椭圆的简单几何性质ppt课件

1、12.2.2 2.2.2 椭圆的简单几何性质椭圆的简单几何性质 2复习：复习：0:38:2021.椭圆的定义椭圆的定义:到到两定点两定点F1、F2的距离和的距离和为为常数（大于常数（大于|F1F2 |）的）的点点的轨迹的轨迹叫做叫做椭圆椭圆。2.椭圆的标准方程是：椭圆的标准方程是：3.椭圆中椭圆中a,b,c的关系是的关系是a2=b2+c230 0b ba a 1 1b by ya ax x2 22 22 22 2焦点在焦点在x 轴上轴上12yoFFMx2 22 22 2c cb ba a椭圆的标准方程椭圆的标准方程0 0b ba a 1 1b bx xa ay y2 22 22 22 2焦点在

2、焦点在y 轴上轴上2 22 22 2c cb ba ayo1FF2x.F F1 1(-c(-c，0)0)F F2 2(c(c，0)0)F F1 1(0(0，c)c)F F2 2(0(0，-c)-c)4AxAx2 2ByBy2 21 1（A A0 0，B B0 0，ABAB） 椭圆的一般方程椭圆的一般方程5一、椭圆的范围一、椭圆的范围即即-axa -b yb结论：椭圆位于直线结论：椭圆位于直线x xa a和和y yb b围成围成的矩形里的矩形里 oxy-aab-b22222222111xyxyabab由和xayb即 ：和60:38:216YXOP（x，y）P2（-x，y）P3（-x，-y）P1（

3、x，-y）22221(0)xyabab关于关于x轴对称轴对称关于关于y轴对称轴对称关于关于原点对称原点对称二、椭圆的对称性二、椭圆的对称性7yOF1F2x二、椭圆的对称性二、椭圆的对称性结论：结论：椭圆既是轴对称图形，椭圆既是轴对称图形，又是中心对称图形又是中心对称图形对称轴是对称轴是x轴轴和和y轴，轴，对称中心是对称中心是原点原点中心中心：椭圆的对称中心叫做：椭圆的对称中心叫做椭圆的中心椭圆的中心8 8从图形上看，椭圆关于从图形上看，椭圆关于x x轴、轴、y y轴、原点对称。轴、原点对称。从方程上看：从方程上看：（1 1）把）把x x换成换成-x-x方程不变，图象关于方程不变，图象关于y y

4、轴对称；轴对称；（2 2）把）把y y换成换成-y-y方程不变，图象关于方程不变，图象关于x x轴对称；轴对称；（3 3）把）把x x换成换成-x-x，同时把，同时把y y换成换成-y-y方程不变，图象关于原点成中方程不变，图象关于原点成中心对称。心对称。即即标准方程的椭圆标准方程的椭圆是以是以坐标轴为对称轴坐标轴为对称轴，坐标原点坐标原点为为对称中心对称中心。9练习：练习：1.已知点已知点P(3，6)在在 上上,则则( )22221xyab(A) 点点(-3,-6)不在椭圆上不在椭圆上 (B) 点点(3,-6)不在椭圆上不在椭圆上(C) 点点(-3,6)在椭圆上在椭圆上(D) 无法判断点无法

5、判断点(-3,-6), (3,-6), (-3,6)是否在椭圆上是否在椭圆上C10三、椭圆的顶点三、椭圆的顶点顶点顶点：椭圆椭圆与它的与它的对称轴对称轴的的四个交点四个交点，叫做椭，叫做椭圆的圆的顶点顶点。 oxyB1(0,b)B2(0,-b)A1(-a,0)A2(a,0)令令x=0,x=0,得得y=y=？说明椭圆？说明椭圆与与y y轴轴的交点为的交点为(0,b)(0,b)、(0,-b)(0,-b)2 22 22 22 2x xy y+ += 1 1( (a a b b 0 0) )a ab b令令y=0,y=0,得得x=x=？说明椭圆？说明椭圆与与x x轴轴的交点为的交点为(a,0)(a,0

