关注学生发展

1、关注学生开展 追求“优效教学“直线与平面平行的判定案例分析肖凌慧510700广东省广州市黄埔区教育局教研室本文发表在?中国数学教育?高中版2021年第1 - 2期P39-44.高中数学“优效教学的案例研究,是笔者主持的?高中数学“优效教学的行动研究?“广州市中小学教学领域进一步深化素质教育的立项课题的重要内容.在案例研 究中,我们开展“同课异构活动,引导教师进行教学反思,提炼优效教学的教学课例, 积极推进素质教育.现以“直线与平面平行的判定为例,与同行分享.一、课例描述一课例1的教学过程与点评1 .引入新课师：空间中直线和平面有哪几种位置关系生1:直线在平面内,直线与平面平行,直线与平面相交师

2、：根据直线与平面平行的定义来判定直线与平面平行你认为方便吗生2:根据直线与平面平行的定义来判定直线与平面平行不方便师：由于直线的无限延伸性和平面的无限伸展性,用定义判定直线与平面平行确实有困难.现在我们来学习直线与平面平行的判定定理2 .探索判定定理师：根据日常生活的观察,同学们能举出直线与平面平行的具体事例吗教师演示：教师取出预先准备好的直角梯形板进行演示.把互相平行的一边放在讲台桌面上并绕这一边所在直线转动直角梯形板,让学生观察另一边与桌面的位置关系.生3:另一边与桌面平行.师：假设把垂直于底边的腰放在桌面上并转动直角梯形板,另一腰所在直线与桌面平行吗教师演示生4:另一腰所在直线与桌面不平

3、行师：上述演示中,直线与平面位置关系为何有如此的不同关键是什么因素起了作用 呢通过观察感知,教师归纳,呈现课件.直线和平面平行的判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行,那么该直线与此平面平行.简单概括：线线平行二线面平行.符号表示: a 二：,b 二3,a / b= a 二.作用：判定或证实线面平行.关键：在平面内找或作出一条直线与平面外的直线平行思想：空间问题转化为平面问题,复杂问题转化为简单问题3 .定理运用教师讲解例题：例1空间四边形 ABCD中,E, F分别是AB和AD的中点,求证：EF/平面BCD. 学生思考问题.变式1: E,F一定要是中点上面结论才成立吗假设改为“ AE

4、=AB,AF =【AD 呢33空间四边形 ABCD中,E, F分别是AB、AD上的点,假设 ,那么 EF 平面BCD.请填上一个使命题成立的条件变式2:如图1,空间四辿形 请找出图中线面平行的关系.变式3:在二棱锥 ABCD中,线面平行的关系.变式4:设两个全等的正方形ABCD中,E,F,G,H分别为各边上的中点,力：E,F,G,H分别为棱A电BCD , DA Qk的中点,请找出图中ABCD和ABEF相交于 AB , M、N久别为 AC和BF中点,如图2所示,求证：MN / 平面BCE .AEC4 .稳固练习学生演练课本练习.教师引导思考:(1)在课本练习的第2题中,如果ABCD - AB1C

5、1D1是长方体,结论仍然成立吗(2)在课本练习的第2题中,薯鼻2,能否在DiE上找一点F ,使得BF 平面由田二=345.口AEC ?如果 ED呢(3)在课本练习的第2题中,你能在平面BB1cle内画一条直线和平面 AEC平行吗5 .课堂小结(1)线面平行的判定定理：平面外的一条直线与平面内的一条直线平行,那么该直线与 这个平面平行.定理的符号表示： a二,b：_ ,ab= a二.简述：线线平行二线面平行.(2)定理运用的关键是找(作)面内的线与面外的线平行,途径有：取中点利用平行 四边形或三角形中位线性质等.6.布置作业课本习题2.2A组第3题和第4题.点评：在本课例中,教师注重直线与平面平

6、行的判定定理的运用.在例题教学时,重视标准表达解题过程,注重变式教学,但无视文字语言、图形语言、符号语言的转化练习.在直线与平面平行的判定定理的形成过程中,教师直接告知结论,无视学生对判定定理的 理性熟悉.二课例2的教学过程与点评1 .复习回忆,引入新课师：空间直线与平面的位置关系有哪几种 生：直线在平面内,直线与平面平行,直线与平面相交多媒体投影下表.位置关系直线a在平面内直线a3回相交直线a与半白用行图像表示符号表示ahct = A师：如何判定一条直线和一个平面平行呢?教师提出如下问题,让学生观察探究 .问题1:将课本的一边紧贴桌面,转动课本,课本的上边缘与桌面的关系如何问题2:将课室门翻

