弹簧模型教师版

1、专题目录【专题 1】与弹簧有关的受力分析问题【专题 2】与弹簧有关的瞬时问题【专题 3】与弹簧有关的振动问题【专题 4】与弹簧有关的分离问题【专题 5】与弹簧有关的能量动量问题专题 1】与弹簧有关的受力分析问题例 1】 如图，一轻质弹簧其上端固定在升降机的天花板上，下端挂一小球，在升降机匀速 竖直下降过程中，小球相对于升降机静止若升降机突然停止运动，设空气阻力可 忽略不计，弹簧始终在弹性限度内，且小球不会与升降机的内壁接触，则以地面为 参照系，小球在继续下降的过程中 （ ）A 速度逐渐减小，加速度逐渐减小B. 速度逐渐增大，加速度逐渐减小C. 速度逐渐减小，加速度逐渐增大D.速度逐渐增大，加速

2、度逐渐增大【答案】C【例2】如图示，两木块的质量分别为 mi和m2，两轻质弹簧的劲度系数分别为ki和k2,上面木块压在上面的弹簧上（但不拴接），整个系统处于平衡状态.现缓慢向上提上面 的木块，直到它刚离开上面弹簧.在这过程中下面木块移动的距离为（）B. m2g/k2C. mig/k2A. mig/kiD. m2g/k2【答案】C【解析】此题是共点力的平衡条件与胡克定律的综合题.题中空间距离的变化，要通过弹簧形变量的计算求出.注意缓慢上提，说明整个系统处于一动态平衡过程，直至mi离开上面的弹簧.开始时，下面的弹簧被压缩，比原长短（mi + m2） g/k2,而mi刚离开上面的弹簧，下面的弹簧仍被

3、压缩，比原长短m2g/ k2,因而m2移动 x= （ mi + m2） g/ k2 - m2g/ k2= mig/ k2.【例3】如图，一根轻弹簧上端固定在 0点，下端系一个钢球 P,球处于静止状态.现对球施 加一个方向向右的外力 F,吏球缓慢偏移.若外力 F方向始终水平，移动中弹簧与竖 直方向的夹角 90且弹簧的伸长量不超过弹性限度，则下面给出弹簧伸长量x与COS的函数关系图象中，最接近的是（）【答案】D【例4】如图，一根轻弹簧上端固定在0点，下端系一个钢球 P,球处于静止状态.现对球施加一个方向向右的外力F,吏球缓慢偏移若外力 F方向始终水平，移动中弹簧与竖直方向的夹角 90且弹簧的伸长量

4、不超过弹性限度，则下面给出弹簧伸长量x与COS的函数关系图象中，最接近的是（）0【答案】D【例5】如图所示（a）, 轻质弹簧的下端固定在水平面上，上端放置一物体（物体与弹簧不连接），初始时物体处于静止状态现用竖直向上的拉力F作用在物体上，使物体开始向上做匀加速运动，拉力F与物体位移s的关系如图（b）所示（g = 10 m/s2），则下列结论正确的是A .物体与弹簧分离时，弹簧处于压缩状态B .弹簧的劲度系数为 7.5 N/cmC .物体的质量为3 kgD .物体的加速度大小为5 m/s2【解析】D【例6】用如图2所示的装置可以测量汽车在水平路面上做匀加速直线运动的加速度该装 置是在矩形箱子的前

5、、后壁上各安装一个由力敏电阻组成的压力传感器用两根相 同的轻弹簧夹着一个质量为2.0kg的滑块，滑块可无摩擦的滑动，两弹簧的另一端分别压在传感器a、b上，其压力大小可直接从传感器的液晶显示屏上读出.现将装置沿运动方向固定在汽车上，传感器b在前，传感器a在后，汽车静止时，传感器2a、b的示数均为10N (取g 10m/ s )传感器a一:传感器七御确a肿?图2(1 )若传感器a的示数为14N、b的示数为6.0N，求此时汽车的加速度大小和方向.(2)当汽车以怎样的加速度运动时，传感器a的示数为零.【解析】(1) R-F? =ma耳=_一反=4.0m/s, ai的方向向右或向前. m(2)根据题意可

6、知，当左侧弹簧弹力F, 0时，右侧弹簧的弹力 F2' 20N ,F2' ma2代入数据得a210m / S，方向向左或向后m【例7】如图a所示，水平面上质量相等的两木块A、B，用轻弹簧相连接，这个系统处于平衡状态。现用一竖直向上的力 F拉动木块A，使木块A向上做匀加速直线运动， 如图b所示。研究从力 F刚作用在木块 A瞬间到木块B刚离开地面瞬间的这一过 程，并选定该过程中木块 A的起点位置为坐标原点，则下面图中能正确表示力 F和 木块A的位移x之间关系的图象是0【解析】A【例8】如图a所示，水平面上质量相等的两木块A、B，用轻弹簧相连接，这个系统处于平衡状态。现用一竖直向上的力

