二次函数动点问题解答方法技巧(含例解答案)

1、函数解题思路方法总结： 求二次函数的图象与x轴的交点坐标.需转化为一元二次方程； 求二次函数的最大(小)值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶 点式； 根据图象的位置判断二次函数 ax2 +bx+c=0中a,b,c的符号.或由二次函数中a,b,c的符号判断图象的位置.要数形结合； 二次函数的图象关于对称轴对称.可利用这一性质.求和已知一点对称的点 坐标.或已知与x轴的一个交点坐标.可由对称性求出另一个交点坐标. 与二次函数有关的还有二次三项式.二次三项式ax2 +bx+c( a*。)本身就是所含字母x的二次函数；下面以a>0时为例.揭示二次函数、二次三项式和一元二次方程之间的内在联系

2、：抛物线与主轴有 两个交点”二次三项式的值可正、 可枣、可负一元二次方程有两个不相等实根A = 0*抛物线与入轴只有一个交f"二次三项苴的值为非负*一2次右程有两个相等的费根二1 <0 +抛物线与上轴无二次三哽式的值恒为正-皿动点问题题型方法归纳总结动态几何特点-问题背景是特殊图形.考查问题也是特殊图形.所以要把握好 一般与特殊的关系；分析过程中.特别要关注图形的特性(特殊角、特殊图形的 性质、图形的特殊位置。)动点问题一直是中考热点.近几年考查探究运动中的特殊性：等腰三角形、直角三角形、相似三角形、平行四边形、梯形、特殊角或其三角函数、线段或面积的最值。下面就此问题的常见题型

3、作简单介绍.解题方法、关键给以点拨。二、抛物线上动点5、(湖北十堰市)如图.已知抛物线y=ax2+bx+3 (aw0)与x轴交于点A(1.0)和点B ( 3.0).与y轴交于点C.(1)求抛物线的解析式；（2）设抛物线的对称轴与 x轴交于点 M .问在对称轴上是否存在点P.使CMP为等腰三角形？若存在.请直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在.请说明理由.（3）如图.若点E为第二象限抛物线上一动点.连接BE、CE求四边形BOC面积的最大值 并求此时E点的坐标.图0图注意：第（2）问按等腰三角形顶点位置分类讨论画图再由图形性质求点P坐标-C为顶点时.以C为圆心CM为半径画弧.与对称轴交点即为

4、所求点P.M为顶点时.以M为圆心M8半径画弧.与对称轴交点即为所求点P.P为顶点时.线段MC勺垂直平分线与对称轴交点即为所求点P第（3）问方法一.先写出面积函数关系式.再求最大值（涉及二次函数最值）；方法 二.先求与BC平行且与抛物线相切点的坐标（涉及简单二元二次方程组）.再求面积。070809动点个数两个一个两个问题背景特殊菱形两边上移动特殊直角梯形三边 上移动抛物线中特殊直角梯形底 边上移动考查难点探究相似三角形探究三角形面积函 数关系式探究等腰三角形考点菱形性质特殊角三角函数求直线、抛物线解析式相似三角形不等式求直线解析式四边形面积的表 示动三角形面积函 数矩形性质求抛物线顶点坐标探究平

5、行四边形探究动三角形面积是定值探究等腰三角形存在性特点菱形是含60°的特殊菱形； AOB是底角为30°的等腰三 角形。一个动点速度是参数字母。探究相似三角形时.按对应角 小同分类讨论；先回图.再探究。 通过相似三角形过度.转化相 似比得出方程。利用a、t范围.运用小等式求 出a、t的值。观察图形构造特 征适当割补表示面 积动点按到拐点时 间分段分类画出矩形必备条 件的图形探究其存 在性直角梯形是特殊的（一底45° ）点动带动线动线动中的特殊性（两个交点D E是定点；动线段 PF 长度是定值.PF=OA）通过相似三角形过度.转 化相似比得出方程。探究等腰三角形时.先

6、画 图.再探究（按边相等分类 讨论）共同点：特殊四边形为背景；点动带线动得出动三角形；探究动三角形问题（相似、等腰三角形、面积函数关系式）求直线、抛物线解析式；探究存在性问题时.先画出图形.再根据图形性质探究答案。二次函数的动态问题（动点）1.如图.已知抛物线Ci与坐标轴的交点依次是 A（ Y,0） . B（2,0） . E（0,8）.(1)求抛物线Ci关于原点对称的抛物线 C2的解析式；(2)设抛物线Ci的顶点为M .抛物线C2与X轴分别交于C, D两点(点C在点D的左侧).顶点为N .四边形 MDNA的面积为S.若点A.点D同时以每秒1个单位 的速度沿水平方向分别向右、 向左运动；与此同时