6、)、(-a,0)(-a,0)11三、椭圆的顶点三、椭圆的顶点长轴、短轴：长轴、短轴：线段线段A A1 1A A2 2、B B1 1B B2 2分别叫做椭圆的分别叫做椭圆的长长轴轴和和短轴短轴。 oxyB1(0,b)B2(0,-b)A1A2a a、b b分别叫做椭圆的分别叫做椭圆的长半轴长长半轴长和和短半轴长短半轴长。思考：椭圆的焦点与椭圆的长轴、短轴有什么关系？思考：椭圆的焦点与椭圆的长轴、短轴有什么关系？焦点落在椭圆的长轴上焦点落在椭圆的长轴上椭圆的椭圆的长轴长长轴长为为2a2a, ,短轴长短轴长为为2b2b。12长轴：线段长轴：线段A1A2；长轴长长轴长 |A1A2|=2a短轴：线段短轴：

7、线段B1B2；短轴长短轴长 |B1B2|=2b焦焦 距距 |F1F2| =2c a a2 2=b=b2 2+c+c2 2， oxyB2(0,b)B1(0,-b)A2(a, 0)A1(-a, 0)bac椭圆的简单几何性质椭圆的简单几何性质aF2F1|B2F2|=a；注意注意13 由椭圆的由椭圆的范围范围、对称性对称性和和顶点顶点，再进行描点画图，只须描出较少的再进行描点画图，只须描出较少的点，就可以得到较正确的图形点，就可以得到较正确的图形.小小 结结 ：140:38:2214123-1-2-3-44y123-1-2-3-44y1 2 345-1-5-2-3-4x1 2 345-1-5-2-3-

8、4x根据前面所学有关知识画出下列图形根据前面所学有关知识画出下列图形1162522yx142522yx（1）（2）A1 B1 A2 B2 B2 A2 B1 A1 15离心率：离心率：椭圆的焦距与长轴长的比椭圆的焦距与长轴长的比c ce =e =a a椭圆的离心率椭圆的离心率 ,叫做叫做四、椭圆的离心率四、椭圆的离心率1离心率的取值范围离心率的取值范围：因为：因为 a c 0，所以，所以0e0 ac0cea24 xyA2(a, 0)A1(-a, 0)B2(0,b)B1(0,-b)一个框，四个点，一个框，四个点，注意光滑和圆扁注意光滑和圆扁, ,莫忘对称要体现莫忘对称要体现课堂小结课堂小结)0(1

9、2222 babyax25课前练习课前练习1260:38:2326例例2 椭圆的一个顶点为椭圆的一个顶点为 ,其长轴长是短轴其长轴长是短轴长的长的2倍，求椭圆的标准方程倍，求椭圆的标准方程02，A分析：题目没有指出焦点的位置，要考虑两种位置分析：题目没有指出焦点的位置，要考虑两种位置 椭圆的标准方程为：椭圆的标准方程为： ；11422yx椭圆的标准方程为：椭圆的标准方程为： 116422yx解：（解：（1）当）当 为长轴端点时，为长轴端点时， ， ， 2a1b02，A（2）当）当 为短轴端点时，为短轴端点时， , ， 2b4a02，A综上所述，椭圆的标准方程是综上所述，椭圆的标准方程是 或或

10、11422yx116422yx270:38:2327已知椭圆已知椭圆 的离心率的离心率 ，求，求 的值的值 19822ykx21ek21e4k由由 ，得：，得：解：当椭圆的焦点在解：当椭圆的焦点在 轴上时，轴上时， 82 ka92b12 kcx 当椭圆的焦点在当椭圆的焦点在 轴上时，轴上时， 92a82 kbkc12y21e4191k45k由由 ，得，得 ，即，即 满足条件的满足条件的 或或 4k45k练习练习2 2：280:38:24281、在下列方程所表示的曲线中、在下列方程所表示的曲线中,关于关于x轴轴,y轴都对称的是轴都对称的是( ) (A)(B)(C)(D)y4x2 0yxy2x2

11、x5y4x22 4yx922 2、椭圆以坐标轴为对称轴，离心率、椭圆以坐标轴为对称轴，离心率 ，长轴长为，长轴长为6，则椭圆的方程则椭圆的方程 为（为（ ）32e 120y36x22 15y9x22 15922 xy120y36x22 1203622 xy(A)(B)(C)(D)15y9x22 或或或或DC29练习练习 求经过点求经过点P P (4, 1)(4, 1)，且长轴长是短轴，且长轴长是短轴长的长的2 2倍的椭圆的标准方程倍的椭圆的标准方程. .2 55ab得：2221611abab22222222若若焦焦点点在在x x轴轴上上，设设椭椭圆圆方方程程为为: :xyxy+= 1(a b

