实验四IIR数字滤波器设计实验报告

1、实验四iir数字滤波器设计实验报告 hunan university of technology 数字信号处理 实验报告 实验四 iir 数字滤波器的设计 学 生 姓 名 张 志 翔 班 级 电子信息工程 1203 班 学 号 12401720522 指 导 教 师 2021429 实验四 iir 数字滤波器的设计 一、 实验目的： 1. 掌握双线性变换法及脉冲响应不变法设计 iir 数字滤波器的具体 设计方法及其原理，熟悉用双线性变换法及脉冲响应不变法设计低通、 高通和带通 iir数字滤波器的 matla 编程。 2. 观察双线性变换及脉冲响应不变法设计的滤波器的频域特性，了 解双线性变换法

2、及脉冲响应不变法的特点。 3. 熟悉 butterworth 滤波器、切比雪夫滤波器和椭圆滤波器的频率 特性。 二、 实验原理 ： 1 .脉冲响应不变法 用数字滤波器的单位脉冲响应序列 模仿模拟滤波器的冲激响应 ， 让 正好等于 的采样值，即，其中 为采样间隔，如果以 及 分别表示 的 拉式变换及的 z 变换，则 1 2 h(z ) ze st h a (s jm) i m i 2 .双线性变换法 s 平面与 z 平面之间满足以下映射关系: 1 is s 平面的虚轴单值地映射于 z 平面的单位圆上， s 平面的左半平面完 全映射到 z 平面的单位圆内 双线性变换不存在混叠问题。可通过预畸而得到

3、校正 三、实验内容及步骤： 1 t s (s j ； z re j ) 双线性变换是一种非线性变换 ，这种非线性引起的幅频特性畸变 实验中有关变量的定义 ： fc 通带边界频率； fr 阻带边界频率； 3 通带波动； at 最小阻 带衰减； fs 采样频率； t 采样周期 (1) =0.3khz, s =0.8db, =0.2khz, at =20db,t=1ms; 设计一个切比雪夫高通滤波器，观察其通带损耗和阻带衰减是否满足 要求。 matla 源程序： wp=2*1000*ta n(2*pi*300/(2*1000); ws=2*1000*ta n(2*pi*200/(2*1000); n

4、,wn=cheb1ord(wp,ws,0.8,20,s); % 给定通带( wp )和阻带 (ws) 边界角频率，通带波动波动 0.8 ，阻带最小衰减 20db, 求出最低阶数 和通带滤波器的通带边界频率 wn b,a=cheby1(n,0.5,wn,high,s);% 给定通带( wp )和阻带 (ws) 边界角频率，通带波动 nu m,de n=bili near(ba 1000); h,w=freqz (nu m,de n); f=w/(2*pi)*1000; plot(f,20*log10(abs(h); axis(0,500,-80,10); grid;xlabel( 频率 );yl

5、abel( 幅度 /db) 程序结果 分析：由图可知，切比雪夫滤波器幅频响应是通带波纹，阻带单调衰 num = 0.0304 -0.1218 0.1827 -0.1218 0.0304 den = 1 1.3834 1.4721 0.8012 0.2286 系统函数： =0.0304 -0.1218z 1 0.1827 z 2 -0.1218 z 3 0.0304 z 4 =1.0000+1.3834 z 1 +1.4721 z 2 + 0.8012 z 3 +0.2286 z 4 幅频响应图: figure 1 file edit view insert tools desktop wind

6、ow help 曰空| 脅熄貳 td| 口图|口 m蚩 减的。 3 =0.8 ， fr=0.2khz,at=30db, 满足设计要求 (2) fc=0.2khz, s =1db,fr=0.3khz,at=25db,t=1ms; 分别用脉冲响 应不变法及双线性变换法设计一 butterworth 数字低通滤波器，观察 所设计数字滤波器的幅频特性曲线， 记录带宽和衰减量，检查是否满 足要求。比较这两种方法的优缺点。 matla 源 程序： t = 0.001;fs = 1000;fc = 200;fr = 300; wp1 = 2*pi*fc;wr1 = 2*pi*fr; n1,w n1 = bu

7、ttord(wp1,wr1,1,25,s) b1,a1 = butter(n1,w n1,s); nu m1,de n1 = imp in var(b1,a1,fs);% 脉冲响应不变法 h1,w = freqz (nu m1,de n1); wp2 = 2*fs*ta n(2*pi*fc/(2*fs) wr2 = 2*fs*ta n(2*pi*fr/(2*fs) n2,w n2 = buttord(wp2,wr2,1,25,s) b2,a2 = butter(n2,w n2,s); nu m2,de n2 = bili near(b2,a2,fs);% 双线性变换法 h2,w = freqz

8、 (nu m2,de n2); f = w/(2*pi)*fs; plot(f,20*log10(abs(h1),-.,f,20*log10(abs(h2),-); 0.0025 0.2681z 2 0.3575z 3 0.2681z 4 0.1072z 5 0.0176z 6 axis(0,500,-100,10);grid;xlabel( 频率 /hz );ylabel( 幅度 /db） title（ 巴特沃思数字低通滤波器 ）; legend（ 脉冲相应不变法 , 双线性变换法 ,1）;结果分析： 脉冲响应不变法的低通滤波器系统函数 ： num1 -2.3647 0.0002 0.015

