，此时：a丄b a -b = 0。2、平面向量数量积的几何意义：(1)对于a b =| a | x| b | xcos ,其中| b |xcos叫做b在a方向上的投影，当 为锐角时，投影为正；当 为钝角时，投影为 负；当 就直角时，投影为0 ;当 为0度时，投影是| b |;当为180度时，投影为| b | ； (2). a在b方向上的投影 与b在a方向上的投影就不同的；(3) a在b方向上a?b的投影值可以写成 bb例1：已知| a | = 2 , | b | = 5，当(1) a

3、与b夹角为30 0时；(2)当a丄b时；(3)当当a /b时；分别计算a与b的数量积。【解析1 : (1) 5、3 ；(2) 0 ；(3)±10变式练习1 :已知| a| = 3 , |Irff*b |= 5，且a与b的夹角为45 0,则a在b方向上的投影是()3.2A:B: 3 C: 4 D: 52【解析】：A变式练习2 :已知丨a I = 6, | b I = 3，且a b =- 12 ,则a在b方向上的投影是()A : - 4 B : - 2 C : 4 D : 2【解析】：A二、平面向量数量积的性质若a与b是非零向量，e是与a方向相同的单位向量， 是e与a的夹角fbfF-f*

4、4-»P-1、ea = ae =|aI x| e |xcos2、a 丄 ba-b = 03、若a与b同向，则a -b = | a | x| b |(夹角为0度)；若反向，则a -b =-I a | X| b | (夹角为 180 度);特别地，a -a = (a)2 =| a | 2或 | a | = i a?a.a?b4、若是a与b的夹角，贝U cos =-a bfc- f«Is- f5、| a b | w | a | x | b | (当a与b共线时取等号)三、平面向量数量积的运算律* F F * ¥F F!>*1、a b = b a2、( a ) b

5、=(a b )= a ( b)3、(a + b) c = a c + b c*<»*»*4F4、(a +b) (a b) = (a )2- (b )2 =|a| 2 -| b| 2w*5、(a + b)2 =| a | 2 + 2xa b + | b | 2注意：(1)没有(a b ) c = a (bc)这个运算定律；(2)a -c = b - c，则不能得到fc-rrwfc>to-irirrfa = b ;(3 )若 a -b = 0，则a = 0 或 b = 0 或 <a ,b > = 90 0。例2 :下列说法正确的个数(1 )两个向量的数量

6、积是一个向量；(2 )向量在另一个向量方向上的投影也是向量；(3)若a b > 0,则a与b的夹角为锐角，若 a v 0,则a与b的夹角为钝角；(4) (ab)ck f Tb kIf k T f=a (b c)； (5)若 a b = 0,则 a = 0 或 b = 0。【解析】：0个例3 :已知a与b的夹角为120 0，且丨a 1= 4, | b I = 2，则计算(a 2b) (a + b)=r I a + b |=【解析】：122 .3例 4 :已知 OA 丄 AB , I OA |= 4，则 OA OB =【解析1 : 161hh1变式练习1 :已知I a I = 1, a b

7、=, (a b ) (a + b )= ，求(1) a与b的夹角；2 2(2) a b与a + b的夹角的余弦值。155【解析1 ： 45 °,丨 a b I 2 =, I a + b I 2= , cos = 2=。22卩552 2* f«!*>H变式练习2 :已知向量a、b的夹角为60°,且I a I = 2, I b I = 1，则向量a与向量a+ 2b的夹角等于()A : 150 0 B: 90°C: 600D : 30 0【解析1 ： cosa?(a 2b)B*Taa 2b=30 0可用数形结合法，构成的四边形为菱形变式练习3 :已知向量

8、a与向量b满足，I a I = 6, I b I = 4，且a与b的夹角为60 0,求丨a + b丨与丨a 3b丨。【解析】：丨 a + b |= 2 19 , | a 3 b |= 6 . 3变式练习4 :设四边形ABCD为平行四边形，| AB | = 6, | AD |= 4，若点M , N 满足 BM = 3 MC , DN = 2 NC，则 AM NM =()A: 20B: 15C: 9D: 6解析】这个地方四边形 ABCD为平行四边形，可赋予此四边形为矩形，进而以 A为坐标原uuv点建立坐标系。由 A ( 0,0) , M( 6,3) N (4,4 )，进而 AM (6,3)uuvu

9、uv uuv,NM (2, 1), AM NM9。变式练习5 :已知向量a与向量b是两个互相垂直的单位向量，若向量c满足(a c) (-b c) = 0，则| c |的最大值是(): 2A: 1 B: 2 C:、2 D :2ir*I-ir*b-wff*I-I-【解析】：(a c) (b c)= ab ac bc c2 = 0，则 c2 = c ( a + b),贝 y c4 < c ( a¥F-F -I-F-F-+ b)2 = c2x(a2+ 2 a b + b2) = 2 c2故c2w i 2 。 C(ac) -(i c) = 0c |2=C'(a + i) =| c

10、 | -1 a + i | cos:c a + b cosfi? = x/5cos ,则 c 的最大值是42 ；或者利用数形结合，方，云对应的点A , B在 圆 x1 + v: =1 上,C对应的点C在圆云+芒=2上即可。N*四、平面向量数量积的坐标表示、模、夹角*f*"f.f设i , j为x轴、y轴方向的两个单位向量，即 i = (1 , 0), j = (0, 1)，且a与b为两个非零向量，a = (xi, y 1), b = (x2, y2)MtaMfe*fc-f1、i= 1 j j= 1 ij= 0 ab= xi Xx2 + y iXy2f22' 222、 若 a =

