概率论与数理统计：第三章 多维随机变量及其分布

1、第三章第三章 多维随机变量及其分布多维随机变量及其分布一维随机变量及其分布一维随机变量及其分布多维随机变量及其分布多维随机变量及其分布 由于从二维推广到多维一般无实质性的由于从二维推广到多维一般无实质性的困难，我们重点讨论二维随机变量困难，我们重点讨论二维随机变量 .第三章是第二章内容的推广第三章是第二章内容的推广. 到现在为止，我们只讨论了一维到现在为止，我们只讨论了一维r.v及其及其分布分布. 但有些随机现象用一个随机变量来描述但有些随机现象用一个随机变量来描述还不够，而需要用几个随机变量来描述还不够，而需要用几个随机变量来描述. 在打靶时在打靶时,命中点的位置是命中点的位置是由一对由一对

2、r.v(两个坐标两个坐标)来确定的来确定的. 飞机的重心在空中的位置是由三个飞机的重心在空中的位置是由三个r.v (三三个坐标）来确定的等等个坐标）来确定的等等. 一般地，我们称一般地，我们称n个随机变量的整体个随机变量的整体X=(X1, X2, ，Xn)为为n维随机变量或随维随机变量或随机向量机向量. 以下重点讨论二维随机变量以下重点讨论二维随机变量.请注意与一维情形的对照请注意与一维情形的对照 .3.1 3.1 二维随机变量及其分布二维随机变量及其分布 设设S=e是随机试验是随机试验E的样本空间，的样本空间，X=X(e)，Y=Y(e)是定义在是定义在S上的随机变量，则由它们构成的一上的随机

3、变量，则由它们构成的一个二维向量个二维向量(X,Y)称为称为二维随机变量或二维随机向量二维随机变量或二维随机向量。 二维随机变量二维随机变量(X,Y)的性质不仅与的性质不仅与X及及Y有关，而有关，而且还依赖于这两个随机变量的相互关系。因此，单独且还依赖于这两个随机变量的相互关系。因此，单独讨论讨论X和和Y的性质是不够的，需要把的性质是不够的，需要把(X,Y)作为一个整作为一个整体来讨论。随机变量体来讨论。随机变量X常称为一维随机变量。常称为一维随机变量。 一、二维随机变量及其分布函数一、二维随机变量及其分布函数 一维随机变量一维随机变量XR1上的随机点坐标；上的随机点坐标； 二维随机变量二维随

4、机变量(X,Y)R2上的随机点坐标；上的随机点坐标； n维随机变量维随机变量(X1,X2,Xn)Rn上的随上的随机点坐标。机点坐标。 多维随机变量的研究方法也与一维类似，多维随机变量的研究方法也与一维类似，用分布函数、概率密度、或分布律来描述其统用分布函数、概率密度、或分布律来描述其统计规律。计规律。 定义定义2 2 设设(X,Y)是二维随机变量，二元实是二维随机变量，二元实值函数值函数F(x,y)=P(X xY y)=P(X x,Y y) x(- -,+),y(- -,+)称为二维随机变量称为二维随机变量(X,Y)的的分布函数分布函数，或称，或称X与与Y的联合分布函数。的联合分布函数。即即F

5、(x,y)为事件为事件X x与与Y y同时发生的概率。同时发生的概率。二、二维随机变量的联合分布函数二、二维随机变量的联合分布函数几何意义：几何意义：若把二维随机变量若把二维随机变量(X,Y)看成平面上随机点的坐标，看成平面上随机点的坐标，则分布函数则分布函数F(x,y)在在(x,y)处的函数值处的函数值F(x0,y0)就表示就表示随机点随机点(X,Y)落在区域落在区域 - -X x0， - -Y y0中的概率。如图阴影部分：中的概率。如图阴影部分：(x0,y0)xyO 对于对于(x1, y1), (x2, y2) R2, (x1 x2， y1y2 )，则随机点则随机点(X,Y)落在矩形区域落