9、3 0.0995 0.1444 0.06110.0075 0.0002 3.6569 0 den1 1 -1.9199 2.5324 -2.2053 1.3868 -0.6309 0.2045 -0.0450 0.0060 -0.0004 2.36470.0002z 0.0153z 0.0995z 0.1444z 0.0611z 0.0075z 0.0002z 3.6569z lj ( _ 1 1.9199z 2.5324z 2.2053z 1.3869z 0.6309z 0.2045z 0.0450z 0.0060z 0.0004z 双线性变换法设计的低通滤波器系统函数 num2 0.017

10、9 0.1072 0.2681 0.3575 0.2681 den2 0.1072 0.0179 -0.6019 0.9130 -0.2989 0.1501 -0.0208 h(z) 0.0179 0.1072z 1 分析：脉冲响应不变法的频率变化是线性的， 数字滤波器频谱响应出 现了混叠，影响了过渡带的衰减特性，并且无传输零点；双线性变化 法的频率响应是非线性的，因而消除了频谱混叠，在 f=500hz 出有一 个传输零点。 脉冲响应不变法的一个重要特点是频率坐标的变换是线性的， w=q t, 与 q 是线性关系：在某些场合，要求数字滤波器在时域上能模 仿模拟滤波器的功能时，如要实现时域冲激响

11、应的模仿，一般使用脉 冲响应不变法。 脉冲响应不变法的最大缺点：有频谱周期延拓效应，因此只能用于带 限的频响特性，如衰减特性很好的低通或带通 ， 而高频衰减越大，频 响的混淆效应越小，至于高通和带阻滤波器 ， 由于它们在高频部分不 衰减，因此将完全混淆在低频响应中，此时可增加一保护滤波器，滤 掉高于 的频带，再用脉冲响应不变法转换为数字滤波器，这会增 加设计的复杂性和滤波器阶数，只有在一定要满足频率线性关系或保 持网络瞬态响应i 口厲 p 仏 g a bj figure 1 10 0 -10 -20 -30 -50 -60 -70 -100 回口 p 晅 lg win dow fi le ed

12、it : : 脉冲扁应不变法 f 厂- 1 腑咖賁换法 时才采用。 双线性变换法的主要优点是 s 平面与 z 平面一一单值对应， s 平面的 虚轴 （ 整个 j q ） 对应于 z 平面单位圆的一周， s 平面的 q =0 处对应于 z 平面的 3 =0 处， q 二乂处对应于 z 平面的 3 = n 处 ， 即数字滤波器 的频率响应终止于折叠频率处，所以双线性变换不存在混迭效应。 双线性变换缺点 ： q 与 3 成非线性关系，导致： a. 数字滤波器的幅频响应相对于模拟滤波器的幅频响应有畸变， （ 使数字滤波器与模拟滤波器在响应与频率的对应关系上发生畸变 ） 。 b. 线性相位模拟滤波器经双

13、线性变换后，得到的数字滤波器为非 线性相位。 c. 要求模拟滤波器的幅频响应必须是分段恒定的， 故双线性变换只 能用于设计低通、高通、带通、带阻等选频滤波器。 （3） 利用双线性变换法分别设计满足下列指标的 butterworth 型、 chebyshev 型和椭圆型数字低通滤波器，并作图验证设计结果： fc=1.2khz , 0.5db ,fr=2khz , at 40db, fs=8khz ，比较这 种滤波器的阶数。 matla 源程序： clear all; wc=2*pi*1200;wr=2*pi*2021;rp=0.5;rs=40;fs=8000; w1 二 2*fs*ta n(wc

14、/(2*fs); w2=2*fs*ta n(wr/(2*fs); nb,w n 二 buttord(w1,w2,rp,rs,s) % 巴特沃思 b,a=butter(nb,w n,s); nu m1,de n1=bili near(b,a,fs); h1,w=freqz (nu m1,de n1); nc,w n=cheb1ord(w1,w2,rp,rs,s) % 切比雪夫 b,a=cheby1(nc,rp,w n,s); nu m2,de n2=bili near(b,a,fs); h2,w=freqz( nu m2,de n2); ne,w n =ellipord(w1,w2,rp,rs,

15、s) % 椭圆型 b,a=ellip(ne,rp,rs,w n, low,s); nu m3,de n3=bi lin ear(b,a,fs); h3,w=freqz (nu m3,de n3); f=w/(2*pi)*fs; plot(f,20*log10(abs(h1),-,f,20*log10(abs(h2),-,f,20* iog10(abs(h3),:); axis(0,4000,-100,10);grid; xlabel(frequency in hz); ylabel(gain in db); title( 三种数字低通滤波器 ); legend( 巴特沃思数字低通滤波器 , 切