7、.点M. 点N同时以每秒2个单位的速度沿坚直方向分别向下、 向 上运动.直到点A与点D重合为止.求出四边形 MDNA 的面积S与运动时间t之间的关系式.并写出自变量t的取 值范围；(3)当t为何值时.四边形MDNA的面积S有最大值.并 求出此最大值；(4)在运动过程中.四边形MDNA能否形成矩形？若能. 求出此时t的值；若不能.请说明理由.解(1 )点A( 4 0 )点B(2,0).点E(0,8)关于原点的对称点分别为D(4Q). C(2Q). F(0,-8).设抛物线C2的解析式是2y = ax bx c(a = 0).16a 4b c =0,则4a +2b +c = 0,c = -8. -

8、a - T,解得Jb =6,c = -8 .所以所求抛物线的解析式是 y = -x2 +6x-8 .(2)由(1)可计算得点 M(3, 1), N(31).过点N作NH -LAD.垂足为H .当运动到时刻 t 时.AD=2OD=82t. NH =1 + 2t.根据中心对称的性质 OA = OD, OM=ON.所以四边形 MDNA是平行四边形.所以 S=2S.adn -所以.四边形 MDNA 的面积 S = (82t)(1+2t) = 4t2+14t+8.因为运动至点 A与点D重合为止.据题意可知0 & t < 4 .所以.所求关系式是S = Mt2+14t+8. t的取值范围是0

9、0t<4.(3) SuU%8!. (0&t<4).,44所以t =一时.S有最大值.44提示：也可用顶点坐标公式来求.(4)在运动过程中四边形 MDNA能形成矩形.由(2)知四边形 MDNA是平行四边形.对角线是 AD, MN .所以当AD = MN时四边形 MDNA是矩形.所以 OD =ON .所以 OD2 =ON2 =OH2 +NH 2.所以 t2 +4t2 -2=0.解之得 t1=J62, t2=J6 2 (舍).所以在运动过程中四边形 MDNA可以形成矩形.此时t=J6-2.点评本题以二次函数为背景.结合动态问题、存在性问题、最值问题.是一道较传统的压轴 题.能力要

10、求较高。2. (06福建龙岩卷)如图.已知抛物线y = -9 x2 + bx + c与坐标轴交于 A B, C三点.43一点A的横坐标为-1.过点C(0,3)的直线y = x + 3与x轴交于点Q .点P是线段BC上 4t的一个动点.PH _LOB于点H .若PB = 5t.且0<t <1 .(1)确定 b, c 的值：b=, c =;(2)写出点B, Q, P的坐标(其中Q, P用含t的式子表示)B（,一）, Q（一,一）, P（一,一）;t的值.使 PQB为等腰三角形？若存在.求出所有t的值;(3)依点P的变化.是否存在若不存在.说明理由.9解(1) b=94c = 3(2)

11、B(4,0)Q（4t,0）P（4 -4t,3t）(3)存在t的值.有以下三种情况当PQ = PB时；PH _LOB.则 GH =HB 4 -4t -4t =4t.t3当PB =QB时得 4 -4t =5t.t=49当PQ =QB时.如图解法一：过Q作QD _L BP .又PQ =QB则 BD =BP =5t 22又 ABD、s' BOCBD BQ BO - BC2t 4-4t4 . 557解法二：作RtOBC斜边中线OEe-BC 5则 OE =BE, BE =二22此时 AOEBA PQBBE OB , BQ PB52 _ 44-4t 5t57解法三：在 RtA PHQ中有QH 2 +

12、 PH 2 = PQ2257t2 - 32t =032一人，,;t= , t=0 (舍去)57又：0 :： t ：1二当t =1或4或32时.zPQB为等腰三角形.3 957解法四：需要综合运用。代数讨论:Rt数学往往有两个思考方向：代数和几何.有时可以独立思考.有时计算出 PQBE边长度.均用t表示.再讨论分析 PHQ中用勾股定理计算 PQ长度.而PB BQ长度都可以直接直接用t表示.进行分组讨论即可计算。点评此题综合性较强.涉及函数、相似性等代数、几何知识 .1、2小题不难.第3小题是比 较常规的关于等腰三角形的分类讨论 .需要注意的是在进行讨论并且得出结论后应当检验 . 在本题中若求出的

