第一章一阶微分方程2

1、第一章 微分方程概念及初等积分法微积分之所以能广泛地应用于各科学领域，主要是因为许许多多的实际问题经常被化归为求解微分方程的问题。十七世纪末微分方程理论与微积分的计算几乎同时产生，并成为整个十八与十九世纪数学发展的主旋律.目前，微分方程已经成为研究自然、社会现象的强有力工具。在实际问题中，我们经常需要讨论各种具有不同意义的变量的变化“快慢”问题，在数学上就是所谓函数的变化率问题。例如在生物学以及人口问题研究中经常遇到“速率”、“增长率”，在放射性问题研究中经常用到“衰变率”，在经济学问题研究中经常用到“边际的”等。微分方程模型可以撇开自变量和因变量所代表的几何、物理或其它方面的意义，纯粹从数量

2、方面来刻画变化率的本质，从而可以很好的描述很多自然、社会和经济学问题。第一节 微分方程实例及基本概念一、微分方程实例例1 （几何问题）试求作一曲线，使在其上每一点处的切线斜率是该点横坐标的2倍，且过点(1 , 2）。解 由导数的几何意义及题意，有 （1.1.1）方程（1.1.1）含有自变量和未知函数的一阶导数，称这样的方程为一阶微分方程。显然，要从（1.1.1）中“解出”未知函数，只需直接积分（1.1.1）得 为任意常数 （1.1.2）由于（1.1.2）中的可取任意常数，所以这时求出的未知函数的图形是一族抛物线，而我们所要求的曲线仅是这一族抛物线中的某一条。由题意知，所求曲线还满足条件 （1.

3、1.3）将（1.1.3）带入（1.1.2）中得 ，求得 （1.1.4）于是所求的曲线方程为 （1.1.5）式子（1.1.2）是通过直接积分微分方程（1.1.1）而得到的一族函数，它们自然满足微分方程（1.1.1），以后称其为微分方程（1.1.1）的“通解”，而（1.1.5）是将条件（1.1.3）带入“通解”（1.1.2），通过确定其中的任意常数值后得到的一个函数，它亦满足方程（1.1.1），称其为方程（1.1.1）满足条件（1.1.3）的“特解”。为简便计，有时在微分方程中，不加区别地称“通解”（1.1.2）和“特解”（1.1.5）是方程（1.1.1）的“解”，称条件（1.1.3）为方程（1.

4、1.1）的“初值条件”或“初始条件”。同时，我们还把寻求一个微分方程“解”的过程称为解微分方程。 例2 （物体冷却问题）将某物体置于空气中。在时刻时，测得它的温度为，10min后测得它的温度为，试确定该物体的温度与时间的关系，并计算20min后该物体的温度，这里我们假设空气的温度保持为。 解决该物理问题，我们要用到下列物理知识：. 热传导定律：热量总是从温度高的物体向温度低的物体传导的；. 牛顿（Newton）冷却定律：在一定的温度范围内，一个物体的温度变化速度与这一物体的温度和其所在介质的温度差值成比例。 解 设该物体在时刻的温度为，则该物体的温度变化速度为，由于该物体将随其置放于空气中的时

5、间的增加而逐渐冷却，所以。于是，由牛顿冷却定律，有 （1.1.6）其中，是比例常数。（1.1.6）就是我们所要建立的反映该物体的温度与时间间关系的微分方程。由题意，知初始条件为 （1.1.7）为确定与间的关系，需从（1.1.6）中“解出”。为此，注意到是常数，而且由热传导定律知：，从而可将（1.1.6）改写为 （1.1.8）如此就使（1.1.6）等价地变为（1.1.8）而致变量与“分离”开来，从而直接积分（1.1.8）得（为任意常数）,即 （1.1.9）其中，是常数。为确定（1.1.9）中的，将（1.1.7）代入（1.1.9）得，故 （1.1.10）再将（1.1.10）代入（1.1.9）得 （