12、0)+= 1(a b 0)，abab依依题题意意有有：解：解：2222xyxy故故椭椭圆圆方方程程为为:+= 1.:+= 1.20520530练习练习 求经过点求经过点P P (4, 1)(4, 1)，且长轴长是短轴，且长轴长是短轴长的长的2 2倍的椭圆的标准方程倍的椭圆的标准方程. .解：解：若若焦焦点点在在y y轴轴上上，所所以以椭椭圆圆的的标标准准方方程程为为：222211.65205654xyyx或同同理理求求得得椭椭圆圆方方程程为为：2241.6565yx3112516. 1251611625. 11625. 1169.2222222222 yxDyxyxCyxByxA或或复习练习：

13、复习练习：1.1.椭圆的长短轴之和为椭圆的长短轴之和为1818，焦距为，焦距为6 6，则椭圆，则椭圆的标准方程为（的标准方程为（ ）C32例例2 2.求适合下列条件的椭圆的标准方程：求适合下列条件的椭圆的标准方程： 1. 经过点经过点P（3,0）、）、Q（0，2）；）； 2. 长轴的长等于长轴的长等于20，离心率等于，离心率等于 .53注意：焦点落在椭圆的长轴上注意：焦点落在椭圆的长轴上注意：不知道焦点落在哪个坐标轴上，注意：不知道焦点落在哪个坐标轴上，必须讨论两种情况必须讨论两种情况14922yx1100641641002222yxyx或33练习练习 2.离心率为离心率为 ,且过点且过点(2

14、,0)的椭圆的标准的椭圆的标准 方程为方程为 多少多少?3222221;1.4416yxxy3422.5510,5mxymem例1已知椭圆的离心率求 的值。325m3 或m3536363710:2222byaxCByAx，直线和椭圆方程分别为直线与椭圆的位置关系直线与椭圆的位置关系 ：共点。直线和椭圆相离，无公个公共点；直线和椭圆相切，有一个公共点；直线和椭圆相交，有两，则的判别式为若二次方程000010/2/2222cxbxabyaxCByAx则由 yoF1F2x yoF1F2x yoF1F2x38?,12:,:122相离相交相切与椭圆直线为何值时当例yxmxylm395. 5. 已知椭圆的

15、一个焦点为已知椭圆的一个焦点为F F（6 6，0 0）, ,点点B B，C C是是短轴的两端点，短轴的两端点，FBCFBC是等边三角形，求这个椭是等边三角形，求这个椭圆的标准方程。圆的标准方程。6、已知椭圆、已知椭圆G的中心在坐标原点，长轴在轴的中心在坐标原点，长轴在轴上，离心率为，且上，离心率为，且G上一点到上一点到G的两个焦点的两个焦点的距离之和为的距离之和为12，求椭圆，求椭圆G的方程。的方程。x23x1124822yx193622yx40.1416,023)2(; 1425,025103112222yxyxyxyx）（交点坐标：、求下列直线和椭圆的一、直线和椭圆的位置关系一、直线和椭圆

16、的位置关系通过直线方程和椭圆方程联立成方程组，通过直线方程和椭圆方程联立成方程组，解方程组可以得到直线和椭圆的交点坐标。解方程组可以得到直线和椭圆的交点坐标。).3770,3748(,2,0)2(;5831）（），）（412、弦长公式：、弦长公式：mkxyyxf0)( ，) 0(02acbxaxy 得：消去，则，弦端点设)()(2211yxByxA221221)()(|yyxxAB221221)()(kxkxxx|1212xxk2122124)(1xxxxkacabk4)(122|1|2akABmkxyyxf0)( ，) 0(02acybyax 得：消去| |11|2akAB42的长。两点，求