16、比雪夫数字低通滤波器 椭圆数字低通滤波器 ,3); 巴特沃思数字低通滤波器的系统函数系数: -0.1370 0.0197 -0.0013 切比雪夫数字低通滤波器的系统函数系数: 椭圆数字低通滤波器的系统函数系数: num3= 0.03887 0.0363 0.0665 0.0363 0.0389 -2.1444 2.3658 -1.3250 0.3332 三种数字低通滤液器 100 500 1000 1500 200 q 2500 3000 3500 4000 frequency in hznum 1= 0.0032 0.0129 0.0302 0.0453 0.0453 0.0302 0.0

17、129 0.0032 0.0003 den1 二 -2.7996 4.4581 -4.5412 3.2404 -1.6330 0.5780 num2= 0.0026 0.0132 0.0264 0.0264 0.0132 0.0026 den2= 1 -2.9775 4.2932 -3.5124 1.6145 -0.3334 den3 二 1 程序结果图: 0 -10 -20 -30 -40 -50 -60 -70 -90 -90 - 巴侍沃思数字假通滤液器 切比霄夫数字低通滤液器 椭圆数字低過滤浪器 -1q0 | | 分析：设计结果表明，巴特沃思数字低通滤波器、切比雪夫数字低 通滤波器、椭圆

18、数字低通滤波器的阶数分别是 9 、 5 、 4 阶。可见，对 于给定的阶数，椭圆数字低通滤波器的阶数最少 （ 换言之，对于给定 的阶数，过渡带最窄 ） ，就这一点来说，他是最优滤波器。由图表明， 巴特沃思数字低通滤波器过渡带最宽，幅频响应单调下降；椭圆数字 低通滤波器过渡带最窄，并具有等波纹的通带和阻带响应； 切比雪夫 数字低通滤波器的过渡带介于两者之间。 (4) 分别用脉冲响应不变法及双线性变换法设计一 butterworth 型数 字带通滤波器，已知，其等效的模拟滤波器指标 s 3db, 2khzvf 3khz ; at 5db , f 6khz ; at 20db , f 1.5khz

19、。 matla 源程序： wp1 = 2*pi*2021;wp2 = 2*pi*3000; ws 仁 2*pi*1500;ws2= 2*pi*6000; n1,w n1 = buttord(wp1 wp2,ws1 ws2,3, 20 ,s);% 求巴特 沃思滤波器的阶数 b1,a1 = butter(n1,w n1,s);% 给定阶数和边界频率设计滤波器 nu m1,de n1 = impi nvar(b1,a1,30000);% 脉冲相应不变法 h1,w = freqz (nu m1,de n1); w1=2*30000*ta n( 2*pi*2021/(2*30000); w2=2*300

20、00*ta n( 2*pi*3000/(2*30000); wr1=2*30000*ta n(2*pi*1500/(2*30000); wr2=2*30000*ta n( 2*pi*6000/(2*30000); n,w n 二 buttord(w1 w2,wr1 wr2,3,20,s);% 求巴特沃思滤波 器的阶数 b,a=butter(n,w n,s); nu m,de n=bili near(b,a,30000);% 双线性变化法 h2,w=freqz (nu m,de n); f=w/(2*pi)*30000; plot(f,20*log10(abs(h1),-.,f,20*log10

21、(abs(h2),-); axis(0,15000,-60,10); xlabel(frequency in hz); ylabel(gain in db); grid; title( 巴特沃思数字带通滤波器 ); legend( 脉冲相应不变法 , 双线性变换法 ,1); 脉冲相应不变法设计的巴特沃思数字带通滤波器系统函数的分子、 分 母多项式系数： num 仁 -1.5158 0.0057 -0.0122 0.0025 0.0089 -0.0049 den 1= 1 -4.8056 10.2376 -12.2625 8.7012 -3.4719 0.6145 双线性变换法设计的巴特沃思数字

22、带通滤波器系统函数的分子、 分母 多项式的系数： num 二 0.0014 0 -0.0042 7.1054 0.0042 5.7732 -0.0014 den 二 1 -4.8071 10.2473 -12.2838 8.7245 -3.4849 0.6176 (5) 利用双线性变换法设计满足下列指标的 chebyshev 型数字带阻 滤波器，并作图验证设计结果：当 1khz f 2khz 时， at 18db ;当 f 500 hz 以及 f 3khz 时， 3db ；采样频率 f s 10khz 。 matla 源程序： w1 二 2*10000*ta n(2*pi*1000/(2*10000); w2=2*10000*ta n(2*pi*2021/(2*10000); wr1=2*10000*ta n(2*pi*500/(2*10000); wr2=2*10000*ta n(2*pi*3000/(2*10000); n,wn=cheb1ord(wr1 wr2,w1 w2,3,18,s);% 计算阶数 b,a=cheby1(n,3,w n,stop,s);% 给定阶数和参数设计滤波器 nu m,de n=bili near(ba 10000) ； % 双线性变化法 h,w=freqz( num,de n);% 频率响应 f=w/(2*pi)*10000; p