6、在矩形区域x1X x2，y1Y y2内的概率可用内的概率可用分布函数表示为分布函数表示为P(x1X x2，y1Y y2)F(x2, y2)F(x1, y2) F (x2, y1)F (x1, y1)(x1, y1)(x2, y2)O x1 x2 xy1y2y分布函数分布函数F(x, y)具有如下性质：具有如下性质：0),(lim),(yxFFyx1),(lim),(yxFFyx0),(lim),(yxFyFx0),(lim),(yxFxFy(1)对任意对任意(x, y) R2 , 0 F(x, y) 1。(2)F(x, y)是变量是变量x或或y的非降函数，即的非降函数，即 对任意对任意y R,

7、 当当x1x2时，时，F(x1,y) F(x2,y)； 对任意对任意x R, 当当y1y2时，时，F(x,y1) F(x,y2)。(3),(),(lim), 0(000yxFyxFyxFxx),(),(lim)0,(000yxFyxFyxFyy(4)函数函数F(x,y)关于关于x是右连续的，关于是右连续的，关于y也也是右连续的，是右连续的，即即对任意对任意x R，y R，有，有 反之，任一满足上述性质的二元函数反之，任一满足上述性质的二元函数F(x,y)都可以都可以作为某个二维随机变量作为某个二维随机变量(X,Y)的分布函数。的分布函数。三、二维离散型随机变量及其分布三、二维离散型随机变量及其

8、分布1、二维离散型随机变量（定义、二维离散型随机变量（定义3 3） 若二维随机变量若二维随机变量(X,Y)的所有可能取值是有限多的所有可能取值是有限多对或可列无限多对，则称对或可列无限多对，则称(X,Y)是二维离散型随机变是二维离散型随机变量。量。 2、联合分布律、联合分布律 设设(X,Y)是二维离散型随机变量，其所有可能取是二维离散型随机变量，其所有可能取值为值为(xi,yi)，i=1,2,，j=1,2,。若。若(X,Y)取数对取数对(xi,yi)的概率的概率P(X=xi, Y=yi)=pij，满足，满足(1)pij0 ；(2)111ijijp则称则称P(X=xi, Y=yi)=pij ，i

9、=1,2,，j=1,2,为二维离散为二维离散型随机变量型随机变量(X,Y)的的联合分布律或分布律联合分布律或分布律。二维离散型随机变量的分布律二维离散型随机变量的分布律也可用表格也可用表格形式表示为：形式表示为： YXy1y2.yj.x1p11p12.p1j.x2p21p22.p2j.xipi1pi2.pij.),(jiijyYxXPp的求法的求法 利用古典概型直接求；利用古典概型直接求； 利用乘法公式利用乘法公式. )()(ijiijxXyYPxXPp例例1 1 某校新选出的学生会某校新选出的学生会 6 名女委员名女委员, 文、文、理、工科各占理、工科各占1/6、1/3、1/2，现从中随机，

10、现从中随机指定指定 2 人为学生会主席候选人人为学生会主席候选人. 令令X , Y 分分别为候选人中来自文、理科的人数别为候选人中来自文、理科的人数. 解解 X 与与Y 的可能取值分别为的可能取值分别为0 , 1与与0 , 1 , 2. 求求(X, Y) 的联合分布律的联合分布律.,15/325232625CCCC) 00() 0() 0, 0(XYPXPYXP由乘法公式由乘法公式,15/3/) 0, 1(261311CCCYXP,15/2/) 1, 1(261211CCCYXP. 0) 2, 1(YXP,15/6/) 1, 0(261312CCCYXP;15/ 1/) 2, 0(2622CC

11、YXP,15/3/)0, 0(2623CCYXP或由古典概型或由古典概型相仿有相仿有故联合分布律为 0 10 1 23/15 6/15 1/153/15 2/15 0XY 例例2 2 袋里有袋里有5 5个编号的球，其中个编号的球，其中1 1个球编号为个球编号为1 1，有，有2 2个球编号均个球编号均为为2 2，有，有2 2个球编号均为个球编号均为3 3。每次从中任取两个球，以。每次从中任取两个球，以X和和Y分别表分别表示这两个球中编号最小的号码和最大的号码。求示这两个球中编号最小的号码和最大的号码。求X和和Y的联合分的联合分布律。布律。 解解 (X,Y)的全部可能取值为的全部可能取值为(1,2