6、1.1.11）为完全确定与的关系，还需确定（1.1.11）中的比例常数. 为此，将条件代入（1.1.11），得 ,求得 （1.1.12）将（1.1.12）代入（1.1.11），得 （1.1.13）再用测得的，和假定的代入（1.1.13），得 （1.1.14）或 （1.1.15）这样，便可由（1.1.14）或（1.1.15）计算出该物体在任意时刻的温度的值或近似值。例如，当 min时，由（1.1.15）可求得。下面, 我们对“解”的实际意义给出解释。 由（1.1.14）或（1.1.15）知：,这说明该物体将随其放于空气中的时间的增加而逐渐冷却，这显然与我们的直觉认识是完全一致； 当时，, 这说明

7、该物体放于空气中充分长一段时间之后，其温度与空气的温度已经充分接近，几乎没有差别了，这亦与我们的直觉认识完全一致； 当 min时，由（1.1.15）可计算得, 这时该物体的温度与空气的温度较为接近； 当时，由（1.1.15）可计算得, 这时该物体的温度与空气的温度更为接近，我们的一些测量仪器已测不出它们的差别了. 在实用上，人们就有充分的理由认为，时，该物体的冷却过程已经基本结束。因此，经过较长时间（譬如）后, 即可认为该物体的温度已接近空气的温度而无甚差别了. 实际上，我们还常常借助于微分方程的“解”的图形来直观形象地了解“解”的性质，判明它与实际问题的一致性。图1-1就是微分方程（1.1.

8、6）的近似解（1.1.15）的图形，它清楚地表明了物体在冷却过程中，其温度随时间变化而变化的规律性。由上述例1和例2两例便可大致看出, 运用微分方程解决实际问题的基本步骤是：第一，建立符合实际问题的数学模型，也就是建立起能反映这个实际问题的微分方程，并确定相应的“初始条件”。很显然，这一步是解决实际问题的首要的、关键的一步。一般说来完成此步是比较困难的。因为这需要掌握与所要解决的实际问题有关的专业知识，当然还包括有一定的数学知识。因此为了建立起符合实际问题的数学模型，我们就应该努力学习、掌握与实际问题有关的自然科学知识和工程技术知识。由于微分方程连同其相应的“初始条件”（有时还有“边界条件”）

9、一起往往可以看作是各种不同的自然、社会现象的数学模型，因此，我们在具体建立微分方程的时候，应当注意只考虑影响所要解决的实际问题的主要因素而忽略掉次要因素。如此建立的微分方程，它的“解”与所要解决的问题是比较接近的，因而是有用的，否则是无用的，这时就需要我们重新进行分析、检查，查明原因，以修正原数学模型，最终建立起确能反映实际问题的有用数学模型，这一步对数学系的学生，不要求重点掌握，只要求一般掌握就可以了。第二，解方程，也就是求所建立的微分方程满足“初始条件”的“特解”。这一步是运用微分方程解决实际问题最终需要的结果，由于不同的自然、社会现象可以用同一类型的微分方程去描述、反映。因此，求解微分方

10、程就成为本课程的重点之一。第三，解释“解”的实际意义。这一步对解决实际问题是完全必要的，不是可有可无的。因为建立微分方程时往往会忽略掉一些影响实际问题的次要因素，而相应确定的“初始条件”又常常是通过实验测得的，难免不产生误差，忽略掉的“次要因素”与“初始条件”的误差两者共同作用的结果，必然会发生所求得的“解”与“实际问题”是否一致或比较接近，便能运用它预测到某些自然、社会现象的特定性质，达到主观能动地改造自然，改造社会，利用自然为人类服务，促进社会发展的最终目的。否则，便需要重新考察所求得的“解”与实际问题不一致或不接近的原因：微分方程建立得对不对？“初始条件”测得准不准？或者求解有误等。查明