7、 F拉动木块 A，使木块A向上做匀加速直线运动， 如图b所示。研究从力 F刚作用在木块 A瞬间到木块B刚离开地面瞬间的这一过 程，并选定该过程中木块 A的起点位置为坐标原点，则下面图中能正确表示力 F和 木块A的位移x之间关系的图象是BC°【解析】A【专题2】与弹簧有关的瞬时问题【例9】在动摩擦因数 尸0.2的水平面上有一个质量为m=1kg的小球，小球与水平轻弹簧及与竖直方向成 0 =45角的不可伸长的轻绳一端相连，如图16所示，此时小球处于静止平衡状态，且水平面对小球的弹力恰好为零，当剪断轻绳的瞬间，取g=10m/s2, 求：(1 )此时轻弹簧的弹力大小(2)小球的加速度大小和方向

8、【解析】(1)水平面对小球的弹力为零，小球在绳没有断时受到绳的拉力 簧的弹力T作用而处于平衡状态，由平衡条件得：F、重力mg和弹竖直方向:水平方向:解得：TF cosF sin mg tanmg ,T。10N。当剪断轻绳瞬间弹簧的弹力大小不变，仍为10N(2 )剪断轻绳后小球在竖直方向仍平衡，水平面支持力与重力平衡 N mg ,由牛顿第二定律得：T N ma ,解得 a 8m/s2 , 方向向左。【例10】如图所示，轻弹簧的一端固定在地面上，另一端与木块B相连，木块A放在木块B上，两木块质量均为 m，在木块A上施有竖直向下的力 F,整个装置处于静止状态.(1 )突然将力F撤去，若运动中A、B不

9、分离，则A、B共同运动到最高点时，B对A 的弹力有多大？(2)要使A、B不分离，力F应满足什么条件？【解析】力F撤去后，系统做简谐运动，该运动具有明显的对称性，该题利用最高点与最低 点的对称性来求解，会简单的多.(1) 最高点与最低点有相同大小的回复力，只有方向相反，这里回复力是合外力. 在最低点，即原来平衡的系统在撤去力 F的瞬间，受到的合外力应为F/2,方向竖直向上； 当到达最高点时，A受到的合外力也为F/2，但方向向下，考虑到重力的存在，所以BF对A的弹力为J - _ .(2) 力F越大越容易分离，讨论临界情况，也利用最高点与最低点回复力的对称性. 最高点时，A、B间虽接触但无弹力，A只

10、受重力，故此时恢复力向下，大小位mg.那么，在最低点时，即刚撤去力 F时，A受的回复力也应等于 mg,但根据前一小题的分析，此 时回复力为F/2，这就是说F/2=mg .则F=2mg.因此，使A、B不分离的条件是Fw 2mg【答案】(2) F< 2mg【小结】简谐运动在对称的位置上，位移以及与位移成正比的回复力、回复加速度大小相等方向相反，其余的物理量其方向不一定相反；回复力是物体在振动方向上的合力， 不是某一个力.【专题3】与弹簧有关的振动问题【例11】如图所示，轻质弹簧上面固定一块质量不计的薄板，在薄板上放重物，用手将重物向下压缩到一定程度后， 突然将手撤去，则重物将被弹簧弹射出去，

11、则在弹射过程中（重物与弹簧脱离之前）重物的运动情况是（）D.先减速运A 一直加速运动B.匀加速运动C.先加速运动后减速运动动后加速运动【答案】C【解析】物体的运动状态的改变取决于所受合外力. 所以，对物体进行准确的受力分析是解决此题的关键，物体在整个运动过程中受到重力和弹簧弹力的作用.刚放手时，弹力大于重力，合力向上，物体向上加速运动，但随着物体上移，弹簧形变量变小，弹力随之变小，合力减小，加速度减小；当弹力减至与重力相等的瞬间， 合力为零， 加速度为零，此时物体的速度最大；此后，弹力继续减小，物体受到的合力向下，物体做减速运动，当弹簧恢复原长时，二者分离.【例12】利用传感器和计算机可以测量