17、，直线与椭圆相交于的直线作倾斜角为的左焦点、经过椭圆ABBAlFyx,6012312243)1(3:)0,1(11,211222xylFcba：解04127;12)1(3222xxyxxy得：由）（）（可求得交点坐标为：7623,7226,7623,7226728)764()724(22 AB44)1(3:)0,1(11,221222xylFcba：解04127;12)1(3222xxyxxy得：由747122121xxxx7284)(2)(2)(3)()()(21221221221221221221xxxxxxxxxxyyxxAB45第二种方法是处理直线和椭圆位置关系第二种方法是处理直线和椭

18、圆位置关系的常用方法，利用根与系数的关系的常用方法，利用根与系数的关系,设出设出交点坐标，但是不求出，从而求出弦长。交点坐标，但是不求出，从而求出弦长。;12222byaxmkxy由212212221222122212212214)()1 ()(1 ()()()()(xxxxkxxkxxkxxyyxxAB这种方法称为这种方法称为设而不求设而不求，这个公式叫做这个公式叫做弦长公式弦长公式。46弦所在的直线方程。）求被椭圆截得的最长（的范围；点时，求）当直线与椭圆有公共（，及直线练习：已知椭圆211422mmxyyxxyO121代入椭圆将解：mxy) 1 (01)(422mxx012522mmxx

19、直线与椭圆有公共点，0) 1(20422mm2525m点时，直线与椭圆有公共所以当2525m47弦所在的直线方程。）求被椭圆截得的最长（的范围；点时，求）当直线与椭圆有公共（，及直线练习：已知椭圆211422mmxyyxxyO121AB代入椭圆将mxy)2(012522mmxx由弦长公式得：5) 1(20411|1|2222mmakAB245522m5102|0maxABm时，当xy 此时，直线方程为4848494950.,14 1:22的长求弦两点交椭圆于的右焦点过椭圆直线的已知斜率为练习ABBAyxl51.241936. 222方程在直线）平分，求此弦所，（被点的弦已知椭圆例MAByx.

20、036)42(4)21 (16)41 (222kxkkxk4)41 (2)21 (1620221kkkxxxM.21k解得得由1936)4(222yxxky.AxyOMB)4(2xky存在，设解：由题意知直线斜率082)4(212:yxxy即所以所求直线方程为52.241936. 222方程在直线）平分，求此弦所，（被点的弦已知椭圆例MAByx.AxyOMB另解：，设)()(2211yxByxA21936 1 193622222121yxyx则09)(36)(2 1 21212121yyyyxxxx得：由21212121369yyxxxxyy即.212241MMAByxk082)4(212:y

21、xxy即所以所求直线方程为53.22)(0)()(0)()(1212121yyyxxxyxfyxfyxMxy ，由韦达定理得一元二次方程椭圆，直线，则由，：设弦中点为解求弦中点的方法或消21 1 1222222221221byaxbyax则，：设弦中点为解)()()(22211yxByxAyxM0)()(2 1 2212122121byyyyaxxxx得：由差分法差分法54求椭圆方程。，且于与椭圆交直线已知椭圆方程为例,1, 14:32222OBOABAxybybxAxyOB),(),(2211yxByxA解：设02121yyxxOBOA得：则由222441byxxy由2224) 1(4bxx

22、0448522bxx整理得：5445822121bxxxx由韦达定理得) 1)(1(2121xxyy12121xxxx5412b054154422bb852b1585222yx椭圆方程为055直线与椭圆直线与椭圆：（2 2）弦长问题）弦长问题|1|2akAB（3 3）弦中点问题）弦中点问题（4 4）与垂直有关的问题）与垂直有关的问题（1 1）直线与椭圆位置关系）直线与椭圆位置关系韦达定理或设点作差法56.2,1941.:22的弦长斜率为的焦点求过椭圆作业yx.,124) 1 , 1 (. 222所在的直线方程求的中点的弦是椭圆若ABAByxM的长。两点，求，直线与椭圆相交于的直线作倾斜角为的左

23、焦点、经过椭圆ABBAlFyx,60123122572222xyxy例例3 3：已已知知椭椭圆圆+= 1,+= 1,过过点点P(2,1)P(2,1)作作一一弦弦, ,使使弦弦在在这这164164点点被被平平分分，求求此此弦弦所所在在直直线线的的方方程程。xyo-44P(2,1)58它是什么曲线。，并说明求动圆圆心的轨迹方程内切，同时与圆外切，一动圆与圆09160562222xyxxyx59127361233121021003,4322222221212222yxyxyxPCPCRPCRPCyxyx化简，得：即：两式相加，得：由已知，：解：两圆的标准方程为6060616162622axcyo左左