12、),(1,3),(2,2),(2,3),(3,3)，5个球从个球从中任取中任取2个，共有个，共有C52=10种取法。试验样本点总数为种取法。试验样本点总数为10， 2 . 0102)2, 1(251211CCCYXP2 . 0102)3, 1(251211CCCYXP1 . 0101)2, 2(2522CCYXP4 . 0104)3, 2(251212CCCYXP1 . 0101)3, 3(2522CCYXP用表格表示为用表格表示为 YX2310.20.220.10.4300.1由由X和的联合概率分布，可求出、各自和的联合概率分布，可求出、各自的概率分布：的概率分布：, 2 , 1,)(1ip

13、pxXPijiji记作, 2 , 1,)(1jppyYPjiijj记作称称P(Xxi)pi.，(i1, 2, )为二维离散型随机变量为二维离散型随机变量(X, Y)关于关于X的的边缘分布律边缘分布律；称称P(Yyj)p.j，(j1, 2, ) 为二维离散型随机变量为二维离散型随机变量(X, Y)关于关于Y的的边缘分布律边缘分布律。以表格形式表示为以表格形式表示为YXy1y2yjP(X=xi)x1p11p12p1jx2p21p22p1jxipi1pi1pijP(Y=yj)1111iipp122iipp1iijjpp111jjpp121jjpp11jijpp注意：联合分布律可以确定边缘分布律，而边

14、缘注意：联合分布律可以确定边缘分布律，而边缘分布律不一定能确定联合分布律。分布律不一定能确定联合分布律。例例3 如例如例1中，已求得中，已求得( X ,Y )的联合概率分布的联合概率分布如下，求如下，求 ( X ,Y )的边缘概率分布的边缘概率分布 0 10 1 23/15 6/15 1/153/15 2/15 0XY 0 10 1 23/15 6/15 1/153/15 2/15 0XY pip j1/32/316/15 8/15 1/15解：由联合分布求得解：由联合分布求得( X ,Y )边缘分布律为四、二维连续型随机变量及其密度函数四、二维连续型随机变量及其密度函数1、定义、定义 设二维

15、随机变量设二维随机变量(X,Y)的分布函数为的分布函数为F(x,y)，若存在非负可积函数若存在非负可积函数f(x,y)，使对使对任意实数任意实数x，y，有，有 xydvduvufyxF),(),(则称则称 (X,Y)为二维连续型为二维连续型R.V.，且称函数，且称函数f(x,y)为为二维随机变量二维随机变量(X,Y)的密度函数的密度函数(概率密度概率密度)，或，或X与与Y的的联合密度函数联合密度函数，简记简记 p.d.f.,可记为可记为(X,Y) f (x,y)，(x,y) R22、联合密度、联合密度f(x, y)的性质的性质(1)非负性非负性：f(x,y) 0，(x,y) R2;(2)归一性

16、归一性： ),(),(00),(200yxfyxyxFyx(3)若若f (x, y)在在(x0,y0) 处连续，则有处连续，则有事实上事实上 yxydvvxfdudvvufxxyxF),(),(),(),(),(),(2yxfdvvxfyyxyxFy1),( dydxyxfGx,ydxdyyxfGYXP)(),(),(4)设设G是平面上一个区域，则二维连续型随机变是平面上一个区域，则二维连续型随机变量量(X,Y)落在落在G内的概率是概率密度函数内的概率是概率密度函数f(x, y)在在G上的积分，即上的积分，即 特别地，特别地， xXXdtdyytfdxdxFdxdxFdxdxf),(),()(

17、)(称称X的密度函数的密度函数fX(x)为为(X, Y)关于关于X的边缘密度函数，且的边缘密度函数，且 yYYdtdxtxfdydyFdydyFdydyf),(),()()(dxyxf),(dyyxf),(称称Y的密度函数的密度函数fY(y)为为(X, Y)关于关于Y的边缘密度函数的边缘密度函数与离散型相同,已知联合分布可以求得边缘分布；反之则不能唯一确定.(1)求常数求常数K；(2)求联合分布函数求联合分布函数F(x,y)；(3) 求概率求概率P(X+2Y 1)。 例例4 4 已知已知解解 (1)其其它它00, 0),(),(32yxKeyxfYXyx 1),(dxdyyxf00321dyK