11、原因再作相应的处理，以获得实际问题的最终解决。例3 （单摆运动问题）单摆是将一根长为的线段的上端固定而下端系一质量为的摆锤的简单机械装置。如图1-2所示，开始时将单摆拉开一个小角度，然后放开，使其在摆锤的重力作用下垂直平面上摆动，试建立单摆的运动方程。 解 设单摆在时刻的摆角为, 并取反时针方向为摆角的正方向。于是，由力学知识可知, 使单摆运动的力是摆锤的重力的切向分力：, 这里取负号是因为切向分力的方向与摆角的正方向相反之故。若设摆角（弧度）所对的弧长为，则由知, 单摆运动的切向速度或加速度为 及 ,于是，在不计阻尼介质(如空气，油等）的阻力作用下，由牛顿第二定律，有或者 （1.1.16）同

12、时由题意知有初始条件 （1.1.17）方程（1.1.16）就是单摆的无阻尼自由振动方程. 特别地，若我们只研究单摆的无阻尼微小自由摆动，这时由于很小，所以. 如此，则得到单摆的无阻尼微小自由振动方程 （1.1.18）显然，情形是在人为的“理想化”了的条件下考虑单摆的运动方程（1.1.16）或者（1.1.18）的，它们只能近似的反映单摆的运动规律. 实际上，单摆在运动过程中自然要受到阻尼介质（如空气、油等）的阻力作用，由此导致摆动逐渐趋于停止. 因此，为较精确的反映单摆的运动规律，就应该考虑阻尼介质的阻力作用. 若考虑阻尼介质的阻力作用，则由实验知道:阻力R的方向总是与单摆运动方向相反，在摆力不

13、大时，其大小与切向运动速度成正比.于是，若设比例系数为,则有从而，由（1.1.18）及牛顿第二定律，即得单摆的有阻尼微小自由整动方程： （1.1.19）此外，若沿着单摆运动方向还恒施一个外力作用于单摆，则由牛顿第二定律得单摆的有阻尼微小受迫振动方程 （1.1.20）显然，最后给出的单摆的振动方程（1.1.20）是单摆的最一般的运动方程，它是采用先简单后逐次复杂的程序，层层递推求得的。这是数学中常常使用的解决实际问题的重要方法之一，我们自然应当认真学习使用。当然，这一解决实际问题的重要方法有时也可以反过来使用，即采用先一般后逐次简单的程序，层层简化以获得实际问题的完全解决。例4例1.4 （经济模

14、型）(i) 商品价格问题 对于一种商品来说，第个消费者对该商品的需求量是按照使得该消费者的效用函数（或偏好）达到最大的原则来确定的；当然这与该消费者持有的货币以及该商品的价格有关；在前者不变的假设下，则一般是的递减函数，对所有消费者求和，就得到该种商品的市场总需求函数.另一方面，生产该商品的厂商们是按照使得其利润达到最大的原则来决定所提供该商品（产品）的数量由此即可推出厂商生产该产品的边际成本(Marginal Cost)应等于该产品的市场价格，亦即若第j个厂商生产该产品数量的成本为，则有，这就推出第j个厂商能为市场提供该商品的数量一般是该商品价格的递增函数，对所有生产该产品的厂商求和，即得到

15、该商品市场的总供给函数记，并称它为该商品的超需求函数，显然，若总需求大于总供给，即当时，则该商品供不应求，因此它的价格必然随时间的增加而上升，亦即；而当时，该商品供大于求，其价格应随的增加而下降，亦即，因此我们有理由假设该商品的价格对时间的变化率与超需求函数成正比，即 （1.1.21）这里比例常数可通过对市场进行实际调查而确定.方程(1.19)就是确定某种商品价格的数学模型；此外，我们称使得的价格为该商品的均衡价格（equilibrium price），而均衡价格是否稳定是该商品市场的重要特性.(ii)新古典经济(neoclassical economics)增长模型 在一定的技术水平上，一个