13、t值与题目中的0<t<1矛盾.应舍去1 13.如图1.已知直线y = -1x与抛物线y =x2+6交于A, B两点.2 4(1)求A, B两点的坐标；(2)求线段AB的垂直平分线的解析式；(3)如图2.取与线段AB等长的一根橡皮筋.端点分别固定在 A B两处.用铅笔拉着这根 橡皮筋使笔尖 P在直线AB上方的抛物线上移动.动点P将与A B构成无数个三角形.这 些三角形中是否存在一个面积最大的三角形？如果存在.求出最大面积.并指出此时P点的坐标；如果不存在.请简要说明理由.解(1)解：依题意得-1x2 6. 曰x1 = 6解之得1一xy1 一 -3x2 = -4 % =2A(6,-3)

14、, B(-4,2)(2)作AB的垂直平分线交x轴.y轴于C, D两点.交AB于M (如图1)由(1)可知：OA=35 OB -2 .5.AB =5.5.OM =1AB -OB =立 22过B作BE，x轴.E为垂足由BEOs/XOCM .得：OC=OM_ oc =.OB OE4同理：od =5,二 C |5,0 j D '0, -5 I24.2设CD的解析式为y=kx+b(k#0)-rb.一，,5二AB的垂直平分线的解析式为：y =2x-5.2(3)若存在点P使4APB的面积最大.则点P在与直线AB平行且和抛物线只有一个交点1 一 的直线y =-x+m上.并设该直线与x轴.y轴交于G,

15、H两点(如图2).2y 二 一x m2y = -x2 64121八八x -x m -6 = 042抛物线与直线只有一个交点1 1 21.-4x-(m-6)=0.I 2 J42523m = P H,4. 4125在直线GH : y =25 GH =-5x +中.图2240,25 ,4设。到GH的距离为d.1 ,1ghE = - og oh2 2 .1 25 5, 1 25 25 d3 42 245 .d = ,5 2'；AB / GH,二P到AB的距离等于。到GH的距离d .另解：过P做PC/ y轴.PC交AB于C.当PC最大日PBA在AB边上的高h最大（h与PC夹-j? +62x-角固

16、定）.则$ pb媪大一问题转化为求PC最大值.设P （x,4）,C （x,2）,从而可以表示PC长度.进行极值求取。最后.以PC为底边.分别af算S*BC和S*AC即可。点评这是一道涉及二次函数、 方程、几何知识的综合压轴题.有一定的能力要求.第3小题 是一个最值问题.解此类题时需数形结合方可较轻松的解决问题。4.如图.正方形 ABCD的顶点 A, B的坐标分别为（010 ）,（8 4）.顶点C, D在第一象限.点P从点A出发.沿正方形按逆时针方向匀速运动.同时.点Q从点E（4,0）出发.沿x轴正方向以相同速度运动.当点P到达点C时.P, Q两点同时停止运动.设运动的时间为t秒.（1）求正方形

17、ABCD的边长.（2）当点P在AB边上运动时.4OPQ的面积S （平方单位）与时间t （秒）之间的函数图象为抛物线的一部分（如图所示）.求P, Q两点的运动速度.（3）求（2）中面积S （平方单位）与时间t （秒）的函数关系式及面积 S取最大值时点P 的坐标.（4）若点P, Q保持（2）中的速度不变.则点P沿着AB边运动时.ZOPQ的大小随着时间t的增大而增大；沿着 BC边运动时./ OPQ的大小随着时间t的增大而减小.当点 P沿b 4ac-b一，2a 4a着这两边运动时.使/ OPQ =90°的点P有 个.（抛物线y =ax2 +bx + c（a =0 ）的顶点坐标是51555解(