24、Fx右右F( ,)00P x y6363646465652axcyo左左Fx右右F( ,)00P x y66661oFyx2FM2ayc d671.1.对于椭圆的原始方程对于椭圆的原始方程, ,变形后得到变形后得到 , ,再变形为再变形为 . .这个方程的几何意义如何？这个方程的几何意义如何？2222()()2xcyxcya+-+=222()acxaxcy-=-+22ycaaxc+=-2（x-c）新知探究新知探究68O Ox xy yF FH HM Ml22ycaaxc+=-2（x-c）椭圆上的点椭圆上的点M(xM(x，y)y)到焦点到焦点F(cF(c，0)0)的距的距离与它到直线离与它到直线

25、 的距离之比等于离的距离之比等于离心率心率. .2axc=新知探究新知探究2axc=69若点若点F F是定直线是定直线l l外一定点，动点外一定点，动点M M到点到点F F的距离的距离与它与它到直线到直线l l的距离的距离之之比比等于等于常数常数e e(0(0e e1)1)，则点，则点M M的轨迹是椭圆的轨迹是椭圆. .M MF FH Hl新知探究新知探究70 直线直线 叫做椭圆相应于焦点叫做椭圆相应于焦点F F2 2(c(c，0)0)的的准线准线，相，相应于焦点应于焦点F F1 1( (c c，0)0)的准线方程是的准线方程是2axc=2= -axcO Ox xy yF F2 2F F1 1

26、2axc=2= -axc新知探究新知探究71椭圆椭圆 的准线方程是的准线方程是222210 xyabbax xF F1 1F F2 2y yO O2=ayc2= -ayc新知探究新知探究72M MO Ox xy yF Fl椭圆的一个焦点到它相应准线的距离是椭圆的一个焦点到它相应准线的距离是22|abFMccc=-=新知探究新知探究73对于椭圆对于椭圆 222210 xyabba椭圆上的点到椭圆中心的距离的最大值和最小值分别是椭圆上的点到椭圆中心的距离的最大值和最小值分别是O OM Mx xy y最大值为最大值为a a，最小值为，最小值为b.b.新知探究新知探究74椭圆上的点到椭圆焦点的距离的最

27、大值和最小值分别是什么？椭圆上的点到椭圆焦点的距离的最大值和最小值分别是什么？O OM Mx xy yF F新知探究新知探究75 点点M M在椭圆上运动，当点在椭圆上运动，当点M M在什么位置时，在什么位置时，F F1 1MFMF2 2为最大？为最大？ F F1 1O OF F2 2x xy yM M 点点M M为短轴的端点为短轴的端点. . 新知探究新知探究76 椭圆上的点到椭圆一个焦点的距离叫椭圆上的点到椭圆一个焦点的距离叫做椭圆的做椭圆的焦半径焦半径，上述结果就是椭圆的焦，上述结果就是椭圆的焦半径公式半径公式. .|MF|MF1 1| |a aexex0 0|MF|MF2 2| |a a

28、exex0 0新知探究新知探究77 椭圆椭圆 的焦半径公式是的焦半径公式是 222210yxabab |MF|MF|a aeyey0 0 x xF F1 1F F2 2y yO OM M新知探究新知探究78 例例1 1 若椭圆若椭圆 上一点上一点P P到椭圆到椭圆左准线的距离为左准线的距离为1010，求点，求点P P到椭圆右焦点的距离到椭圆右焦点的距离. .22110036xy12 12 典型例题典型例题79 例例2 2 已知椭圆的两条准线方程为已知椭圆的两条准线方程为y y9 9，离心率为离心率为 ，求此椭圆的标准方程，求此椭圆的标准方程. .3119822yx典型例题典型例题80课堂小结课