16、地区的经济产出值主要依赖于劳动力和资本，即 （1.1.22）这就是所谓的生产函数；例如，C.Cobb和P.Douglas就是利用18901926 年美国马萨诸塞州的统计资料得出一个著名的Cobb-Douglas生产函数，这里均为常数.一般来说，生产函数对，都有一次齐次性，即若劳动和资本都扩大倍，则产出也扩大倍.于是有 （1.1.23）其中，为人均资本，为人均产出.产出一般有两个用途：一是用于消费，一是用来再投资，即 （1.1.24）而投资又可分为两部分，即 （1.1.25）其中，是用于资本的存量，以便扩大再生产；而是用于折旧或耗损，为耗损系数.假设劳动的增长与人口的增长同步，且为指数式增长，即

17、，这里为人口的纯增长率，于是由有亦即 （1.1.26）将（1.1.24）两边除以，并把用（1.1.25）的右端、用（1.1.26）的右端代入即可推得 （1.1.27）其中，为人均消费量；为常数.因此由（1.1.23），（1.1.27）推出 （1.1.28）这就是所谓的新古典经济增长模型，它是关于人均资本的一个微分方程；此外还应满足初始条件如果在（1.1.24）中的投资取为，这里是一个固定的比例系数，则，将此代入（1.1.28），并联合上面的初始条件即得 （1.1.29）容易看出，这个问题的解不仅依赖于时间，还与有关，即.如果存在（这只需对加上一定的条件），则有如下问题:应如何选取常数，使得人均

18、消费达到最大呢？利用将在第三章讨论的稳定性概念并通过计算可以推出，这个值应由方程 （1.1.30）确定，这就是所谓的资本积累的黄金准则.二、微分方程的基本概念 微分方程是含有未知函数的导数或微分的等式，微分方程中所出现的未知函数的最高阶导数的阶数，称为微分方程的阶数。微分方程按其阶数来分，可分为一阶（低阶）微分方程和高阶微分方程。高阶微分方程就是二阶或二阶以上的微分方程，这与高阶导数的定义类似。例如，反映物体冷却过程中物体温度变化规律的微分方程 (1.1.6）是一阶微分方程，反映单摆的有阻尼微小受迫振动方程 (1.1.20）是二阶微分方程。按高阶微分方程的定义，方程（1.1.20）又可称为高阶

19、微分方程。 微分方程按其所含自变量的个数可以分为常微分方程和偏微分方程。常微分方程就是微分方程中所含未知函数中出现的自变量的个数是一个的方程，而偏微分方程就是微分方程中所含未知函数中出现的自变量个数是二个及其以上的方程。 前面几个例子中所给出的反映实际问题的微分方程都是常微分方程，阶常微分方程的一般形式是 （1.1.31）这里是的已知函数，其中是不能缺少的，而是可以缺少的，是自变量，是未知函数。 下述的波动方程热传导方程和势方程或Laplace方程 都是偏微分方程。 我们现在学习的这门课程是常微分方程，为简便计，以后我们将常微分方程简称为微分方程或方程。 微分方程按其所含未知函数及其各阶导数的

20、次数可以分为线性微分方程和非线性微分方程。所谓线性微分方程是指微分方程中所所含有的未知函数和未知函数的各阶导数的次数都是一的微分方程。阶线性微分方程的一般形式是这里及均是的已知函数。 凡不是线性微分方程的方程就是非线性微分方程，或者说非线性微分方程就是微分方程中所出现的未知函数及其各阶导数中至少有一个的次数不是一的微分方程。例如，单摆的无阻尼自由振动方程 （1.1.16）就是一个二阶非线性微分方程。 微分方程的“解”、“通解”、“特解”等概念，在例1.1中已经言及过。现在我们把它们确切化。1、 解或隐式解若对阶微分方程 （1.1.31）存在直到阶连续可微的函数使得则称函数是微分方程（1.1.3

21、1）的解。若由方程所确定的隐函数是微分方程（1.1.31）的解，则称是微分方程（1.1.31）的隐式解。例如，通过直接验算可知是方程的隐式解。 为简便计，我们以后对微分方程的解和隐式解不加区别，都统称为微分方程的解。2、 通解与特解若函数是方程（1. 21）的解，且此解中所含有的个任意常数是相互独立的，则称函数是方程（1.1.31）的通解。 注意，这里所说的函数中所含有的个任意常数是相互独立的，直观上是指不能合并而使其个数减少。用数学语言描述是指存在点的某一个邻域，使得行列式 若方程 所确定的隐函数是方程（1.1.31）的通解，则称是方程（1.1.31）的隐式通解。 同样，为简便计，我们以后亦