18、1)作BF _L y轴于F .7A(010 ), B(8,4).二 FB =8, FA =6.二 AB =10.(2)由图可知.点P从点A运动到点B用了 10秒.又'；AB=1010-10=1 .二P, Q两点的运动速度均为每秒 1个单位.(3)方法一：作 PG _L y 轴于 G .则 PG / BF .,GA 二”.即 GA，FA AB 610, GA =3t . 5, OG =10-3t. 5?OQ =4 t.113: S 二一MOQOG =- t +4 |10-t22.5即 S =t2 +19t +20 .105b2a19-5,=19.且 002-2)3I 10)19 V 03

19、10.19S有最大值.,当t =19时.33476331此时 GP = t = OG =10t =，点P的坐标为15 5（8分）1.63方法二：当 1=5时.06=7, OQ=9, S=OGOQ =二.22设所求函数关系式为 S = at2 + bt+20 .抛物线过点（10，28 ）,；5,63 100a 10b 20 =28,63 25a 5b 20 = 23a =-一，10h 19 b .53 2S 二-t1019+ t +20 .519-5 =里.且00 19 < 10.2a233,10,19 ,二当t =一时.S有最大值.3此时GP =76,1531OG =-5二点P的坐标为(

20、4) 2.点评本题主要考查函数性质的简单运用和几何知识.是近年来较为流行的试题 .解题的关键在于结合题目的要求动中取静 .相信解决这种问题不会非常难。5.如图.RtzXABC中./B=90，./CAB =30匚它的顶点A的坐标为(10,0).顶点B的坐标为(5,573). AB=10.点P从点A出发.沿At Bt C的方向匀速运动.同时点Q从点D(0,2)出发.沿y轴正方向以相同速度运动.当点P到达点C时.两点同时停止运动.设运动的时间为t秒.(1)求/BAO的度数.(2)当点P在AB上运动时.4OPQ的面积S (平方单位)与时间t (秒)之间的函数图象为抛物线的一部分.(如图).求点P的运动

21、速度.(3)求(2)中面积S与时间t之间的函数关系式及面积 S取最大值时点 P的坐标.(4)如果点P, Q保持(2)中的速度不变.那么点P沿AB边运动时./OPQ的大小随着时间t的增大而增大；沿着BC边运动时./OPQ的大小随着时间t的增大而减小.当点P沿这两边运动时.使/OPQ =90的点P有几个？请说明理由.解：(1) / BAO =60 .(2)点P的运动速度为2个单位/秒.(3) P(10-t,品)(00t&5)1,S (2t 2)(10 -t)12142,9 , ，一一二当t =9时.S有最大值为2311 9.3 此时P -, |.2 2(4)当点P沿这两边运动时./ OPQ

22、 =90的点P有2个.当点P与点A重合时./ OPQ <90c.当点P运动到与点B重合时.OQ的长是12单位长度.作/ OPM =90交y轴于点M .作PH .L y轴于点H .由OPHs/XOPM 得：OM =J20Z3=115.3所以 OQ >OM .从而/ OPQ > 90，.同理当点P在BC边上运动时.可算得10、, 3OQ =12+=17.8 .3所以当点P在AB边上运动时./ OPQ =90，的点P有1个.而构成直角时交y轴于%,353 353 =20.2 >17.8. 3 3所以ZOCQ <90，.从而/ OPQ =90的点P也有1个.所以当点P沿这

23、两边运动时./ OPQ =90的点P有2个.46.(本题满分14分)如图12 .直线y = 一一x+4与x轴交于点A.与y轴交于点C .已知二3次函数的图象经过点 A、C和点B(1,0)(1)求该二次函数的关系式；(2)设该二次函数的图象的顶点为M .求四边形AOCM的面积；(3)有两动点D、E同时从点O出发.其中点D以每秒9个单位长度的速度沿折线 OAC2按O 一 A - C的路线运动.点E以每秒4个单位长度的速度沿折线 OCA按O 一 C 一 A的路线运动.当D、E两点相遇时.它们都停止运动.设D、E同时从点O出发t秒 时.AODE的面积为S .请问D、E两点在运动过程中.是否存在DE /

24、 OC .若存在.请求出此时t的值；若不 存在.请说明理由；请求出S关于t的函数关系式.并写出自变量t的取值范围；设So是中函数S的最大值.那么So =解：（1）令 x = 0.则 y = 4 ；令 y =0 则 x=3. . A(3,0). C(0,4)二次函数的图象过点 C(0,4 ).可设二次函数的关系式为2y = ax bx 4又该函数图象过点A(3,0). B(-1,0)0=9a+3b+4, 0 =a -b 4.，r48斛之.得 a = 一1 . b =.334 28所求二次函数的关系式为y = -4x28x 433(2)y = -4 x2 +8x +433_ 4216= x T33