7、开,门上靠近把手的边与门框所在的墙面有何关系2 .操作确认,抽象概括学生操作确认.如图3,在长方体 ABCD-ABCD中,直线AB与直线C D的位置关系为 ,直线AB与平面ABCD的位置关系为 ,直线AB与平面DCCD的位置关系为 .图3教师抽象概括.直线与平面平行的判定定理：假设平面外一条直线与此平面内的一条直线平行,那么该直 线与此平面平行.简单概括：线线平行二线面平行.图形表不：如图4.符号表示：a二一b二,a b=.a / ：.简要表述：线线平行：线面平行.作用：判定或证实线面平行.图43 .例题讲解,变式演练例 求证：空间四边形相邻两边中点的连线平行于经过另外两边所在的平面：如图5,

8、空间四边形ABCD中,E,F分别是AB和AC的中点.求证：EF 平面BCD.图5变式练习：(1)如图6,在长方体 ABCD-AECD,中,E为棱DD,的中点.试判断BD,与平面 AEC 的位置关系,并证实.图6(2)如图7,四棱锥P-ABCD的底面是梯形,AB/ CD且CD = 2AB.问：线段PC 上是否存在点F使得BF/平面PAD ?并证实你的结论.图74 .课堂小结(1)直线与平面平行的判定方法：定义法,判定定理法.(2)证实线线平行的常见方法：三角形中位线、相似三角形、平行四边形的性质.5 .布置作业课后作业：习题2.2A组第3题.点评：在本课例中,教师注重对实物的观察,引导学生在直观

9、感知、操作确认的根底 上抽象概括出判定定理,注重经历观察探究、操作确认、抽象概括、定理运用的过程.在操作确认上,通过长方体模型中的线线平行、线面平行关系来具体熟悉线面平行的判定定理 的本质属性,使学生明确判定定理的条件和结论.但是,教师直接告知结论,无视学生对判定定理的理性熟悉.变式练习第2题的教学中,局限于用平行四边形的性质来证实线线 平行这一预设目标,刻意从平行四边形的角度来解决问题,无视了对三角形中位线定理的具体操作：通过分析条件AB/ CD, CD =2AB ,可引导学生由中点联想中位线, 进而延长CB 和DA交于点G ,得到三角形,再中位线定理证实线线平行,进而推出线面平行.由于时间

10、安排较紧,学生参与不充分,没有充分激发学生的数学思维,未能到达预设的教学效果.三课例3的教学过程与点评教学步骤教学内容学生反响教师指导复习提问1 .空间中直线和平向有哪些位置关系2 .在上述三种位置中,直 线上冲回的公共点的个 数各是多少3 .用图形和符号是如何 表示的?1 .直线与平白平行,直 线与平白相交,直线在 平面内.2 .依次是：无公共点, 有且只有一个公共点, 有无数多个公共点.引导学生温故知新.问题提出如何判定一条直线和个平白平行呢思考、讨论设置疑难：定义法难 以证实“无 公共点.定理导入1.观察：门扇的两边是平 行的,当门扇绕口边转 动时,另一边与门框所在 平面具有什么样的位置

11、 关系1 .平行.2 .平行.3 .在桌面上“找 一条直线与之平行.引导学生 从实例中 感受线面 平行的判 定依据.2.观察：课本的对边是平行的,将课本的一边紧贴桌回,沿着这条边转动课本,课本的上边缘与桌面所在平面具有什么样的位置关系3.拿在手上的一支笔,你如何保证它能和桌面平行呢直线与平白平行的判定定理说明：定理：平面外的一条直线1.符号语与此平面内的一条直线言中的三平行,那么该直线与此平白个条件缺平行.一个可；图 形 语 言：2.定理简a述为：定理讲线线平行解/线面平行.a辽G线线平行不r t口目.b Un = a支a/ b /是条件的核心,要证明线面平行,可转化为证实线线平行.定理的再熟