22、对微分方程的通解和隐式通解不加区分，统称为微分方程的通解。 由于微分方程的通解中含有相互独立的任意常数，所以它不能完全确定地反映某一客观事物变化的规律，因而就必须确定通解中的相互独立的任意常数值。为此，需要根据所论问题的实际情况，给出确定这些任意常数的条件，这样的条件称为微分方程的定解条件。 常见的一类重要定解条件是初始条件，另一类定解条件则是边界条件。 本书仅讨论初始条件。阶微分方程（1.1.31）的初始条件是 （1.1.32） 求方程（1.1.31）满足定解条件的解的问题，称为方程（1.1.31）的定解问题。方程（1.1.31）的定解问题可记为 （1.1.33） 当定解条件只表现为初始条件

23、时，相应的定解问题就称为初值问题或柯西问题。方程（1.1.31）的初值问题或柯西问题是 （1.1.34）本书只讨论初值问题，而且把初值问题的解称为相应微分方程的特解。注意，这里所言及的初值问题的解通常亦说成微分方程（1.1.31）满足初始条件（1.1.32）的特解。显然，对于初值问题（1.1.34），所给的初始条件（1.1.32）不同，所求得的对应的特解亦不同。实际上，微分方程的特解通常是将初始条件代入先已求得的通解中，通过确定其中的任意常数而得到的。 三、积分曲线与方向场 下面我们从几何角度解释微分方程解的概念，首先是积分曲线。 定义1 一阶微分方程 （1.1.35）的解的图形是平面上的一条

24、曲线，我们称此曲线为方程（1.1.35）的积分曲线。而方程（1.1.35）的通解的图形是平面上的一族曲线，我们称此族曲线为方程（1.1.35）的积分曲线族。 显然，方程（1.1.35）满足初始条件的解的图形就是此积分曲线族中通过点的那条积分曲线。 由积分曲线的定义及导数的几何意义知：方程（1.1.35）的积分曲线上每一点处的切线斜率都恰好等于二元函数在该点处的函数值。这表明：方程（1.1.35）的积分曲线上的每一点及这点处的切线斜率均能满足方程（1.1.35）。据此，可得方程（1.1.35）的积分曲线的如下定义 定义2 若有一条平面曲线，其上每一点处的切线斜率都刚好等于二元函数在该点处的函数值

25、，则这条平面曲线就是方程（1.1.35）的积分曲线。显然，当方程（1.1.35）的解存在但不易求出时，我们就可以考虑利用上述定义2，作出方程（1.1.35）的积分曲线。为此，我们进一步引进以下概念-方向场定义3 设方程（1.1.35）右端的二元函数的定义域为，则过内每一点，都可以作出一条以二元函数在该点处的函数值为斜率的直线。这条直线有两个指向，为确定计，选定其中的一个，例如选定向量所指的方向。如此，对于内每一点，方程（1.1.35）都确定出一个方向与对应。于是，我们称方程（1.1.35）在内确定了一个方向场。习题1.11 判断方程类型，阶数，是否线性？ 2证明在区间上是方程的一个解，而区间不

26、是它的定义区间.3求边值问题的解，已知其通解为.4 在平面上求有下列性质的曲线的方程所满足的微分方程：它上面的任一点的切线均与过坐标原点与点的直线垂直.5 设一曲线有如下性质：曲线上个点处的切线，切点到原点的向径及轴可围城一个等腰三角形（以轴为底）且通过点，求该曲线的方程满足的微分方程及定解条件.6求微分方程，其通解为1）（为参数） 2）（为参数）第二节 可分离变量方程和变量变换法 微分方程的一个主要问题是“求解”，即把微分方程的解通过初等函数或它们的积分表达出来，但一般的微分方程无法求解，只能对某些特殊类型方程通过相应的方法求解本章主要介绍一阶微分方程或的一些可解类型和相应的求解方法，这些方