11、 (x, y)，则 | a | 2= x y或 | a |= xy。右 A =(X1, y1), B=(X2, y2),则1 AB 丨=J(X? xj(y2yjrfwwh-*3、若 a= (x1, y1), b= (x2, y2),则 a丄 bab= 0 X1 xx2 + y1xy2 =04、若 a = (x1, y1), b = (x2, y2), a与 b 的夹角为，则 cosX1X2y22y12y2例 4:向量 a = (1 , - 1), b = ( 1 , 2)，则 a (2 a + b)=()A: 1B: 0 C: 1 D: 2【解析】：C 变式练习：若向量a = (x, 2),

12、b = (2, 1)，且a丄b，则| a b | =(A:.5B:、10 C: 2 ,5 D: 10【解析】：B例5 :右-平面向量a = (4,3),2 a + b = (3,18)，则a与b夹角的余弦值等于881616A :B:-C:D :65656565【解析】:C变式练习 1 :设 x、y R,向量 a = (x, 1), b = (1 , y), c = (2 , - 4)，且 a 丄 c , b / c ,则I a + b 1=()A:,5 B:. 10 C: 2 5 D: 10【解析】：B变式练习2 :已知a = ( , 2), b = (-3, 5)，且a与b的夹角为锐角，贝U

13、的取值范围是。【解析】：由于a与b的夹角为锐角， a b >0,且a与b不共线同向.由a b >0? 3入106+10 >0,解得X<.当向量a与b共线时，得5入=6，得入=-一，因此泊勺取值范围是35106106X<_且 仔答案：A| 入< 丁且3535变式练习 3 :已知 A(3 , 0), B(0 , 3), C(cos , sin ) ,0 为坐标原点。(1)若 OC / AB ,求 tan ；(2 )若 AC / BC，求 sin2 ；(3 )若| OA + OC |=13，且 (0,)，求OB与OC的夹角。8【解析】：(1 ) - 1(2) -(

14、3)96- l 2变式练习 4 :已知 a = (53 cosx , cosx) , b = (sinx , 2cosx),设函数 f(x) = a b + b +3o (1 )当x -,时，求函数f(x)的值域2 6 2(2 )当x -,-时，若f(x) = 8，求函数f(x -)的值6 2 12(3)将函数f(x)的图象向右平移个单位长度后，再将得到的函数图象上各点的纵坐标向12F平移5个单位长度，得到函数 y = g(x)的图象，求函数 y = g(x)的表达式，并判断其奇偶性。34sin2x = cos2x =55【解析】：(1)f(x) = 5sin(2x +)+ 5(2)<2

15、x +<76 2 6 6f(x )= 5sin2x + 5 = 5sin(2x + 一 一)=12 6 63.3142(3) g(x)=5sin2xk 和 t,使 m = a + (t2 3) b ,变式练习5 ：a = ( 3，一 1)，b毛，T，且存在实数k tn = ka +1b，且m丄n，试求的最大值。t V-_ V .F 角军：T? = (s/5， -1) t 甬"=，£三二 I才 1=>/(/?屮 + ( 1 尸=2, H=Q(討 + (穿,=| j"/?=x/5x4+丄)x2!=o(t2-3)7/=-k7+t，旦土丄-'-V=0,

16、即(才+ (t2-3)韦)(-kH+t) =0展幵幷化筍、"(导 LJk: + t)(t2-3)牙 2=()将沖|一2、|亍| = 1和7.石=0代入上式，可得-4k+t (七'-3)=0,理彳寻lc=丄(t'-3t)4仆+卢=乂"机)+产=丄以亠丄(t + 2) 2,7/t4444由此可得，当七=-2时，m的最小值等于二.t4课后综合练习T t f fT "f f r1、给出以下四个命题：(1) a丄b a b = 0 ； (2 )若a b = 0,且a丰0 ,则b = 0 ； (3)若 a 工0 , b 丰 0 ,则丨 a b 1 = 1 a

17、|x| b I ; (4 )当 a 与 b 反向时，a b =-| a Ix| b I。正确命题的个数是（）A: 1B: 2C: 3 D: 4【解析】：B （ 3）应小于2、已知a = （0, 1）, b = （1 , 1），且（a + b）丄a，则实数 的值是（）A: - 1 B: 0 C: 1 D: 2【解析】：A3、若1 a |= 3，| b 一.、3，且 a、b 的夹角为-，则1 a + b 以（D：、21【解析】：D4、设a、b、c是任意的非零平面向量,且相互不共线，则(1) (a b ) c (c a ) b = 0 ;(2)| a | | b |v| a b |；(3) (b c

18、) -a (c a ) b 与 c不垂直;(4) (3 a +2b) (3a 2b)= 9 | a | 2 4 | b | 2 中，是真命题的有(B : (2 ) ( 3)C: ( 3) (4) D : (2 ) (4)【解析】：D5、如图所示,RtKBC 中，/ A = 90°, AB = 1，则 AB BC 的值是(C: 2D : 2【解析】：B6、MBC 中,AB = a , BC = b，若a b > 0，则 ABC的形状为（A :直角三角形B:钝角三角形锐角三角形 D:不能判断【解析】：B7、已知a、b满足丨a I = 1 b 1= 2 , a b = 0,若向量c与a b共线，则丨a + c I的最小值为()A:.2B: 1C :二1D :-22【解析:设a = (2, 0),b = (0 ,f»2), c = x( a b ) = (2x,2x)，则I a + c I= . (2 2x)24x2 =,8x2 8x 4 w 2Afc-*8、已知 a2 = 1, b2 = 2,(a b)fe-*ra = 0,则a与b的夹角为()A : 30 0 B: 45 0 C :60 0 D :90 0【解析】：B9、 已知 I a I = I b I = 1, a与 b 的夹角是 90°, c = 2a + 3b , d =