12、快速变化力的瞬时值.如图是用这种方法获得的弹性绳中拉力F随时间t变化的图线.实验时，把小球举高到绳子的悬点 0处，然后放手让小球自由下落由此图线所提供的信息，以下判断正确的是（）A. t2时刻小球速度最大 小；C. t3时刻小球动能最小+FB. tlt2期间小球速度先增大后减D. tl与t4时刻小球动量一定相同【答案】B 【例13】如图所示，质量为 M、倾角为 的斜面体（斜面光滑且足够长）放在粗糙的水平地面上，底部与地面的动摩擦因数为，斜面顶端与劲度系数为 k、自然长度为I3 的轻质弹簧相连，弹簧的另一端连接着质量为 m的物块。压缩弹簧使其长度为 -I4时将物块由静止开始释放，且物块在以后的运

13、动中， 斜面体始终处于静止状态。重力加速度为g。（1 ）求物块处于平衡位置时弹簧的长度；（2）选物块的平衡位置为坐标原点，沿斜面向下为正方向建立坐标轴，用x表示物块相对于平衡位置的位移，证明物块做简谐运动；（3 ）求弹簧的最大伸长量；（4）为使斜面始终处于静止状态，动摩擦因数应满足什么条件（假设滑动摩擦力等于最大静摩擦力）？【答案】（1 ） L mgsin （ 2 ）见解析（kmgsin(kL 4mg s in )cos24Mg 4mg coskLs in【解析】（1 ）设物块在斜面上平衡时，弹簧的伸长量为mgsin k L0 解得Lmg sink此时弹簧的长度为L mgsin（2）当物块的位

14、移为弹簧伸长量为物块所受合力为F合mgsin k(xL)联立以上各式可得F合kx可知物块作简谐运动（3）物块作简谐运动的振幅为mg sink由对称性可知，最大伸长量为mgsink水平方向fFNiSinFeos 0又 F k(x L)， FN1 mg cos为使斜面体始终处于静止，结合牛顿第三定律，应有Fn2，所以（4）设物块位移x为正，则斜面体受力情况如图所示，由于斜面体平衡，所以有竖直方向 Fn2 Mg FniCOS F sin 0联立可得 f kxcos ， FN2 Mg mg kxsink x cosFN2 Mg mg kxsin(kL 4mgs in )cos24Mg 4mg cos

15、kLsin【专题4】与弹簧有关的分离问题【例14】用木板托住物体 m,并使得与m连接的弹簧处于原长，手持木板M向下以加速度a（ a<g）做匀加速运动，求物体m与木板一起做匀加速运动的时间.2m(g M aa)m(g a)k【解析】m在与M 起向下做匀加速运动过程中，m受到弹簧的弹力不断增大，板 M对m的支持力不断减小，重力保持不变.m与板M分离的条件为板M对m的支持力N恰好为 零，且m与M运动的加速度恰好相等 （下一时刻将不再相等）.设：m与M分离经历t时间，弹簧伸长为 x： mg kx= ma x【例15】如图所示，一个弹簧台秤的秤盘质量和弹簧质量都不计，盘内放一个物体A处于静止，A的

16、质量m=12kg,弹簧的劲度系数k=300N/m .现在给A施加一个竖直向上 的力F,使A从静止开始向上做匀加速直线运动，已知在t=0.2s内F是变力，在0.2s以后F是恒力，g=10m/s2,贝U F的最小值是 , F的最大值是 .【解析】因为在t=0.2s内F是变力，在t=0.2s以后F是恒力，所以在t=0.2s时，A离开秤盘此时A受到盘的支持力为零，由于盘和弹簧的质量都不计，所以此时弹簧处于原长在00.2s这段时间内A向上运动的距离:1 2x=mg/k=0.4m因为x at ,所以A在这段2时间的加速度a2x220m/ s2当A开始运动时拉力最小，此时对物体以有 Fmin=ma=240N

17、.A 有 N-mg+Fmin=ma，又因此时 N=mg，所当A与盘分离时拉力 F最大，Fmax=m (a+g) =360N.专题五、与弹簧有关的能量、动量问题D m.I|C svFh 币 iWTTnTTffTTFTTTnTTnTTTTTmTTnTTFTTTnTTnTTFTTTnTTnTTr【例16】（海淀14）如图所示，质量均为 m的物体B、C分别与轻质弹簧的两端相栓接,将它们放在倾角为 0 = 300的光滑斜面上，静止时弹簧的形变量为xo。斜面底端有固定挡板D,物体C靠在挡板D上。将质量也为 m的物体A从斜面上的某点由静 止释放，A与B相碰。已知重力加速度为 g,弹簧始终处于弹性限度内，不计