27、法是在微分方程发展的早期由Newton，Leibniz，Bernoulli 等发现的一、 可分离变量方程 形如 （1.2.1）的方程，称为可分离变量方程，这里是连续函数的集合。 当0时，（1.2.1）可改写为这叫将方程（1.2.1）分离变量。两边积分，得 （1.2.2）或者 （1.2.3）其中，分别是，的某一原函数，是使（1.2.2）或（1.2.3）有意义的某常数。 反之，对于任意常数，把（1.2.2）或（1.2.3）视为确定是的隐函数的关系式，微分（1.2.2）或（1.2.3）两边，即知（1.2.2）或（1.2.3）所确定的隐函数满足方程（1.2.1），因而（1.2.2）或（1.2.3）是方

28、程（1.2.1）的通解。当时,若存在，使，直接带入方程（1.2.1）即知，亦是方程（1.2.1）的解。结论：当包含在通解（1.2.2）或（1.2.3）中时，方程（1.2.1）的通解就是（1.2.2）或（1.2.3）；当不包含在通解（1.2.2）或（1.2.3）中时，方程（1.2.1）的解为（1.2.2）或（1.2.3）及 。例1 求解方程 解 分离变量，得即两边积分，得（）化简，得所求方程的通解为 ，（）。 例2 试求初值问题的解。 解 当时，原方程恒成立。故是所给初值问题的解。 当时原方程变为 （1.2.4） 分离变量，得 两边积分，得 ，即，于是，由是解即知当时，原方程变为 （1.2.5）

29、分离变量，得 ，两边积分，得，即。于是，由是解即知 综上所述，原初值问题的解是 （1.2.6） 例3 解方程。 解 当，得，即 两边积分，得，即 当，原方程恒成立，故亦是原方程的解。 于是，原方程的所有解为 为求特解，将初始条件，得，故所求特解为 由例2与例3所给出的两个一阶方程的初值问题可知：前者的解存在，但不唯一，而后者的解不但存在，而且唯一。为何两者有此质的差异呢? 对此，本书第二章给出明确解答。 二、可化为变量可分离类型的方程 有些微分方程，表面上看并不是可分离变量方程，但通过一次或二次以上的适当变量变换就可化为可分离变量方程。下面介绍几种主要的能化为变量可分离类型的微分方程。齐次方程

30、定义若方程 （1.2.7）右端的二元函数是的零次齐次方程，即满足恒等式 （1.2.8）则称方程（1.2.7）为齐次方程。这里顺便指出，是的次齐次函数是指满足恒等式 注 定义是齐次方程的一般形式，利用它便于判定所给方程是否是齐次方程。此外，利用定义容易得到与之等价的 定义 形如 （1.2.9）的方程，称为齐次方程。 事实上，在恒等式（1.2.8）中，若令则得等恒式若再记，则方程（1.2.7）即可变为方程（1.2.9）。反之，同理可由（1.2.9）推得（1.2.7）。下面我们直接求解方程（1.2.9）。令 （1.2.10）则 （1.2.11）将（1.2.10）、（1.2.11）代入（1.2.9），

31、得，即 （1.2.12） （1.2.12）已是一个可分离变量方程，按可分离变量的解法求出其解后再代回到原来的变量，便可得到方程（1.2.9）的解。 例 4 解方程 解 将原方程改写为 （1.2.13）这是一个齐次方程。令 （1.2.14）则有 （1.2.15）将（1.2.14）、（1.2.15）代入（1.2.13），得，即这是一可分离变量方程，分离变量，得 ，即 两边积分，得（为任意常数）故原方程的通解为（为任意常数）或者 （为任意常数）例5 解方程 解 将原方程改写为 （1.2.16）这是一齐次方程。令, （1.2.17）则, （1.2.18）将（1.2.17）、（1.2.18）代入（1.2