12、悉判断：(1)假设直线l平行T平白a内的无数条直线,那么l/ a(2)如果a,b是两条直线,且a / b ,那么a平行于经过b的任何平面(1)错误.(2)错误.根底训练AE 平;AA与 有面二A如图,在长方体3CD AB1c1D1 中,与 AB行的平面有；与I平行的平面有；AD平行的平面；与ABi平行的平有.为什么C(1)平面A1B1c1D1和平面 D1DCC1 ;(2)平面D1DCC1和平面 B1BCC1 ；(3)平白 B1BCC1AB1C1D1；(4)平面 D1DCC1.1/1口/：BiD一CAB例题讲解例.求证：空间四边形相 邻两边中点的连线平行 于经过另外两边所在的 平面.变式练习：如

13、图,空间四边形ABCD中,E,F分别是AB,CD的中点.求证：EF /平面BCD.证实：连接BD.线线平行问题.“找出平行的直线.布置作业1 .课本习题2.2 A组第3 题.2 .课本习题2.2 B组第1 题.3 . 在 长 方 体ABCD -A1B1C1D1 中,E、F分别是棱BC与C1D1的中 点.求证：EF / 平面BDDB BDD1B1.4 .在正方 体ABCD - AB1cl D1 , P,Q 分别是AD1和BD上的点, AP = BQ .求证：PQ /平面DCC1D1.点评：这节课的亮点是：学生的探究在前,老师的讲解、点评在后,尊重学生,重视思维练习.缺乏之处有以下几点：1对学生的

14、水平估计缺乏.由于是借班上课,对学生的水平不太了解,所以与学生的沟通、交流上显得生疏.2无视板书.在重视思维练习的同时,对几个证实题的解题过程和解题格式没有板书.从实际来看,效果不理想.如果老师能板书解题过程,可能效果更好些.原打算请学生上台板演,但由于时间关系没能实施.3线面平行的判定定理,教师直接告知结论,无视学生对判定定理的理性熟悉 二、教学反思上面三个课例存在的主要问题是： 新课导入缺乏有效的问题情境； 直观感知缺少必要的 理性分析,只告知判定定理,不重视判定定理的形成过程；变式练习不够充分.下面就?直线与平面平行的判定?的教学环节进行探讨：1 .关于新课引入从建构主义理论来看,学生原

15、有认知结构是新授课的根底.本节课学生已有的认知结构包括知识储藏直线与平面平行的定义和方法储藏空间问题平面化的化归与转化思想 . 因此,在新课引入时,首先应引起认知冲突.通过复习直线与平面的位置关系及其图形表示、 符号语言,采用问题导入方式,提出如何判定直线与平面平行以引发学生思考.其次,宜提供先行组织者,让学生明确探究方法.通过回想研究异面直线所成的角的方法,指明判定直 线与平面平行可采用空间问题平面化的思想方法2 .关于判定定理的形成可采用“观察模型-直观感知-操作确认-抽象概括-思考探究的方式.课本用如下问题1作为观察的对象：问题1:将一本书平放在桌面上,翻动书的封面,封面边缘所在直线与桌

16、面所在平面具 有什么样的位置关系教学时,可通过多媒体演示翻书过程,让学生直观感知直线与平面平行的条件 .再 通过长方体中线线、线面平行关系的分析,进一步强化几何直观,确认线面平行的三个条 件和结论.并由此抽象出探究问题 2 抽象概括,有利于数学化.问题2:如图8,平面u外的直线a平行于平面u内的直线b ,问：图81直线a,b共面吗2直线a与平面相交吗在问题2的教学中,要引导学生讲清理由.3 .关于判定定理的运用课本仅提供一个例题文字表达的证实问题,要引导学生分析问题,让学生通过作图来理解题意,进而结合图形写出和求证,这样处理有利于提升学生的作图、识图、用 图水平.在证实思路的探求中,要强化学生

17、的目标意识,要对运用判定定理解题进行有效指导.同时,要通过变式教学,强化解题技能,体悟解题方法.三、改良建议高中数学优效教学的根本理念是：优效教学是提升教学效率的活动,强调课堂教学相 对于数学教育的三维目标的高效率性.“优效的数学教学的“效是指“有效和“高效, 侧重于学生的“根底性开展,关注数学课堂教学的有效性,强调课堂教学的预设与生成, 注重教学目标的“达成,追求课堂教学的优质高效；“优效的数学教学的“优是指“优 效与“长效,致力于学生的“开展性开展,强调理性思维的培养和数学素养的开展, 注重“数学文化价值的发挥,关注“数学思维方式的教学,关注学生“数学活动经验 的获得,关注学生创新意识的开