18、空气 阻力。求：(1) 弹簧的劲度系数 k;(2) 若A与B相碰后粘连在一起开始做简谐运动，当A与B第一次运动到最高点时， C 对挡板D的压力恰好为零，求 C对挡板D压力的最大值；(3) 若将A从另一位置由静止释放，A与B相碰后不粘连，但仍立即一起运动，且当B第一次运动到最高点时， C对挡板D的压力也恰好为零。已知 A与B相碰后弹簧第 一次恢复原长时 B的速度大小为v . 1.5gxo，求相碰后A第一次运动达到的最高点 与开始静止释放点之间的距离。【解析】(1)物体B静止时，弹簧形变量为xo，弹簧的弹力 F=kxo物体B受力如图所示，根据物体平衡条件得NGbkxo=mgsin 0解得弹簧的劲度

19、系数 k=皿 (6分)2xo(2) A与B碰后一起做简谐运动到最高点时，物体C对挡板D的压力最小为o则对C,弹簧弹力F弹=mgsin 0,对A、B,回复力最大，F回=3mgsin0 (3分)由简谐运动的对称性，可知A与B碰后一起做简谐运动到最低点时，回复力也最大，即F 回 =3mgsin 0,此时物体C对挡板D的压力最大对物体 A、B 有，F弹-2mgsin 0=3mgsin 0则弹簧弹力F弹=5mgsin 0对物体 C,设挡板 D对物体 C的弹力为 N,贝U N=5mgsin 0+mgsin 0=3mg依据牛顿第三定律，物体 C对挡板D的压力N=N=3mg物体C对挡板D压力的最大值为3mg

20、( 3分)(3)设物体A释放时A与B之间距离为x, A与B相碰前物体A速度的大小为V1O对物体A,从开始下滑到 A、B相碰前的过程，根据机械能守恒定律有mgxsin1 mp（解得 v1= . gx）（1 分）设A与B相碰后两物体共同速度的大小为V2,对A与B发生碰撞的过程，根据动1量守恒定律有 mv1=( m+m) V2 (解得V2= vj2（1 分）物体B静止时弹簧的形变量为xo,设弹性势能为Ep，簧第一次恢复原长的过程，根据机械能守恒定律有从A、B开始压缩弹簧到弹1 2-（m m）v2 EP21 2（m m）v （m m）gxosi n 2（2 分）当弹簧第一次恢复原长时 A、B恰好分离，

21、设分离后物体为X1。对物体A，从与B分离到最高点的过程，机械能守恒，则有A还能沿斜面上升的距离1 2mv mgsin x1，解得 x1=1.5x02（1 分）对物体B、C和弹簧所组成的系统，物体B运动到最高点时速度为好离开挡板D，此时弹簧的伸长量也为xo，弹簧的弹性势能也为 Ep。从运动到最高点的过程，由机械能守恒定律有0，物体C恰A、B分离到B1 2mv mgxosinEp（解得 EP= mgx0） 24（1 分）式解得：x=9xo (1分)由几何关系可得，物体A第一次运动达到的最高点与开始静止释放点之间的距离d=x-x1-x0=6.5x0。（ 1 分）说明：以上各题用其他方法解答正确均可得

22、分。【例17】劲度系数为k的轻弹簧两端分别连接质量都是m的木块P、Q如图所示，处于静止状态现用竖直向下的力F缓慢压P，最终使系统处于静止状态撤去F后P做简谐运动而Q恰好始终不离开地面求：(1)物体P的振幅A. (2)物体P的最大加速度am. ( 3)外力F压物体p所做的功 W.【解析】画出运动过程弹簧的几个典型状态，形成清晰的物理情景，运用规律求解.状态1弹簧处于原长，如图（1）.状态2:放上物体P后静止时位于C点（弹簧被压缩），如图（2）.状态3:用竖直向下的力后 F缓慢压P至D点，冈撅去F时（弹簧被压缩至最短）， 如图（3）.状态W :物体P向上运动至最高点 E时（弹簧伸长至最长），如图（

23、4）.-E曰 V-D - XI-41f 了画出上列四个状态图后，此题的物理情境就非常清晰了.（1）设放上物体P后，当P静止于C点时弹簧的压缩量为 xi,则kxi=mgC点即为P做简谐运动的平衡位置.现用力F缓慢压P至D撤去F, C D间的距离即为振幅 A.又Q恰好始终不离开地面，故 P运动至最高点E时，地面对Q的支持力为零，即kx2=mg (2)由简谐运动的特点知,得P在最高点和最低点的加速度最大，由牛顿第二定律kA= mam由得am = 2g(3 )由得Xi = X2即物体在C E两点处弹簧的弹性势能相等.又物体P在C、E两点的动能均为零，故 P从C到E的过程中，力F压P做的功Wf= mg