25、顶点m的坐标为'ii ,3过点M作MF-J- x轴于F16SH边形 AOCM - S AFMS弟形 FOCM/、16/r，6、. .c(31 ¥ 4父 4 + |父 1 10一 一 3 J四边形AOCMJ面积为10（3）不存在DE OC若DE/ OC则点D E应分别在线段 OACA上.此时1 <t < 2 .在RtA AOC中.AC = 5 .设点 E的坐标为（xi ,yi回=竺二4. . xi =12t12. DE / OC.355.12t -12 3+.,8t t5238 t = >2.不满足 1 <t <2 .3不存在 DE / OC .根

26、据题意得D.E两点相遇的时间为3m5 =24 （秒）3 4112现分情况讨论如下：i）当 0<t&1 时.S=M9tL4t =3t2; 2 2ii）当1 <t0 2时.设点E的坐标为（x2, y2 ）y2 = 5 - 4t -44 一 5y236 -16t51 336 -16tiii）当 2 < t <524 , 今时.设点1112t25E的坐标为36 -16t设点D的坐标为X4 , y4一 y456t -12S = SA AOE - SA AOD=1 3 36 -16t1 326t -12).类似ii可得y333-t5725S0 =243807.关于x的二次函

27、数y = -x2 +(k2 4)x +2k 2以y轴为对称轴.且与y轴的交点在x轴函数的草图如图所示.(只要与坐标轴的三个交点的位置及图象 大致形状正确即可)上方.(1)求此抛物线的解析式.并在下面的直角坐标系中画出函数的草图；(2)设A是y轴右侧抛物线上的一个动点.过点A作AB垂直于x轴于点B .再过点A作x轴的平行线交抛物线于点D .过点D作DC垂直于x轴于点C .得到矩形 ABCD .设矩形ABCD的周长为l .点A的横坐标为x.试求l关于x的函数关系式；(3)当点A在y轴右侧的抛物线上运动时.矩形ABCD能否成为正方形.若能.请求出此时正方形的周长；若不能.请说明理由. o'

28、b 4ac-b2. 一 .参考资料：抛物线 y=ax +bx+c(a # 0)的顶点坐标是 -一, .对称轴是直线2a 4a bx = 一一 .2a解：(1)据题意得：k2 -4 =0 ., k = 2当 k =2 时.2k 2=2 A0.当 k = 2 时.2k2 = -6<0.又抛物线与y轴的交点在x轴上方.二k = 2.2_二抛物线的解析式为：y = x +2 .(2)解：令一x2 +2=0/Hx=±J2.不 0 ；x2时.AD1 =2x. AB1 - -x2 2 .: l =2(AiBi +A1D1) = -2x2 +4x+4 .当 x >V2时.A2D2 =2x

29、. _22A2B2 = -(-x +2) =x -2._ _ _ _ 一_ _2.l =2(A2D2+A2B2)=2x +4x4. l关于x的函数关系是：当 0 <x cJ2时.l = 2x2 +4x+4 ；当 x >V2时.l =2x2 +4x4 .(3)解法一：当 0<xcJ2时.令 AB1=AD1.一 2得 x +2x-2=0.解得 x = 1J3（舍）.或x = 1+J3.将 x = 1 +否代入 l = -2x2 +4x +4.得 l =8。8.当 x a J2时.令 A2B2 =A2D2.得 x2 -2x -2=0.解得 x=i V3 （舍）.或x=i +73.将

30、 x=1 + /代入 l =2x2+4x4 .得 l =8出+8.综上.矩形ABCD能成为正方形.且当x = J3-1时正方形的周长为 8J3-8；当x = J3+1时.正方形的周长为8J3+8.解法二：当0 cx <夜时.同“解法一”可得 x = 1+J3.二正方形的周长l =4Ad =8x=8j38 .当x > J2时.同“解法一”可得 x =1 + J3 .二正方形的周长l =4A2D2 =8x =83+8 .综上.矩形ABCD能成为正方形.且当x = J3-1时正方形的周长为 8J3-8；当x =、/3十1时.正方形的周长为8J3+8.解法三：点A在y轴右侧的抛物线上.:x