29、堂小结 1.1.椭圆上的点到一个焦点的距离椭圆上的点到一个焦点的距离与它到相应准线的距离之比等于椭圆与它到相应准线的距离之比等于椭圆的离心率，这是椭圆的一个重要性质，的离心率，这是椭圆的一个重要性质，通常将它称为椭圆的第二定义通常将它称为椭圆的第二定义. .8125 2:( , )(4,0):44 ,.5M x yFl xM例点与定点的距离和它到直线的距离的比是常数求点的轨迹Hd1925610 , 1925 ,225 259 , .54425)4( ,54 ,425:22222222 yxxMyxyxxyxdMFMPMxlMd的椭圆，其轨迹方程是的椭圆，其轨迹方程是、为为轴，长轴、短轴长分别轴

30、，长轴、短轴长分别的轨迹是焦点在的轨迹是焦点在点点所以所以即即并化简得并化简得将上式两边平方将上式两边平方由此得由此得迹就是集合迹就是集合的轨的轨点点根据题意根据题意的距离的距离到直线到直线是点是点设设解解8222221111yxabPPPOPPFPFPF-点 是椭圆上的动点，当 的坐标为时，到原点 的最大距离为；当 的坐标为时，到原点O的最小距离为；设（c,0),则当P的坐标为时，的最大值为；则当P的坐标为时，的最小值为。(a,0)a(0,b)b(-a,0)a+c(a,0)a-c838384848585868687例例3.点点M（x,y）与定点）与定点F（c,0）的距离和它到）的距离和它到

31、定直线定直线l l :x= 的距离的比是常数的距离的比是常数 , 求点求点 M的轨迹的轨迹.ca2acxyol lFl l FM88例例2.点点M（x,y）与定点）与定点F（4,0）的距离和它到）的距离和它到 定直线定直线l l :x= 的距离的比是常数的距离的比是常数 , 求点求点 M的轨迹的轨迹.25445xyol lFMd89变式变式1、点、点P与定点与定点F（2,0）的距离和它到定直线）的距离和它到定直线 x=8的距离的比是的距离的比是1:2, 求点求点P的轨迹方程，并说明的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形。轨迹是什么图形。xyoX=8X=8FP90练习练习 求适合下列条件的椭圆的标准方

32、程求适合下列条件的椭圆的标准方程(2)(2)已知椭圆的对称轴是坐标轴，已知椭圆的对称轴是坐标轴，OO为坐标原点，为坐标原点， F F是一个焦点，是一个焦点，A A是一个顶点，若椭圆的长轴是一个顶点，若椭圆的长轴 长是长是6 6且且coscosOFAOFA=2/3;=2/3;(1)(1)椭圆过椭圆过(3,0),(3,0),离心率离心率e= ;e= ;6 63 391练习练习 求适合下列条件的椭圆的标准方程求适合下列条件的椭圆的标准方程(1)(1)在在 x x轴上的一个焦点与短轴两端点得连线互相轴上的一个焦点与短轴两端点得连线互相 垂直垂直, ,且焦距为且焦距为6 6；(2)(2)已知椭圆的对称轴

33、是坐标轴，已知椭圆的对称轴是坐标轴，OO为坐标原点，为坐标原点， F F是一个焦点，是一个焦点，A A是一个顶点，若椭圆的长轴是一个顶点，若椭圆的长轴 长是长是6 6且且coscosOFAOFA=2/3;=2/3;(3)(3)椭圆过椭圆过(3,0),(3,0),离心率离心率e= ;e= ;6 63 3929293932答案答案3答案答案949495959696一般地一般地思考思考39797法二法二98989999221916xy1001008 2cm1011013答案答案102102本课小结本课小结103103104二、焦点三角形的面积问题二、焦点三角形的面积问题的坐标。求点，等于为顶点的三角

34、形的面积、及焦点点上的一点，且以是椭圆、已知点PFFPyxP1145121221,21514511212221，得：代入思路分析：yxyyFFpp105。，则的面积为若。是椭圆上一点，且两个焦点，点的是椭圆、已知点_9)0(122121222221bFPFPFPFPbabyaxFF39214242)(;2;4,222222221bbxySbxycxyyxayxcyxyPFxPF则设106推广：推广：2tan2cos22cos2sin21cossinsin211cos24cos22)(;2;4cos2,222222222221bbbxySbxycxyxyyxayxcxyyxyPFxPF则设107。的面积为则，且、焦点分别是上的一点，是椭圆、已知点_,45179321212122FPFFPFFFyxP求出三角形的面积。，然后用求出中，由余弦定理可以在则设法一：CabSxFPFxPFxPFsin21