18、edxyx030216kdyedxeKyxK=6O xyx+2y=1(2) xydudvvufyxF),(),( 其它其它00,060 032yxdvduexyvu其它其它00, 0)1)(1 (32yxeeyx(3)10210326) 12(xyxdyeedxYXP5135. 02)1(2101032dxeexyx例例5 5 设二维随机变量设二维随机变量(X,Y)的联合概率密度函数为的联合概率密度函数为其它其它010),(2yxykxyxf(1)求常数求常数k；(2)求概率求概率P(X+Y1)。解解 (1) 1),(dxdyyxf 10121)(xdxydykx101:xyxD10421)2

19、121(dxkxkx1)10161(1053kxkx解得解得k=15 21012115),() 1(dxydyxdxdyyxfYXPxxyx64519215O 1 x1yy=xx+y=12101:xxyxD(2)例6 设 r.v.( X ,Y ) 的联合 d.f. 为其他, 0, 10 ,0,8),(yyxxyyxf求求( X ,Y )边缘概率密度边缘概率密度解：dvvxfxfX),()(其他, 010,81xxvdvx10 xy1其他, 010,443xxx其他, 010,4)(3yyyfY同理求得同理求得Y的边缘密度函数为：的边缘密度函数为：例例7 7 设二维随机变量设二维随机变量其其它它

20、0, 1048),(),(23xyxxxyyxfYX求边缘密度函数求边缘密度函数fX(x)和和fY(y)解解 当当0 x1时时,dyyxfxfX),()()(24487523xxxydyxxO 1 x y1y=x2y=x3当当x0或或x1时，时，fX(x)=0，所以，所以其其它它010)(24)(75xxxxfX当当0y0、 20、| |1，则称，则称(X, Y) 服从参数为服从参数为 1， 1， 2， 2， 的二维正态分的二维正态分布，记为布，记为 2、二维正态分布、二维正态分布(P60) 若二维随机变量若二维随机变量(X, Y)的联合密度函数为的联合密度函数为2222212121212)(

21、)(2)()1(21221121),(yyxxeyxf);,;,(),(222211NYX二维正态分布的重要性质：二维正态分布的重要性质： 若若(X,Y)服从二维正态分布，服从二维正态分布，);,;,(),(222211NYX则则),(211NX),(222NY联合密度函数联合密度函数f(x,y)的指数部分的指数部分222221212121)()(2)(yyxx2222212121212212122121)()(2)()()(yyxxxx2112221212)()1 (xyxdyeedyyxfxfxyxX2112222121)1(212212)(12),()(1122211xyU令令dydu2

22、211dueexfuxX22)(12212121)(则则21212)(121xe),(211NX即即同理可得同理可得),(222NYx(- -,+)由此性质看到，由此性质看到，(X,Y)的边缘分布都与的边缘分布都与 无关，无关，说明说明 不同，得到的二维正态分布也不同，但不同，得到的二维正态分布也不同，但其边缘分布相同。因此边缘分布是不能唯一其边缘分布相同。因此边缘分布是不能唯一确定联合分布的，即使确定联合分布的，即使X,Y都是服从正态分布都是服从正态分布的随机变量，的随机变量， (X,Y)不一定是服从二维正态分不一定是服从二维正态分布。布。 二维正态分布的边缘分布必为一维正态分布，二维正态分

23、布的边缘分布必为一维正态分布，反之不真反之不真。例例9 9 设二维随机变量设二维随机变量)sinsin1 (21),(),(222yxeyxfYXyxx(- -,+)，y(- -,+)，求，求fX(x)，fY(y)。解解dyyxedyyxfxfyxX)sinsin1 (21),()(222dyyxeeeyyx)sinsin(21222222222222222122121xxyxeedyee) 1 , 0( NX因此因此同理可得同理可得) 1 , 0( NY但但 (X,Y)不服从二维正态分布。不服从二维正态分布。 分布函数的概念可推广到分布函数的概念可推广到n维随机变量的情形。维随机变量的情形。