31、 >0.且点A的坐标为（x, x2 +2）.令 AB =AD .则x2 +2 =2x.x2 +2 = 2x .或x2 + 2 = -2x由解得x = 1 J3 （舍）.或x = 1 + J3；由解得x=1-石（舍）.或x = 1 + T3.又 l =8x.二当 x = -1 +V3Hl =86一8;当x=1+近时l =8掷+8.综上.矩形ABCD能成为正方形.且当x = J31时正方形的周长为 8J38；当x = J3+1时.正方形的周长为8串十8 .8.已知抛物线y= ax2+bx+c与x轴交于A、B两点.与y轴交于点C其中点B在x轴的正半 轴上.点C在y轴的正半轴上.线段OB OC勺

32、长(OB<OC是方程x2- 10x+ 16 = 0的两个根. 且抛物线的对称轴是直线 x=-2.(1)求A、R C三点的坐标；(2)求此抛物线的表达式；(3)连接AC BC若点E是线段AB上的一个动点(与点 A、点B不重合).过点E作 EF/ AC BC于点F.连接CE设AE的长为m CE用勺面积为S.求S与 强间的函数关系式. 并写出自变量m的取值范围；(4)在(3)的基础上试说明 S是否存在最大值.若存在.请求出S的最大值.并求出此 时点E的坐标.判断此时 BCE勺形状；若不存在.请说明理由.8648 6 4 -2 Q 24 x-24 第26题图解：(1)解方程 x210x+16=

33、0 得 x1= 2. x2= 8.点B在x轴的正半轴上.点C在y轴的正半轴上.且0匹OC点B的坐标为(2.0).点C的坐标为(0.8)又,抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是直线 x = 2，由抛物线的对称性可得点A的坐标为(一6.0)(2) ,点C (0.8)在抛物线 y=ax2+bx+c的图象上，c=8.将A( 6.0)、B (2.0)代入表达式.得第26题图（批卷教师用图）0 = 36a6b+80 = 4a+2b+82a=一 3解得所求抛物线的表达式为 y = -2x11 2=2 (8m) (88+m)=2 (8m) m= -m+ 4m自变量m的取值范围是0vm< 8(4)存在.理

34、由：: S=1m+ 4m= - - (m- 4) 2+ 8且一v0. 22当m= 4时.S有最大值.S最大值=8.,m= 4.，点E的坐标为(2.0 ). BC曰等腰三角形.-8x+8 33(3)依题意.AE= m 则 BE= 8-m. OA= 6. OC= 8. . AC= 10EF/ AC /BEQ BACEF BE a EF 8-m ACT AB 即i0=-8-EF=405m440-5m-=8- m4一 _ _ _ 一_ 4过点 F 作 FGL AB 垂足为 G 则 sin / FEG= sin / CAB=-5FG 44一=一FG= 一 ,EF 55，一 、一 1（8-m> x8

35、-2(8 m)( 8 im)9. (14分)如图：抛物线经过 A (-3.0 )、B (0.4)、C (4.0)三点.(1)求抛物线的解析式.(2)已知AD = AB (D在线段AC上).有一动点P从点A沿线段AC以每秒1个单位 长度的速度移动；同时另一个动点Q以某一速度从点 B沿线段BC移动.经过t秒的移 动.线段PQ被BD垂直平分.求t的值；(3)在(2)的情况下.抛物线的对称轴上是否存在一点M.使MQ+MC勺值最小？若存在.请求出点M的坐标；若不存在.请说明理由。2 b(汪：抛物线 y=ax +bx+c的对称轴为x =)2a(1)解法一：设抛物线的解析式为y = a (x +3 )(x

36、- 4)因为B (0.4 )在抛物线上.所以4 = a ( 0 + 3 ) ( 0 - 4 )解得a= -1/311 2 1所以抛物线斛析式为 y (x，3)(x-4) x x 4333解得a解法二：设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c (a#0).9a -3b 4=0依题意得：c=4且«16a 4b 4 = 0所以 所求的抛物线的解析式为y =x2x 433(2)连接 DQ在 RtAO邪.AB = JAO2 +BO2 =43 +42 =5所以 AD=AB= 5.AC=AD+CD=3 + 4 = 7.CD = AC - AD =7 - 5 = 2因为BD垂直平分 PQ.所以PD=Q