24、(xi + X2) =2m2g2/ k.【例18】如图，光滑水平面上固定着一对竖直放置的平行金属板G和H.在金属板 G右壁固定一个可视为质点的小球C,其质量为 Mc= 0.01kg、带电量为q=+ 1X 10-5C. G、H两板间距离为d= 10cm，板H下方开有能让小球 C自由通过的小洞.质量分别 为Ma= 0.01kg和Mb= 0.02kg的不带电绝缘小球 A、B用一轻质弹簧连接，并用细 线栓连使弹簧处于压缩状态， 静放在H板右侧的光滑水平面上，如图(a)所示.现将细线烧断，小球 A、B在弹簧作用下做来回往复运动(A球不会进入 G、H两板间)以向右为速度的正方向，从烧断细线断开后的某时刻开

25、始计时，得到A球的速度一时间图象如图(b)所示.T 3T(1)求在t 0、一、 时刻小球B的速度，并在图(b)中大致画出B球的速度一44时间图象；(2) 若G、H板间是电场强度为 E=8X 104V/m的匀强电场，在某时刻将小球C释放，则小球C离开电场时的速度为多大？若小球C以离开电场时的速度向右匀速运动，它将遇到小球 A,并与之结合在一起运动，试求弹簧的最大弹性势能的范围.【解析】（1）对于小球A、B与轻质弹簧组成的系统，当烧断细线后动量守恒，有M aVaM bVb0M aVaMb0.011Va-Va0.02211当 t 0时，有 vB1 =vA=0=022T11一时，有 vB2 = vA

26、= 4 m/s= -2m/s422乎时，有vB3 =2Va(-4)m/s=2m/s小球B的速度一时间图象如答图3所示.（3分）（1分）（1分）（1 分）（1分）（3分）t（2）当金属板间加有匀强电场时，电场力对小球做功，小球获得初动能并离开金 属板.由动能定理，有qEd得分）Vc(2因水平方向A、B、C三小球系统不受外力，故系统动量守恒.由此可得，不论 A、C两球何时何处相碰，三球的共同速度是一个定值，即三球速度相同时的动能是一定值.(1分)由 M CvC=( M A+ Mb + MC) v共，解得 v共=1m/s当三球速度相同时弹簧的弹性势能最大.当A球在运动过程中速度为4m/s且与C球同向

27、时，跟C球相碰，系统损失能量最小（为0），此情况下三球在运动过程中弹簧具有的最大弹性势能设为日1 2 1 2 1 2 1 2E1M AvAM BvBM C vCM A Mb M c v 共 0.18J2222（ 2 分）当A球在运动过程中速度为 4m/s与C球反向时，跟C球相碰，系统损失能量最大，此情况下三球运动的过程中弹簧具有的最大弹性势能设为E2由 M cvc -M ava=（ M a MC） v3 ,解得 v3 =0（1分）1 2 1 2 1 2E2= -（M A+ MC） v32+ MBvB2 （M A+ M B+ M C） v共2= 0.02J（2222八分）由上可得：弹簧具有的最大

28、弹性势能的可能值在0.02J0.18J的范围内. （2分）【例19】（朝阳14）如图所示，小滑块 A和B （可视为质点）套在固定的水平光滑杆上。 一轻弹簧上端固定在 P点，下端与滑块 B相连接。现使滑块 B静止在P点正下方 的O点，O、P间的距离为h。某时刻，滑块A以初速度V。沿杆向右运动，与B碰 撞后，粘在一起以 O为中心位置做往复运动。光滑杆上的M点与O点间的距离为3h。已知滑块A的质量为2m，滑块B的质量为m，弹簧的原长2为3h，劲度系数k 空v0。弹簧弹性势能的表达式为Ep 】kx223hp 2(式中k为弹簧的劲度系数，x为弹簧的形变量)。求:(1) 滑块A与滑块B碰后瞬间共同速度v的大小；(2) 当滑块A、B运动到M点时，加速度a的大小；(3) 滑块A、B在往复运动过程中，最大速度 vm的大小。B滑块为系统，由动量守恒定律有2mv0 3mv所以2 Vo3(2)当滑块运动到M点时，弹簧的长度Im.( 3h)22h此时弹簧的弹力F k(lM2mvo3h根据牛顿第二定律耳 LF3v0a3m 18h(3)恒定律有当弹簧处于原长时，滑块的速度最大。取滑块1 213213mv k( h h)2 2 2 2A、B和弹簧为系统，由机械能守23mvm所以 vm弓2【例20】如图8甲所示，平行于光滑斜面的轻弹簧劲度系数为k，一端固定在倾角为 B的斜面底端，另