18、展.高中数学优效教学的根本策略是：目标定向,问题驱 动,展示过程,变式探究,提炼方法 .教学目标是实施优效教学的依据,对教学具有定向 作用,课堂教学目标应当强调“准确“具体“有用；问题驱动强调数学教学要创设问题情境；展示过程强调数学教学要展示思维过程知识的形成过程、问题的提出与探究过程、 方法的建构与反思过程；变式探究即通过“问题变式引领学生提出问题、发现结论；提 炼方法强调在数学教学中要重视数学思想方法的教学.1上述三个课例是我区三位青年教师讲课比赛一等奖的教学实录.基于优效教学的追求和上述课例的反思,下面给出“直线与平面平行的判定的教学设计的改良方案教学目标：引导学生经历直线与平面平行的判

19、定定理的直观感知和操作确认过程；在 直线与平面平行的判定定理的运用过程中,让学生掌握线面平行的判定方法,体悟空间问 题平面化的化归思想,享受解题成功的喜悦,提升空间想像水平 教学重点：直线和平面平行的判定定理及其应用 .教学难点：直线和平面平行的判定定理的探索过程及其应用教学过程设计见下表:教学程序师生活动创问题情境:设 1直线和平面有哪几种位置关系?情能用图形或符号来表示吗境 2在课室中,门扇的对边是平行的,当门扇绕着一边转动时,门扇转动的一边引所在直线与门框所在平面具有什么样的位置关系3将课本平放在桌面上,翻动书的封 面,封面边缘所在直线与桌面所在平面具 有什么样的位置关系学生独立思考,合

20、作交流,答复上述问题教师：由于判断直线与平面公共点的 个数较为困难,所以,我们需要找一种比 较实用的直线与平面平行的判定方法.设计意图唤起学生对已有知识的回忆,为新课 做铺垫.利用教室实物,吸引学生注意力.从实际背景出发,直观感知直线与 平面平行的位置关 系.引起认知冲突.提供先行组织 者.在研究异面直线所成的角时,我们通 过平移,把问题转化为研究两条相交直线 所成的角,即采用空间问题平面化的方法 来解决问题.能否把线面平行的判定转化为线线平行来解决呢直 观 感 知操作 确 认观察猜测：在长方体 ABCD AB1c1D1中,答复如 下问题：(1 )直线AB与直线A1B1的关系 为,直线AB与平

21、面AB1c1D1的关系是.(2 )直线AC与直线AG的关系 为,直线AC与平面AB1c1D1的关系是.(3)提出猜想：.自主探究：如图,平白支外的直线a平行于平白&内的直线b,问：/(1)直线a,b共面吗(2)直线a与平白支相交吗抽象概括：假设平白外一条直线与此平白内的一条 直线平行,那么该直线与此平面平行 .(直线与平回平行的判定定理)(1)用文子语口表述直线与平白平行的判定定理(2)用图形语口表述直线与平白平行的判定定理让学生观察、猜 想、探究.引导学生根据已 有知识进行推理.通过二种话言表 述定理,让学生感受 判定定理的条件与结 论.适时归纳知识与 方法,让学生进一步 理解知识,形成认知

22、 结构.(3)用符号语言表述直线与平面平行的 判定定理(aa a ,b a a , a/ b? a / a )简记为：线线平行二线面平行.教师强调：(1)直线与平面平行的判定定理中的 三个条件缺一不可.(2)直线与平面平行的判定定理提供 了证实直线与平面平行的一种方法,即化 归为判断直线与直线平行(空间问题平面化).例题讲评:求证：空间四边形相邻两边中点的连线平行于经过另外两边所在的平面.(课本例题):如图,空间四边形ABCD中,E, F分别是AB和AC的中点.求证:EF / 平面 BCD.证实:略.变式练习:变式1:空间四边形 ABCD中,E、F分别是AB和AD上的点,贝U EF/ 平面 BCD.(请填上一个使命题成立的条件)在学生学完定理 后,安排应用定理的 例题,可加深学生对 定理的理解.通过平面四边形 沿对角线折起的动态 演示,加深学生对空 间四边形的熟悉.同 时,在动态演示的过 程中,体会线面平行 判定定理的应用.指导学生标准答 题.强调定理的三个变式2:在长方体 ABCDABCD .中,E为DD,的中点,试判断BD,与平面AEC的 位置关系,并加以证实.变式3: ?在正方体ABCD - AB1c1D1中,E,F分别为ABi和BCi的中点,求证：EF/ 平面ABCD.变式4:如图,四棱锥P-ABCD的底面是梯形,AB / CD且CD = 2AB .问：条件