32、.16），得 ，即 （1.2.19）1 当时，分离变量，得 两边积分，得 （为任意常数）代回到原来的变量，得 （为任意常数）2 当时，方程（1.2.19）仍成立，从而原方程亦成立。故亦是原方程的解。于是原方程的解为及 （为任意常数）例6 求解方程 解 原方程可改写为 （1.2.20）这是一齐次方程。令 , （1.2.21）则, （1.2.22）将（1.2.21）、（1.2.22）代入（1.2.20），得 ，即 （1.2.23）1 当 时，分离变量，得，两边积分，得，（是满足的任意常数），即再代回到原来的变量，得，（是满足的任意常数。）2 时，方程（1.2.23）仍成立，故亦是原方程的解。于是原

33、方程的解为2.可化为齐次的方程.方程的一般形式 （1.2.24）其中，均为常数。 解法：分三种情况。 情形：。这时，方程（1.2.24）变为这是齐次方程，自然可按齐次方程的解法求解。 情形：这时，若记，则方程（1.2.24）变为 （1.2.25）令 （1.2.26）则对（1.2.26）两边关于求导，得 （1.2.27）将（1.2.25）、（1.2.26）代入（1.2.27），得 （1.2.28）（1.2.28）是一可分离变量的方程，自然亦可按其解法求解。 情形：。 这时容易注意到方程（1.2.24）右端函数的分子、分母是关于的一次整式，且在情形时，当时，方程组表示平面上过坐标原点（0,0）的两

34、条相交线，而在情形时，相应方程组 （1.2.29）却表示平面上的不过坐标原点的两条相交直线，这一差异自然启发我们将还未能求解的情形转化为已能求解的情形。 为此，设（1.2.29）所表示的两条相交直线的交点为，并令 （1.2.30）（1.2.30）是一坐标平移交换，其实质是将坐标原点移至交点，则（1.2.29）变为从而相应的方程（1.2.24）变为 （1.2.31）这已是一齐次方程，当然可按其解法求解。最后再代回到原来的变量即可求得原方程的解。 情形是可化为可分离变量方程的基本类型的一般形式，它的一般求解步骤是： （）求解方程组（1.2.29）,设其交点为； （）作坐标平移变换（1.2.30），

35、将原方程（1.2.24）化为齐次方程（1.2.31）； （）再作齐次变量变换，将方程（1.2.31）化为可分离变量方程 （1.2.32）或者 （1.2.33） （）求解（1.2.32）或者（1.2.33），再代回到原来的变量即得原方程的解。 显然，上述求解方法和步骤亦适合于方程（1.2.24） 更为一般的形式 （1.2.34） （1.2.35）显然，（1.2.34）完全可按(2.24）求解时所分述的三种情形作相应的变量变换求解，而对于（1.2.35）则可分如下两种情形论之。 （）当，（1.2.35）显然已是可分离变量方程； （）当，作变量变换，则有 这已是一可分离变量方程。三、其它的可化为变量

36、分离类型的方程通过适当的变量变换，可化为可分离变量方程的其它类型还较多，例如 （1.2.36） （1.2.37） （1.2.38） （1.2.39）以及 （1.2.40）（其中,均为的同次齐次函数,特别场合次数也可以不同）等一些方程就是其中的一少部分。求解这类方程时，关键在于根据方程的特点，作适当的变量变换。例如，对方程（1.2.36）、（1.2.37）、（1.2.38）作变量变换，对方程（1.2.39）作变量变换，对方程 （1.2.40）作变量变换，即可化为可分离变量方程。 例如对于（1.2.36），首先，注意到，否则（1.2.36）已不是微分方程了。其次，作变量变换 （1.2.41）则 （