24、事实上，对事实上，对n维随机变量维随机变量(X1, X2, , Xn)， F(x1, x2, , xn)P(X1 x1, X2 x2, , Xn xn)称为的称为的n维随机变量维随机变量(X1, X2, , Xn)的的分布函数，分布函数，或或随机变量随机变量X1,X2,Xn的联合的联合分布函数分布函数。定义定义 若若(X1, X2, , An)的全部可能取值为的全部可能取值为Rn上的有上的有限或可列无限多个点，称限或可列无限多个点，称(X1, X2, , Xn)为为n维离散维离散型随机变量，称型随机变量，称P(X1=x1,X2=x2,.Xn=xn)，为为n维随机变量维随机变量(X1, X2,

25、, Xn)的联合分布律。的联合分布律。则称则称(X1, X2, , Xn)为为n维连续型随机变量，称维连续型随机变量，称f(x1,x2,xn)为为n维随机变量维随机变量(X1, X2, ,Xn)的概率密度。的概率密度。定义定义 n维随机变量维随机变量(X1, X2, , Xn)，如果存在非负的如果存在非负的n元函数元函数f(x1,x2,xn)使对任意的使对任意的n元立方体元立方体nnnbxabxaxxD,.,|,.,111 DnnndxdxxxxfDXXP.),.,(.12113.2 随机变量的独立性随机变量的独立性一、两个随机变量的独立性一、两个随机变量的独立性定义定义 设设F(x,y)是二

26、维随机变量是二维随机变量(X,Y)的分布函数，的分布函数，FX(x)，FY(y)分别是分别是X与与Y的边缘分布函数，若对一切的边缘分布函数，若对一切x,yR，均有，均有P(Xx,Yy)=P(Xx) P(Yy)即即 F(x,y)= FX(x)FY(y)则称随机变量则称随机变量X与与Y是相互独立的。是相互独立的。随机变量随机变量X与与Y是相互独立的充要条件是事件是相互独立的充要条件是事件(Xx)与与事件事件(Yy)相互独立。相互独立。X与Y 独立)()(),(jijiyYPxXPyYxXP即jiijppp连续型)()(),(yfxfyxfYX二维随机变量二维随机变量 ( X, Y ) 相互独立相互

27、独立, ,则边缘分布完全确定联合分布则边缘分布完全确定联合分布对一切 i , j 有离散型X与Y 独立对任何 x ,y 有由上述结论可知：由上述结论可知： 要判断两个随机变量要判断两个随机变量X与与Y的独立性，只需求的独立性，只需求出它们各自的边缘分布，再看是否对出它们各自的边缘分布，再看是否对(X,Y)的每的每一对可能取值点一对可能取值点,边缘分布的乘积都等于联合分边缘分布的乘积都等于联合分布即可。布即可。例例1 1 已知已知(X,Y)的联合分布律为的联合分布律为YX1211/31/62a1/93b1/18X123P1/2a+1/9b+1/18Y12Pa+b+1/31/3试确定常数试确定常数

28、a,b，使，使X与与Y相互独立。相互独立。解解 先求出先求出(X,Y)关于关于X和和Y的边缘分布律的边缘分布律要使要使X与与Y相互独立，可用相互独立，可用pij =pipj来确定来确定a,b 。P(X=2,Y=2)= P(X=2)P(Y=2)， P(X=3,Y=2)= P(X=3)P(Y=2)，即，即 31181181319191ba9192ba因此，因此， (X,Y)的联合分布律和边缘分布律为的联合分布律和边缘分布律为YX12pi11/31/61/22a1/91/33b1/181/6pj2/31/3经检验，此时经检验，此时X与与Y是相互独立的。是相互独立的。例例2 2 若二维随机变量若二维随机变量);,;,(),(222211NYX证明证明X与与Y相互独立的充分必要条件为相互独立的充分必要条件为 =0证证 (X,Y)的联合密度函数为的联合密度函数为2222212121212)()(2)()1(21221121),