37、D.PQ_ BD.所以/ PDBh QDB 因为 AD=AB所以/ ABD=/ ADB./ABDh QDB所以 DO/ AB 所以/ CQDW CBA / CDQ=CAB.所以 CDQ ACABDQ CDAB CA即四=2, dq=10-10 252525所以 AP=AD - DP = AD - DQ=5 - - = . t =一+1 =一7777一 一 25所以t的值是7(3)答对称轴上存在一点 M.使MQ+MCJ值最小理由：因为抛物线的对称轴为x = -二=:2a 21所以A (- 3.0 ) .C (4.0)两点关于直线 x=对称21连接AQ父直线x =于点M.则MQ+MCJ值最小2过点

38、Q作Q已x轴.于E.所以/ QEDh BOA=900DQ / AB. / BAO=Z QDE. DQE ABO10QEDQDE口 uQE7jDE= 即=-=BOABAO453所以 QE=8.DE=9 .所以 OE = OD + DE=2+6=20 .所以 Q( -20 .-)777 777设直线AQ的解析式为y=kx+m (k¥0)20.8k m = 一则77由此得8 k =4124m 二 一41所以直线AQ的解析式为824 x + 联立41411x 二一28y 二-x4124+41- 3k m = 01x = 一由此得2所以Mt1,28)8242 41y 二x41411 28则：在

39、对称轴上存在点 M(- 丝).使MQ+M的值最小。2 4110.如图9.在平面直角坐标系中.二次函数y =ax2+bx+c(a > 0)的图象的顶点为D点.与y轴交于C点.与x轴交于A B两点.A点在原点的左侧.B点的坐标为(3.0 ).1OB= OC .tan / ACO= 1 .3(1)求这个二次函数的表达式.(2)经过C D两点的直线.与x轴交于点E.在该抛物线上是否存在这样的点 F.使以点 A、C E、F为顶点的四边形为平行四边形？若存在 .请求出点F的坐标；若不存在.请说 明理由.(3)若平行于x轴的直线与该抛物线交于 M N两点.且以MN为直径的圆与x轴相切. 求该圆半径的长

40、度.(4)如图10.若点G (2.y)是该抛物线上一点.点P是直线AG下方的抛物线上一动点. 当点P运动到什么位置时.APG勺面积最大？求出此时 P点的坐标和 APG勺最大面积.3分解得：b=2所以这个二次函数的表达式为:y = x2 - 2x - 3c = -3方法二：由已知得：C (0.-3) .A (1.0)设该表达式为：y = a(x 1)(x -3)将C点的坐标代入得：a=1所以这个二次函数的表达式为：y -x2 -2x -3(注：表达式的最终结果用三种形式中的任一种都不扣分)(2)方法一：存在.F点的坐标为(2. 3)理由：易得D (1.4).所以直线CD的解析式为：y=x3 ，E

41、点的坐标为(一3.0)由A C、E、F四点的坐标得：AE= C已2.AE / CF以A、G E、F为顶点的四边形为平行四边形，存在点F.坐标为(2. 3) 5分方法二：易得D (1.4).所以直线CD的解析式为：y =-X-3，E点的坐标为(一3.0)以A、G E、F为顶点的四边形为平行四边形，F点的坐标为(2. 3)或(一2. 3)或(一4.3 )代入抛物线的表达式检验.只有(2. 3)符合，存在点F.坐标为(2. 3) 5分(3)如图.当直线 MN& x轴上方时.设圆的半径为 R (R>0).则N (R+1.R).代入抛物线的表达式.解得R = 1 +<17 6分2当直

42、线 MNB x轴下方时.设圆的半径为r (r>0).则 N (r+1. r).r - 1 - ./17代入抛物线的表达式.解得r =17分21 .17 , -1.17一圆的半径为或.7分2 2(4)过点P作y轴的平行线与 AG交于点Q.易得 G (2.-3).直线 AG为 y = -X -1 . 8分设 P (x. X11.(本小题 12 分)解：(1)解方程 x - 10x + 16 = 0 得 Xi=2.X2=8点B在x轴的正半轴上.点C在y轴的正半轴上.且O由OC点B的坐标为(2.0).点C的坐标为(0.8)又,抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是直线 x = 2，由抛物线的对称性可得点A的坐标为(一6.0) 2x3).则 Q (x. X1) .PQ=x2