37、1.2.42）将（1.2.41）、（1.2.42）代入（1.2.36），得化简，得这已是一可分离变量方程。其余的留给读者验证。例7 求解方程 （1.2.43） 解 因为，所以令 （1.2.44）则 （1.2.45）将（1.2.44）、（1.2.45）代入（1.2.43），得即分离变量，得两边积分，得,(为任意常数）即,(为任意常数）代回到原来的变量，得 故原方程的通解为 ，（为任意常数）例8 解方程 （1.2.46）解 因为皆不等于零,所以求解方程组，可得其解为,令 （1.2.47）则 （1.2.48）将（1.2.47）、（1.2.48）代入（1.2.46），得 （1.2.49） 这是一齐次方

38、程，令则 （1.2.50）将（1.2.50）代入（1.2.49），得即 因为,所以，分离变量，得 两边积分，得 （，常数）即 （，常数）化简，得 代到原来的变量，得故原方程的通解为 (53-62）习题1.2 第三节 线性方程与贝努力方程一 一阶线性方程 一阶线性方程的一般形式 （1.3.1）其中，是在所论区间上关于的连续函数，前者称为方程（1.3.1）的系数，而且是变系数，后者称为（1.3.1）的非齐次项。若, 这时方程（1.3.1）成为 （1.3.2）称它为一阶齐次线性微分方程。 若，称方程（1.3.1）为一阶线性非齐次微分方程，对于方程（1.3.2），以后我们还称它为方程（1.3.1）对应

39、的一阶齐次线性微分方程。 此外，对于下述一阶线性方程 （1.3.1-1）其中，均是所论区间上的连续函数。若在所论区间上无零点，则 （1.3.1-1）可改写成（1.3.1），其中，为所论区间上的的连续函数；若在所论区间上有零点，则只要在的相应区间上讨论方程 （1.3.1）的求解问题就可以了。为求解一阶微分方程（1.3.1），首先求（1.3.1）对应的齐次方程（1.3.2）的通解。方程（1.3.2）是一可分离变量的方程，容易求得它的通解为 为任意常数 （1.3.3）事实上，当时，分离变量得 ，积分，得 ，即 为任意常数。当时，原方程仍成立。故方程（1.3.2）的通解为 为任意常数 其次，考虑方程（

40、1.3.1）的通解的求法。由于方程（1.3.2）是方程（1.3.1）当时的特殊情形，所以自然地方程（1.3.2）与方程（1.3.1）应该既有联系又有差别。从而推知其通解亦应既有一定的联系又有一定的差别。从方程（1.3.2）的通解表达式（1.3.3）看：它与方程（1.3.2），（1.3.1）中均具有的未知函数的变系数有关的部分都应包含在方程（1.3.2）与方程（1.3.1）的通解中，而与非齐次项等于零是否有关的部分，在方程（1.3.2）与方程（1.3.1）的通解中应有差别。显然这个差别就应是方程（1.3.2）的通解（1.3.3）中的任意常数。因此，我们猜想：方程（1.3.1）的通解具有与方程（1

41、.3.1）的通解既有联系又有差别的下述形式 （1.3.4）其中，是由（1.3.3）中的任意常数变易而来的，尚需确定的的待定函数。 为求出（1.3.4）中的，微分（1.3.4）的两边，得 （1.3.5）将（1.3.4），（1.3.5）代入（1.3.1）中，得即 两边积分，得为任意常数 （1.3.6）将（1.3.6）代入（1.3.4），得 为任意常数 （1.3.7）这就是方程（1.3.1）的通解。 若将（1.3.7）改写为两项之和则上式右端第一项是方程（1.3.1）对应的齐次线性方程（1.3.2）的通解，第二项是非齐次线性方程（1.3.1）的一个特解（在方程（1.3.1）的通解（1.3.7）中取便得到这个特解，当然亦可将第二项代入方程（1.3.1）进行验证）。 由此可知：一阶非齐次线性方程的通解等于它对应的齐次方程的通解与它的一个特解之和。 上述求一阶非齐次线性方程的通解时所采取的这种将常数变易为待定函数的方法，我们通常称它为常数变易法，以后，我们还将运用这种方法。实际上，这种方法亦是一种变量变换法。 例如在上述通解问题中，我们通过作变量变换